lý thuyết chương số phức ( cơ bản )

Các quy tắc đại số đã biết trên tập số thực vẫn được áp dụng trên tập số phức... Các tính chất của acgumen : Nếu  là một acgumen của z thì  là một acgumen của z.. Lũy thừa số phức dư

Ch¬ng 4 – Gi¶i tÝch 12 Sè Phøc

I SỐ PHỨC VÀ BIỂU DIỄN SỐ PHỨC :

1 Định nghĩa: Số phức là một biểu thức có dạng a bi , trong đó a b ,   ; i2  1

 Số phức z a bi  có a là phần thực, b là phần ảo.

 Số phức z a bi  được biểu diễn bởi điểm M a b  ;  hay bởi u    a b ;  trong mặt phẳng tọa độ Oxy

 z = a + 0i là số thực

 z = 0 + bi là số thuần ảo

 z = 0 + 0i vừa là số thực vừa là số ảo

 Hai số phức bằng nhau : a c

a bi c di

b d







 Modun của số phức z a bi  chính là độ dài của OM 

Vậy :

2 2

z  OM   a  b

 Số phức liên hợp của số phức z a bi  là số phức z  a bi

Chú ý rằng : các điểm biểu diễn z và z đối xứng nhau qua trục hoành Do đó z là

số thực khi và chỉ khi z z, z là số ảo khi và chỉ khi z  z

2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC :

a Phép cộng, trừ, nhân hai số phức :

 a bi     c di     a c     b d i  

 a bi     c di     a c     b d i  

 a bi c di        ac bd     ad bc i  

Chú ý :

Các phép toán : cộng, trừ, nhân hai số phức thực hiện như rút gọn biểu thức đại số quen thuộc với chú ý rằng i 2 1 Các quy tắc đại số đã biết trên tập số thực vẫn được áp dụng trên tập số phức

1 , 2 1, 3 , 4 1

i  i i  i  i i  Tổng quát : i4n 1, i4n1 i i , 4n2 1, i4n3 i

 1  i 2  2 i;  1  i 2  2 i

b Phép chia hai số phức :

Bài 1: SỐ PHỨC

Chương IV: SỐ PHỨC

   

2 2

a bi c di a bi c di

a bi



Như vậy :

2

.

  

 

Chú ý :

1 1

i i i





c Các tính chất của số phức liên hợp và modun :

 z z; z z  z z; zz   z z ; z z



 z  0 với mọi z , z   0 z  0

 z  z ; zz   z z ; z z

z z





 ; z z    z  z 

 Tính kết hợp: ( z + z/ ) + z// = z + ( z/ + z// )

 Tính giao hoán : z + z/ = z/ + z

 Cộng với 0: z + 0 = 0 + z = z

 z = a + bi = > - z = - a – bi là số đối của z

I Căn bậc 2 của số phức:

1 Định nghĩa : Số phức z là căn bậc hai của số phức w nếu :

2

z w Như vậy để tìm Số phức z x yi   x y   ,  là căn bậc hai của số phức

w a bi  ta giải hệ phương trình hai ẩn x, y thực sau :

2

xy b













Chú ý :

 Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0

0

a 

Ch¬ng 4 – Gi¶i tÝch 12 Sè Phøc

 Số thực a 0 có hai căn bậc hai là  i a   i a Đặc biệt , số 1 có hai căn bậc hai là i

II Phương trình bậc hai :

Cho phương trình bậc hai az2 bz c 0 (a b c, , ,a0)

 Nếu  0, phương trình có một nghiệm kép

2

b z

a

 Nếu  0, phương trình có hai nghiệm phân biệt :

1,2

2

b z

a



 

trong đó  là một căn bậc hai của 

a Định lý Viet :

Nếu phương trình bậc hai az2 bz c 0 (a b c, , ,a0) có hai nghiệm z z1, 2 thì :

1 2

b

z z

a

z z

a

b Định lý đảo của định lý Viet :

Nếu hai số z z1, 2 có tổng z1  z2  S và z z1 2  P thì z z1, 2 là nghiệm của phương trình :

z  Sz P 

I Dạng lượng giác của số phức :

Số phức z a bi  0 có dạng lượng giác là : z r   cos   i sin   ; trong đó : 0

r  z  , cos a

r

r

  ,    Ox OM ,  là một acgumen của z.

Các tính chất của acgumen :

Nếu  là một acgumen của z thì  là một acgumen của z

Nếu  là một acgumen của z thì   là một acgumen của  z

II Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác :

Nếu z r   cos   i sin   và z   r   cos    i sin    thì :

zz   rr         i       ,

z r

i

z   r              

III Lũy thừa số phức dưới dạng lượng giác :

Nếu z r   cos   i sin   thì zn  rn cos n   i sin n   n 1 và n .

IV Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác :

Nếu z r   cos   i sin   thì các căn bậc hai của z là :

r       i     

Bài 1: Xác định phần thực , phần ảo của các số phức sau :

a) z = 2 + 5i b) z = 2 i c) z = 3 d) z = 0

e) i + (2 4i) (3 5i) f) ( 2 5i) g) (2 + 3i)(2 3i) h) i(2 i)(3+i)

Bài 2: Cho z = (2a 4) + (3b + 6)i với a,b   Tìm điều kiện của a và b để :

a) z là số thực b) z là số ảo

Bài 3: Tìm các số thực a,b sao cho z = z với từng trường hợp sau :





a) z = ( 3a 6) + i , z = 12 + (2b 9)i

b) z = (2a 5) (3b 1)i , z = (2b 1) + (3a 5)i

Bài 4: Tính z + z , z z , z z với :   





a) z = 3+2i , z = 4 + 3i

b) z = 2-3i , z = 5 + 4i

Bài 5: Tìm nghịch đảo của các số phức sau :

a) z = 3 + 4i b) z = 1 2i c) z = 2 + 3i

Bài 6: Thực hiện các phép tính sau :

 

A = (1 i) ; B = (2 + 4i) ; D = (1+ i) 13i ; E = ; F =

(1 i)(4 3i) 4 3i





G = ;H ; I = ; J = ; K =

Bài 7: Cho z =  1 3i Hãy tính : , z,z ,(z) ,1 z z 1 2 3   2

Bài 8: Giải các phương trình sau trên tập số phức : với ẩn z 

a) iz + 2 i = 0 b) (2 + 3i)z = z 1 c) (2 i)z 4 = 0 d) (iz 1)(z + 3i)(z 2+3i) = 0

e) 3 x   3 2  i    6 7 i; f)  5 2  i x      2 i    7 3 i

g) 4 2  i   1  i z 2  0 h) z2z  6 2i

m) iz3z  7 5i; n) 3z 2z 5 2i

Bài 9: Tìm các căn bậc hai của các số phức sau :

BÀI TẬP

Ch¬ng 4 – Gi¶i tÝch 12 Sè Phøc

a) z = 1 b) z = 9 c) z = 5 + 12i d) z = i

e) z = 1+ 4 3i f) z = 17+ 20 2i g) z = 8 + 6i h) z = 46 14 3i

Bài 10: Giải các phương trình sau trên tập số phức : với ẩn z 

            

        

a) z z 1 b) z 2z 5 0 c) z z 1 0 d) z ( 2 i)z 2i 0 e) ix 2(1 i)x 4 0 f) x (5 i)z 8 i 0

 

2

g) z 4 0 h) z2 2i