CD HE THUC TRONG TAM GIAC VUONG

A – LÝ THUYẾT 3 B – CÁC VÍ DỤ 5 DẠNG 1: Vận dụng hệ thức về cạnh và đường cao để tính cạnh trong tam giác. 5 DẠNG 2: Dựa vào các hệ thức đã học để làm các bài toán chứng minh 6 DẠNG 3: Tính góc dựa vào tỉ số lượng giác. 7 DẠNG 4: Sử dụng các tỉ số lượng góc đã học để làm các bài toán chứng minh 8 DẠNG 5: Vận dụng hệ thức giữa cạnh và góc để tính cạnh và góc trong tam giác. 9 DẠNG 6: Dựa vào hệ thức giữa cạnh và góc để làm các bài toán chứng minh 10 C – BÀI TẬP ÁP DỤNG 11 DẠNG 1: Vận dụng hệ thức về cạnh và đường cao để tính cạnh trong tam giác. 11 DẠNG 2: Dựa vào các hệ thức đã học để làm các bài toán chứng minh 11 DẠNG 3: Tính góc dựa vào tỉ số lượng giác. 12 DẠNG 4: Sử dụng các tỉ số lượng góc đã học để làm các bài toán chứng minh 12 DẠNG 5: Vận dụng hệ thức giữa cạnh và góc để tính cạnh và góc trong tam giác. 13 DẠNG 6: Dựa vào hệ thức giữa cạnh và góc để làm các bài toán chứng minh 14 D – HƯỚNG DẪN – ĐÁP SỐ 16

“Hệ thức lượng trong tam giác vuông”

“Hệ thức lượng trong tam giác vuông”

Nội dung

A – LÝ THUYẾT 3

B – CÁC VÍ DỤ 5

DẠNG 1: Vận dụng hệ thức về cạnh và đường cao để tính cạnh trong tam giác 5

DẠNG 2: Dựa vào các hệ thức đã học để làm các bài toán chứng minh 6

DẠNG 3: Tính góc dựa vào tỉ số lượng giác 7

DẠNG 4: Sử dụng các tỉ số lượng góc đã học để làm các bài toán chứng minh 8

DẠNG 5: Vận dụng hệ thức giữa cạnh và góc để tính cạnh và góc trong tam giác 9

DẠNG 6: Dựa vào hệ thức giữa cạnh và góc để làm các bài toán chứng minh 10

C – BÀI TẬP ÁP DỤNG 11

DẠNG 1: Vận dụng hệ thức về cạnh và đường cao để tính cạnh trong tam giác 11

DẠNG 2: Dựa vào các hệ thức đã học để làm các bài toán chứng minh 11

DẠNG 3: Tính góc dựa vào tỉ số lượng giác 12

DẠNG 4: Sử dụng các tỉ số lượng góc đã học để làm các bài toán chứng minh 12

DẠNG 5: Vận dụng hệ thức giữa cạnh và góc để tính cạnh và góc trong tam giác 13

DẠNG 6: Dựa vào hệ thức giữa cạnh và góc để làm các bài toán chứng minh 14

D – HƯỚNG DẪN – ĐÁP SỐ 16

DẠNG 1: Vận dụng hệ thức về cạnh và đường cao để tính cạnh trong tam giác 16

DẠNG 2: Dựa vào các hệ thức đã học để làm các bài toán chứng minh 20

DẠNG 3: Tính góc dựa vào tỉ số lượng giác 22

DẠNG 4: Sử dụng các tỉ số lượng góc đã học để làm các bài toán chứng minh 24

DẠNG 5: Vận dụng hệ thức giữa cạnh và góc để tính cạnh và góc trong tam giác 29

DẠNG 6: Dựa vào hệ thức giữa cạnh và góc để làm các bài toán chứng minh 32

E MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO PHÁT TRIỂN 35

1 Hệ thức về cạnh và đường cao 35

2 Tỉ số lượng giác của góc nhọn 39

3 Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông 41

“Hệ thức lượng trong tam giác vuông”

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 4

“Hệ thức lượng trong tam giác vuông”

CHUYÊN ĐỀ - HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

A – LÝ THUYẾT

KIẾN THỨC CƠ BẢN

I Hệ thức lượng về cạnh và đường cao trong tam giác vuông:

Khi giải các bài toán liên quan đến cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ngoài việc nắm vững các kiến thức về định lý Talet, về các trường hợp đồng dạng của tam giác, cần phải nắm vững các kiến thức sau:

Tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH , ta có:

“Hệ thức lượng trong tam giác vuông” 1)a2

Chú ý: Diện tích tam giác vuông: S

II Tỉ số lượng giác của góc nhọn:



sin = đối

huyền; cos = kề ;

huyề n

1.Các tỉ số lượng giác của góc nhọn (hình) được định nghĩa như sau:

2 Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia và tan góc này bằng cot góc kia.

