Hàm sinh và ứng dụng trong bài toán đếm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN NGUYỄN HỒNG VÂN HÀM SINH VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TOÁN ĐẾM KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Hà Nội - 2018... TRƯỜNG ĐẠI HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN HỒNG VÂN

HÀM SINH VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TOÁN ĐẾM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Hà Nội - 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN HỒNG VÂN

HÀM SINH VÀ ỨNG DỤNG

TRONG BÀI TOÁN ĐẾM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Người hướng dẫn khoa học

TS Trần Vĩnh Đức

Hà Nội - 2018

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới thầy giáo - TS Trần Vĩnh Đức người đã tận tình hướngdẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy côgiáo trong khoa Toán, Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã truyền thụ cho emnhiều kiến thức quý giá về trường đời trường nghề trong suốt quá trìnhhọc tập tại trường Cảm ơn ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm HàNội 2 đã tạo cho em và các bạn có một môi trường học tập thân thiện,

bổ ích

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới giađình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốtquá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Hà Nội, ngày 09 tháng 05 năm 2018

Sinh viên

Nguyễn Hồng Vân

Lời cam đoan

Em xin cam đoan những nội dung trình bày trong bản khóa luận này

là kết quả của quá trình tìm hiểu, học tập và nỗ lực của bản thân, dưới

sự hướng dẫn, chỉ bảo của thầy giáo - TS Trần Vĩnh Đức Các nội dung,kết quả nghiên cứu đều là trung thực, không trùng với kết quả của tácgiả khác Ngoài ra em có sử dụng một số nhận xét, đánh giá của các tácgiả khác ( có ghi rõ trong phần trích dẫn và tài liệu tham khảo) Nếu có

gì sai sót em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Hà Nội, ngày 09 tháng 05 năm 2018

Sinh viên

Nguyễn Hồng Vân

Mục lục

1.1 Bài toán tấm vé may mắn 9

1.2 Khái niệm hàm sinh 12

1.2.1 Hàm sinh thường 13

1.2.2 Một số hàm sinh khác 13

1.3 Các phép toán trên hàm sinh 14

1.3.1 Phép nhân 15

1.3.2 Phép cộng 15

1.3.3 Dịch chuyển sang phải 16

1.3.4 Đạo hàm và tích phân 17

1.3.5 Các hàm sinh cơ bản ( khai triển Taylor) 18

2 HÀM SINH CÁC CHUỖI NỔI TIẾNG 20 2.1 Chuỗi hình học 20

2.2 Dãy Fibonacci 22

2.3 Số Catalan 24

3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HÀM SINH THƯỜNG VÀO GIẢI BÀI TOÁN ĐẾM TỔ HỢP 28 3.1 Ứng dụng trong các bài toán đếm 28

3.1.1 Cơ sở lý thuyết 28

3.1.2 Ví dụ 32

3.2 Ứng dụng tìm công thức tổng quát cho dãy số 37

3.2.1 Cơ sở lí thuyết 37

3.2.2 Ví dụ 38

3.3 Ứng dụng chứng minh các đẳng thức tổ hợp, tính tổng tổ hợp 43

3.3.1 Cơ sở lí thuyết 43

3.3.2 Ví dụ 44

3.4 Ứng dụng trong bài toán phân hoạch 48

3.4.1 Cơ sở lí thuyết 48

3.4.2 Ví dụ 49

Lời mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Toán tổ hợp là một lĩnh vực toán học được nghiên cứu từ khá sớm vàngày càng được quan tâm nhờ vai trò quan trọng của nó trong nội bộtoán học cũng như trong các ngành khoa học khác Khi nói đến toán tổhợp ta không thể không nhắc tới một nhánh bài toán cơ bản của nó - đó

là bài toán đếm Đây là một dạng toán khó, đòi hỏi tính tư duy logic và

tư duy thuật toán cao, phù hợp với mục đích cho các cuộc thi học sinhgiỏi Hơn nữa nội dung các bài toán đếm ngày càng gần với thực tiễn,điều đó phù hợp với xu hướng của toán học hiện đại

