50 đề vào 10 CHUYÊN TOÁN 2018 2019

Chứng minh đường thẳng BC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ANP c Tiếp tuyến của O tại C cắt DP tại M... Do đó: AHN AIN BIKhai góc nội tiếp cùng chắn cung AN Gọi O1là tâm đườ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NGHỆ AN

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2018-2019 Môn thi: TOÁN CHUYÊN Ngày thi: 03/06/2018 Câu 1

a) Chứng minh AN BI DH BK.

b) Tiếp tuyến của (O) tại D cắt đường thẳng BC tại P Chứng minh đường thẳng

BC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ANP

c) Tiếp tuyến của (O) tại C cắt DP tại M Đường tròn qua D tiếp xúc với CM tại

M và cắt OD tại Q (Q khác D) Chứng minh đường thẳng qua Q vuông góc với BM luôn đi qua điểm cố định khi BC cố định và A di động trên đường tròn (O)

Câu 5 Để phục vụ cho lễ khai mạc World Cung 2018, ban tổ chức giải đấu chuẩn bị

25000 quả bóng, các quả bóng được đánh số từ 1 đến 25000 Người ta dùng 7 màu: Đỏ,

Da cam, Vàng, Lục, Lam, Chàm, Tím để sơn các quả bóng (mỗi quả được sơn 1 màu) Chứng minh rằng trong 25000 quả bóng nói trên tồn tại 3 quả bóng cùng màu được đánh số là a b c, , mà a chia hết cho b, b chia hết cho c và abc 17

ĐÁP ÁN Câu 1

y z z

Vậy ta có điều phải chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a  b c 1

Câu 4

J Q M

P

K D

A

a) Chứng minh AN BI DH BK.

Ta có do cùng chắn cung AB nên BDABNAIHABNAINA

Suy ra tứ giác ANHInội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau) Do đó: AHN AIN BIK(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN)

Gọi O1là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ANP, I là trung điểm NP

Vì A; D đối xứng qua BC nên PA cũng là tiếp tuyến của (O)

c)

Gọi J là trung điểm OM, G là trung điểm của OC, E là giao điểm của QGvà BM

Dễ thấy MQ là đường kính của đường tròn đi qua D là tiếp xúc với MC (Do

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO

TỈNH KHÁNH HÒA

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2018-2019 Môn thi: TOÁN CHUYÊN Ngày thi : 03/06/2018 Câu 1

Câu 3 Cho đường tròn (O) đường kính BC và H là 1 điểm nằm trên đoạn thẳng BO

(điểm H không trùng với hai điểm B và O) Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với

BC, cắt đường tròn (O) tại A và D Gọi M là giao điểm của AC và BD, qua M vẽ đường thẳng vuông góc với BC tại N

a) Chứng minh rằng tứ giác MNBA nội tiếp

Câu 4 Cho a, b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c  abc Chứng

Câu 5 Để tiết kiệm chi phí vận hành đồng thời du khách đi tham quan hết 18 danh

lam, thắng cảnh trong tỉnh K, công ty du lịch lữ hành KH đã thiết lập các tuyến 1 chiều như sau: Nếu đi từ tỉnh A đến B và từ B đến C thì sẽ không có tuyến từ A đến C Hỏi có bao nhiêu cách thiết lập để đi hết 18 địa danh trên ?

ĐÁP ÁN Câu 1

TH1:Tam giác đều thì a   b c 0 có 9 số được lập

TH2: Xét a b c Vì a b c(bất đẳng thức tam giác) nên:

Vậy trường hợp này có 52 số thỏa mãn

Do vai trò của a b c, , như nhau nên : 52.3 156  (số)

H

Do tứ giác DBACnội tiếp:

