Nếu có thói quen thờng xuyên khai thác mỗi bài toán trong sách giáo khoa bằng việc đi tìm những lời giải khác nhau hoặc khai thác, tìm kiếm các kết luận mới từ hình vẽ của lời giải sẽ gi
Trang 1I Đặt vấn đề
Tìm tòi và sáng tạo là những đức tính rất cần thiết của học sinh để có thể học tập tốt các môn học nói chung và môn toán nói riêng Vì thế trong quá trình giảng dạy tôi luôn mong muốn bồi dỡng cho học sinh năng lực t duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề và tạo hứng thú học tập cho các em
Nếu có thói quen thờng xuyên khai thác mỗi bài toán trong sách giáo khoa bằng việc đi tìm những lời giải khác nhau hoặc khai thác, tìm kiếm các kết luận mới
từ hình vẽ của lời giải sẽ giúp ta có đợc nhiều kết quả thú vị Qua đó nhằm phát hiện
và bồi dỡng năng lực toán cho học sinh
Chính ví thế tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm:
"Khai thác một hình vẽ để giải một số bài toán hình tứ diện
trong SGK Hình học 11".
II Nội dung
1 Cơ sở lí luận
Thông qua khai thác, tìm hiểu để rồi từ đó phát triển một bài toán sẽ giúp rèn luyện t duy lôgic, khả năng phân tích tổng hợp, trí tởng tợng phong phú và óc sáng tạo cho học sinh
2 Thực trạng của vấn đề.
a) Thuận lợi:
- Hình học không gian là môn học mới đối với học sinh lớp 11 vì nó có nội dung mới và phong phú hơn so với hình học phẳng Nó rèn luyện cho học sinh trí t-ởng tợng không gian thông qua các hình ảnh, mô hình cụ thể theo con đờng từ t duy trực quan sang t duy trừu tợng
- Trong SGK Hình học 11 bài tập về hình tứ diện rất nhiều, tuy nhiên trong số
đó có nhiều bài chỉ khác nhau về một đơn vị kiến thức nào đó Những bài này nếu học sinh biết khai thác sẽ thấy chúng có mối liên hệ với nhau
b) Khó khăn
- Môn hình học không gian đòi hỏi học sinh phải có trí tởng tợng, có kiến thức tốt về hình học phẳng
- Trong hình học không gian có rất nhiều kiến thức mới đòi hỏi học sinh phải nhớ, phải hiểu mới có thể vận dụng làm bài đợc
Chính điều đó gây ra khó khăn cho không ít học sinh trong môn học này
3 Biện pháp tiến hành
Trong giảng dạy tôi luôn:
- Tích cực làm mô hình hỗ trợ cho các bài giảng
- Tích cực ứng dụng CNTT vào các bài giảng
- Lựa chọn các ví dụ minh hoạ sinh động, thực tế phục vụ cho bài giảng
- Hớng dẫn học sinh tìm hiểu sâu sắc mỗi bài toán, mỗi hình vẽ để có thể liên hệ tới các bài toán khác
Sau đây là một trong những hoạt động nhằm tạo hứng thú học tập, nghiên cứu của học sinh mà tôi đã làm: (ở dây là hoạt động hớng dẫn học sinh tìm hiểu
Trang 2Bài 1 (VD1 trang 85 SGK HH11 NC)
Giải
* Yêu cầu học sinh tìm một lời giải khác ?
Gợi ý: "Từ giả thiết về hai điểm M, N và kết luận của bài toán ta nghĩ tới tính chất của đờng trung bình trong tam giác và MN là đờng trung bình đó."
Từ đó ta có cách giải khác nh sau:
* Tiếp tục hớng dẫn học sinh khai thác các yếu tố của hình vẽ 2
Có đợc hình vẽ 2 rồi, không dừng lại ở đó, tìm hiểu thêm ta sẽ đợc nhiều kết quả khác
- Khai thác đờng trung bình MN của tam giác ABE
Ta có MN song song với mp(ADE) mà mp này cũng song song với BC từ đó ta đợc lời giải bài toán khác sau đây:
Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lợt là trung điểm của AB và CD
MN= AD BC+ = AC BD+ uuuur uuur uuur uuur uuur
Gọi E là đỉnh thứ ba của hình bình hành BCED.Khi đó N
là tâm của hình bình hành BCED
Do M là trung điểm của AB, N là trung điểm của BE, do
đó MN là đờng trung bình của tam giác ABE
Suy ra: 1 .
