Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid (Luận văn thạc sĩ)Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid (Luận văn thạc sĩ)Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid (Luận văn thạc sĩ)Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid (Luận văn thạc sĩ)Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid (Luận văn thạc sĩ)Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid (Luận văn thạc sĩ)Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid (Luận văn thạc sĩ)Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid (Luận văn thạc sĩ)Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid (Luận văn thạc sĩ)Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid (Luận văn thạc sĩ)Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid (Luận văn thạc sĩ)Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid (Luận văn thạc sĩ)Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid (Luận văn thạc sĩ)Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid (Luận văn thạc sĩ)Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid (Luận văn thạc sĩ)Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid (Luận văn thạc sĩ)Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid (Luận văn thạc sĩ)
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
- -
ĐỖ THỊ THU GIANG
VỀ BẤT ĐẲNG THỨC OSTROWSKI VÀ TRAPEZOID
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2019
Trang 2TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS Trần Xuân Quý
THÁI NGUYÊN - 2019
Trang 3Mục lục
1.1 Hàm số, biến phân và biến phân toàn phần 5
1.2 Bất đẳng thức H¨older 7
1.3 Bất đẳng thức Ostrowski và trapezoid 8
Chương 2 Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid 9 2.1 Về bất đẳng thức Ostrowski 9
2.1.1 Bất đẳng thức Ostrowski với hàm liên tục tuyệt đối 9
2.1.2 Bất đẳng thức Ostrowski với hàm có biến phân bị chặn 12
2.2 Về bất đẳng thức trapezoid 14
2.2.1 Bất đẳng thức trapezoid đối với hàm có biến phân bị chặn 14
2.2.2 Bất đẳng thức trapezoid đối với hàm đơn điệu 16
2.2.3 Bất đẳng thức trapezoid đối với hàm liên tục tuyệt đối 19
2.2.4 Bất đẳng thức trapezoid đối với hàm có đạo hàm cấp hai 21
2.3 Làm chặt bất đẳng thức Ostrowski đối với hàm Chebysev 23
Chương 3 Bất đẳng thức kiểu Ostrowski và trapezoid liên hệ với định lý giá trị trung bình Pompeiu với trọng số mũ phức 28 3.1 Bất đẳng thức kiểu Ostrowski 30
3.2 Bất đẳng thức kiểu trapezoid 32
3.3 Một bất đẳng thức kiểu Ostrowski và trapezoid mới 34
3.3.1 Làm chặt bất đẳng thức Ostrowski 34
3.3.2 Bất đẳng thức kiểu Ostrowski mới 35
3.3.3 Làm chặt bất đẳng thức trapezoid 36
3.3.4 Bất đẳng thức kiểu trapezoid mới 36
Trang 4| f (t) |s dt
1svới s ∈ [1; ∞), hay chuẩn cấp scủa hàm số f trên đoạn [a, b];
f (ξi)hi, (tổng Riemann của hàm f trên [a, b]);
kf k[u,v],s chuẩn cấp s của hàm số f trên đoạn [u, v]
Trang 5Mở đầu
Chúng ta đều biết rằng môn Toán được coi là môn "thể thao trí tuệ" giúpngười học có nhiều cơ hội rèn luyện, phát triển tư duy cũng như bồi dưỡng nănglực thẩm mỹ khi nghiên cứu nét đẹp của những công thức giải toán độc đáo và mớimẻ
Trong nhiều năm qua, hầu hết các kỳ thi quan trọng như thi học sinh giỏi Toáncấp tỉnh, cấp Quốc gia, Quốc tế, các bài toán liên quan đến bất đẳng thức chiếmmột vị trí đáng kể Đối với lớp bất đẳng thức rời rạc thì đã được khai thác khá triệt
để ở chương trinh phổ thông, thậm chí cả cấp THCS Vì nó là bài toán so sánh,nên trong các kỳ thi học sinh giỏi thường xuất hiện bài toán về cực trị bất đẳngthức Tuy vậy, một lượng lớn bài toán về bất đẳng thức hàm lại ít được khai thác
ở bậc trung học, dạng toán này thường chỉ xuất hiện dạng đơn giản ở bài toán bấtphương trình, hoặc xuất hiện bài khó ở các kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp Quốc gia,chọn đổi tuyển Quốc tế Vì lý do đó mà tôi lựa chọn đề tài về bất đẳng thức hàmlàm chủ đề cho luận văn thạc sĩ của mình, cụ thể với đề tài: “Về bất đẳng thứcOstrowski và Trapezoid’ Đây là loại bất đẳng thức trung bình tích phân
Năm 1938, Ostrowski đã chứng minh được một ước lượng về trung bình tíchphân như sau
Định lý 0.1 Giả sử f : [a, b] → R là hàm liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b)với |f0(t)| 6 M < ∞ với mọi t ∈ (a, b) Khi đó, với bất kỳ x ∈ [a, b], ta có
f (x) − 1
b − a
bZ
a
f (t)dt
6
4 là đánh giá tốt nhất, không thể thay thế bằng số bé hơn.
Bất đẳng thức (1.5) được coi là bất đẳng thức Ostrowski Các kế quả tổng quát
và liên quan đã được trình bày trong chương 2 và 3 Một ước lượng khác cho trungbình tích phân được cho bởi quy tắc trapezoid (hay quy tắc hình thang) như sauĐịnh lý 1.5 (Cerone và Dragomir [7]) Giả sử f : [a, b] → R là hàm liên tục trên[a, b] và khả vi trên (a, b) với |f0(t)| 6 M < ∞ với mọi t ∈ (a, b) Khi đó, với bất
a
f (t)dt
6
4 là đánh giá tốt nhất.
Bất đẳng thức (1.6) được coi là bất đẳng thức trapezoid Các kết quả mở rộng
và liên quan được trình bày trong chương 2
Chú ý quan trọng về các giá trị biên trong các bất đẳng thức (1.5) và (1.6) lànhư nhau
Trang 12Chương 2
Về bất đẳng thức Ostrowski và
Trapezoid
2.1.1 Bất đẳng thức Ostrowski với hàm liên tục tuyệt đối
Định lý 2.1 Xét f : [a; b] → R là ánh xạ liên tục tuyệt đối trên (a, b) Khi đó tacó
|f (x) − 1
b − a
Z b a
1
t∈(a;b)
| f0(t) | nếu s = ∞
Chứng minh Lấy tích phân từng phần, ta có
Z x a(t − a)f0(t)dt = (x − a)f (x) −
Z x a
f (t)dt
Trang 13Z x b(t − a)f0(t)dt = (x − b)f (x) −
Z x b
f (t)dt
Cộng hai vế của hai đẳng thức trên ta thu được đẳng thức Montgomery
(b − a)f (x) =
Z x b
f (t)dt +
Z b a
Z b ap(x, t)f0(t)dt
6 supt∈(a;b)
| f0(t) |
Z b ap(x, t)dt
= kf0k∞
Z x a(t − a)dt +
Z b x(t − b)dt
= kf0k∞ (x − a)
2 + (b − x)22
như vậy ta chứng minh được khẳng định đầu tiên trong (2.1)
Áp dụng bất đẳng thức H¨older dạng tích phân với p > 1,1
p +
1
q = 1, ta có đánhgiá sau:
... bày bất đẳng thức kiểu Ostrowski trapezoid liên hệ vớiđịnh lý giá trị trung bình Pompeiu với trọng số mũ phức Một bất đẳng thức kiểuOstrowski trapezoid số kết làm chặt bất đẳng thức kiểuOstrowski... Bt ng thc Ostrowski trapezoid
Chương Trình bày bất đẳng thức kiểu Ostrowski, trapezoid lớphàm có biến phân bị chăn, hàm đơn điệu, hàm liên tục tuyệt đối Làm chặt bất? ?ẳng thức Ostrowski. .. hơn.
Bất đẳng thức (0.1) coi bất đẳng thức Ostrowski Các kế tổng quát
và liên quan trình bày Chương Một ước lượng khác cho trungbình tích phân cho quy tắc trapezoid (hay quy