Chứng minh định lý “Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền với hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền” Áp dụng: Đường cao của một tam
Trang 1ĐỀ SỐ 1
A.
LÝ THUYẾT:
1 Phát biểu định nghĩa căn bậc hai số học của một số không âm? Viết dạng tổng quát?
2 Chứng minh định lý “Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền với hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền”
Áp dụng: Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyên thành hai đoạn 18cm và 32cm Tính độ dài các cạnh góc vuông
B.
TRẮC NGHIỆM : Mỗi bài tập sau đều có kèm theo các câu trả lời a, b, c, d Em
hãy chọn câu trả lời đúng rồi ghi vào bài làm của mình:
1) Cho hàm số y = 3x + 1 Khẳng định nào sau đây là đúng:
a/ Hàm số đồng biến trên R b/ Đồ thị hàm số đi qua điểm A(5; 16)
c/ Cả a và b đều đúng d/ Cả a và b đều sai
2) Với giá trị nào của m, phương trình 5x2 + 10x – 2m + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt?
3) Góc ở tâm AOB có số đo là 650 Hỏi cung lớn AB có số đo bao nhiêu?
4) Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O;R) Khẳng định nào sau đây đúng?
a / AB BC CA= = b / AB BC CA» >» =»
c / AB BC CA< = d / AB BC CA» =» >»
C.
TỰ LUẬN :
Bài 1: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến thoả
điều kiện xác định:
2
1 1
x
x x
+
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a/ 3x2 + 7x + 4 = 0
Bài 3: Cho hai hàm số y = x2 có đồ thị (P) và y = 3 – 2x có đồ thị (D)
a/ Vẽ (P) và (D) trên cùng mặt phẳng toạ độ Oxy
b/ Bằng đồ thị, xác định toạ độ giao điểm của (P) và (D) Kiểm tra bằng phương pháp đại số
c/ Tính khoảng cách từ O đến (D)
Trang 2Bài 4: cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 10cm Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau
2cm Tính độ dài các cạnh góc vuông
Bài 5: Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn
(B và C là các tiếp điểm)
a/ Chứng minh rằng: tứ giác ABOC nội tiếp được
b/ Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng: tứ giác HBOC là hình thoi c/ Đường thẳng AO cắt BC tại K và cắt đường tròn tại E và F
Chứng minh rằng: AE.AF = AK.AO
D.
BÀI TẬP DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI :
Bài 6: a/ Chứng minh rằng: ( )2
2
x y
8
x y
b/ Cho x > 0 và y > 0 sao cho x + y = 1 Chứng minh rằng: 8(x4 y4) 1 5
xy
Bài 7: Rút gọn các biểu thức:
A = 5− 3− 29 12 5−
B = 84 3 24 4
2
+ +
Bài 8: Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 4 = 0 (x là ẩn, m là tham số)
a/ Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2
b/ Tính giá trị của biểu thức 1 2
x + x theo m
c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x12 + x22
Bài 9: Giải các phương trình sau:
a/ x+ +3 4 x− +1 x+ −8 6 x− =1 5
b/ (4x + 1)(12x – 1)(3x + 2)(x + 1) = 4
Bài 10: Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng (d) không đi qua O, cắt đường tròn tại hai
điểm A và B Từ một điểm M trên đường thẳng (d) và ở ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến
MN, MP của đường tròn (O) (N và P là hai tiếp điểm)
a/ Chứng minh rằng: ·NMO NPO=·
b/ Chứng minh rằng: Đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua hai điểm cố định khi M
di động trên đường thẳng (d)
c/ Xác định vị trí M trên đường thẳng (d) sao cho tứ giác MNOP là hình vuông
d/ Chứng minh rằng: Tâm I của các đường tròn nội tiếp tam giác MNP di động trên một đường cố định khi M di động trên (d)
Trang 3HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 1
2
0 2
x y
dấu đẳng thức xảy ra khi x = y
Ta có: 4 4 ( ) ( ) (2 2 2 2 2 2)2
2
2
x y
( )4
8
x y
Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y
xy
Suy ra: 8(x4 y4) 1 5
xy
Bài 7: Rút gọn các biểu thức:
2
Bài 8:
a/ Ta có: ∆’ = (m – 1)2 – (2m – 4) = m2 – 4m + 5 = (m – 2)2 + 1 > 0 với mọi m
=> Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m
b/ Theo hệ thức Vi- ét ta có: x1 +x2 =2(m−1); x x1 2 =2m−4
Ta có:
c/ Ta có: x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1.x2 = 4(m – 1)2 – 2.(2m – 4)
= 4m2 – 12m + 12 = (2m – 3)2 + 3 ≥ 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức x12 + x22 là 3 <=> 2m – 3 = 0 <=> m = 3
2
Bài 9: Giải phương trình:
a/ x+ +3 4 x− +1 x+ −8 6 x− =1 5 (DK x: ≥1)
Ta có: x− + +1 2 x− − ≥1 3 x− + + −1 2 3 x−1
Trang 41 2 1 3 5
Dấu bằng xảy ra khi: ( x− +1 2 3)( − x− ≥ ⇔ −1) 0 3 x− ≥ ⇔1 0 x− ≤ ⇔ ≤1 3 x 10 (2)
Từ (1), (2) và điều kiện, ta suy ra:
Phương trình có tập nghiệm: S = {x/ 1 ≤ x ≤ 10}
b/ (4x + 1)(12x – 1)(3x + 2)(x + 1) = 4 (1)<=> (12x2 +11x + 2)(12x2 +11x – 1) – 4 = 0
Đặt y = 12x2 + 11x + 2 ta có phương trình: y(y – 3) – 4 = 0 (2)<=> y2 – 3y – 4 = 0
<=> Phương trình (2) có hai nghiệm; y1 = – 1; y2 = 4
Khi y = – 1 ta có: 12x2 + 11x + 3 = 0 (3) Phương trình (3) vô nghiệm
Khi y = 4 ta có: 12x2 + 11x – 2 = 0 (4) Phương trình (4) có hai nghiệm:
;
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: 1 11 217; 2 11 217
Bài 10:
B A
N
O I
M
P C
a/ Tứ giác MPON nội tiếp đường tròn đường kính MO nên ·NMO NPO= · (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung
b/ Gọi C là trung điểm của AM Vì A và B cố định => C cố định
Vì C là trung điểm của AB => OC ⊥ AB hay OC ⊥ MC => OCM· =900 => C nằm trên đường tròn đường kính OM
Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua hai điểm cố định O và C
c/ Tứ giác OPMN là hình vuông <=> ∆OPM vuông cân tại M <=> OM = R 2
Vậy M là giao điểm của (O; R 2) với đường thẳng d
d/ I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác MNP nên I là giao điểm ba phân giác của ∆
MNP
=> I là trung điểm của cung NP và thuộc OM Vậy I di động trên cung lớn AB của đường tròn (O; R)