Tà sẽ chứng tỏ x=10 là nghiệm duy nhất của phơng trình 1... Vậy x=l là nghiệm duy nhất của phơng trình đã cho.
Trang 1
1) Phơng pháp:
Bóc I:Tìm điều kiện xác định D
Bóc 2:Tìm xọ€ D thoả mãn phơng trình đã cho
Bóc 3: Đánh giá với x> xo và x < xọ phơng trình không xảy ra
Boc 4: Kết luận: x= xo là nghiệm của phơng trình đã cho
2) Các ví dụ:
Ví dụ T:
Giải phơng trình:
xtVx—1=13 (1) ( Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 9.)
Lời giải:
Dễ dàng nhận thấy x= 10 là một nghiệm của phơng trình (1)
Tà sẽ chứng tỏ x=10 là nghiệm duy nhất của phơng trình (1)
That vay :
Diéu kién: x =1
+Néu x>10 thi x-1 >9 => Vx—1>3
Suy ra: Xx+-Vx —1 >1043
Hay VT >VP
+ Néu 1<x<10 thi:
X-1<9 => Vx—1 <3
Suy ra X+Vx —1 <10+3 hay VT<VP
Tóm lại: x= 10 là nghiệm duy nhất của phơng trình đã cho
Ví dụ 2:
Giải phơng trình:
(x+3) Vx—1 =0 (2) ( Toán tuổi thơ 2 số 24)
Lời giải:
Nhận thấy x= l là một nghiệm của phơng trình (2)
Ta sẽ chứng tỏ x=l là nghiệm duy nhất của phơng trình (2)
That vậy: Điều kiện x >1
Với x>Í ta có: x-lI>0 => Vx—I>0
x +3>0
Từ đó suy ra (x+3) 2+ —1 >0 ( Mâu thuần với phơng trình (2))
Trang 2
Vậy x=l là nghiệm duy nhất của phơng trình đã cho
Ví dụ 3:
Giải phơng trình:
Vx +3 +/x—1 =2 (3) (Dé thi tuyén sinh vào lớp 10 chuyên toán ĐHKHTN, ĐHỌG Hà Nội
2004 — 2005)
Lời giải:
Tà thấy x=l là một nghiệm của phơng trình (3)
Ta sẽ chứng tỏ x= I là nghiệm duy nhất của phơng trình (3)
Thật vậy: Điều kiện x >1
Với x>l ta có:
*) x+3 >4 => Vx+3 >2
*) x-1>0 => Vx—1>0
nên J/x+3+V/x—1 >2 hay VI>VP
Vậy x=l là nghiệm duy nhất của phơng trình đã cho
Ví dụ 4:
Giải phơng trình :
x~x+124x+I=36 (4) (Toán Tuổi thơ 2 Số 8)
Lời giải:
Nhận thấy x=3 là một nghiệm của phơng trình (4)
Tà sẽ chứng minh x=3 là nghiệm duy nhất của phơng trình (4)
Thật vậy: Điều kiện x >—1
+Néu x>3 thi:
*) x0
*) x+l>4 => JVx+1>2 => l24/+~+I>24
Suy ra x*+ x + 12 Vx +1>36 hay VI>VP
+ Néu -1 <x <3 thi:
*) x” <0
*) x+l<4 => vx +1<2 => 12Vx4+1<24
Suy ra X“+ x + 124/x +1 <36 hay VT<VP
Vậy x= 3 là nghiệm duy nhất của phơng trình đã cho
Ví du 5:
Giải phơng trình:
X*= 43-Jx? +43 (5)
Trang 3
Lời giải : Đặt y=x”, điều kiện z >0
Khi đó phơng trình (5) trở thành:
v=43-v/x+43 (5)
Tà thấy y = 6 là một nghiệm của phơng trình (5’)
Ta sẽ chứng tỏ y= 6 là nghiệm duy nhất của phơng trình (Š5”)
That vay:
+ Néu y>6 thi:
*) y? >36 hay VI>36
*) yt 43 > 49 => Vv +43 > 7 => -V¥ +43 <-7=> 43- Vv +43 < 43-7=36 hay VP<36
Nén VT>VP
+Néu OS x<6 thi:
*) y <36 hay VT<36
*) yt43 < 49 => Jy +43 < 7 => -vJy +43 >-7=> 43-Jy +43 > 43-7=36 hay VP>36
Nén VT<VP
Tóm lại: y=6 là nghiệm duy nhat cua phong trinh (5’)
Khi đó ta có: y=6 <=>x“=6 <=> X=+V/6
Kết luận: Phơng trình đã cho có 2 nghiệm xÍ=+x/6 ; x2=- x6
Trên đây là một số ví dụ mà tôi đã chuyền từ phơng pháp truyền thống sang giải bằng “Phơng pháp đánh giá ẩn” và một số ví dụ mà tôi đã su tầm
Một số bài toán tơng tự:
Giải phơng trình:
Bai 1: x+ ⁄x—5 =7
Bai 2: (x +1) Vx —2 =0
Bai 3: Vx +2 +Vx—1=3