TOÁN CHUYÊN TPHCM lớp 10

Trường học thông minh 789.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP... Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC CA AB, , lần lượt tại , ,.. Gọi D E, theo thứ tự hình chiếu của B C,

Trường học thông minh 789.vn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TP HỒ CHÍ MINH

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

NĂM HỌC: 2019 – 2020 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN Ngày thi: 03 tháng 6 năm 2019

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1 Cho a b c, , là ba số thực thỏa điều kiện a   Tính giá trị của biểu thức b c 1

Lời giải Trước hết, khai triển biểu thức 3(abc c)( 1)3abc3(abbcca)

Thay vào biểu thức đã cho, ta có

Sử dụng hằng đẳng thức quen thuộc

2

a b c  abc  a b c ab  b c  ca

kết hợp điều kiện a  b c 1, ta có:

2

1

2 1

2

a b c

Vậy nên ta được A 1

Câu 2

a) Giải phương trình 5 x  1 x  7 3x  4

b) Giải hệ phương trình 2( ) 4





Lời giải a) Điều kiện: x  Đặt 1 u  x 1,v  x  Khi đó 7

  



Trường hợp 1 Với 5u v 0, suy ra 4

3

v  u  x   x   x (nhận)

Trường hợp 2 Với 5u  thì v 8

Trường học thông minh 789.vn

2

41

2

9

x x

x

x

 



Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là 4

2;

3

S  

  

 

  b) Đặt S  x y P, xy S, 24P 0, ta có

2

3

S





(nhận)

Do đó x và ylà hai nghiệm của phương trình 2 1

2

X

X

 



      Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (1, 2),(2,1)

Bài 3 Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC CA AB, , lần lượt tại , ,

giác BKC.

Lời giải

Gọi D E, theo thứ tự hình chiếu của B C, lên PN Theo tính chất tiếp tuyến, ta có

E

D

K P

N

B A

Trường học thông minh 789.vn

Ta có BPD APN ANP CNE nên BPD CNE g g( ) Do đó

BD BP BM

CE CN CM

CM  EK , suy ra BD DK

CE  EK Điều này kéo theo hai tam giác BDK CEK c g c ( ) nên BKD CKE

Vậy nên KM là phân giác của BKC

Câu 4 Cho x y z, , là các số thực thuộc đoạn [0, 2] và thỏa mãn điều kiện x    y z 3

a) Chứng minh rằng: x2y2 z2 6

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x3y3 z3 3xyz

Lời giải a) Do x y z , , [0, 2] nên x2 2 ,x y22 ,y z2 2 z Do đó

Tuy nhiên dấu bằng trong bất đẳng thức trên chỉ xảy ra khi và chỉ khi

{0, 2}, {0, 2}, {0, 2}

3



   

Vậy ta có x2 y2 z2 6

b) Do x y z , , [0, 2] nên

Suy ra

2

Ta cũng có:

Trường học thông minh 789.vn

2

3

3(9 3( )) 3(9 3.2) 9

x y z xyz

x y z x y z xy yz xz

xy yz xz

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 0,y 1,z  và các hoán vị của chúng 2

Câu 5 Cho tam giác đều ABC. Gọi M N, là hai điểm trên cạnh BC sao cho MAN  30 (M nằm giữa B và N ) Gọi K là giao điểm của hai đường tròn (ABN) và (ACM) Chứng minh rằng

a) Hai điểm K và C đối xứng nhau qua AN

b) Đường thẳng AK đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN

Lời giải

Gọi X Y, lần lượt là tâm ngoại tiếp hai tam giác (ABN),(ACM)

Đặt BAM x CAN, y thì x  y 30  Ta có ANB 60 y nên

XAB             y x BAM

, điều này cho thấy A X M, , thẳng hàng Chứng minh tương tự, ta cũng có A Y N, , thẳng hàng

Ta có AKN ABN 60 ACN Vì K (ACM) nên YK YC

Z Y X

K

N

B

A

Trường học thông minh 789.vn

Lấy điểm K  đối xứng với C qua AN thì YK YC , đồng thời AK N ACN nên suy

ra YK YK  và AK N AKN Do đó K K  và K C, đối xứng nhau qua AN b) Theo câu a thì KAN CAN y Gọi Z là tâm của đường tròn (AMN) thì

AZN  AMN   x    x nên

Vì thế nên KANZAN, kéo theo A Z K, , thẳng hàng hay Z AK

Câu 6 Cho m n, là hai số nguyên Chứng minh rằng nếu 7(mn)22mn chia hết cho

225 thì mn cũng chia hết cho225

Lời giải Ta có

7(mn) 2mn 0 (mod 225)14(mn) 4mn 0 (mod 225)

Mà 4mn (m n)2 (mn)2 nên suy ra

15(m n) (m n) 0 (mod 225) (1)

Xét theo mod 15, ta có

2

( ) 0 (mod15)

(mod 3)

(mod15) (2) (mod 5)

 



Suy ra (mn) 2252 Theo (1), ta có(mn) 152 Chứng minh tương tự như trên, ta có

15

m n

Kết hợp với (2), ta có m 15 và n 15, vì thế nên mn chia hết cho 225

Lời giải được thực hiện bởi:

Thầy Huỳnh Công Thái, Lê Phúc Lữ, Nguyễn Quốc Anh, Đoàn Văn Bộ,

Trần Bá Đạt, Nguyễn Trường Hải, Huỳnh Quốc Thắng cùng tập thể GV Toán trường THPT Đông Đô TPHCM (789.VN)