NAB OAC OAC BAO NAB BAO

NA

 là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: EA EB

Từ đó suy ra I là trung điểm của AH

Vậy ta có điều phải chứng minh

Loại 1: Các đường xuất phát từ A có n(1) m tuyến đường

Loại 2: Các tuyến đi đến A có n 2 ntuyến

Loại 3: Không có tuyến đi và đến A có n(3)  ptuyến

Do m n  p 17và:

Số tuyến liên quan đến A có m n tuyến

Số tuyến không liên quan đến A không vượt quá m n

Gọi S là số cách thiết lập đi hết 18 địa danh thì:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m p 6,n 5

Vậy có tối đa 108 cách thiết lập đi hết 18 địa danh trên

Trang 1/5

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NAM ĐỊNH

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN

Năm học: 2018 - 2019

Môn thi: TOÁN (chuyên)

Thời gian làm bài: 150 phút

(Đề thi gồm: 01 trang)

Câu 1 (2,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức

.

P

     

b) Chứng minh rằng 12 12 12 12 1 2 1 2 1 1 1 2018 1 2 2 3 2017 2018          

Câu 2 (2,0 điểm) a) Giải phương trình    2  2 2 1 x x  2x  1 x  x  1.

b) Giải hệ phương trình 2

3 2 ( 1) 0 4 3 8 14 8 1 1 x y y x y x y x x y y                    Câu 3 (3,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB và C là điểm nằm giữa hai điểm A, B Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, vẽ nửa đường tròn đường kính AB và nửa đường tròn đường kính BC Lấy điểm M thuộc nửa đường tròn đường kính BC ( M B M; C ) Kẻ MH vuông góc với BC ( HBC), đường thẳng MH cắt nửa đường tròn đường kính AB tại K Hai đường thẳng AK và CM giao nhau tại E a) Chứng minh BE2 BC AB . b) Từ C kẻ CNAB (N thuộc nửa đường tròn đường kính AB), gọi P là giao điểm của NK và CE Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác BNE và PNE cùng nằm trên đường thẳng BP c) Cho BC 2R Gọi O O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác MCH và MBH 1, 2 Xác định vị trí điểm M để chu vi tam giác O HO lớn nhất 1 2 Câu 4 (1,5 điểm) a) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ; )x y thỏa mãn 2x2 5y2  41 2  xy b) Có bao nhiêu số tự nhiên n không vượt quá 2019 thỏa mãn n3 2019 chia hết cho 6 Câu 5 (1,5 điểm) a) Cho các số thực dương a b thỏa mãn , a b  1 Chứng minh rằng   2  1    3 4 3 3 2 ab  a b ab a b b a

b) Cho 100 điểm trên mặt phẳng sao cho trong bất kỳ bốn điểm nào cũng có ít nhất ba điểm thẳng hàng Chứng minh rằng ta có thể bỏ đi một điểm trong 100 điểm đó để 99 điểm còn lại cùng thuộc một đường thẳng -HẾT -

Họ và tên thí sinh:

Số báo danh:

Họ tên, chữ ký GT 1:

Họ tên, chữ ký GT 2:

ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 2/5

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NAM ĐỊNH ĐỀTHI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI

Trang 4/5

0,25

Suy ra BP là đường phân giác của các góc EBN và EPN

lượt là I và J

Suy ra O MH1 O BH2

Mặt khác O HM1 O HB2  45 0 Suy ra MO H1 đồng dạng với BO H2

Với r    1 r3 3 4 không chia hết cho 6

Dấu " "  xảy ra khi 1

4

a b

0,25

b) (0,75 điểm)

Nếu không phải cả 100 điểm đều thẳng hàng Ta chọn ra bốn điểm , , ,A B C D mà không

phải tất cả đều thẳng hàng Theo giả thiết trong 4 điểm , , ,A B C D phải có 3 điểm thẳng hàng,

giả sử 3 điểm A B C thuộc đường thẳng d , còn điểm D nằm ngoài đường thẳng d Ta sẽ , ,

Giả sử trong 96 điểm còn lại, tồn tại điểm E nằm ngoài đường thẳng d Xét bốn điểm