Trong thực tiễn giáo dục thì việc dạy và học bộ môn này rất quantrọng bởi tính ứng dụng thiết thực như: các bài toán quản lí "lập kếhoạch làm việc, phân việc, sắp xếp, ", mô hình "bài toán vận tải" tronggiao thông vận tải, Người học có thể giải quyết được nhiều bài toánđếm dựa vào các nguyên lí đếm cơ bản Tuy nhiên, do nhu cầu phát triểncủa toán học, các bài toán trở nên phức tạp hơn Để giải quyết được,chúng ta cần sử dụng một số phương pháp nâng cao như: phương pháptruy hồi, phương pháp sử dụng nguyên lí bù trừ, phương pháp song

ánh, phương pháp quỹ đạo, phương pháp hàm sinh,

Mỗi phương pháp trên đều có những ưu điểm riêng, trong đó phươngpháp hàm sinh có ưu điểm là hiện đại Có thể nói hàm sinh một phátminh đáng ngạc nhiên và hữu ích trong toán rời rạc, là công cụ mạnh mẽtrong việc giải quyết nhiều bài toán tổ hợp nói chung, bài toán đếm nóiriêng mà các phương pháp khác không thể hoặc khó giải quyết được.Phương pháp này sử dụng được các kiến thức tổng hợp của cả đại số vàgiải tích Nó giúp ta có thể chuyển các bài toán về dãy số thành các bàitoán đại số

Mặc dù mới được tiếp cận với phương pháp này, nhưng bản thân emnhận thấy phương pháp hàm sinh rất hay và thú vị Chính vì vậy, vớimong muốn không ngừng tìm tòi và học hỏi, em đã nghiên cứu và lựachọn đề tài: "Hàm sinh và ứng dụng trong bài toán đếm"

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu một cách chi tiết về lí thuyết hàm sinh và các nội dung

có liên quan

- Từ nền tảng tổng hợp được, ta xây dựng hệ thống các phương pháp

và ứng dụng điển hình của hàm sinh trong các bài toán đếm thườnggặp

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nhiệm vụ của đề tài này là tập trung triển khai các nội dung về hàmsinh từ khái niệm, các phép toán đến các hàm sinh thường gặp và mốiliên hệ với các công thức khai triển Taylor, khai triển Maclaurin Từ đóđưa ra hệ thống các phương pháp và vận dụng vào các bài toán cụ thể

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Lý thuyết về hàm sinh trên cơ sở đại số và giải tích

- Giải bài toán đếm bằng phương pháp hàm sinh và các bài toán ápdụng

- Nghiên cứu dựa trên các tài liệu khoa học, sách báo của các tác giảtrong và ngoài nước về vấn đề hàm sinh

5 Phương pháp nghiên cứu

Đề tài này nghiên cứu dựa trên phương pháp tiếp cận logic, phântích tổng hợp và sử dụng những kiến thức được tích lũy trong quá trìnhhọc tập Ngoài ra đó còn là sự kết hợp giữa việc thu thập thông tin, tổnghợp sách báo, tài liệu và đón nhận những ý kiến đóng góp từ giảng viênhướng dẫn

6 Cấu trúc khóa luận

Nội dung của khóa luận bao gồm 3 chương :

• Chương 1 ( Hàm sinh và phép toán): có thể nói đây là cơ sở lí thuyết

về hàm sinh Ngoài việc tập trung trình bày lí thuyết về hàm sinh,

em có đưa ra bài toán mở đầu, khởi nguồn cho nghiên cứu của cácnhà toán học đối với phương pháp này

• Chương 2 ( Hàm sinh các chuỗi nổi tiếng): hệ thống các hàm sinhthường gặp trong các bài toán Ngoài ra, chương này còn nhắc tớihai dãy số nổi tiếng có liên quan đó là: dãy Fibonacci và dãy Cata-lan

• Chương 3 ( Một số ứng dụng của hàm sinh thường vào giải bài toánđếm tổ hợp): đây là nội dung quan trọng không kém của khóa luận.Chương này em đã phân dạng và hệ thống các ứng dụng của hàmsinh theo từng dạng bài toán Mỗi dạng đều có phương pháp giải

và các ví dụ minh họa, phân tích cụ thể, rõ ràng

Mặc dù đã rất cố gắng trong quá trình làm khóa luận nhưng do sựhạn chế và thời gian và trình độ kiến thức của bản thân nên bản khóaluận không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự đónggóp ý kiến của thầy cô và các bạn Em xin chân thành cảm ơn!

Chương 1

HÀM SINH VÀ CÁC PHÉP TOÁN

1.1 Bài toán tấm vé may mắn

Trước khi tìm hiểu về hàm sinh chúng ta cùng xem xét bài toán tấm

vé may mắn Đây là một bài toán nổi tiếng vào đầu những năm 70 củathế kỉ XX, được A.A.Kirillov đề cập trong các một buổi thảo luận Bàitoán phát biểu như sau:

Mỗi hành khách muốn đi xe buýt cần phải mua vé Các tờ vé

được các giá trị đầu tiên của an:

• a0 = 1 ( có 1 bộ ba số có tổng bằng 0 là 000)

• a1 = 3 ( có 3 bộ ba số có tổng bằng 1 là 100, 010, 001)

• a2 = 6 ( có 6 bộ ba có tổng bằng 2 là 200, 020, 002, 110, 101, 011).Khi đó số lượng vé may mắn với tổng ba chữ số bằng n là a2n Thật vậychúng ta có thể đặt bất kì bộ ba số có cùng tổng là n ở cả đầu và cuối của

số lượng vé may mắn Nếu an là tổng các bộ ba số có tổng 3 chữ số đầutiên của tờ vé bằng n thì an cũng là tổng các bộ ba số có tổng 3 chữ sốcuối của tờ vé bằng n

Do đó, để tính số lượng vé may mắn ta cần đi tính các số an, sau đó đitìm tổng các bình phương của chúng

• Trước khi tính an ta đi tính số lượng số có một và hai chữ số có tổngbằng n: Với mỗi n = 0, , 9 có duy nhất một số có một chữ số cótổng các chữ số là n Ta sẽ mô tả các số có một chữ số bởi đa thức:

A1(s) = 1+s+s2+ +s9Các hệ số của đa thức này có nghĩa như sau:

Hệ số của sn trong đa thức A1 bằng với số lượng các số có một chữ

số mà có tổng các chữ số bằng n Nói cách khác hệ số của sn trong

A1 bằng 1 nếu 0 ≤ n ≤ 9 và bằng 0 nếu n >9.

• Bây giờ chúng ta sẽ viết đa thức A2(s) biểu diễn các số có hai chữ

số có tổng bằng n Hệ số của sn trong A2 là số lượng các số có hai

chữ số có tổng bằng n Dễ thấy A2 có bậc là 18 Thật vậy, 18 là tổnglớn nhất có thể của các số có hai chữ số.

A2(s) = 1+2s+3s2+4s3+ +s18

Ta sẽ thấy đa thức A2 và A1 có quan hệ mật thiết với nhau

Mệnh đề 1.1.1 A2(s) = (A1(s))2

Chứng minh. Tích của hai đơn thức sk và sm tạo ra hệ số của sn trong

(A1(s))2 khi và chỉ khi n = k +m Do đó hệ số của sn trong (A1(s))2

chính là số cách biểu diễn n dưới dạng tổng hai số

Như vậy bài toán tấm vé may mắn gần như đã được giải quyết Việccòn lại chỉ là đi tính các hệ số a0, a1, , a27 của đa thức (A1(s))3, sau đó

đi tìm tổng bình phương các hệ số đó

Kết luận:

Bài toán trên mô tả ý tưởng dùng hàm sinh để đếm các đối tượng tổhợp Đây là chủ đề chính của bài luận này Từ bài toán trên ta dẫn đếnmột vài nhận xét có liên quan đến nội dung tiếp theo của khóa luận

- Đối tượng chính là các bài toán tổ hợp Nó liên quan đến việc đếmcác đối tượng thuộc một nhóm các tập hợp hữu hạn

- Thông thường một bài toán đếm được giải quyết bằng cách đơn giản

là liệt kê ra tất cả các phần tử của mỗi tập hợp Tuy nhiên mục đích củachúng ta sẽ là đi tìm một giái pháp tốt mà không cần biết hết tất cả cácphần tử Ở đây ta không thể khẳng định được đâu là giải pháp tốt nhất

mà chỉ có thể so sánh được giải pháp nào là tốt hơn

- Khi giải quyết các bài toán đếm, các hàm sinh tỏ ra rất hữu hiệu.Điển hình đó là đa thức A3(s) ở bài toán trên Các phép toán với đốitượng của bài toán đếm có thể chuyển thành các phép toán trên hàmsinh Điều này rất tuyệt vời vì chúng ta có trong tay cả một cỗ máy lớn