 Nếu  +  = 900 thì: sin = cos ; cos = sin ;

tan = cot ; cot = tan

b a sin B a cosC;c a.sinC a cos B;b c.tgB c cotgC;

3

2

22

II Hệ thức lượng giữa các cạnh và các góc của một tam giác vuông:

1.Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với cos in góc kề.

b) Cạnh góc vuông kia nhân với tan của góc đối hay nhân với cot của góc kề

2.Giải tam giác vuông là tìm tất cả các cạnh và các góc chưa biết của tam

giác vuông đó

B – CÁC VÍ DỤ.

DẠNG 1: Vận dụng hệ thức về cạnh và đường cao để tính cạnh trong tam giác.

Ví dụ 1: Tính diện tích hình thang ABCD có đường cao bằng 12cm, hai

đường chéo AC và BD vuông góc với nhau, BD = 15cm

Giải:

Qua B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt DC ở E Gọi BH là đường cao

của hình thang Ta có BE // AC, AC  BD nên BE  BD

Áp dụng định lý Pitago vào tam

Ví dụ 2: Hình thang cân ABCD có đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường

cao, đường chéo vuông góc với cạnh bên Tính đường cao của hình thang

10  x 10  x

Ví dụ 3: Tính diện tích một tam giác vuông có chu vi 72cm, hiệu giữa

đường trung tuyến và đường cao ứng với cạnh huyền bằng 7cm

Nghiệm dương của phương trình là x = 16 Từ đó BC = 32cm,

AH = 9cm Vậy diện tích tam giác ABC là: 32 9 : 2 = 144

(cm2)

DẠNG 2: Dựa vào các hệ thức đã học để làm các bài toán chứng minh.

Ví dụ 4: Cho hình thang ABCD có B = C = 90o , hai đường chéo vuông góc với nhau

A

x

H

2 0 , 2 5

- Trong câu a, để tính HB ta có thể áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác

vuông HAB (vì đã biết cạnh huyền và một cạnh góc vuông)

vuông, của đường cao ứng với cạnh huyền Vì vậy ta đã vận dụng hệ thức

này vào các tam giác vuông thích hợp

DẠNG 3: Tính góc dựa vào tỉ số lượng giác.

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH Biết AB = 7,5cm; AH = 6cm.

Tam giác ABC vuông ở A, có AH  BC, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

1 0 0

Trả lời: cosB = 0,6 ; cosC = 0,8.

DẠNG 4: Sử dụng các tỉ số lượng góc đã học để làm các bài toán chứng minh.

Ví dụ 6: Sử dụng định nghĩa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn để

chứng minh rằng: Với góc nhọn  tùy ý, ta luôn có:

a) sin2   cos2  1 ;

c) 1  tan2   1 ;

cos2 

b) tan cot = 1 ;d) 1  cot2   1

cot   cot B  AC  c .

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC vuông ở A, có AC = 15cm,

a) AB, BC ;

b) Phân giác CD

Giải:

a)Tam giác ABC vuông ở A, theo hệ thức

lượng về cạnh và góc của tam giác

15 0,7 66 0

CD là tia phân giác của góc C, ta có ACD  1 C  1 40

Trong tam giác vuông ACD vuông ở A, theo hệ thức lượng về cạnh và góc, ta có:

 20

A C

1 5

cos 20 0,9397

4 1

Bài tập 2: Biết tỉ số hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là 5 : 6,

cạnh huyền là 122cm Tính độ dài hình chiếu của các cạnh góc vuông trên

cạnh huyền

Bài tập 3: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH Biết BH : HC =

9 : 16, AH = 48cm Tính độ dài các cạnh góc vuông của tam giác

Bài tập 4: Trong một tam giác vuông, tỉ số giữa đường cao và trung tuyến

kẻ từ đỉnh góc vuông bằng 40 : 41 Tính độ dài các cạnh góc vuông của tam

giác vuông đó, biết

cạnh huyền bằng cm

Bài tập 5: Cho tam giác ABC vuông ở A có cạnh AB = 6cm, AC = 8cm.

Các đường phân giác trong và ngoài của góc B cắt AC lần lượt ở D và E

là hai điểm tương ứng trên các đoạn HB, HC

Biết AB1C1 là tam giác gì? Vì sao? AB C = AC B = 90o Tam giác

Bài tập 8: Cạnh huyền của một tam giác vuông lớn hơn một cạnh góc vuông của

tam

giác là 9cm, còn tổng hai cạnh góc vuông lớn hơn cạnh huyền là 6cm Tính

chu vi và diện tích của tam giác vuông đó

DẠNG 2: Dựa vào các hệ thức đã học để làm các bài toán chứng minh

Bài tập 9: Cho hình vuông ABCD và điểm I nằm giữa A và B Tia DI cắt BC

ở E Đường thẳng kẻ qua D vuông góc với DE cắt BC ở F

a) Tam giác DIF là tam giác gì? Vì sao?

b) Chứng minh

DE2

không đổi khi I chuyển động trên đoạn AB

Bài tập 10: Cho tam giác ABC có A < 90o, đường cao BH Đặt BC = a, CA =

b, AB = c, AH = c’, HC = b’ Chứng minh rằng: a2 = b2 + c2 – 2bc’

“Hệ thức lượng trong tam giác vuông”

sin2 20  sin2 70 sin2 80

“Hệ thức lượng trong tam giác vuông”

Bài tập 11: Cho tam giác

Bài tập 16: Cho tam giác ABC vuông tại A

Bài tập 17: Tam giác ABC có đường trung tuyến AM bằng cạnh AC Tính tanB :

sin A sin B sin C

Bài tập 19: Cho hai tam giác nhọn ABC, hai đường cao

BD, CE Chứng minh: ADE  ABC

Bài tập 20: Không dùng bảng số và máy tính bỏ túi, hãy tính:

Bài tập 22: Chứng minh rằng diện tích của một tam giác bằng một nửa

tích của hai cạnh với sin của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng chứa hai

cạnh ấy

 cos2 1  cos2 78  cos2 53  cos2 89  cos2 37  3.

“Hệ thức lượng trong tam giác vuông”

Bài tập 23: Cho tam giác nhọn ABC, phân giác AD Biết AB = c, AC = b Tính độ dài

AD theo b, c và A

Bài tập 24: Chứng minh rằng với góc nhọn  tùy ý, mỗi biểu thức sau

không phụ thuộc vào :

a) A = (sin   cos)2  (sin cos)2

;

b) B = sin6   cos6   3sin2 cos2 

Bài tập 25: Cho tam giác ABC có BC = a, Ca = b, AB = c và b + c = 2a Chứng

“Hệ thức lượng trong tam giác vuông”

Bài tập 28: Cho tam giác ABC vuông ở A, C  ( < 450), trung tuyến AM,

đường cao AH Biết BC = a, CA = b, AH = h Hãy biểu thị sin, cos, sin2

theo a, b, h rồi chứng minh hệ thức: sin2 = 2sincos

Bài tập 31: Tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH Biết HB = 12,5cm, HC = 32cm

và

B 

65 Tính AB, AC.

Bài tập 32: Cho tam giác ABC, hai đường cao BH, CK Chứng minh rằng

nếu AB > AC thì BH > CK

Bài tập 33: Cho tam giác ABC có các cạnh dài 6cm, 7cm và 7cm Tính các

góc của tam giác này

Bài tập 34: Tam giác ABC có AB = 16cm, AC = 14cm và B  60

a) Tính BC ;

b) Tính SABC

Bài tập 35: Một hình bình hành có hai cạnh là 15cm và 18cm và góc tạo

bởi hai cạnh đó bằng 1350 Tính diện tích của hình bình hành ấy

Bài tập 36: Cho hình bình hành ABCD có A

 45

a) Tính AD

b) Tính SABCD

, AB = BD = 18cm

DẠNG 6: Dựa vào hệ thức giữa cạnh và góc để làm các bài

toán chứng minh Bài tập 37: Cho tam giac ABC vuông ở A, đường

cao AH

Đặt BC = a, CA = b và AB = c

a) Chứng minh AH = asinBcosB ; BH = acos2B , CH = asin2B ;

b) Từ đó suy ra AB2 = BC BH và AH2 = BH HC

Bài tập 38: Một khúc sông rộng khoảng 240m Một chiếc đò chèo qua

sông bị dòng nước đẩy phải chèo khoảng 300m mới tới bờ bên kia Hỏidòng nước đã đẩy chiếc đò đi một góc bằng bao nhiêu?

Bài tập 39: Một đài quan sát hải đăng cao 150m so với mặt nước biển,

nhìn một chiếc tàu ở xa với góc  = 100 Hỏi khoảng cách từ tàu đến chân

hải đăng là bao nhiêu mét? Bài tập 40: Một người quan sát đứng cách

một chiếc tháp 10m, nhìn thấy chiếc tháp dưới góc 550, được phân tíchnhư hình bên Tính chiều cao của tháp

D – HƯỚNG DẪN – ĐÁP SỐ

DẠNG 1: Vận dụng hệ thức về cạnh và đường cao để tính cạnh trong tam giác Bài tập 1:

ABH  CAH (g – g), ta có:

Tam giác ABC vuông ở A, theo định lý

A

=

BH 2+A H2

36 2+

48 2

3 6 0 0 HC

2+A H2

64 2+

48 2

6 4 0 0

Bài tập 4: Giả sử tam giác ABC vuông ở A với đường cao AH trung

tuyến AM và AH : AM = 40 : 41 Do đó nếu AH = 40a thì AM = 41a

Tam giác AHM vuông ở H, ta có:

HM2 = AM2 – AH2 = (41a)2 – (40a)2 = 81a2, suy ra HM = 9a

Bài tập 5: Tam giác ABC vuông

ở A: BC2 = AB2 + AC2 = 62 + 82 =100,

H

 

b'  4  2 16

AC1 Vậy tam giác AB1C1 là tam giác cân tại A.

Bài tập 8: Giả sử tam giác vuông có cạnh huyền là a, hai cạnh góc

vuông là b và c Giả sử a lớn hơn b là 9cm Theo đề bài ta có:

DẠNG 2: Dựa vào các hệ thức đã học để làm các bài toán chứng minh.

Bài tập 9:

a)AID = CFD (g.c.g) nên DI = DF Vậy tam

giác DIF là tam giác vuông cân ở D

b)Tam giác EDF vuông ở D, có DC  EF

E

F

Trong tam giác ABC cạnh AC đối

diện với góc nhọn nên theo bài 10, ta

Acó:

Trong tam giác ABD cạnh AB

đối diện với góc tù nên theo bài

lượng giác Bài tập 14:

Xét tam giác ABC vuông ở A, có C  

AC 12k 12 cot   AC  12k  12  2,

1 5

DẠNG 4: Sử dụng các tỉ số lượng góc đã học để làm các bài toán chứng minh Bài tập 18:

sin2 20  sin2 70 sin2 80

sin2 80 )  (sin2 20 sin2 70 )  (sin2 30 sin2 60 )

sin2 50 )

 cos210 )  (sin2 20  cos2 20 )  (sin2 30 cos2 30 )

 cos2 40 )

Bài tập 23: Theo bài 22, ta có:

S  1 AB AD sin BAD  1 AB AD sin A

sin A sin B  sin C sin B  sin C

Hay 2a sinA = a(sinB + sinC),

do đó 2sinA = sinB + sinC

“Hệ thức lượng trong tam giác vuông”

“Hệ thức lượng trong tam giác vuông”

sin A  h b

c sin B  h

Bài tập 26: Gọi Ax là tia phân giác của góc BAC, kẻ BM  Ax,

CN  Ax Từ hai tam giác vuông AMB và ANC, ta có:

sin MAB  sin A  BM ,

suy ra BM = csin A

2 sin NAC  sin A  CN ,

“Hệ thức lượng trong tam giác vuông”

Trong các tam giác vuông AHC,

ABC và AHM ta lần lượt có:

Từ (1) và (2) suy ra 2sin cos = 2  (4)

b c

a

“Hệ thức lượng trong tam giác vuông”

Từ (3) và (4), ta có: 2sin cos = sin2

DẠNG 5: Vận dụng hệ thức giữa cạnh và góc để tính cạnh và góc trong tam giác Bài tập 29:

 21 0,7 54 7

5 si

n 7 0

5 0, 93 97

Vậy BC = BH + CH  1,82 + 7,14 = 8,96 (cm)

 32  58

2 5 sin 58

25 0,8 48 0

5 si

n 3 5

5 0, 57 36



Bài tập 36:

a) BA = BD nên tam giácABD cân ở B Kẻ BH  ADthì H là trung điểm của AD.Trong tam giác vuông AHB,

ta có:

BH = AB sinA = 18 sin450

2

Bài tập 39: Gọi chiều cao của hải

đăng là h, khoảng cách từ tàu đến

chân hải đăng là l Ta có:

h

tan  tan10

Vậy khoảng cách từ tàu đến chân đài quan sát gần bằng 851m

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH Biết AB : AC

3 : 4

và AB AC 21cm

Tính các cạnh của tam giác ABC

Tính độ dài các đoạn AH,BH,CH

E MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO PHÁT TRIỂN

1 Hệ thức về cạnh và đường cao

Giải:

9

AB

AC BC

9

1215

2

B C

9

2

15

5,

4

c m

A B

2 B K

a) Ta giả sử góc A là góc lớn nhất của tam giác A

ABC là các góc nhọn Suy ra chân

đường cao hạ từ A lên BC là điểm

2

a b

2

33

M D H

Giải:

ATam giác AMB vuông tại M có

MK nên MK2 AK BK (1).

C K

H K

Ta có CAD (cùng phụ với CAB ), vì thế trong tam giác vuông ACD ta

có AC 2AD Theo định lý Pythagore thì: AC 2

AD2

DC 2

AD2

302

CH AB

2

CD 1 .10 3

402

30 350 3

cm2

Vậy diện tích hình thang ABCD bằng 350 3cm2

2 Tỉ số lượng giác của góc nhọn

và cot

Ví dụ 1 Biết

sin

5 Tính cos , tan

Ở cách giải thứ nhất ta biểu thị độ dài các cạnh của tam giác ABC theo đại lượng k

rồi sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính cos Ở

cách giải thứ hai, ta sử dụng giả

12

k

12

A C

5

k

5

513

25169

513

AD

;tg

C BD

A D C D

E H

Ví dụ 3 Biết sin

.cos

12

25 Tính sin , cos

45

35

trình với ẩn là sin hoặc cos

Ta

có:

2

sin cos sin2

cos2 2 sin .cos 1 2. 12 49 Suy ra

AD2

AD

AD DH

13

4 , cos5

35

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC có AB 16,AC 14 và B 600 .Tính độ dài cạnh BC

Tính diện tích tam giác ABC

3 Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.

Giải:

Aa) Kẻ đường cao AH

Xét tam giác vuông ABH , ta

45

40 3

1

BC BA.sin B

1 .10.16.

22

32

40 3

6 0

0

4 5

0

H

Giải:

AGiả thiết có các góc có số đo đặc biệt ,

nhưng tam

giác ABC là tam giác thường nên ta sẽ tạo ra

giác vuông bằng cách Dựng các đường

AC ,AB Gọi D là giao điểm của hai đường

thẳng trên Khi đó tam giác ABD và ACD là các tam giác

vuông và 4 điểm A,B,C,D cùng nằm trên đường tròn đường kính AD 2R

Ví dụ 2: Tính diện tích tam giác ABC biết ABC 450,ACB 600 bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R

Mặt khác tam giác ACH

AH HC

*) Thật vậy xét tam giác vuông

đường cao AH Đặt ACB

900 , gọi M là trung điểm của BC , dựng

Từ đó ta suy ra: sin 2

*) Xét tam giác ABC Dựng đường cao BE ta có:

A C

h b

2 cos2 1 1 2

A C

B C

b a sinC

A

B B C

c a

2

Thật vậy xét tam giác vuông

đường cao AH Đặt ACB

900 , gọi M là trung điểm của BC , dựng

AC 2.BD BC AB2

BC

Áp dụng công thức: a2 b2 c2 2bc cos A Ta cũng chứng minh được hệ thức rất

quan trọng trong hình học phẳng ( Định lý Stewart) đó là:

‘’Cho điểm D nằm trên cạnh BC của tam giác ABC khi đó ta có:

Giải:

A

Vẽ tam giác ABC vuông tại A

với BC (a là một độ dài tùy ý)

, C 150

, suy ra B 750 B

CGọi I là trung điểm của BC , ta có

IA Vì AIB là góc ngoài tại đỉnh I của tam giác cân IAC nên

23

624

a 22