, , ,

A B D E phải có 3 điểm thẳng hàng Do 3 điểm A B D không thẳng hàng, 3 điểm , ,, , A B E

không thẳng hàng nên 3 điểm , ,A D E thẳng hàng hoặc 3 điểm , , B D E thẳng hàng

0,25

Trang 6/5

Trường hợp 3 điểm A D E thẳng hàng thì 3 điểm , , B D E không thẳng hàng, 3 điểm , ,

, ,

C D E không thẳng hàng, do đó trong 4 điểm , , , B C D E không có 3 điểm nào thẳng hàng, trái

với giả thiết

Trong trường hợp , ,B D E thẳng hàng thì tương tự, trong 4 điểm , , , A C D E không có 3

điểm nào thẳng hàng, trái với giả thiết

Như vậy ngoài 3 điểm , ,A B C thuộc đường thẳng d , phải có 96 điểm nữa cùng thuộc d

Bài toán được chứng minh

-ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 Môn: TOÁN CHUYÊN Năm học: 2018-2019 Câu 1

1 2 50 100

a  a a  Chứng minh rằng từ các số đã cho có thể chọn được một vài số có tổng là 50

Câu 3 Cho ngũ giác lồi ABCDEnội tiếp (O) có CD/ /BE Hai đường chéo CE và

BD cắt nhau tại P Điểm M thuộc BE sao cho MABPAE Điểm K thuộc AC sao cho MK song song AD, điểm L thuộc đường thẳng AD sao cho ML // AC Đường tròn ngoại tiếp tam giác KBC cắt BD, CE tại Q và S (Q khác B, S khác C)

a) Chứng minh 3 điểm K, M, Q thẳng hàng

b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác LDE cắt BD, CE tai T và R (T khác D, R khác E) Chứng minh M, S, Q, R,T cùng thuộc một đường tròn

c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc (O)

Câu 4 Cho a b c, , là các số thực dương Chứng minh rằng

ĐÁP ÁN Câu 1

3

3

3

2 2

Đặt a x b,  3 2  x a b ,  0 Khi đó phương trình tương đương với:

+)Nếu xchia hết cho 5 thì ycũng vậy, bài toán được chứng minh

+)Nếu xchia cho 5 dư 3 thì y chia 5 dư 2, thì

2x  y  2x y 2.9   4 2.3  30  0(mod5)

Ta cũng có điều phải chứng minh

TH2) Nếu x 2y 1chia hết cho 5 thì x 2y 1 mod5 

Vậy ta có điều phải chứng minh

MQ ADnên RMQRLDETDtứ giác RTMQ nội tiếp

Chứng minh tương tự RMSQ nội tiếp do đó: M S Q R T, , , , cùng thuộc một đường tròn

c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp

Bổ đề: cho tam giác ABC, M nằm trên d/ /BClấy E khác M trên d, AM cắt BC tại I Đường qua M/ / ABcắt BE tại J , khi đó IJ / /AE

Chứng minh MJ cắt AE, AC tại S và T, ME cắt AC tại G Ta có MG//BC suy ra

IRE AEC AJCnên RIJC là tứ giác nội tiếp Chứng minh tương tự ta có

DQIJ là tứ giác nội tiếp

Suy ra : Jxtiếp xúc với PQRhay ta thu được: PQRtiếp xúc với  O

Vậy ta có điều phải chứng minh

Vậy ta có điều phải chứng minh

Dấu " "  xảy ra khi và chỉ khi a b c

Môn: TOÁN (chuyên)

Thời gian làm bài: 150 phút

(Đề thi gồm: 01 trang)

Câu 1 (2,0 điểm)

.60

giác ABC cắt nhau tại H

b) Đường thẳng MN cắt đường tròn  O tại hai điểm I J, Chứng minh AO đi qua trung điểm của IJ

c) Gọi P là trung điểm của BC, diện tích tứ giác AMHN là S. Chứng minh 2.OP2 S

Câu 4 (1,5 điểm)

a) Chứng minh rằng tồn tại vô hạn bộ ba số nguyên x y z, ,  thỏa mãn xyz0 và x58y3 7z2 0

-HẾT -

ĐỀ CHÍNH THỨC

a) (1,0 điểm) Điều kiện 2x23x 1 0; 1 3 x0.

O N

giác CMHKlà các tứ giác nội tiếp

0

90

 là hình bình hành P là trung điểm của HS(vì P là trung điểm của BC)

k x k y k z cũng là một bộ số nguyên khác thỏa mãn điều kiện đề bài 0,25

Ta thấy bộ 1; 2;3  thỏa mãn điều kiện đề bài Từ đó suy ra tồn tại vô hạn bộ ba số nguyên

x y z, ,  thỏa mãn xyz0 và x58y3 7z2 0

bộ số nguyên thỏa mãn đề bài

Ban đầu trên bảng gồm có số 2 và số 4 (một số chia 3 dư 1; một số chia 3 dư 2) Suy ra tại

mọi thời điểm, trên bảng luôn chỉ có một số chia 3 dư 1 và các số còn lại chia 3 dư 2 Do

hết cho 3)

Lưu ý: Học sinh có thể dùng bất biến theo modun 10 bằng cách nhận xét chữ số tận cùng của các

số viết trên bảng; hoặc sử dụng cách liệt kê các số được viết trên bảng

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO

TỈNH HÀ TĨNH

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2018-2019 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN Câu 1 Cho x y z, , là các số hữu tỉ thỏa mãn 1 1 1

x y z Chứng minh rằng 2 2 2

x y z là số hữu tỉ

Câu 2 a) Giải phương trình : 2

Câu 4 Cho đường tròn tâm (O) và dây cung AB cố định không phải đường kính Điểm C

khác A, B di động trên AB Đường tròn tâm P đi qua C và tiếp xúc với (O) tại A, đường tròn tâm Q đi qua C và tiếp xúc với (O) tại B Các đường tròn (P), (Q) cắt nhau tại điểm thứ hai là M Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B cắt nhau tại I

a) Chứng minh rằng MC là phân giác của AMB và các điểm A, M, O, B, I cùng thuộc đường tròn

b) Chứng minh rằng khi điểm C thay đổi thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ luôn thuộc một đường thẳng cố định

Câu 5 Cho a1a2  a n, n là số tự nhiên không âm, a là các số nguyên dương và không

có 2 số nào liên tiếp Đặt S  a1 a2 a n Chứng minh rằng luon tồn tại một số chính phương bthỏa mãn S n  b S n1

ĐÁP ÁN Câu 1

Từ giả thiết đã cho ta có:

Phương trình đã cho tương đương với

2

2 2

1 2 2

2 2

x  y z

(tổng ba góc trong tam giác)

nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng

0

180 ) Vậy các điểm A, M, O, B, I cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh rằng khi điểm C thay đổi thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ luôn thuộc một dường thẳng cố định

Gọi J là trung điểm của OI

(góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong khong kề với nó)

Do đó đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ chính là đường tròn ngoại tiếp tứ giác PMOQ

Suy ra P,M,O,Q,J cùng thuộc một đường tròn

Câu 5

Vì S n  a1 a2  a nS n1 S na n1

Ta có:

1

2 1

1 1

1 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2018 – 2019

Đề chính thức Môn thi: TOÁN (Chuyên Toán)

và N Gọi O là trung điểm của BC Chứng minh:

a) DA là phân giác của FDE

b) F là trung điểm của MN

 A 17 với mọi số tự nhiên n chẵn (2)

mà 17 và 19 là hai số nguyên tố cùng nhau nên từ (1) và (2) suy ra: A 17 19  với mọi số tự nhiên n chẵn Vậy 20n  3n  16n  1 323 với mọi số tự nhiên n chẵn

8

S 2; P P

 khi và chỉ khi x, y là nghiệm của phương trình: 2 8

S = – 3; P = 2 khi và chỉ khi x, y là nghiệm của phương trinh: t2      3t 2 0 t1 1; t2   2

Vai trò của x, y trong hệ (2) như nhau, do vậy hệ (2) có hai nghiệm: (x = – 1; y = – 2), (x = – 2; y = – 1)

+ Nếu AB > BC thì dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi: M  C

+ Nếu AB = BC > CA thì dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi: M thuộc cạnh AC

+ Nếu AB = BC = CA thì M là điểm trong bất kỳ của tam giác ABC

Vậy tổng khoảng các cách từ M đến ba cạnh của tam giác nhỏ nhất bằng chiều cao của cạnh lớn nhất khi:

M trùng C (nếu AB > BC = CA), hoặc M nằm trên cạnh AC (nếu AB = BC > CA) hoặc M là điểm trong bất kỳ của tam

2

a) DA là phân giác của FDE

Dễ chứng minh tứ giác BDHF nội tiếp đường tròn đường kính HB (1) và tứ giác ABDE nội tiếp đường tròn đường kính

AB (2)

(1)  HDF  HBF (nội tiếp cùng chắn cung HF) (1’),

(2)  HBF  HDE (2’) (nội tiếp cùng chắn cung AF)

(1’) và (2’) suy ra: HDF  HDE

Vậy DA là phân giác của FDE

b) F là trung điểm của MN

Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt AK, AD tại P, Q  PQ // MN // AC

Ta có: FC là phân giác của DFE (tương tự chứng minh câu a)

mà FB  FC nên PB là phân giác trong và FC là phân giác ngoài  KFD

E

B

A

Theo hệ quả của định lí Ta-let, ta lại có:

c) Chứng minh OD OK = OE  2 và BD DC = OD DK  

Từ kết quả câu a)  DFE = 2CFE (6)

Dễ chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn

(O) đường kính BC,

nên EOC = 2CFE (7)

Từ (6) và (7) suy ra: DFE = EOC  Tứ giác DFEO nội tiếp

b a

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO

TỈNH CÀ MAU

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2018-2019 Môn thi: TOÁN CHUYÊN Thời gian: 150 phút Ngày thi: 03/06/2018 Câu 1: Rút gọn các biểu thức sau

b) Tìm mđể d và  P và đường thẳng   :y2m 3x 1cùng đi qua điểm có hoành

độ lớn hơn 1

Câu 3: Cho phương trình 2   2

x  m x m   (1) (xlà ẩn số) a) Tìm mđể phương trình có 2 nghiệm phân biệt

b) Gọi x x1; 2là 2 nghiệm phân biệt của (1) Tìm mđể x x1; 2thỏa mãn  2

1 2 1

x x x

Câu 4: Cho tam giác ABCcân tại A Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A và O là trung điểm của IK

a) CMR 4 điểm B I C K, , , cùng thuộc (O)

b) CMR: AC là tiếp tuyến của (O)

c) Tính tổng diện tích các hình viên phân giới hạn bởi các cung nhỏ CI IB BK KC, , , và các dây cung tương ứng của (O) biết AB 20,BC 24

Câu 5: Giải phương trình :  3

x   x  x

ĐÁP ÁN Câu 1

thỏa mãn điều kiện bài toán

Câu 4:

a) CMR: 4 điểm …

Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên IC là phân giác trong của góc C

Vì K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC của góc A nên CK là phân giác ngoài của góc C

Theo tính chất phân giác trong và ngoài của tam giác ta có IC vuông CK nên

Do O là trung điểm của IK nên theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền thì OCOI OK

Vậy Olà tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác IBKC

b) CMR: AC là tiếp tuyến…

Ta có: Tam giác IOC cân tại O nên OICOCI

Mặt khác, theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có: