Các dạng toán trắc nghiệm ứng dụng tích phân trong tính diện tích hình phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CÁC DẠNG TOÁN TRẮC NGHIỆM ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Người thực hiện: Trịnh Thị Mai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

CÁC DẠNG TOÁN TRẮC NGHIỆM ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Người thực hiện: Trịnh Thị Mai

Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán học

THANH HÓA, NĂM 2019

MỤC LỤC

1 Mở đầu 1

1.1 Lí do chọn đề tài……… ……… …… 1

1.2 Mục đích nghiên cứu………… ………1

1.3 Đối tượng nghiên cứu………….………2

1.4 Phương pháp nghiên cứu……… 2

2 Nội dung Sáng kiến kinh nghiệm 2 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2 2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm. 3 2.3 Các dạng toán trắc nghiệm ứng dụng tích phân trong tính diện tích hình phẳng 3 2.3.1 Lý thuyết cơ bản 3 2.3.2 Lập ma trận chuyên đề 4 2.3.3 Các dạng toán theo ma trận………5

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 18

3 Kết luận, kiến nghị 18 3.1 Kết luận 18 3.2 Kiến nghị……… ……… 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO 20

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài.

Vấn đề diện tích của các hình quen thuộc như tam giác, tứ giác, ngũ giác, lục giác,… gọi chung là đa giác học sinh đều đã biết công thức tính diện tích từ các lớp dưới Đây là một vấn đề rất thực tế nhưng để học tốt nó vốn không đơn giản đối với các học sinh có tư duy hình học yếu, đặc biệt là tư duy cụ thể hoá, trừu tượng hoá Việc dạy và học các vấn đề này ở chương trình toán lớp dưới 8,

9, 10, 11 vốn đã gặp rất nhều khó khăn bởi nhiều nguyên nhân, trong đó yếu tố

“trực quan và thực tế” trong các sách giáo khoa đang còn thiếu

Do đó khi học về vấn đề mới: vấn đề diện tích của các hình phẳng ở chương trình giải tích 12 học sinh gặp rất nhiều khó khăn Hầu hết các em học sinh thường có cảm giác “sợ” bài toán tính diện tích hình phẳng Khi học vấn đề này nhìn chung các em thường vận dụng công thức một cách máy móc chưa có sự phân tích, thiếu tư duy thực tế và trực quan nên các em hay bị nhầm lẫn, hoặc không giải được, đặc biệt là những bài toán cần phải có hình vẽ để “chia nhỏ” diện tích mới tính được Thêm vào đó trong sách giáo khoa cũng như các sách tham khảo có rất ít ví dụ minh hoạ một cách chi tiết để giúp học sinh học tập và khắc phục “những sai lầm đó” Càng khó khăn hơn cho những học sinh có kỹ năng tính tích phân còn yếu và kỹ năng “đọc đồ thị” còn hạn chế

Tài liệu “CÁC DẠNG TOÁN TRẮC NGHIỆM ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG” nhằm giúp cho học sinh 12 rèn kỹ năng tính tích phân, rèn kỹ năng đọc đồ thị của hàm số, từ đó khắc phục những khó khăn, sai lầm khi gặp bài toán tính diện tích hình phẳng Từ đó giúp học sinh phát huy tốt kiến thức về diện tích mà học sinh đã học ở lớp dưới, thấy được tính thực tế và sự liên hệ nội tại của vấn đề này trong chương các lớp học, học sinh sẽ cảm thấy hứng thú, thiết thực và học tốt vấn đề ứng dụng của tích phân Tài liệu này cũng phân loại các dạng toán theo các mức độ thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao, giúp học sinh học tập thuận tiện nhất Đây làm một tài liệu tham khảo rất tốt cho học sinh cũng như giáo viên để luyện thi và ôn tập thi THPT Quốc gia

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 12 ở trường THPT, cùng với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy Tôi đã tổng hợp, khai thác và hệ thống hoá lại các kiến thức thành một chuyên đề ứng dụng của tích phân trong tính diện tích hình phẳng các cấp độ kiến thức khác nhau

Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh các dạng toán của ứng dụng tích phân trong tính diện tích hình phẳng theo các cấp

