Xây dựng hệ thống bài tập chương trường hấp dẫn

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trường hấp dẫn là một mô hình để giải thích sự ảnh hưởng của một vật thể khối lượng lớn lên không gian xung quanh nó, tạo ra lực tác dụng lên một vậtthể có khối lượng

A MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trường hấp dẫn là một mô hình để giải thích sự ảnh hưởng của một vật thể

khối lượng lớn lên không gian xung quanh nó, tạo ra lực tác dụng lên một vậtthể có khối lượng khác, chuyển động của các hành tinh v.v… Trong Vật Lý, hệ

thông bài tập trong chương Trường hấp dẫn rất đa dạng và nhiều bài tập khó Vì

vậy, để giúp sinh viên học tốt chương Trường hấp dẫn em xin chon đề tài “ Xây dựng hệ thống bài tập chương Trường hấp dẫn ” nhằm hệ thống hóa cơ sở lý

thuyết của chương, giúp sinh viên nắm được bản chất, tính chất, đặc điểm của

Trường hấp dẫn Nắm được cách giải các dạng bài tập liên quan đến lực hấp

dẫn, chuyển động của các hành tinh v.v…

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Hệ thống hóa cơ sở lý thuyết của chương “ Trường hấp dẫn ’’

- Xây dựng hệ thống bài tập minh họa

III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- Tìm hiểu cơ sở, nội dung cơ bản và các đặc trưng của Trường hấp dẫn

- Hiểu rõ hơn về bản chất của Trường hấp dẫn, định luật hấp dẫn của Newton

để giải một số bài toán cơ bản

IV PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Chương “ Trường hấp dẫn ”

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Phương pháp nghiên cứu lý thuyết

B NỘI DUNG PHẦN 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

I ĐỊNH LUẬT HẤP DẪN CỦA NEWTON

1 Nội dung định luật

Phát biểu: Mọi hạt trong vũ trụ hút các hạt khác với môt lực tỷ lệ thuận vớikhối lương và tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng Lực này

có phương dọc theo đường nối tâm hai hạt Cường độ của lực hấp dẫn có thểđược viết là

( I.1 )Trong đó là khối lượng của hai hạt, r là khoảng cách giữa chúng và G

là hằng số hấp dẫn được đo bằng thực nghiệm Giá trị của G phải rất nhỏ, vìchúng ta không nhận thức được lực hấp dẫn nào giữa các vật có kích thướcthông thường

2 Vecto lực hấp dẫn

Chúng ta có thể viết định luật hấp dẫn của

Newton dưới dạng vecto như sau:

Như ta thấy trên hình I – 1 Hạt m2 hút hạt

m1 với một lực hấp dẫn hướng về phía hạt

m2 Và hạt m1 hút hạt m2 với một lực hấp dẫn

hướng về m1 Hai cặp lực và làm thành một cặp tác dụng – phản tácdụng và ngược chiều nhau, nhưng có cường độ bằng nhau Chúng phụ thuộckhoảng cách giữa hai hạt nhưng không phụ thuộc vị trí của cả hai

( I.2 )

II TRƯỜNG HẤP DẪN

1.Khái niệm trường hấp dẫn

Mọi tương tác đều thực hiện không phải một cách trực tiếp mà phải thôngqua một đối tượng trung gian truyền tương tác đó là trường Trong trường hợplực hấp dẫn thì các vật tương tác với nhau nhờ trường hấp dẫn Trường hấp dẫnlan truyền trong không gian thực hiện các tương tác hấp dẫn

2 Đặc điểm của trường hấp dẫn

Trường hấp dẫn có những đặc điểm sau đây:

- Là một dạng của vật chất và cũng có năng lượng

- Lan truyền với một vận tốc hữu hạn v ≤ c, c là vận tốc ánh sáng trong chânkhông

Xét một quả bóng khối lượng m bắt đầu chuyển

động từ một điểm ở rất xa Trái Đất khối lượng M, và

rơi về phía điểm P, như trên hình II – 1 Thế năng của

hệ bóng – Trái Đất khi quả bóng tới điểm P là giá trị

âm của công do lực hấp dẫn thực hiện khi quả bóng

chuyển từ vị trí ở rất xa, tới điểm P

Giới hạn tích phân là khoảng cách ban đầu của quả bóng, mà ta đã cho là lớn

vô hạn, và khoảng cách cuối cùng x của nó

( II.1 )

Vecto trong phương trình ( II.1 ) hướng xuyên tâm vào trong, về phíatâm Trái Đất trên hình II – 1 và vecto hướng xuyên tâm ra ngoài, góc ϕgiữa chúng là 1800 Như vậy

( II.2 )( II

3 )Đối với trong phương trình ( II.2 ), bây giờ ta thế phương trình định luậthấp dẫn của Newton vào ( II.2 ) ta được

Thay kết quả của phương trình ( I.3 ) và phương trình ( I.1 ) ta được

( II 4)Phương trình ( II.4 ) chính là biểu thức thế năng hấp dẫn của một hệ hai hạt

3.2 Cường độ trường hấp dẫn

3.2.1 Gia tốc hấp dẫn

Giả sử rằng Trài Đất là một khối cầu đồng tính, không quay Cường đồ lực hấp dẫn tác dụng vào một hạt khối lượng m, ở ngoài Trái Đất, cách tâm Trái Đất một khoảng r là

( II 5)Nếu hạt được buông ra, thì lực hấp dẫn này làm cho nó rơi về phía tâm TráiĐất với một gia tốc, mà ta sẽ gọi là gia tốc hấp dẫn ag

Áp dụng định luật Newton thứ hai, dọc theo đường đi của hạt đang rơi, tađược

( II 6)Thay F từ phương trình ( II.6 ) vào phương trình ( II.5 ), giải theo ag ta được

( II 7)

Gia tốc hấp dẫn ag thực sự là do lực hấp dẫn mà Trái Đất tác dụng vào hạt Nókhác với gia tốc rơi tự do g mà chúng ta đã đo, đối với một vật rơi, vì Trái Đấtthật lại không đồng tính, cũng không phải hình cầu và vì Trái Đất thật còn tựquay.

Ta xét một cái thùng được đặt trên một bàn cân,

ở xích đạo ( Hình II – 2 )

Gia tốc hướng tâm của cái thùng hướng vào

tâm đường tròn mà nó đi theo, tâm này trùng với

tâm của Trái Đất Trái Đất tác dụng vào thùng một

lực hấp dẫn có cường độ mag Cái cân tác dụng

vào thùng một phản lực pháp tuyến , hướng lên

Áp dụng định luật Newton thứ hai cho cái

thùng, với chiều dương là chiều hướng xuống, vào

tâm Trái Đất ta được:

( II 8)Cường độ của là số chỉ của cân, và như vậy, là bằng trọng lượng mg củathùng Thế mg vào N trong phương trình ( II.8 ), ta được

(II 10)Như vậy, gia rơi tự do g ( ) đo được ở xích đạo của Trái Đất thực,đang quay thì hơi nhỏ hơn gia tốc hấp dẫn ag, do riêng lực hấp dẫn gây ra Độchênh lệch giữa g và ag trở nên nhỏ dần, khi cái thùng chuyển động dần tới các

vĩ độ cao hơn Trong nhiều bài toán thực tế chúng ta có thể coi gần đúng gia tốcrơi tự do g chính là gia tốc hấp dẫn ag.

3.2.2 Cường độ trường hấp dẫn

Lực hấp dẫn do hạt khối lượng M tác dụng lên hạt khối lượng m là:

(II 11)

Trong đó là vecto nối M đến m

Vecto gia tốc hấp dẫn có biểu thức:

(II 12)Vecto gia tốc hấp dẫn còn được gọi là vecto cường độ trường hấp dẫn đặctrưng cho độ mạnh yếu của trường hấp dẫn về phương diện tác dụng lực

Độ lớn của được gọi là cường độ trường hấp dẫn do hạt khối lượng M gây

ra tại vị trí cách nó một khoảng r

(II 13)Vậy, khối lượng M đã sinh ra trong không gian xung quanh nó một trườnghấp dẫn ( làm biến đổi không gian xung quanh nó ) Một khối lượng m nào

đó đặt trong không gian ấy sẽ chịu tác dụng lực của trường hấp dẫn do M gây ra

có biểu thức xác định bời (II.13) Trường hấp dẫn do M gây ra tồn tại một cáchđộc lập không phụ thuộc trong không gian có mặt hay không có mặt khối lượng m

3.3 Nguyên lý chồng chất

Trường hấp dẫn tuân theo nguyên lý chồng chất: Trường tổng hợp của nhiềukhối lượng bằng tổng vecto của các trường do từng khối lượng riêng lẻ sinh ra.Nói cách khác, tương tác hấp dẫn giữa 2 khối lượng không phụ thuộc sự có mặtcủa khối lượng thứ 3, và trường của nhiều khối lượng chỉ cộng vào nhau mộtcách đơn giản, chứ không tương tác lẫn nhau Nếu trong không gian có các khốilượng m1, m2…,mn thì trường chung của chúng là:

(II 14)Trong đó lần lượt là các trường do từng khối lương riêng

lẻ m1, m2…,mn gây ra

3.4 Thế hấp dẫn

(II 15)Cũng giống như đối với lực và trường, ta có thẻ viết thế năng của một khốilương m như sau:

Trong đó là một đại lượng chỉ phụ thuộc M và khoảng cách từ M tới m, biểu diễn thế năng của một đơn vị khối lượng và gọi là thế hấp dẫn do M gây ratại vị trí m

Vậy thế hấp dẫn do khối lượng M gây ra tại vị trí cách nó một khoảng r là:

(II 16)Nếu có nhiều khối lượng thì thế tổng hợp của chúng tại một điểm P, theonguyên lý chông chất, sẽ là:

(II 17)Trong đó là thế hấp dẫn do mỗi khối lượng M1, M2,…, Mnriêng lẻ gây ra tại điểm P và ri là khoảng cách từ khối lượng Mi tới điểm P

(II 18)

Khi hạt khối lượng m chuyển dời từ một điểm có thế tới điểm có thế thì công của lực hấp dẫn tạo ra sẽ là:

Giữa trường hấp dẫn và thế hấp dẫn cũng có mối liên hệ như giữa lực vàthế năng

III TRƯỜNG HẤP DẪN CỦA KHỐI CẦU

1 Thông lương vecto, vecto diện tích

Vecto diện tích nguyền tố là một vecto có độ

lớn bằng diện tích mặt nguyên tố dS, có chiều là

chiều của vecto pháp tuyến của mặt

Thông lượng của vecto gửi qua mặt dS là:

Ở đây là hình chiếu của dS lên mặt phẳng vuông góc với

Thông lượng của vecto gửi qua cả mặt S là:

(III 2)Thông lượng có thể dương hay âm tùy thuộc vào góc , nghĩa là tùy thuộc vào chiều của Nếu mặt S là một mặt kín thì người ta quy ước vecto tại

(III 1)

mỗi điểm trên mặt có chiều hướng ta khỏi mặt Khi đó thông lượng vecto gửi qua mặt kín S là:

(III 3)

2 Định lý Gauss cho trường hấp dẫn

Xét trường hấp dẫn Khi đó là thông

lượng của vecto gửi qua mặt dS hay thông lượng

của trường hấp dẫn gửi qua mặt dS

Nếu ta vẽ mặt cầu có bán kính r tâm tại O và chứa mặt nguyên tố dSg thì góc khối ( góc trong không gian) nhìn từ tâm O của mặt cầu xuống diện tích dSg là:

(III 5)Vậy

Bây giờ ta xét hạt có khối lương M Bao quanh khối lượng M đó bằng mộtmặt kín bất kỳ gọi là mẳ Gauss Ta tính thông lượng trường hấp dẫn gửi qua mặtGauss đó:

(III

6)Bây giờ nếu đặt mặt Gauss có nhiều hat với các khối

lượng lần lượt là M1, M2,… với các vecto tương ứng là thì:

(III 4)

Với

Vậy ta luôn có:

(III 7)Phương trình (III.7) là biểu thức của định lý Gauss cho trường hấp dẫn, phát

biểu như sau: Trông lượng trường hấp dẫn gửi qua mặt kín bất kỳ chia cho lượng bằng tổng các khối lượng chứa trong mặt kín đó.

Kết quả trên không phụ thuộc vào các khối lượng bên ngoài mặt Gauss vìthông lượng của trường hấp dẫn do các khối lượng bên ngoài mặt Gauss gửi quamặt Gauss thì bằng 0

3 Trường hấp dẫn của khối cầu

3.1 Nguyên lý đối xứng

Để tính trường hấp dẫn của khối cầu ta dùng nguyên lý đối xứng Khi một bàitoán có các tính chất ( điều kiện ) đối xứng thì nghiệm của nó cũng phải có đặctính đối xứng Nếu một vật có khối lượng phân bố đối xứng thì trường hấp dẫn

do nó sinh ra cũng có đặc tính đối xứng

Vì vậy, trong định lý Gauss để tính toán thuận lợi ta phải chọn mặt Gauss saocho sử dụng được các đặc tính đối xứng của bài toán

3.2 Trường hấp dẫn bên ngoài khối cầu

Ta sẽ tính tại điểm A bất kỳ bên ngoài quả cầu Vì khối lượng phân bố đốixứng cầu nên g cũng có tính chất đối xứng cầu

Ta vẽ qua A một mặt Gauss là mặt cầu tâm O bán kính r = OA Do tính đốixứng nên có phương bán kính, chiều hướng vào tâm O ( vì đây là lực hút ) Vậy :

Mặt khác theo định lý Gauss:

(III 8)Vậy: Trường hấp dẫn do khối cầu gây ra tại một điểm bên ngoài khối cầugiống với trường hấp dẫn của hạt đặt tại tâm khối cầu và mang toàn bộ khốilượng của khối cầu.

3.3 Trường hấp dẫn bên trong khối cầu

Xét điểm A bất kỳ bên trong khối cầu Vẽ qua A

một mặt Gauss là mặt cầu tâm O bán kính r = OA

Do tính chất đối xứng, g phải như nhau trên mặt

Gauss và cũng có phương bán kính hướng vào O

Mặc khác theo định lý Gauss:

Với mật độ khối lượng của quả cầu:

Từ phương trình (III.9) và (III.10) ta rút ra được:

IV CHUYỂN ĐỘNG TRONG TRƯỜNG HẤP DẪN XUYÊN TÂM

1 Chuyển động trong trường hấp dẫn của Trái Đất Các vận tốc vũ trụ 1.1 Chuyển động tròn của vệ tinh nhân tạo quanh Trái Đất

Xét một vệ tinh có khối lượng m rất bé so với khối lượng của Trái Đất, vệ tinhchuyển động quanh Trái Đất dưới tác dụng của lực hấp dẫn của Trái Đất

Vệ tinh chuyển động với quỹ đạo tròn nên

1.2.2 Vận tốc vũ trụ cấp 2

Vận tốc vũ trụ cấp 2 là vận tốc phòng vật từ mặt đất theo phương ngang saocho động năng của nó vừa đủ đề thắng công cản của lực hấp dẫn Khi đó vậtthoát khỏi sức hút của Trái Đất, chuyển động ra xa vô cực

Công của lực hấp dẫn bằng thế năng hấp dẫn nên

Thay ta có vận tốc vũ trụ cấp 2

Thay ta có vận tốc vũ trụ cấp 2

( IV.3)Khi phóng vật từ mặt đất với vận tốc ban đầu , nếu:

ngoài vùng hấp dẫn của Trái Đất nghĩa

là nó không còn là vệ tinh của Trái Đất

2 Chuyển động của các hành tinh

Vì khối lượng của Mặt Trời quá lớn so với các hành tinh nên ta coi Mặt Trờiđứng yên, các hành tinh quay quanh Mặt Trời dưới tác dụng của trường hấp dẫncủa Mặt Trời

Nếu gọi M là khối lượng của Mặt Trời, r là khoảng cách từ tâm Mặt Trời tớicác hành tinh, v và m lần lượt là vận tốc và khối lượng của của hành tinh thì cơnăng của hành tinh là:

Vì thế năng có dạng hypebol luôn âm và triệt tiêu ở vô cực, nênhạt m có năng lượng dương sẽ chuyển động ra xa vô cực trên quỹ đạo hypebol.Các mức năng lượng âm , ứng với chuyển động giới nội

Qua quan sát chuyển động của các hành tinh quanh Mặt Trời, ở thế kỷ XVIII,nhà toán học và thiên văn học Kepler đã thiết lập được bằng thực nghiệm các

định luật chuyển động cơ bản của chúng Các chuyển động ấy gọi là chuyểnđộng Kepler.

2.1 Định luật về quỹ đạo

Phát biểu: Tất cả các hành tinh

đều quay quanh Mặt Trời theo

những quỹ đạo elip mà Mặt Trời ở

một trong hai tiêu điểm.

Hình IV – 2 trình bày một hành

tinh có khối lượng m, chuyển động

trên một quỹ đạo như thế quanh Mặt

Trời, có khối lượng M Ta giả sử

rằng , từ đó khối tâm của hệ

hành tinh – Mặt Trời là ở tâm Mặt

Trời

Quỹ đạo trên hình IV – 2 được

mô tả bằng các cho biết nửa trục lớn a và tâm sai e của nó, tâm sai này đượcdịnh nghĩa sao cho ea là khoảng cách từ tâm của elip đến tiêu điểm F hoặc tiêuđiểm F’ Tâm sai bằng không ứng với đường tròn, trong đó cả hai tiêu điểm hòathành một điểm duy nhất ở tâm Tâm sai của quỹ đạo Trái Đất chỉ có 0,0167

Diện tích của phần bôi xám trên hình IV – 3a là diện tịch quét trong thời gian Diện tích gần đúng là diện tích của tam giác có đáy và có đường cao

r Như vậy Biểu thức này của trở nên chính xác hơn khi dần tới không Tốc độ tức thời mà diện tích được quét khi đó là:

( IV.4)Trong đó, là tốc độ góc của đường quay, r là khoảng cách giữa Mặt Trời vàhành tinh

Hình IV – 3b trình bày động lương của hạt cùng các thành phần của nó Momenđộng lượng của hành tinh đối với Mặt Trời được cho bởi tích của r với

Nếu là không đổi thì phương trình ( IV.6 ) có nghĩa là momen động lượngđược bảo toàn Như vậy, định luật thứ hai của Kepler tương đương với sự bảotoàn momen động lượng.

2.3 Định luật về chu kì

Phát biểu: Bình phương chu kì của bất kì hành tinh nào cũng tỉ lệ với lập phương của bán trục lớn của quỹ đạo nó.

Ta xét một quỹ đạo tròn, với bán kình r ( bán trục lớn)

Áp dụng định luật Newton thứ hai cho hành

tinh đang quay trên hình IV – 4 ta được:

Nếu ta thay bằng , trong đó T là chu kì chuyển

động, thì ra được:

(IV.7)Đại lượng trong dấu ngoặc là hằng số, giá trị của nó chỉ phụ thuộc khối lượngcủa vật ở tâm

( IV.6) Hình IV – 4 Một hành

tinh khối lượng m chuyển động quanh Mặt Trời, trên quỹ đạo tròn, bán kính r.

C BÀI TẬP

Bài 1 Khối lượng Mặt Trăng nhỏ hơn khối lượng Trái Đất 81 lần Khoảng

cách giữa tâm Trái Đất và Mặt Trăng bằng 60 lần bán kính Trái Đất Lực hút củaMặt Trăng và Trái Đất tác dụng vào một vật cân băng nhau tại điểm nào trênđường thẳng nối tâm của

chúng

Giải

Trái Đất có bán kính R,

khối lương M thì suy ra khối

lượng của Mặt Trăng là:

Khoảng cách từ Trái Đất tới Mặt Trăng : 60R

Gọi H là điểm mà tại đó lực hấp dẫn của Mặt Trăng lên điểm đó cân bằng vớilực hấp dẫn của Trái Đất lên nó Khoảng cách từ H đến Mặt Trăng là

Giải phương trình trên ta suy ra

Bài 2 Khoảng cách giữa một hạt 5,2 kg và một hạt 2,4 kg phải là bao nhiêu

để lực hấp dẫn giữa chúng là

Giải

Biểu thức lực hấp dẫn

Suy ra

Bài 3 Một khối lượng bị tách thành hai phần, m và , sau đó chúngđược đặt cách nhau một khoảng nào đó Tỉ số phải bằng bao nhiêu để cholực hấp dẫn giữa hai mảnh đạt cực đại ?

Giải

Lực hấp dẫn giữa hai mảnh là

Theo bất đẳng thức cauchy thì: Tổng hai số dương khôngđổi thì tích của chúng là lớn nhất khi chúng bằng nhau

Điều đó có nghĩa là khi hay

Vậy khi tách M thành hai phần bẳng nhau thì lực hấp dẫn giữa chúng là mạnhnhất

Bài 4 Chứng minh rằng, ở đáy của một cái giếng thẳng đứng khoan đến tận

độ sâu D thì giá trị đo được của g sẽ là

theo cát tuyến AB của Trái Đất Bỏ qua các lực cản và lực ma sát Coi bán kinh

chi cho x ta được

Vậy nghĩa là vật đang dao động điều hòa với chu kỳ T

Thời gian một lượt đi từ A đến B là:

Bài 6 Cho 5 khối lượng được đặt vào 4 đỉnh và tâm của mộthình vuông cạnh a Tìm lực hấp dẫn tổng hợp tại tâm hình vuông đó.

Giải

và

vàGọi hợp lực của và là ; và là

Về độ lớn ta có

Lực hấp dẫn tổng hơp tại O là

Về độ lớn

Bài 7 Cho bốn vật hình cầu có khối

lượng lần lượt là được

bố trí như hình 5 Viết lực hấp dẫn tổng

hợp tác dụng lên vật có khối lượng m

dưới dạng vecto

Giải

Lực hấp dẫn tổng hợp tại vật khối lượng m là:

Với là lực do vật 4m tác dụng vào vật m theo hướn của vecto , là lực

do vật 2m tác dụng vào vật m theo hướnng của vecto và là lực do vật 3mtác dụng vào vật m gồm 2 thành phần và

Như vậy, vecto lực hấp dẫn tổng hợp tại m được viết lại:

Bài 8 Cho 3 vật hình cầu có cùng khối

lượng , đặt trong không gian cách nhau

một khoảng hợp với nhau thành một tam