để làm việc với hàm số

1.2 Khái niệm hàm sinh

Khi làm việc với các hàm sinh, chúng ta thường muốn sử dụng cácphép biến đổi và các thao tác khác nhau mà chúng không được phépdùng khi hàm sinh xem như một hàm với biểu diễn giải tích Do đó ta sẽđịnh nghĩa các hàm sinh như những đối tượng đại số cùng với các tínhchất đại số trên một vành nhằm mục đích sử dụng được nhiều công cụ

và có thể khai thác được nhiều ứng dụng của hàm sinh hơn

• Nếu dãy đã cho {a0, a1, , am} là hữu hạn ta hoàn toàn có thể biến

nó thành dãy vô hạn bằng cách đặt ai = 0, i > m Trong trường hợpnày G(x) là đa thức bậc m

• Mỗi dãy {an}∞n=0 cho ta duy nhất một hàm sinh Do đó để tìm hiểutính chất một dãy ta có thể tìm hiểu tính chất hàm sinh của nó

• Ta gọi hàm sinh là chuỗi lũy thừa hình thức vì thông thường ta sẽchỉ coi x là một kí hiệu thay thế cho một số Do đó ta gần như khôngquan tâm đến miền hội tụ của các chuỗi ( theo [2])

1.2.2 Một số hàm sinh khác

Chúng ta sẽ tiếp xúc rất nhiều với hàm sinh thường Ngoài ra chúng

ta cũng sẽ bắt gặp một số dạng thức khác của hàm sinh Ở đây em xingiới thiệu ba dạng hàm sinh khác

n được gọi làhàm sinh mũ của dãy đã cho.

Hay nói cách khác nếu G là hàm sinh mũ của dãy{an}∞n=0 thì G là hàmsinh thường của dãy nan

Đây là một hàm sinh khá đặc biệt so với các hàm sinh khác vì không có

sự xuất hiện của xn

1.3 Các phép toán trên hàm sinh

Ta vẫn coi hàm sinh như chuỗi lũy thừa hình thức Chính vì vậy màcác phép toán trên hàm sinh ở đây ta xét như các phép toán trên vànhcác chuỗi lũy thừa hình thức

Định nghĩa Hai chuỗi A(x) = ∞

an = bn,∀n ≥ 0 ( theo [5])

là hàm sinh của dãy{2, 0, 2, 0, }.

1.3.3 Dịch chuyển sang phải

Giả sử G(x) là hàm sinh biểu diễn cho dãy số {a0, a1, , an, } Nếu

ta thêm vào đằng trước (phía bên trái) của dãy trên k số 0 thì ta đượcdãy mới là







có hàm sinh tương ứng là xk.G(x).Phép toán này gọi là dịch chuyển sang phải k vị trí hay lùi phải k vị trí

Lấy đạo hàm hàm trên ta được:

ddx

1

- Ta sẽ kí hiệu G00(x) là đạo hàm của G0(x) Một cách tổng quát,

G(n)(x) là đạo hàm cấp n của G(x) và được định nghĩa bằng quy nạp làđạo hàm thứ (n-1) của G: G(n) = (G(n−1))0

- Phép lấy đạo hàm hàm sinh cũng tương thích với các phép toán đãhọc trong giải tích: Cho G(x) = ∞

1.3.5 Các hàm sinh cơ bản ( khai triển Taylor)

Mặc dù hàm sinh được trang bị các phép toán đại số nhưng chúng

ta vẫn không thể từ bỏ những tính chất giải tích của chúng Đó chính làcác công thức khai triển Taylor và công thức khai triển Maclaurin

Giả sử f(x) là hàm số liên tục, có đạo hàm mọi cấp trong khoảng (a,b)

và điểm Khi đó ta có công thức khai triển Taylor như sau:

Cụ thể ta có công thức khai triển Maclaurin một số hàm sơ cấp:

ex = 1+ x

1! +

x22! + +

xnn! + =

x55! − + (−1)

x44! − + (−1)

A(x) là A−1(x) hoặc 1

A(x) ( theo [5])

Chú ý:

- Nếu A(x) khả nghịch thì A(x) 6= 0

- Nếu A là nghịch đảo của B thì B cũng là nghịch đảo của A

Bây giờ ta đi xét một chuỗi đơn giản đó là chuỗi hằng {1, 1, 1, },(còn được gọi là chuỗi hình học) Hàm sinh thường của chuỗi này códạng: G(x) = 1+x+x2+x3+

có bao nhiêu đôi thỏ nếu ban đầu có một đôi thỏ?