độ thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các em học sinh có một cái nhìn toàn diện cũng như

phương pháp giải các bài toán của ứng dụng tích phân trong tính diện tích hình phẳng

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Ứng dụng của tích phân trong hình học Nội dung nằm ở chương 3 sách giáo khoa Giải tích 12

Lập ma trận các dạng toán của ứng dụng tích phân trong tính diện tích hình phẳng theo các cấp độ kiến thức bao gồm: thông hiểu, vận dụng, vận dung cao

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Phương pháp:

- Nghiên cứu lý luận chung

- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học

- Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm

Cách thực hiện:

- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn

- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 12 trong năm học

- Thời gian nghiên cứu: Năm học 2018 – 2019.

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này

Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải

Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho

học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán ứng dụng của tích phân trong tính diện tích hình phẳng

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Chủ đề ứng dụng của tích phân là một trong những kiến thức cơ bản ở chương trình toán Giải tích lớp 12 Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học của tích phân, đặc biệt là tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số Đây cũng là một nội dung thường gặp trong các đề thi học kì II, đề thi THPT Quốc Gia Nhìn chung khi học vấn

đề này, đại đa số học sinh (kể cả học sinh khá giỏi ) thường gặp những khó khăn, sai lầm sau:

- Nếu không có hình vẽ thì học sinh thường không hình dung được hình phẳng Do dó học sinh có cảm giác “xa lạ” hơn so với khi học về diện tích của hình phẳng đã học trước đây Học sinh không tận dụng được kiểu “tư duy liên

hệ cũ với mới” vốn có của mình khi nghiên cứu vấn đề này

- Hình vẽ minh họa ở sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít “ chưa đủ”

để giúp học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng Từ đó học sinh chưa thấy sự gần gũi và thấy tính thực tế của các hình phẳng đang học

- Học sinh chưa thực sự hứng thú và có cảm giác nhẹ nhàng khi học vấn đề này, trái lại học sinh có cảm giác nặng nề, khó hiểu

- Học sinh thường chỉ nhớ công thức tính diện tích hình phẳng một cách máy móc, khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo, đặc biệt là kỹ năng đọc đồ thị để xét dấu các biểu thức, kỹ năng “ chia nhỏ” hình phẳng để tính; kỹ năng cộng, trừ diện tích Đây là một khó khăn rất lớn mà học sinh thường gặp phải

2.3 Các dạng toán trắc nghiệm ứng dụng tích phân trong tính diện tích hình phẳng.

2.3.1 Lý thuyết cơ bản.

a) Cho hàm số y f x   liên tục trêna; b

Khi đó diện tích S của hình phẳng (D) giới

hạn bởi: Đồ thị hàm số yf x ; trục   Ox (

0



y ) và hai đường thẳng x a x b là: ; 

 



b

a

S f x dx.

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai

đồ thị  C :1 y f x    , C :2 y g x   và

hai đường thẳng x a x b ,  Được xác

định bởi công thức:

   

 

b

a

S f x g x dx.

2.3.2 Lập ma trận chuyên đề.

CÁC

CHỦ

ĐỀ

MIÊU TẢ

CÁC MỨC ĐỘ ĐÁNH

Thông hiểu

Vận dụng

Vận dụng cao ỨNG

DỤNG

TÍCH

PHÂN

TÍNH

DIỆN

TÍCH

Cho hình vẽ, hỏi công thức tính

diện tích hình phẳng được tô

đậm

Tính diện tích hình phẳng giới

hạn bởi đủ 4 đường cơ bản

 



y f x , y g x ,   x a x b  , 

Biểu thức trong trị tuyệt đối

không đổi dấu

Tính diện tích hình phẳng giới

hạn bởi đủ 4 đường cơ bản

 





x b Biểu thức trong trị tuyệt

đối có đổi dấu

Tính diện tích hình phẳng giới

hạn bởi 2 đường y f x , 

 



y g x (phương trình hoành

độ có 1 hoặc 2 nghiệm)

Tính diện tích hình phẳng giới

hạn bởi 2 đường y f x , 

 



y g x (phương trình hoành

độ có nhiều hơn 2 nghiệm)

Tính diện tích hình phẳng giới

hạn bởi nhiều hơn 2 đường có

công thức y?, (cho hình hoặc

có thể vẽ hình)

Tính diện tích hình phẳng giới

hạn bởi nhiều hơn 2 đường có

công thức y?, khó vẽ hình.

Câu

Ứng dụng diện tích hình phẳng

để so sánh các giá trị

 ,  ,

f a f b hoặc tính giá trị

biểu thức, …

Câu

Bài toán thực tế liên quan tính

diện tích hình phẳng (chọn hệ

trục, lập công thức đường …)

Câu

13, 14,

15, 16

Câu 17 5

Các bài toán cực trị liên quan

tính diện tích hình phẳng

Câu 18

Câu

19, 20 3

2.3.3 Các dạng toán theo ma trận.

Câu 1. Cho hàm số yf x( ) có đồ thị như hình vẽ Diện tích hình phẳng phần

tô đậm được tính theo công thức nào?

A.

3

1 d ( )

f x x B.

1

3

d ( )

f x x C.  

3

0

d ( )



 f x x D.

2

1 d ( )

f x x.

Lời giải Chọn C

Vì ( ) 0f x  trên đoạn 0;3 nên   

3

0

( ) d

 

S f x x

Câu 2. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường f x1  x3  x,

  2

f x x x , x0, x 1

A 8

3

S  B 37

12

S  C 9

4



S D 5

12

S 

Lời giải Chọn D

Ta có: f x1( ) f x2( ) 0  x3x2  2x0  x  2;0;1

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3

1( )  

2

2( )  

f x x x , x  0, x 1 là

1

0

2 d

  

1

0

2 d

x x  x x

1

2

0

12

Câu 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x y 2, 2x3,

x 2, x 0

A 2

2 3

Lời giải Chọn D

Đặt f x  x g x2,   2x3, ta xét dấu f x   g x  

 

3 0;2

  

 



x

Ta có bảng xét dấu

x 0 1 2

    

f x g x - 0 +

Vậy diện tích hình phẳng đã cho

5 7

3 3

Câu 4. Hình phẳng  H được giới hạn bởi các đường 2



y x , y 3x 2 Tính diện tích hình phẳng  H

A 2

1

6

Lời giải Chọn D

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình:

 

2 3  2 2  3   2 0 1;2

Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường là:

 

1

6

Câu 5. Trong hệ trục tọa độ Oxy, diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi

 P y x:  2  4, tiếp tuyến của  P tại M2;0 và trục Oy là:

A 4

3



S B S 2 C 8

3



S D 7

3



Lời giải Chọn C

2

 

y x; y 2 4.

Phương trình tiếp tuyến của  P tại M2;0: y 4x 2 4x 8. Diện tích hình phẳng cần tìm là

3



Câu 7. Tính diện tích S của hình phẳng  H giới hạn bởi đường cong

A 343

12



S B 793

4



S C 397

4



S D 937

12



Lời giải

Chọn D

Hoành độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm của phương trình:

 x  x  x    x3x2 12x 0 x  3;0;4

Ta có



       

99 160 937



x  x  x x x x  x x  

Câu 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3

2

A 37

37

35

35

6 .

Lời giải Chọn B

Phương trình hoành độ giao điểm là x3  x2x2  2 x  1;1;2 Diện tích hình phẳng cần tìm

37

12

Câu 9. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  x, y  x 6, trục hoành là:

A 22

10

53

23

5 .

Lời giải

Chọn A

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

Diện tích cần tìm là:  

22 6

3

   

Câu 10. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị các hàm số

ln



y x, y 1, y 1 x.

A. e 3

2

 

S B. e 1

2

 

S C. e 1

2

 

S D. e 3

2

 

Lời giải Chọn A

Ta có

     

e

2

2

x x  x  x  x e

1

2



   x x x

e

1

1 2

2

 

Câu 11.Diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường y 2 ,x y x3 và

1



y là:

A 1 1

ln 2 2

ln 2

S

C 47

50



ln 2

Lời giải

Chọn A

Xét phương trình hoành độ giao điểm của các đường Ta có:

2x  x 3 x1; 2x  1 x0;  x  3 1 x2

x

Câu 12.Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên  , đồ thị hàm 

 





, , ,

A f  2  f 1  f  0 . B f  0  f 1  f  2 .

C f  0  f  2  f 1. D f 1  f  0  f  2 .

Lời giải Chọn B

Gọi S S1, 2 là diện tích của các phần giới hạn như hình vẽ.

0 1 1





2

Mà S1S2  f  0  f 1 f  0  f  2  f 1  f  2 .

Vậy f  0  f 1  f  2 .

Câu 13.Cho hàm y F x là một nguyên hàm của hàm số    yf x , biết đồ 

thị hàm số y f x trên đoạn   2; 2 như hình vẽ ở bên dưới và có diện tích 1 2 22, 3 76

S S S Giá trị củaF 2 F 1  F 1  F 2

bằng

A 36

5



I B 32

15



I C 18

5



I D 32

15



Lời giải Chọn A

Ta có:      

2

2 1

22

15

     

1

3 1

76

15



     

1

1 2

22

15





Vậy có: F 2  F 1 2F 1  F1 F1 F2

2

Câu 14.Một vòng xuyến ở ngã tư thành phố X có dạng hình tròn đường kính

4



AB m Công ty cây xanh thiết kế phần trồng hoa giấy ở giữa hai đường parabol có trục đối xứng vuông góc với đường kính AB tại tâm của hình tròn và cắt AB tại điểm C C,  thỏa mãn BC 1m (phần tô đậm) Phần còn lại của vòng xuyến thiết kế trồng hoa cúc Chi phí để trồng hoa giấy và hoa cúc lần lượt là 200.000 đồng/m2 và 100.000 đồng/m2

Hỏi chi phí để trang trí vòng xuyến theo thiết kế gần nhất với số tiền nào dưới đây (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng) ?

A. 1.523.000 đồng B 1.532.000 đồng

C 1.790.000 đồng D 1.980.000 đồng

Lời giải Chọn C

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Giả sử phương trình của parabol phía trên trục hoành là

 P y ax:  2 bx c a b c , , ,a0

Dễ có  P có đỉnh là 0;2 và đi qua điểm  1;0 

Ta có hệ phương trình

  2

P y x

Khi đó phương trình của parabol phí dưới trục hoành có phương trình là

2

Diện tích phần trồng hoa giấy là: 1 2   2

1

16

3



Diện tích phần trồng hoa cúc là: 16  2

3

Chi phí để trang trí vòng xuyến theo thiết kế là:

.200000 4 .100000 1.790.000

Câu 15.Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có hình dạng parabol, chiều

rộng 8m, chiều cao 12,5mvà được lắp kính Biết mỗi m kính có giá2

là 300000 đồng Số tiền để lắp kính cho vòm cửa là

A 30000000 đồng B 60000000 đồng.

C 10000000 đồng D 20000000 đồng

Lời giải Chọn D

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ: Khi đó parabol có phương trình dạng

2

y ax c Vì  P đi qua đỉnh I0;12,5 nên ta có c12,5

 P cắt trục hoành tại hai điểm A4;0 và B4;0 nên ta có

0 16 a c 25



  c 

Diện tích của cổng là:

4

2

4

25

12,5 d 32





m 3

Số tiền để lắp kính cho vòm cửa là: 200.300000 20000000

Câu 16.Một mảnh vườn hình chữ nhật với diện tích 200m Người ta muốn2

trồng hoa trên mảnh vườn đó theo hình một parabol bậc hai sao cho đỉnh của parabol trùng với trung điểm một cạnh của mảnh vườn như hình vẽ bên Biết chi phí trồng hoa là 300 ngàn đồng cho mỗi mét vuông Xác định chi phí trồng hoa cần có cho mảnh vườn trên?

A 30 triệu đồng B 60 triệu đồng.

C 50 triệu đồng D 40 triệu đồng

Lời giải Chọn D

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là m, chiều rộng là n (m n 0).

Ta có diện tích hình chữ nhật là S mn 200  m2 .