2
MN = AE
uuuur uuur
(1)
Sử dụng quy tắc 3 điểm, ta có
.
AE AD DE
AE AC CE
= +
= +
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur (2)
Mà BCED là hình bình hành nên
DE BC CE BD= =
uuur uuur uuur uuur
(3) Từ (1), (2), (3) suy ra:
MN= AD BC+ = AC BD+
uuuur uuur uuur uuur uuur
A
B
C
D
N M
Hình 1
A
B
C
D
E N
M
Hình 2
* Cách giải của SGK
Sử dụng quy tắc ba điểm , ta có
MN =MA AD DN+ +
uuuur uuur uuur uuur
,
MN =MB BC CN+ +
uuuur uuur uuur uuur
Do MA MBuuur uuur r+ = 0 và uuur uuur rDN CN+ = 0
2
MN = AD BC+
uuuur uuur uuur
Tơng tự nh trên, ta có
1( )
2
MN = AC BD+
uuuur uuur uuur
Trang 3
Bài 2 (Bài toán 1 trang 87 SGK HH11 NC)
Giải
sử dụng hình vẽ 2
- Với việc tạo ra hình bình hành BCED, ta nhận thấy mối quan hệ giữa AC và BD, giữa AD và BC đợc tìm hiểu thông qua mối quan hệ giữa AC và CE, AD và DE thuận lợi hơn nhiều Sau đây là một ví dụ
Bài 3 (VD1 trang 86 SGK HH11 CB)
Giải
Sử dụng hình vẽ 3
Do BCED là hình bình hành nên
BD CE AC BD AC CE AE
BC DE AD BC AD DE AE
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Từ đó suy ra: uuur uuur uuur uuurAC BD AD BC+ = + (đpcm)
- Khai thác hai tam giác ACE và ADE
Hai tam giác ACE và ADE có chung cạnh AE
Gọi P là trung điểm của đoạn AE, nối C với P,
nối D với P, nối P với N Ta đợc hình vẽ 4
Ta nhận thấy PN//AB vậy quan hệ vuông góc
giữa AB và CD đa về quan hệ giữa PN và CD,
mà PN là trung tuyến của tam giác CPD, do đó
lại liên quan tới hai cạnh CP, DP là hai trung
tuyến của hai tam giác ACE và ADE
Khi đó ta có đợc lời giải các bài toán sau đây:
Cho tứ diện ABCD Gọi M và N lần lợt là trung điểm của AB và
CD Chứng minh rằng ba vectơ uuur uuuur uuurBC MN AD, ,
đồng phẳng
Ta có BC // DE nên BC // (ADE), MN// AE nên MN
// (ADE) Do đó mp(ADE) chứa đờng thẳng AD và
song song với các đờng thẳng BC và MN Từ đó suy
ra ba đờng thẳng BC, MN, AD cùng song song với
một mặt phẳng Do đó ba vectơ BC MN ADuuur uuuur uuur , ,
đồng phẳng
A
B
C
D
E N
M
Hình 2
Cho tứ diện ABCD Chứng minh: uuur uuur uuur uuurAC BD AD BC+ = + .
A
B
C
D
E
N
Hình 3 A
B
C
D
E P
N
Trang 4Bài 4 (Bài 20 trang 103 SGK HH11 NC)
Giải
Bài 5 (Bài 20 trang 103 SGK HH11 NC)
Giải
Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối vuông góc
thì cặp cạnh đối còn lại cũng vuông góc (Tứ diện nh thế gọi là tứ
diện trực tâm)
Cho tứ diện ABCD Chứng minh rằng các mệnh đề sau đây là
t-ơng đt-ơng
a) ABCD là tứ diện trực tâm
b) AB2 + CD2 = AC2 + BD2 = AD2 + BC2
Ta sử dụng hình vẽ 4 nh trên.
Ta luôn có AB PN/ / Khi đó
AB CD⊥ ⇔PN ⊥CD (mà PN là trung tuyến của ∆CPD)
⇔ ∆CPD cân tại P
⇔PC PD=
⇔PC2 =PD2 (mà PC và PD lần lợt là hai đờng trung tuyến của
ACE
∆ và ∆ADE)
AC +CE AE AD +DE AE
⇔ + = + (mà CE BD= và DE BC= )
2 2 2 2
Tơng tự nh trên ta cũng có
Vậy hai mệnh đề đã cho là tơng đơng (đpcm)
Không mất tính tổng quát giả sử tứ diện ABCD có
AC⊥BD và AD⊥BC Ta phải chứng minh AB CD⊥
Sử dụng hình vẽ 4
Có AD⊥BC mà BC/ /DE suy ra AD⊥DE Vậy tam giác
ADE vuông tại D, mà DP là trung tuyến nên 1 .
2
DP= AE
(1)
Tơng tự, AC⊥BD mà BD CE/ / suy ra AC⊥CE Vậy tam
giác ACE vuông tại C, mà CP là trung tuyến nên
1
.
2
CP= AE (2)
Từ (1), (2) suy ra CP DP= do đó tam giác CPD cân tại P
Khi đó trung tuyến PN đồng thời là đờng cao Vậy
.
PN ⊥CD (3)
Trong tam giác ABE có PN là đờng trung bình nên
PN AB (4)
Từ (3), (4) suy ra AB CD⊥ (đpcm)
A
B
C
D
E
P
N
Hình 4
Trang 5- Trong hình vẽ 4 gọi M là trung điểm của AB, ta đợc hình vẽ 5 (dới đây) lại khai thác
đờng trung bình MN của tam giác ABE ta thấy MN//AE vì thế mối quan hệ giữa MN với AB và CD đa về mối quan hệ giữa AE với AB và CD, đợc thể hiện qua bài toán
sau đây:
Bài 6 (Bài 35 trang 118 SGK HH11 NC)
Giải
Bài 7 (Bài 9 trang 96 SGK HH11 NC)
Giải
Cho tứ diện ABCD, Chứng minh rằng nếu AC = BD, AD = BC thì đờng
vuông góc chung của AB và CD là đờng nối trung điểm của AB và CD
Điều ngợc lại có đúng không?
Ta sử dụng hình vẽ 5 ở bên.
Gọi M, N lần lợt là trung điểm của AB và CD
Ta có
AC = BD, AD = BC nên AC = CE, AD = DE do đó tam
giác ACE cân tại C và tam giác ADE cân tại D Suy ra
các trung tuyến CP và DP cùng vuông góc với AE Suy
ra AE⊥ (CPD) ⇒AE⊥PN AE, ⊥CD.
Mà AE MN PN/ / , / /AB⇒MN ⊥AB MN, ⊥CD.
Điều ngợc lại cũng đúng, tức là nếu MN là đờng vuông
góc chung của AB và CD với M, N lần lợt là trung điểm
của AB và CD thì AC = BD và AD = BC
Thật vậy, có các lập luận ở phần trên theo chiều ngợc
lại vẫn đúng, suy ra đpcm
Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA SB SC= = và ãASB BSC CSA= ã = ã
Chứng minh rằng SA⊥BC, SB⊥AC, SC⊥AB.
Ta sử dụng hình vẽ 5 '(ở bên).
Chứng minh SA⊥BC
Từ giả thiết suy ra ΔSAB = ΔSAC (c-g-c) =>
AB = AC mà ABEC là hình bình hành nên
suy ra BE = CE từ đó suy ra ΔSBE = ΔSCE
(c-c-c) => BP = CP (hai trung tuyến tơng
ứng) => ΔCPB cân tại P => trung tuyến PN
đồng thời là đờng cao => PN ⊥BC mà SA //
PN => SA⊥BC
Vẽ hình tơng tự và chứng minh tơng tự ta
cũng đợc SB⊥AC, SC⊥AB.(đpcm)
A
B
C
D
E
P
N M
Hình 5
S
A
B
C
E
P
N M
Hình 5'
Trang 6Bài 8 (Bài 8 trang 98 SGK HH11 CB)
Giải
* Sau đây là một số bài toán khác có thể giải đợc nhờ khai thác hình vẽ nh đã nói ở trên:
Bài 9 (Bài 8 trang 120 SGK HH11CB)
Bài 10 (VD3 trang 123 SBT HH11 CB)
Bài 11 (Bài 3.23 trang 139 SBT HH11CB)
* Với việc tìm hiểu sâu sắc hình vẽ đã nêu ở trên tôi còn thấy khi làm một số
bài tập về hình chóp có đáy là hình bình hành các em đã tìm ra nhiều lời giải hay
Cho tứ diện ABCD, có AB AC= =AD và BAC BADã =ã = 60 0 Chứng
minh rằng
a) AB⊥CD;
b) Nếu gọi M , Nlần lợt là trung điểm của ABvà CD thì MN ⊥ AB
b) Từ giả thiết ta có ∆ABC và ∆ABD là hai tam
giác đều bằng nhau nên AC BC= =AD BD= ⇒
,
AC CE= AD DE= ⇒ ∆ACE cân tại C, ∆ADE
cân tại D
mà MN/ /AE PN, / /AB⇒MN ⊥CD MN, ⊥AB.
Sử dụng hình vẽ 5
a) Chứng minh tơng tự nh bài 7
A
B
C
D
E
P
N M
Hình 5
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối của
tứ diện đều đó
Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là hai tam giác đều
a) Chứng minh rằng AB và CD vuông góc với nhau
b) Gọi M, N, P, Q lần lợt là trung điểm của các cạnh AC, BC, BD, DA
Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình chữ nhật
Cho tứ diện ABCD có ba cặp cạnh đối diện bằng nhau là AB=CD,
AC=BD và AD=BC Gọi M và N lần lợt là trung điểm của AB và CD
Chứng minh rằng MN ⊥AB và MN ⊥CD. Mặt phẳng (CDM) có vuông
góc với mặt phẳng (ABN) không? Vì sao?
Trang 7III Kết luận
Quá trình khai thác có thể chỉ là quá trình mò mẫm và dự đoán để rồi từ đó
"điều chỉnh" thích hợp tìm ra lời giải của bài toán khác
Liên tục làm nh vậy với các em học sinh lớp 11 tôi dạy trong những năm qua tôi nhận thấy: những học sinh từ trung bình khá trở lên, ngày càng say sa học môn toán, tự mình tìm tòi đợc nhiều cách giải và bớc đầu tự mình khai thác, phát triển bài toán, thấy đợc mối quan hệ kiến thức giữa các bài, các phần với nhau Các em nắm kiến thức một cách chắc chắn hơn và có hệ thống, hạn chế tình trạng quên kiến thức
Do thời gian không nhiều và đây cũng chỉ là ý kiến của bản thân nên nội dung của đề tài này chắc chắn còn nhiều điều thiếu sót, rất mong đợc sự giúp đỡ và đóng góp ý kiến bổ sung của các thầy cô giáo để giúp tôi có bài viết hoàn chỉnh hơn
Tác giả
Lơng Cao Vinh
Tài Liệu tham khảo
1 SGK, SGV Hình học 11
2 SGK, SGV Hình học 11 Nâng cao
3 SBT Hình học 11
4 SBT Hình học 11 Nâng cao
5 Toán nâng cao Hình học 11, Tác giả Phan Huy Khải , NXB ĐHQG Hà Nội
Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Trang 8B¶n cam kÕt
KÝnh göi: Ban gi¸m kh¶o chÊm SKKN.
T«i lµ: L¬ng Cao Vinh
Chøc vô: Gi¸o viªn
§¬n vÞ: Tæ to¸n - Trêng THPT Céng HiÒn
T«i xin cam ®oan r»ng SKKN nµy lµ cña c¸ nh©n t«i NÕu sai t«i xin chÞu hoµn toµn tr¸ch nhiÖm T«i xin tr©n träng c¶m ¬n!
T¸c gi¶
L¬ng Cao Vinh
Trang 9Môc lôc
Trang
