De thi hs gioi cap tinh toan 9

Gọi D và E lần lợt là hình chiếu của điểm H trên AB và AC.. Chứng minh M là trung điểm BH ; N là trung điểm của CH.. d, Tính diện tích tứ giác DENM.

Phòng giáo dục Đề thi học sinh giỏi lớp 9

Thọ xuân THCS Năm học: 2006 - 2007

Trờng THCS Nam Giang Môn thi: toán

(Thời gian làm bài 150 phút – không kể thời gian giao đề) không kể thời gian giao đề)

đề bài

CâuI- (4đ) : Tính giá trị của biểu thức :

1, 5  3  29  12 5

2, 2  3 + 14  5 3

Câu II- (5đ) : Giải các phơng trình sau :

1,

1



x

x

+

1

1



x =

1

2

2



x

2, 2 2 1





3, x4 – không kể thời gian giao đề) 3x3 + 4x2 – không kể thời gian giao đề)3x +1 = 0

Câu III- (3đ) :

1, Cho a,b,c là các số dơng , chứng minh rằng :

12

a +1 2

1

b +2 2

1

c + 8  abc

32

2, Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có :

1



n - n >

1 2

1



n

Câu III – không kể thời gian giao đề) (3đ) : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :

a, y =

9 4 2

1 2

2

2









x x

x x

b, y =

2

1

3



x - 4

Câu VI (5đ) : Cho tam giác ABC vuông ở A ,đờng cao AH Gọi D và E lần lợt là

hình chiếu của điểm H trên AB và AC Biết BH = 4(cm) ; HC = 9(cm)

a, Tính độ dài đoạn DE

b, Chứng minh rằng AD AB = AE.AC

c, Các đờng thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lợt cắt BC tại M và N Chứng minh M là trung điểm BH ; N là trung điểm của CH

d, Tính diện tích tứ giác DENM

-&*& -Đáp án và biểu chấm

môn: toán 9

Câu I : (4điểm) Tính giá trị biểu thức sau :

a,(2đ)

5  3  29  12 5 = 5  3  ( 2 5  3 ) 2 (0,5 đ)

= 5  3  2 5  3 (0,5đ)

= 5  6  2 5 (0,25đ)

= 5  ( 5  1 ) 2 (0,5đ)

= 5  5  1 (0,25đ)

= 1

b (2đ)

3

2  + 14  5 3 =

2

3 5 14 3 2 (

2    (0,5đ)

=

2

3 10 28 3 2

4    (0,25đ)

=

2

) 3 5 ( ) 1 3 (  2   2 (0,5đ)

=

2

3 5 1

3    (0,5đ)

= 3 2

2

6

 (0,25đ)

Câu II: (5điểm) Giải phơng trình sau.

a (1,5đ)

1

2 1

1









x x

- Tìm đợc

ĐKXĐ: x  1± 1 (0,5đ)

- Giải và tìm nghiệm x = 1  ĐKXĐ (1đ)

x = - 3  ĐKXĐ

b 2 2 1 2 4 4 3











Trang 1

- Biến đổi đa phơng trình về dạng

| x – không kể thời gian giao đề) 1| + | x – không kể thời gian giao đề) 2 | = 3 (0,5đ)

- Xét đúng các trờng hợp của phơng trình (0,5đ)

- Tìm nghiệm đúng x = 0; x = 3 (0,5đ)

c (2đ) x4 – không kể thời gian giao đề) 3x3 + 4x2 – không kể thời gian giao đề) 3x + 1 = 0

Lý luận x = 0 không phải là nghiệm nếu phơng trình có nghiệm thì x  0 chia cả 2

vế cho x2 ta đợc:

x2 – không kể thời gian giao đề) 3x + 4 -

x

3

+ 12

x = 0 (0,5đ)

- Đa phơng trình về dạng:

( x2 + 12

x ) – không kể thời gian giao đề) 3 (x + x

1

) + 4 = 0 (0,25đ)

- Đặt đợc ẩn phụ và đa phơng trình về dạng (Đặt y = x +

x

1

)

y2 – không kể thời gian giao đề) 3y + 2 = 0 (0,5đ)

- Giải tìm đợc nghiệm y = 1; y = 2 (0,25đ)

- Tìm đợc ẩn x từ ẩn phụ y đúng trong các trờng hợp (0,25đ)

Nghiệm của phơng trình là x = 1 (0,25đ)

Câu III: (3điểm)

a.(1,5đ) Cho a,b,c là các số dơng Chứng minh rằng:

( 12

a + 1 ) ( 2

1

b + 2 ) ( 2

1

c + 8 )  abc

32

- áp dụng đợc bất đẳng thức Cô Si cho các số dơng (1đ)

2

1

a + 1  2 2

1

a = a

2

2

1

b + 2  2 b b

2 2 2

2 

8

1

2 

c  2 c c

2 4 8

2 

 ( 12

a + 1 ) ( 2

1

b + 2 ) ( 2

1

c + 8 )  abc

32

(0,25đ)

Dấu “=” xảy ra khi a = 1; b =

2

1

; c =

2 2

1

(0,25đ)

Trang 2 b.(1,5đ) Chứng minh rằng với mọi n  N ta có

1 2

1 1









n n n

- Biến đổi

n n

n n

n n

n n



















1

) 1 )(

1 ( 1

=

n

n1 

1

(0,25đ)

- So sánh đợc:

n

n1 

1

>

1 2

1



- Từ đó suy ra:

1 2

1 1









n n n

Câu IV:(3điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất các hàm số:

a (2đ) y =

9 4 2

1 2

2 2









x x

x x

=

9 4 2

2

11 ) 9 4 2 ( 2 1

2 2











x x

x x

(0,5đ)

=

18 8 4

11 2

1

2







x

=

14 ) 1 ( 4

11 2

1

2 





- Lý luận đợc y min khi

14 ) 1 ( 4

11

2 



- Tìm

14 ) 1 (

4

11

2 



14

11

khi x = -1 (0,25đ)

-  đợc y min =

7

2 14

11 2

1



 khi x = -1 (0,5đ)

b.(1đ) y =

2

1

| x + 3 | - 4

- Lý luận đợc

2

1

| x + 3 |  0  x (0,25đ)

Trang 3



2

1

| x + 3 | - 4  - 4 (0,25đ)

 y min = - 4 khi x = - 3 (0,5đ)

Câu V: (5đ)

Vẽ hình đúng ghi giả thiết và kết luận sạch đẹp (0,5đ)

a.(1đ) Tính đúng DE = 6 (cm) (1đ)

b.(1đ) Chứng minh đúng hệ thức dựa vào hệ thức lợng trong tam giác vuông (1đ)

c (2đ) Gọi I là giao điểm của AH và DE thì:

ID = IE = IA = IH (0,5đ)

  MID =  MIH (cạnh huyền – không kể thời gian giao đề) cạnh góc vuông) (0,5đ)

 MD = MH   MDH cân tại M  MDH = MHD

  MBD cân ở M ta có MD = MB

 MB = MH (= MD) vậy M là trung điểm của BH

Chứng ming……….thì N là trung điểm của HC (0,5đ)

d (0,5đ) Từ câu c suy ra:

DM =

2

1

BH =

2

1

4 = 2(cm)

EN =

2

1

HC =

2

1

 S DENM =

2

1

(DM + EN) DE =

2

1

(2 + 4,5) 6 = 19,5 (cm2) (0,25đ) Ghi chú: Mọi cách làm khác mà vẫn đúng đều cho điểm tối đa

-&*& -Trang 4