Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (Luận văn thạc sĩ)

Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (Luận văn thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (Luận văn thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (Luận văn thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (Luận văn thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (Luận văn thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (Luận văn thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (Luận văn thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (Luận văn thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (Luận văn thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (Luận văn thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (Luận văn thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (Luận văn thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (Luận văn thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THU LOAN

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO NHIỆM HỮU HIỆU

CỦA BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VECTƠ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THU LOAN

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO NHIỆM HỮU HIỆU

CỦA BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VECTƠ

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số : 8 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS Đỗ Văn Lưu

THÁI NGUYÊN - 2019

Mục lục

1 Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán bất

1.1 Dưới vi phân Clarke và dưới vi phân Michel–Penot 41.2 Điều kiện tối ưu cho bài toán bất đẳng thức biến phân

vectơ qua dưới vi phân Clarke 61.3 Điều kiện tối ưu qua dưới vi phân Michel–Penot 17

2 Nghiệm xấp xỉ và điều kiện tối ưu cho bất đẳng thức biến

Bảng ký hiệu

X∗ Đối ngẫu tô pô của không gian X;

intA Phần trong của tập A;

f0(x, v) đạo hàm suy rộng Clarke của f tại x theo phương v

∂f (¯x) Dưới vi phân Clarke của f tại ¯x;

f♦(¯x; v) Đạo hàm Michel - Penot của f tại ¯x theo phương v;

∂M Pf (¯x) Dưới vi phân Michel - Penot của f tại ¯x;

∇Gf (¯x) Đạo hàm Gâteaux của f tại ¯x;

∇f (¯x) Đạo hàm Fréchet của f tại ¯x;

N (C; x) Nón pháp tuyến của C tại x ∈ C;

T (C; x) Nón tiếp tuyến của C tại x;

cone co A Nón sinh ra bởi bao lồi của A;

lin Bao tuyến tính

D∗ Nón đỗi ngẫu của D

I(x) Tập các chỉ số ràng buộc tích cực

Rm+ Orthant không âm của Rm

Rm++ Orthant dương của Rm

hx∗, xi Giá trị của x∗ ∈ X∗ tại x ∈ X;

Ker∇h(x) Hạch của ∇h(x);

Mở đầu

Bài toán bất đẳng thức biến phân và các ứng dụng của nó được trìnhbày trong cuốn sách của Kinderlehrer và Stampachia [10] Trong nhữngnăm gần đây, bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ được nhiều tácgiả quan tâm nghiên cứu do phạm vi áp dụng rộng rãi của nó Người tanghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân về sự tồn tại nghiệm, điềukiện tối ưu, đối ngẫu, thuật toán tìm nghiệm, tính ổn định nghiệm và cấutrúc tập nghiệm

Điều kiện tối ưu cho bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ khôngtrơn được nghiên cứu qua các dưới vi phân Clarke, Michel–Penot, Mor-dukhovich và dưới vi phân suy rộng D.V Luu và D.D Hang [12] đã thiếtlập các điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu toàncục và nghiệm hữu hiệu của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ dướingôn ngữ dưới vi phân Clarke và dưới vi phân Michel–Penot X.Q Yang

và X.Y Zheng [17] đã dẫn các điều kiện tối ưu cho nghiệm xấp xỉ của bàitoán bất đẳng thức biến phân vectơ không trơn Đây là vấn đề có tínhthời sự được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiêncứu Do đó, tôi chọn đề tài: "Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu củabài toán bất đẳng thức biến phân vectơ"

Luận văn trình bày điều kiện tối ưu cho các loại nghiệm hữu hiệu củabài toán bất đẳng thức biến phân vectơ không trơn qua các dưới vi phânClarke và Michel–Penot của D.V Luu và D.D Hang đăng trong tạp chí

J Math Anal Appl 412 (2014), 792–804, và điều kiện tối ưu cho nghiệm

xấp xỉ của bất đăng thức biến phân vectơ không trơn trong không gianBanach của X.Q Yang và X.Y Zheng đăng trong tạp chí J Glob Optim.

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại họcThái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Đỗ VănLưu Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầyhướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dànhnhiều thời gian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của tácgiả trong suốt quá trình làm luận văn

Tác giả cũng đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ íchcho công tác và nghiên cứu của bản thân Tác giả xin bày tỏ lòng cảm

ơn sâu sắc tới các thầy giáo, cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp cao họcToán, nhà trường và các phòng chức năng của trường, khoa Toán - Tin,trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp

đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường

Xin chân thành cảm ơn anh chị em trong lớp cao học và bạn bè đồng

nghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình học tập,nghiên cứu và làm luận văn.

Thái Nguyên, ngày 20 tháng 4 năm 2019

Tác giả luận văn

Nguyễn Thu Loan

Chương 1

Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán bất đẳng thức

biến phân vectơ có ràng buộc

Chương 1 trình bày các điều kiện cần và các điều kiện đủ cho nghiệmhữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu, nghiệm hữu hiệu toàn cục của bất đẳngthức biến phân vectơ không trơn có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức

và ràng buộc tập trong không gian Banach Các kết quả trình bày trongchương này được tham khảo trong [12]

1.1 Dưới vi phân Clarke và dưới vi phân Michel–PenotGiả sử X là không gian Banach, X∗ là không gian đối ngẫu tôpô của

trong đó < ξ, v > là giá trị của ξ ∈ X∗ tại x ∈ X Chú ý rằng dưới viphân Clarke của f được quy về đạo hàm thông thường khi f khả vi chặt.Trong [13], đạo hàm theo phương Michel - Penot của f tại ¯x theophương v được xác định bởi:

Chú ý rằng nếu f khả vi Gâteaux tại ¯x, ∂M Pf (¯x) = {∇Gf (¯x)}, trong

đó ∇Gf (¯x) là đạo hàm Gâteaux của f tại ¯x Nếu f khả vỉ Fréchet tại ¯xvới đạo hàm Fréchet ∇f (¯x), thì ∂M Pf (¯x) = {∇f (¯x)} Nếu f là Lipschitzđịa phương với hằng số L, hàm f0(¯x; ) và f♦(¯x; ) là thuần nhất dương,dưới cộng tính trên X, Lipschitz với hằng số L trên X, trong đó ∂f (¯x) và

∂M Pf (¯x) khác rỗng, lồi, compact *yếu của X∗ và k ξ k với mọi ξ ∈ ∂f (¯x)

và ξ ∈ ∂M Pf (¯x) Khi f là hàm Lipschitz địa phương tại ¯x, ta có

Giả sử A : X → Y là ánh xạ tuyến tính liên tục và f là hàm thực lồi trên

Y Khi đó, với mỗi x ∈ X,

A∗∂Cf (Ax) ⊂ ∂C(f A)(x)

Nếu f là liên tục tại mọi điểm thuộc ImA, thì với mỗi x ∈ X,

A∗∂Cf (Ax) = ∂C(f A)(x),trong đó A∗ : Y∗ → X∗ là ánh xạ liên hợp của A, ImA là ảnh của A

1.2 Điều kiện tối ưu cho bài toán bất đẳng thức biến phân

vectơ qua dưới vi phân Clarke

Giả sử X là không gian Banach thực và T là ánh xạ từ X vào khônggian L(X, Y ) gồm các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Với mỗi

x ∈ X, T (x) là ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y Giả sử g và h làánh xạ từ X vào Rm và Rl Khi đó, g = (g1, , gm), h = (h1, , hl) Giả

sử C và S là các tập con đóng khác rỗng của X và Rm, Q nón lồi đóngnhọn trong Y Đặt

K = {x ∈ C : g(x) ∈ S, h(x) = 0} (1.1)a) Điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu

Xét bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (WVVI): tìm x ∈ K sao cho

T (x)(y − x) /∈ −intQ (∀y ∈ K) (1.2)Chú ý (1.2) tương đương với

T (x)(K − x) ∩ (−intQ) = ∅ (1.3)

Ở đây ta giả thiết intQ 6= ∅ Vectơ ¯x thỏa mãn (1.2) hoặc (1.3) được gọi

là nghiệm hữu hiệu yếu của (WVVI)

Giả sử g và h là các hàm Lipschitz địa phương tại ¯x ∈ K Để thiết lậpđiều kiện tối ưu cho bài toán bất đẳng thức biến phân ta đưa vào điềukiện chính quy (CQ1): Với mọi µ ∈ N (S, g(¯x)), ν ∈ Rl, không đồng thờibằng 0, ta có

0 /∈ ∂(µg)(¯x) + ∂(νh)(¯x) + N (C, ¯x)

Trong trường hợp C = X = Rp, S = Rm+, điều kiện chính quy Fromovitz suy rộng (CQ2) tại ¯x được phát biểu như sau (xem [9]): tồntại v0 ∈ Rp sao cho

Định lý 1.1

Giả sử ¯x là nghiệm hữu hiệu yếu của (WVVI) Giả sử rằng điều kiệnchính quy (CQ1) là đúng Khi đó, ∃¯λ ∈ Q∗\{0}, ¯µ ∈ N (S, g(¯x)), ¯ν ∈ Rlsao cho

0 ∈ T (¯x)∗λ + ∂(¯¯ µg)(¯x) + ∂(¯νh)(¯x) + N (C; ¯x)

Chứng minh Đặt f (x) = T (¯x)(x − ¯x), f : X → Y là ánh xạ affine với

f (¯x) = 0 Khi đó, ánh xạ f1(x) := f (x + ¯x) là ánh xạ tuyến tính Bởi

vì ¯x là nghiệm hữu hiệu yếu của (WVVI), theo Định lý 3.1 [6], tồn tạihàm dưới cộng tính, thuần nhất dương, liên tục Λ trên Y sao cho nếu

x ∈ C

Do các hàm Λf và Λf1 là lồi liên tục Áp dụng Mệnh đề 2.2.6 [3] tasuy ra Λf và Λf1 là Lipschitz địa phương Theo Định lý 3.2 [9], tồn tại

Từ Mệnh đề 1.1 ta suy ra

∂C(Λf1)(0) = T (¯x)∗∂C(Λ(f1(0))) (1.7)Hơn nữa,

∂C(Λ(f1(0))) = ∂C(Λ(f (¯x))) (1.8)

Từ (1.5)-(1.8) ta suy ra tồn tại ¯λ ∈ ∂C(Λ(f (¯x))), ¯µ ∈ N (S, g(¯x)), ¯ν ∈ Rlsao cho

0 ∈ T (¯x)∗λ + ∂(¯¯ µg)(¯x) + ∂(¯νh)(¯x) + N (C; ¯x) (1.9)Bây giờ ta chỉ ra rằng ¯λ ∈ Q∗\{0} Từ (1.4), với mỗi y ∈ intQ, ta có

h¯λ, −yi = h¯λ, f (¯x) − y − f (¯x)i

≤ Λ(f (¯x) − y) − Λf (¯x) = Λ(−y) < Λ(0) = 0,bởi vì 0 − (−y) ∈ intQ Vì vậy, ¯λ ∈ Q∗\{0} Định lý được chứng minh

Để phát biểu các điều kiện đủ tối ưu, ta nhắc lại một số khái niệm

về hàm lồi suy rộng Theo định nghĩa của Reiland [14], hàm giá trị thựcLipschitz địa phương f trên X được gọi là ∂-tựa lồi tại ¯x trên tập conC(⊂ X) nếu

C Khi đó, ¯x là nghiệm hữu hiệu yếu của (WVVI)

Chứng minh Từ (1.10) suy ra tồn tại ξ ∈ ∂(¯µg)(¯x), γ ∈ ∂(¯νh)(¯x) và

ζ ∈ N (C, ¯x) sao cho

T (¯x)∗λ + ξ + γ + ζ = 0.¯

Từ đó suy ra với mỗi x ∈ K,

T (¯x)(x1 − ¯x) ∈ −intQ

Nhưng với ¯λ ∈ Q∗\{0} , ta lại có

¯

λT (¯x)(x1− ¯x) < 0

Điều này mâu thuẫn với (1.15) Định lý được chứng minh

Định lý 1.2 được minh họa qua ví dụ sau

Ví dụ 1.1 Giả sử X = Y + R2, S = R+, C = [0, 3] × [0, 3], ¯x = (0, 0), Q =

R2+ T : X → Y và g : X → R được cho bởi

!+ (−3) 1

1

!+ R2−

Từ Định lý 1.2, ¯x là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân trên.b) Điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu toàn cục

Xét bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (GVVI): Tìm x ∈ K sao cho

T (x)(K − x) ∩ (−H\{0}) = ∅, (1.16)

trong đó H là một nón lồi nhọn có phần trong khác rỗng thoả mãnQ\{0} ⊂ intH Điểm ¯x ∈ K thỏa mãn(1.16) với nón lồi nhọn có phầntrong khác rỗng H và Q\{0} ⊂ intH được gọi là nghiệm hữu hiệu toàncục của (GVVI) Từ (1.3), ta thấy rằng trong trường hợp intQ 6= ∅, mộtnghiệm hữu hiệu toàn cục sẽ là nghiệm hữu hiệu yếu Ở đây ta không đòihỏi điều kiện intQ 6= ∅.

Kí hiệu Q∗0 là tựa phần trong tương đối (quasi-interior) của Q∗

0 ∈ T (¯a)∗λ + ∂(¯¯ µg)(¯x) + ∂(¯νh)(¯x) + N (C; ¯x)

Chứng minh Từ chứng minh của Định lý 1.1, đặt f (x) = T (¯x)(x − ¯x)

vì ¯x là nghiệm hữu hiệu toàn cục của (GVVI), theo Định lý 3.3 [6] tồntại hàm dưới cộng tính, thuần nhất dương liên tục Λ trên Y sao cho nếu

y1, y2 ∈ Y thỏa mãn y2 − y1 ∈ Q\{0} thì

Λ(y1) < Λ(y2),và

(Λf )(x) ≥ 0 (∀ ∈ K)

Khi đó, ¯x là nghiệm của bài toán vô hướng sau:

min (Λf )(x),g(x) ∈ S,h(x) = 0,

x ∈ C,Tương tự chứng minh của Định lý 1.1 ta suy ra tồn tại ¯λ ∈ ∂C(Λ(f (¯x)))

vì 0 − (−y) ∈ Q\{0} Do vậy, ¯λ ∈ Q∗0 Định lý được chứng minh

Tương tự Định lý 1.2, ta chứng minh điều kiện đủ cho (GVVI)

c) Điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu

Ta xét bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (EVVI): Tìm ¯x ∈ K saocho

T (¯x)(x − ¯x) /∈ −Q\{0}, (∀x ∈ K), (1.17)trong đó K được xác định bởi (1.1) Điểm ¯x thỏa mãn (1.17) được gọi lànghiệm hữu hiệu của (EVVI)

Để dẫn điều kiện tối ưu cho bài toán (EVVI) ta giả sử rằng Y =

Rn, Q = Rn+ Khi đó, (1.17) được viết dưới dạng:

Không tồn tại x ∈ K sao cho

T (¯x)k(x − ¯x) ≤ 0 với mọi k ∈ J := {1, , n},

T (¯x)s(x − ¯x) < 0 với ít nhất một s ∈ J,

trong đó T (¯x) = (T (¯x)1, , T (¯x)n), T (¯x)k : X → R (k ∈ J).

Để dẫn điều kiện tối ưu cho (EVVI) ta đưa vào điều kiện chính quy(CQ3): Với mỗi s ∈ J và mọi λk ≥ 0(k ∈ J, k 6= s), µ ∈ N (S, g(¯x)), ν ∈ Rl,khác không,

x ∈ C

Do đó, ¯x là cực tiểu của bài toán vô hướng sau:

min T (¯x)s(x),

T (¯x)s(x) ≤ T (¯x)k(¯x) (∀k ∈ J, k 6= s),(Ps) g(x) ∈ S,

h(x) = 0,

Một điều kiện cần tối ưu mạnh cho nghiệm hữu hiệu của bài toán(EVVI) có thể phát biểu như sau:

Đó là điều phải chứng minh.

Bây giờ ta trình bày điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của(EVVI)

Khi đó, ¯x là nghiệm Pareto của (PVVI) Thật vậy, nếu điều này khôngđúng sẽ tồn tại x1 ∈ K sao cho

Điều này mâu thuẫn với (1.26) Ta suy ra điều phải chứng minh

1.3 Điều kiện tối ưu qua dưới vi phân Michel–Penot

Trong phần này, để dẫn điều kiện tối ưu cho bài toán bất đẳng thứcbiến phân vectơ (WVVI) qua dưới vi phân Michel–Penot, ta giả sử rằng

g Lipschitz địa phương tại ¯x, h có đạo hàm Fréchet tại ¯x với đạo hàmFréchet ∇h(¯x), S là nón lồi đa diện trong Rm, Q và C như trong phần1.2 Vì S là nón lồi đa diện trên Rm, nên S có dạng

Chứng minh Tương tự như chứng minh Định lý 2.1, ta đặt f (x) =

T (¯x)(x − ¯x) và nhận được ánh xạ affine f : X → Y với f (¯x) = 0 Khi

đó, ánh xạ f1(x) = f (x + ¯x) là tuyến tính Áp dụng Định lý 3.1[8] ta suy

ra tồn tại hàm dưới cộng tính thuần nhất dương liên tục Λ trên Y thỏamãn: nếu y2− y1 ∈ intQ (y1, y2 ∈ Y ) thì Λ(y1) < Λ(y2) và

Phần còn lại chứng minh tương tự như chứng minh định lý 2.1

Trong trường hợp dimX < +∞, S = Rm+, C = X, ta suy ra

Nếu trong bài toán (WVVI) không có các ràng buộc đẳng thức và cácràng buộc nón thì ta nhận được hệ quả sau:

Hệ quả 1.2

Giả sử ¯x là nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (WVVI), trong đó không

có các ràng buộc g và h Khi đó, tồn tại ¯λ ∈ Q∗\{0} sao cho

0 ∈ T (¯x)∗λ + N (C; ¯¯ x)

Chứng minh Điều kiện chính quy (CQ3) tự động thỏa mãn và H(¯x) =

N (C; ¯x) là đóng ∗yếu Áp dụng Định lý 2.1 ta có điều phải chứng minh

Với nghiệm hữu hiệu toàn cục, ta có có điều kiện cần tối ưu sau:

Để thiết lập điều kiện đủ tối ưu dưới ngôn ngữ dưới vi phân Michel

- Penot, ta đưa vào các khái niệm hàm lồi suy rộng thích hợp Phù hợpvới định nghĩa ∂-tựa lồi đã định nghĩa trong phần trước, một hàm giá trịthực Lipschitz địa phương f trên X được gọi là ∂M P-tựa lồi tại ¯x trêntập con C của X nếu

f (x) − f (¯x) ≤ 0 ⇒ hξ, x − ¯xi ≤ 0 (∀ξ ∈ ∂M Pf (¯x), ∀x ∈ C)

Nếu f là ∂-tựa lồi trên C, thì nó là ∂M P-tựa lồi trên C

Hàm giá trị thực f được gọi là tựa lồi trên tại ¯x trên C nếu ∀x ∈ C,

Nếu các bài toán (WVVI), (GVVI) không có ràng buộc đẳng thức và ràngbuộc nón, ta nhận được hệ quả trực tiếp sau của Định lý 1.10:

gi(x) ≤ 0 (i = 1, , r), hj(x) = 0 (∀j ∈ L), }C(Ks; ¯x) = {v ∈ T (C; ¯x) : hT (¯x)k, vi ≤ 0 (∀k ∈ J, k 6= s),

vi phân Michel–Penot được phát biểu như sau:

(iii) Giả sử ¯x ∈ K; Tồn tại ¯λk > 0(∀k ∈ J ), ¯µi ≥ 0 (∀i ∈ I(¯x)), ¯νj ∈

R (j = 1, , l) sao cho (1.29) đúng Giả thiết tập C lồi, các hàm eg1, ,egr

là ∂M P-tựa lồi tại ¯x trên C, và các hàm ±h1, , ±hl tựa lồi tại ¯x trên C.Khi đó, ¯x là nghiệm hữu hiệu của (EVVI)

Chứng minh (i) Vì ¯x là nghiệm hữu hiệu của (EVVI), cho nên ¯x là cựctiểu Pareto của bài toán tối ưu sau:

min T (¯x)(x),g(x) ∈ S,h(x) = 0,

x ∈ C

Khi đó, ¯x là cực tiểu của bài toán vô hướng sau:

min T (¯x)s(x),

T (¯x)k(x) ≤ T (¯x)k(¯x) (∀k ∈ J, k 6= s),(Ps0) egi(x) ≤ 0 (i = 1, , r),

hj(x) = 0 (j = 1, , l),

x ∈ C

Áp dụng Định lý 3.1 [11] cho bài toán (Ps0) ta suy ra tồn tại ¯λk ≥ 0 (k ∈

J, k 6= s), ¯µi ≥ 0 (∀i ∈ I(¯x)), ¯νj ∈ R (j = 1, , l), sao cho

(ii) Với mỗi s ∈ J, áp dụng Định lý 4.4(i) cho bài toán (Ps0) ta suy ra tồn

tại ¯λ(s)k ≥ 0 (k ∈ J, k 6= s), ¯µ(s)i ≥ 0 (∀i ∈ I(¯x)), ¯νj(s) ∈ R (j = 1, , l), saocho

Với mọi j = 1, , l và x ∈ K, hj(x) − hj(¯x) = 0 Do tính ∂M P-tựa lồi của

±h1, , ±hl, ta suy ra với mọi x ∈ K,

2.1 Các khái niệm và định nghĩa

Giả sử X là không gian Banach và A là tập con đóng của X, a ∈ A.Giả sử T (A, a) là nón tiếp tuyến Clarke của A tại a được xác định bởi

T (A, a) = lim inf

x → a,t→0A +

A − x

t ,

trong đó x→ a nghĩa là x −→ a với x ∈ A Như vậy, v ∈ T (A, a) nếuA

và chỉ nếu với mỗi dãy {an} trong A hội tụ đến a và mỗi dãy {tn} trongkhoảng (0, ∞) giảm tới 0, tồn tại dãy {vn} trong X hội tụ đến v sao cho

an+ tnvn ∈ A với mọi n Kí hiệu N (A, a) là nón pháp tuyến Clarke, nghĩalà,

N (A, a) = {x∗ ∈ X∗ : hx∗, hi ≤ 0 ∀h ∈ T (A, a)}

Ta biết rằng nếu A là lồi thì

N (A, a) = {x∗ ∈ X∗ : hx∗, x − ai ≤ 0 ∀x ∈ A}

Giả sử φ : X → R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới chính thường Với

x0 ∈ dom(φ), kí hiệu ∂φ(x0) là dưới vi phân Clarke của φ tại x0 Ta biếtrằng (xem [2])

(WVVI) Tìm x ∈ A sao cho F (x)(z − x) intC 0, với mọi z ∈ A,

và

(VVI) Tìm x ∈ A sao cho F (x)(z − x) C\{0} 0, với mọi z ∈ A

Rõ ràng ¯x là nghiệm của (WVVI)(t.ư (VVI)) nếu và chỉ nếu

F (¯x)(A − ¯x) ⊂ Y \ − int(C) (t.ư., F (¯x)(A − ¯x) ⊂ Y \ − (C\ {0}))

Từ đó nảy sinh ra khái niệm ε − nghiệm Với ε ≥ 0, ta nói rằng ¯x ∈ A

là một ε-nghiệm của (WVVI) (t.ư (VVI)) nếu