Đây là bài toán nổi tiếng của nhà toán học Ý Leonardo Fibonacci

Kết quả của bài toán trên được cho bởi dãy số gắn liền tên ông - dãyFibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,

Không phải ngẫu nhiên dãy số này lại trở nên nổi tiếng, bởi quy luật thìrất đơn giản Xuất phát từ hai số đầu tiên là 1 và 1, còn từ số thứ ba trở

đi sẽ bằng tổng của hai số kề trước nó Quy luật dãy số được mô tả bởicông thức truy hồi sau:

số đường xoắn ốc luôn là một số thuộc dãy Fibonacci theo từng cặp:(21,34), (34,55), (55,89) hoặc (89,144)

Như vậy dãy Fibonacci quả là đặc biệt với những quy luật tự nhiên.Quay trở lại với toán học, ta thấy việc tìm vài số hạng đầu tiên củadãy là không khó Tuy nhiên để tìm ra số thứ 100, hay số thứ 1000 bằngcông thức truy hồi thì không phải điều dễ dàng gì Do đó ta sẽ đi xácđịnh công thức cho số hạng tổng quát của dãy

Ta đi xây dựng hàm sinh cho dãy Fibonacci

Suy ra: F(x) = 1

1−x−x2.Tuy nhiên phân số vế phải ở biểu thức trên không thuận tiện do nó chứacác lũy thừa khác nhau của x Để đỡ phức tạp ta sẽ đưa phân số này vềtổng của hai phân số đơn giản

Ta thấy: 1−x−x2 = (1−αx)(1−βx) với a = 1−√5

2 , β =

1+√

52

!k + 1

− 1−

√

52

!k + 1

Như vậy là chúng ta đã tìm được công thức cho số hạng tổng quátcủa dãy số Fibonacci nổi tiếng

Nhận xét: Ta có ngay xấp xỉ cho fk Vì |β| < 1 nên lim

!k + 1

2.3 Số Catalan

Các số Catalan ( hay còn gọi là dãy Catalan) lần đầu tiên được LeonardEuler (1707-1783) quan tâm đến khi ông nghiên cứu vấn đề: Có baonhiêu cách để chia một đa giác thành các tam giác Nhưng tên của dãynày lại thuộc về Eugene Charles Catalan (1814-1894) – một nhà toán học

Bỉ khi ông giải quyết thành công bài toán: "Có bao nhiêu cách để đóngngoặc và mở ngoặc một dãy số khi thực hiện các phép tính" Năm 1838,

Catalan đã phát hiện ra rằng các số này là lời giải chung của rất nhiềubài toán khác nhau Chúng chỉ khác nhau ở ngôn ngữ biểu đạt, còn thựcchất vẫn là cùng một nội dung.

Đúng vậy Trong các biểu thức đại số, việc sắp xếp các phép toán sẽphụ thuộc vào dấu đóng mở ngoặc Ta sẽ ưu tiên thực hiện các phéptính trong ngoặc trước

Mỗi cấu trúc ngoặc sẽ thỏa mãn hai điều kiện:

i, Số lượng dấu ngoặc đóng và mở của một cấu trúc là bằng nhau

ii, Tại vị trí bất kì trong cấu trúc thì số lượng dấu ngoặc đóng đã sử dụngkhông vượt quá số lượng dấu ngoặc mở đã dùng

Các dấu ngoặc trong cấu trúc ngoặc được chia theo cặp Mỗi dấungoặc đóng đi với một dấu ngoặc mở theo quy tắc: dấu ngoặc đầu tiênphía bên phải của dấu ngoặc mở sao cho giữa chúng đủ một cấu trúcngoặc

Bây giờ ta đi xem xét hàm sinh của dãy số Catalan: