Sử dụng máy tính casio để giải các bài toán trắc nghiệm về tích phân

Với mong muốn giúp đa số các em học sinh lớp 12 nắm vững các kiếnthức cơ bản về Tích phân đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiếnthức đó để giải quyết nhiều tình huống khác n

TRƯỜNG THPT CẨM THỦY III



SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO ĐỂ GIẢI CÁC BÀI

TOÁN TRẮC NGHIỆM VỀ TÍCH PHÂN

Người thực hiện: Hoàng Văn Hiếu Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2020

PHẦN I MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

PHẦN II NỘI DUNG Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN 2

Chương 2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ 3

Chương 3 GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN 5

I Kiến thức cơ sở 5

1.1 Kiến thức cơ bản về tích phân 5

1.2 Kiến thức sử dụng máy tính căn bản cần biết để chinh phục bài thi trắc nghiệm 5

II Một số kĩ thuật giải nhanh và tư duy casio trong bài toán Tích phân 7

2.1 Đối với các bài toán Tích phân đơn giản, không chứa biến 7

2.2 Các bài toán trắc nghiệm Tích phân chứa biến 8

Chương 4 THỰC NGHIỆM 17

PHẦN III KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 1 Kết luận 19

2 Đề xuất 19

PHẦN I MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Bài toán Nguyên hàm - Tích phân là một trong những câu không thể thiếutrong bất kì đề thi nào dành cho học sinh khối 12, đặc biệt là kỳ thi THPT Quốcgia

Từ năm 2017, khi thay đổi cách thi đối với môn Toán từ tự luận sang trắcnghiệm thì những câu hỏi như tìm Nguyên hàm của hàm số hay tính Tíchphân… luôn là những câu dễ kiếm điểm đối với học sinh Tuy nhiên một số câu

về Tích phân có kết quả còn chứa hai, ba biến và yêu cầu tìm quan hệ giữa cácbiến đó là câu không hề đơn giản đối với học sinh Do việc giải theo hình thức

tự luận chiếm một thời gian tương đối nhiều mà thời gian để làm một câu trắcnghiệm rất ít, trung bình chỉ 1,8 phút/ 1 câu

Với mong muốn giúp đa số các em học sinh lớp 12 nắm vững các kiếnthức cơ bản về Tích phân đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiếnthức đó để giải quyết nhiều tình huống khác nhau trong khoảng thời gian ngắn,

tôi chọn đề tài: “Sử dụng máy tính casio để giải các bài toán trắc nghiệm về

Tích phân”

2 Mục đích nghiên cứu

Giúp học sinh nắm vững các khái niệm và các tính chất cơ bản của Tíchphân đặc biệt là kĩ năng sử dụng máy tính casio để giải quyết các bài toán vàtình huống cụ thể

3 Đối tượng nghiên cứu

4 Phương pháp nghiên cứu

Kết hợp linh hoạt các phương pháp dạy học

Phỏng vấn trình độ nhận thức, kỹ năng giải toán của học sinh

Tổng kết kinh nghiệm, tìm ra những khó khăn, thuận lợi khi giải quyếtcác bài toán ở những lớp trước

PHẦN II NỘI DUNG Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN

Tích phân là một khái niệm rất quan trọng trong toán học và có nhiều ứngdụng trong các khoa học thực nghiệm cũng như trong thực tiễn cuộc sống Cóthể hiểu đơn giản tích phân như là diện tích hoặc diện tích tổng quát hóa Giả sửcần tính diện tích một hình phẳng được bao bởi các đoạn thẳng, ta chỉ việc chiahình đó thành các hình nhỏ đơn giản hơn và đã biết cách tính diện tích như hìnhtam giác, hình vuông, hình thang, hình chữ nhật Tiếp theo, xét một hình phứctạp hơn mà nó được bao bởi cả đoạn thẳng lẫn đường cong, ta cũng chia nóthành các hình nhỏ hơn, nhưng bây giờ kết quả có thêm các hình thang cong.Tích phân giúp ta tính được diện tích của hình thang cong đó

Chủ đề Tích phân chiếm một vị trí quan trọng toán từ trung học phổ thôngđến chương trình đại học ở các nước Có rất nhiều vấn đề liên quan đến Tíchphân, trong đó phép tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay là nhữngứng dụng thực tiễn rất hiệu quả mà những phép tính khác rất khó giải quyết

Để có thể học tốt tích phân, học sinh phải nắm vững các khái niệm và cáckiến thức cơ bản của Nguyên hàm và Tích phân, đồng thời phải biết vận dụngcác kiến thức đó để giải quyết các bài toán và tình huống cụ thể Qua thực tiễngiảng dạy cho học sinh lớp 12 chương trình cơ bản môn Toán, tôi nhận thấy: đa

số các em chưa hiểu thấu đáo về khái niệm Tích phân và các tính chất, phần lớncác em học sinh chỉ tính được tích phân của các hàm đơn giản còn những hàm

số phức tạp hơn thì các em học sinh chưa biết sử dụng linh hoạt các kiến thức đểgiải quyết các tình huống cụ thể hoặc có một số ít biết tính nhưng cần nhiều thờigian

Mặt khác, trong chương trình giải tích 12 phần kiến thức về Tích phânchỉ được trình bày rất ít và hạn hẹp Hơn nữa do số tiết phân phối chương trìnhcho phần này ít, đặc biệt năm nay học sinh nghỉ học kéo dài do dịch bệnh coronanên trong quá trình giảng dạy, các giáo viên không thể đưa ra được nhiều bài tập

để hình thành kỹ năng giải cho học sinh Trong sách giáo khoa giải tích 12 cóđưa một vài ví dụ về việc tìm tích phân của hàm số nhưng các hàm đưa ra chủyếu ở dạng cơ bản, một khi thay bằng các dạng khác thì học sinh gặp không ítkhó khăn Do vậy khi gặp những bài toán tích phân của các hàm số phức tạp,học sinh không biết bắt đầu từ đâu và bắt đầu như thế nào

Trong đề tài này tôi đề cập đến việc “Sử dụng máy tính casio để giải các

bài toán trắc nghiệm về tích phân” theo hai bài tập cụ thể:

- Tìm tích phân của một hàm số

- Tìm tích phân của hàm số có chứa biến

Chương 2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ

Học sinh trường THPT Cẩm Thủy 3 đa số là người dân tộc thiểu số nhận

thức còn chậm, chưa hệ thống được kiến thức Khi gặp các bài toán có chứa

tham số, các em chưa phân loại và định hình được cách giải, lúng túng và

thường bỏ qua những bài tập dạng này

Đặc biệt, từ năm 2017 đến nay việc tổ chức thi trắc nghiệm đối với bộ

môn toán đã khiến nhiều học sinh có tư tưởng làm tù mù, không thực sự tập





C. 4 D.0

( Trích đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 )

Tuy bài này khá đơn giản nhưng cũng có nhiều em sẽ khoanh tù mù vì

đụng đến tích phân hàm lượng giác thì các em không nhớ các phép biến đổi

lượng giác nên thường lúng túng trong làm bài.

Đa số học sinh sẽ giải trực tiếp bằng cách sử dụng các kiến thức tích

( Trích đề thi THPT Quốc Gia năm 2019 )

Với bài này thì số học sinh khoang tù mù còn nhiều hơn nữa

Một số học sinh khác nắm tương đối tốt về tích phân thì sẽ giải:

   

Chọn đáp án C.

Nhận xét: Các bài toán trên không khó nếu học sinh hiểu được các kiến thức

về nguyên hàm, tích phân cộng với nhớ các phép biến đổi lượng giác Tuy nhiênviệc giải như vậy không nhiều học sinh làm được và có làm được cũng mất khánhiều thời gian

c Khi gặp bài toán: Cho

 C

10

3 D

5

3

( Trích đề thi THPT chuyên đại học Vinh năm 2018-2019)

Nhận xét: Nếu gặp bài toán này thì phần lớn học sinh sẽ gặp khó khăn vì đây là

tích phân hàm vô tỷ đồng thời kết quả chứa những ba biến, nhiều học sinh sẽ bị ngợp khi gặp bài này Do đó các em không biết bắt đầu từ đâu? Bắt đầu như thếnào ???

Với một bộ phận học sinh học tốt thì các em có thể hoàn thành nhưng tốnkhông ít thời gian:

Đặt t 3x , ta có 1 3x t 2 1 nên 3dx2tdt

2 2 1

2

tdt I

Do đó

103

a b c  

.

Chương 3 GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN

Để học sinh có thể nắm kiến thức và làm được các bài tập về tích phân

một cách thành thạo và linh hoạt, ta cần cung cấp cho học sinh một hệ thống kiến thức làm cơ sở.

I Kiến thức cơ sở

1.1 Kiến thức về tích phân

1.1.1 Định nghĩa

Cho hàm f x( ) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử ( )F x là một

nguyên hàm của f x( ) trên [a; b]

Nhận xét: Theo định nghĩa thì để học sinh làm tốt tích phân thì giáo viên

phải hình thành, rèn luyện cho học sinh kỹ năng tính nguyên hàm

1.1.2 Tính chất của tích phân

Hướng dẫn học sinh tính theo 3 phương pháp cơ bản:

 Phương pháp 1: Dựa vào bảng nguyên hàm

 Phương pháp : Phương pháp đổi biến

 Phương pháp 3:Phương pháp tích phân từng phần

1.2 Kiến thức sử dụng máy tính căn bản cần biết để chinh phục bài thi trắc nghiệm tích phân.

1.2.1 Những quy ước mặc định

- Các phím chữ màu trắng thì ấn trực tiếp.

- Các phím chữ màu vàng thì ấn sau phím SHIFT.

- Các phím chữ màu đỏ thì ấn sau phím ALPHA.

1.2.2 Bấm các kí tự biến số

Bấm phím ALPHA kết hợp với các phím chứa biến như: A, B, ,X, , M,

1.2.3 Công cụ CALC để thay số

Phím CALC có tác dụng thay số vào một biểu thức.

Ví dụ: Tính giá trị của hàm số

2-x 102

x y

1.2.4 Công cụ tính giá trị hàm số tại vài điểm

Sử dụng chức năng table trên casio Ta có thể dùng chức năng này để tính giá trị của một hoặc hai hàm số tại vài điểm ( Tối đa 30 điểm ).

Để tính giá trị của hàm số tại một số điểm: Cài đặt bằng các bấm phímSHIFT MODE (SETUP), tiếp theo bấm REPLAY xuống, chọn 5 (TABLE), máyhỏi Select Type, chọn 1 tương ứng với yêu cầu tính giá trị của một hàm số tạimột số điểm

Sau khi cài đặt xong ta vào chế độ tính bằng cách bấm:

Bước 1: MODE 7, nhập hàm cần tính

Bước 2: Start – nhập mốc x bắt đầu từ đâu

Bước 3: End – nhập mốc x kết thúc từ đâu

Bước 4: Step – bước nhảy là khoảng cách giữa các điểm đầu mút

Bấm = ta được bảng cần tính

I 

II Một số kĩ thuật giải nhanh và tư duy casio trong bài toán tích phân

2.1 Đối với các bài toán không chứa tham số

Với những bài tập không chứa tham số, thường là những bài tập đơn giản,

đa phần học sinh thường giải nhanh tự luận rồi tính Tuy nhiên cách này cũng

mất khá nhiều thời gian để tính toán và học sinh cũng rất dễ nhầm lẫn trong quá

trình tính Ở đây tôi đưa ra các bài tập cụ thể, giải bằng cách thông thường đến

cách vận dụng máy tính casio trong quá trình tính toán

Bài toán 1 Tích phân

1

dx I

Đối với tích phân hàm vô tỷ, trong đó có chứa căn bậc hai của biểu thức

bậc nhất, ta đặt t bằng căn bậc hai của biểu thức đó

C. 4 D.0

(Đề minh họa BGD&ĐT năm 2017)

Giải: Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm, tôi trình bày cách sử dụng máy

tính casio cho bài tập này

ra còn có chứa các biến số Khi đó giải tự luận càng khó khăn hơn

2.2 Các bài toán trắc nghiệm về tích phân chứa biến số.

Ta biết, máy tính casio có thể tính được giá trị của hàm số tại nhiều điểmbằng chức năng table (MODE 7) và chức năng này lại có hỗ trợ cho chức năng

tính tích phân của hàm số Lợi dụng ưu điểm này, ta giải quyết bài toán “Tìm

mối quan hệ của các biến được cho trong bài toán tích phân ” Ta sẽ chia

thành hai trường hợp như sau:

2.2.1.Trường hợp 1:

+)Bước 1: Sử dụng casio tính tích phân mà đề bài đưa ra.

+)Bước 2: Mũ hóa hai vế với cơ số e, từ đó ta sẽ tìm ra kết quả.

Cụ thể ta xét một số bài toán sau:

Bài toán 3 Cho

1 0

I

 Vậy a2,b1do đó a2b 0

Bước 3: Bấm tiếp eA, ấn dấu " = " được

kết quả e  I 1,220522444 Kết quả này

không thỏa mãn

Bấm tiếp e2A, ấn dấu "=" được kết quả

e 2I 1,489675037

Kết quả này không thỏa mãn

Bấm tiếp e3A, ấn dấu "=" được kết quả

2 5.1111

    , ta dùng casio tính I  f x dx( ) rồi lấy mũ

hai vế cơ số e Tùy theo đáp án đưa ra mà dự đoán dạng số của a, b, c để tính eIvới  là các số tự nhiên

Bài toán 5 Cho

ln 6

x x

Giải: Lợi thế của bài toán này là các biến a, b, c là các số nguyên nên quá

trình tính toán bằng casio cũng rất thuận lợi

Sau đó lưu vào phím A.

Bước 2:Vào MODE 7 nhập vào hàm số

( ) A X

F X e 

( ở đây A là kết quả tích phân, x là biến a)

Tiếp tục: START -10

END -10

Nhận xét: Với cách làm trên ta thấy casio cho kết quả rất nhanh Bên cạnh đó

với bài toán trên ta có thể làm theo cách sau:

2.2.2.Trường hợp 2.

+ Bước 1 : Tính tích phân rồi lưu vào phím A.

+ Bước 2 (Lập hàm): Từ kết quả bài toán, ta rút một ẩn thế vào tích phân Khi

đó ta có biểu thức chứa hai biến, rút một biến theo biến còn lại ta được một hàmsố

+ Bước 3 (Nhập hàm và thực hiện dò): Đây là bước rất quan trọng – là bước tư duy quyết định.

Để quá trình bấm máy thuận lợi hơn ta cài đặt lại MODE 7 trong casio như

khi nhập hàm, casio chỉ còn xuất hiện hàm số f(x)

Ta xét lại bài toán 5: Cho

ln 6

x x

Suy ra

ln23ln

Sau đó lưu vào phím A

Bước 2: Vào MODE 7, nhập vào hàm số

ln2( )

3ln

+) Thay T = -1 vào hàm F(X) trong

MODE 7 Sau đó bấm phím , casio

hiện START? , ta nhập vào -10

+) Thay T = 0: Ta lập lại quy trình như

cũ bằng phím để thay T=0, được

hàm số F(X) và tiếp tục quá trình bấm

máy như trường hợp trên thì ta được một

phần của bảng như hình bên

Nhận xét : Nếu T = 0 không thỏa mãn, ta tiếp tục với các trường hợp còn lại.

Nhận xét : - Bài toán trên trình bày khá chi tiết về việc phân tích và quy trình

bấm máy, gây cảm giác phức tạp Tuy nhiên khi các em học sinh đã quen cáchbấm máy thì việc làm này trở nên đơn giản hơn

- Với cách làm thứ hai không " đẹp " như cách thứ nhất nhưng nó cóthể giải quyết được những bài mà cách thứ nhất không xử lý được

Bài toán 6: Cho

 C

Ta đặt a b c M   (Ở đây M là các đáp án) Ta rút a M b c   , thế vào

tích phân ban đầu

5ln2

M 

ta được như hình bên

Tiếp đến ấn dấu "=", start - 10

Nhận thấy không có giá trị của F(x)

hữu tỉ Ta lập lại quy trình như cũ bằng

a b c  

Vậy đáp án của bài toán là A.

Nhận xét: Một câu hỏi đặt ra là trong quá trình bấm máy ta chọn START, END,

STEP như thế nào để quá trình dò được thuận lợi hơn? Thứ nhất, thông thường

ta hay dò trong vùng từ -10 đến 10 hay có thể mở rộng ra từ -20 đến 20 Thứ hai,

ta dựa vào kết quả bài toán để dự đoán kết quả các biến Trong bài này ta có thể

dự đoán a, b, c có thể ở dạng phân số có mẫu bằng 3 nên chọn STEP là

T 

ta có hàm số F(X)START -10

Nhận thấy không có kết quả thỏa mãn.

Qúa trình vẫn không được

+) Tương tự thay

32

T 

cũng không được

+) Thay

12

T 

và tiếp tục như trên thì

ta nhận thấy trong bảng có một giá trị

thỏa mãn như hình bên

T 

Chọn đáp án C

Nhận Xét: Dựa vào đáp án ta dự đoán a, b, c có thể ở dạng phân số có mẫu là

2 nên ta thử với STEP là

1

2

THỰC NGHIỆM

1 Khảo sát thực tế

Trước khi thực hiện đề tài, cuối năm 2019 tôi đã khảo sát chất lượng củahọc sinh 12 thông qua kiểm tra viết gồm 2 bài toán :

Bài toán 1:Tính tích phân không có tham số.

Bài toán 2:Tính tích phân trong trường hợp có biến số.

Kết quả như sau:

Chất lượng bài giải của học sinh thấp, kĩ năng giải toán dạng này yếu

2 Các bước thực hiện đề tài

Bước 1: Hệ thống hóa các kiến thức các khái niệm cơ bản như: nguyên hàm,

tích phân, tích chất của tích phân

Bước 2: Đưa ra một số ví dụ điển hình hướng dẫn học sinh phân tích và giải

bài toán

Bước 3: Rèn luyện kĩ năng giải các bài tập cho học sinh thông qua một số bài

tập bổ sung nâng cao Gợi mở cho học sinh những hướng phát triển, mở rộng bàitoán

Một số hình ảnh của tiết thực hành giải toán tích phân trên casio

Một số hình ảnh của tiết thực hành giải toán tích phân trên casio

3 Kết quả sau khi thực hiện đề tài

Sau khi thực hiện đề tài tại lớp 12,đầu năm 2020 tôi đã khảo sát chấtlượng của học sinh thông qua kiểm tra viết gồm 2 bài toán:

Bài toán 1:Tính tích phân không có tham số.

Bài toán 2:Tính tích phân trong trường hợp có biến số.

Kết quả như sau:

Nhận xét: Qua kết quả của kiểm tra, đánh giá thì ta nhận thấy khả năng giải

toán của học sinh có cải thiện đáng kể

PHẦN III KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT

1 Kết luận

Trước hết, đề tài này nhằm cung cấp cho các thầy cô giáo và các em họcsinh như một tài liệu tham khảo Với lượng kiến thức nhất định về tích phân vànhững kiến thức liên quan, người học sẽ có cái nhìn sâu sắc hơn về nguyên hàm,tích phân của hàm số Đồng thời, qua những bài tập rút ra cho mình những kinhnghiệm và phương pháp giải toán cho riêng mình; người học có thể quay trở lại

để kiểm chứng những lý thuyết đã được trang bị để làm toán Từ đó thấy được

sự lôgic của toán học nói chung và tích phân cũng như ứng dụng của tích phânnói riêng, thấy được việc sử dụng máy tính casio là một công cụ rất "mạnh" đểgiải quyết rất nhiều bài toán về tích phân; hơn nữa, những bài toán được giảibằng casio thì thời gian để làm được bài toán ngắn gọn hơn

Tôi hy vọng rằng đề tài này có thể áp dụng để cải thiện phần nào chấtlượng bộ môn, củng cố phương pháp giải toán, góp phần nâng cao chất lượngdạy và học, giúp học sinh hiểu rõ hơn bản chất của các khái niệm, định nghĩa,định lí cũng như những kiến thức liên quan đã được học, giúp các em tránh khỏilúng túng trước một bài toán đặt ra

2 Đề xuất

Bài toán về tích phân của hàm số là những bài toán tương đối khó, hầu hếthọc sinh đều gặp khó khăn khi tiếp cận với bài toán này Để giúp học sinh nắmvững các kiến thức cơ bản về tích phân đồng thời biết vận dụng một cách linhhoạt các kiến thức đó để giải quyết nhiều tình huống khác nhau tôi xin nêu một

số giải pháp đề nghị sau:

a Hệ thống hóa các kiến thức cơ bản như: khái niệm nguyên hàm, tích phân,

mối liên hệ mật thiết giữa nguyên hàm với tích phân, các kiến thức cơ bản vềmáy tính casio Sau đó hướng dẫn học sinh làm các bài tập về tích phân bằng haicách: tự luận và giải bằng máy, để học sinh thấy được sự tối ưu trong việc sửdụng công nghệ vào giải toán Tuy nhiên cũng cần lưu ý cho học sinh: nắm chắckiến thức cơ bản, máy tính chỉ là công cụ hỗ trợ, muốn làm đúng và chính xáccần có tư duy toán học

b Rèn luyện kĩ năng giải các bài tập cho học sinh thông qua các bài tập bổ sung

từ cơ bản đến nâng cao Gợi mở cho học sinh những hướng phát triển, mở rộng bàitoán

Trên đây là một số ý kiến nhỏ của tôi qua quá trình giảng dạy bài toán vềtích phân ở lớp 12 THPT Vì thời gian nghiên cứu có hạn nên không tránh khỏisai sót Rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô giáo và các em học sinh

Xin chân thành cảm ơn!