ĐÁP ÁN ĐỀ THI LÝ THUYẾT SỐ

Sách bài tập số học 3... Mặt khác ta có ab = BCNNa,b... Chứng minh rằng nếu A chia hết cho B thì B là số nguyên tố.. Sách bài tập số học... Do đó A không thể là số nguyên tố... Chứng min

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC TRÌNH LÝ THUYẾT SỐ

Đề số 1

1.Tìm ước chung lớn nhất của hai số a 5 16  4 5 1 5    2  1 5  4  1 5  8  1

và 2005

Ta có a 5 16  4 5 1 5    2  1 5  4  1 5  8  1 =

         

16 16

UCLN(a,2005) = 1

2.Cho UCLN(a,b) = 1 và n là ước chung của a - b và ac – bd Chứng minh rằng n \ c – d

(Sách bài tập số học)

3 Tìm các số tự nhiên m và n sao cho mn = 252 và UCLN(m,n) = 2 Với mọi n , mN, giả thiết n < m Đặt m = 2a và n = 2b Vì UCLN(m,n)

= 2 nên UCLN(a,b) = 1

Mặt khác mn = 252 → 4ab = 252 → ab = 63

Từ đó ta có a = 1; b = 63 → m = 2 ; n = 126

a = 7; b = 9 → m = 14 ; n = 28

4 Tìm số nguyên dương n để A = n4 + n2 +1 là số nguyên tố

Ta có A = n4 + n2 +1 = n4 + 2n2 +1 – n2 =( n2 + 1)2 – n2

= (n2 + n + 1)(n2 – n + 1)

- Nếu n = 1 thì A = 3 là số nguyên tố

- Nếu n > 1 thì n2 + n + 1 > 1, n(n – 1) + 1 > 1, do đó A là hợp số

5 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì 16n – 15n - 1 chia hết cho 225

Với n = 0 ta có 160 – 15.0 – 1 = 0 chia hết cho 225

Giả sử 16n – 15n - 1 chia hết cho 225 Ta CM 16n+1 – 15(n+1) - 1 chia hết cho 225

Thật vậy, ta có 16n+1 – 15(n+1) - 1 = 16(16n – 15n – 1) + 15.15n chia hết cho 225

Đề số 2

1 Chứng minh rằng nếu m – n chia hết mp + nq thì m – n chia hết mq +

np với m, n, p, q  Z

Với m, n, p, q  Z , Ta có mp + nq = mq + np – (m – n) (q – p)

suy ra mp + nq – (mq + np) = (m – n) (q – p)

hay m – n chia hết mp + nq – (mq + np) mà theo gth m – n chia hết mp +

nq nên ta có m – n chia hết mq + np

2 Tìm bội chung nhỏ nhất của n , n + 1 , n +2 với n N

(Sách bài tập số học)

3 Tìm các số tự nhiên a và b sao cho BCNN(a,b) = 756 và UCLN(a,b) = 36

Với mọi a , bN, giả thiết a < b Đặt a = 36n và b = 36m Vì UCLN(a,b)

= 36 nên UCLN(n,m) = 1 và n < m

Mặt khác ta có ab = BCNN(a,b) UCLN(a,b) = 756.36 → mn =21

Từ đó suy ra n = 1; m = 21 → a = 36 ; b = 36.21

n = 3; m = 7 → a = 3.36 ; b = 36.7

4 Tìm số nguyên tố p sao cho các số 24p2 + 1 và 3p2 + 1 là các số

nguyên tố

Nếu p = 2 thì 24p2 + 1 = 24.4 +1 = 97 và 3p2 + 1 = 13

Nếu p > 3 thì p là số lẻ suy ra 3p2 + 1 không là số nguyên tố

Vậy p = 2 thì các số 24p2 + 1 và 3p2 + 1 là các số nguyên tố

5 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì số A = n5 – 5n3 + 4n chia hết cho 120

120 = 3.8.5

Với mọi nN , Ta có A = n5 – 5n3 + 4n = n( n4 – 5n2 + 4)

= n(n2 – 1)(n2 – 4) = (n - 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2)

Nên A chia hết cho 3( Chứa tích của ba số tự nhiên liên tiếp) , 5( tích của

5 số tự nhiên liên tiếp) và 8( chứa tích của hai số chẵn liên tiếp)

Vì UCLN(3,5,8) = 1 nên A = n5 – 5n3 + 4n chia hết cho 120

Đề số 3

1 Chứng minh rằng UCLN(a + b, m) = UCLN(a,b) với m = BCNN(a,b) (Sách bài tập số học)

2 Chứng minh rằng BCNN(1,2, ,1,2n) = BCNN(n+1,n+2, , 2n-1,2n)

Ta thấy rằng một số bất kỳ trong các số 1,2, , n luôn là ước của số nào

đó trong các số n + 1, n + 2, , 2n Từ đó ta có BCNN(1,2, ,2n-1,2n) = BCNN(n+1,n+2, , 2n-1,2n)

3 Tìm các số tự nhiên m và n sao cho m.n = 252 và UCLN(m,n) = 2

4 Tìm số tự nhiên n sao cho các số n + 1, n + 77, n + 99 đều là các số nguyên tố

Nếu n = 0 thì n + 1 = 1, n + 77 = 77 , n + 99 = 99

Nếu n = 1 thì n + 1 = 2 , n + 77 = 78 , n + 99 = 100

Nếu n = 2 thì n + 1 = 3, n + 77 = 79, n + 99 = 101 là các số nguyên tố

Nếu n > 3 thì n + 1, n + 77, n + 99 đều là các số chẵn không là số nguyên tố

Vậy ta có n = 2

5 Chứng minh rằng với n Z, ta có n3 + 23n chia hết cho 6

Với n Z, ta có n3 + 23n = n3 – n + 24n = (n – 1)n(n + 1) + 24n chia hết cho 6

Đề số 4

1.Tìm ước chung lớn nhất của hai số m + n và m – n với m , n Z , UCLN(m,n) = 1

(Sách bài tập số học)

2 Tìm các số tự nhiên a và b sao cho a2 - b2 = 7344 và UCLN(a,b) = 12

3 Cho A = n! + 1 và B = n + 1 với n là số nguyên dương Chứng minh rằng nếu A chia hết cho B thì B là số nguyên tố

4 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì số A = n5 - n chia hết cho 10

Với mọi số tự nhiên n thì A = n5 –n = n( n4 – 1)

= n(n2 – 1)( n2 – 4) +5 n(n2 – 1)

= (n - 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2) + 5(n – 1)n(n + 1) chia hết cho 10

5.Giải phương trình 40x + 31y = 1

Đề số 5

1 Cho phân số

2 2

1 1

n

n n



 với n N , n > 1.Với những giá trị nào của n thì phân số tối giản? không tối giản?

Đặt d = UCLN( n, n2 +1) Ta có d \ n nên d \ n2 suy ra d là ước của (n2 + 1) – n2 = 1 vậy d = 1

Từ đó

2

Khi n lẻ ta có D = 2 vì n2 – 1 là số chẵn

Khi n chẵn ta có D = 1 vì n2 – 1 là số lẻ

2 Tìm các số tự nhiên a và b sao cho a + b = 30 và UCLN(a,b) = 6

3 Chứng minh rằng với m > 2 giữa m và m! có ít nhất một số nguyên tố (Sách bài tập số học)

4 Phân tích A = n4 + n2 +1 thành tích hai thừa số nguyên tố cùng nhau Tìm số nguyên dương n để A = n4 + n2 +1 là số nguyên tố

Ta có A = n4 + n2 +1 = ( n2 + n +1).( n2 - n +1)

Đặt d = UCLN ( n2 + n +1, n2 - n +1) = UCLN ( n2 + n +1, 2n)

= UCLN ( n(n +1) + 1, 2n )

Do n(n +1) + 1 là số lẻ nên d là số lẻ và UCLN(d,2) = 1 do đó d = UCLN ( n2 + n +1, n) = 1

Với n = 0 thì A = 1

Với n > 1 ta có n2 - n +1 = n( n – 1) + 1 > 1 Do đó A không thể là số nguyên tố

Với n = 1 ta có A = 3 là số nguyên tố

Vậy n = 1

5 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì số A = n(2n + 1).(7n + 1) chia hết cho 6

Ta thấy một trong hai thừa số n và 7n + 1 là số chẵn

Do đó n(2n + 1)(7n + 1) chia hết cho 2

Với n = 3k thì n chia hết cho 3

Với n = 3k + 1 thì 2n + 1 chia hết cho 3

Với n = 3k + 2 thì 7n + 1 chia hết cho 3

Do đó n(2n + 1)(7n + 1) chia hết cho 3 với mọi n

Từ đó suy ra n(2n + 1)(7n + 1) chia hết cho 6

Cách khác:

Ta có n(2n + 1)(7n + 1) = n(2n + 1)(6n + n + 1)

= 6n2(2n + 1) + n( n + 1)(2n + 1)

= 6n2(2n + 1) + n( n + 1)(n – 1) + n( n + 1)(n + 2)

= 6n2(2n + 1) + (n – 1) n( n + 1) + n( n + 1)(n + 2)

Đề số 6

1.Tìm ước chung lớn nhất của hai số a = n3 + n2 + 1 và b = n2 + 2n với n

N

Đặt c = 2n + 1 Ta có a = b(n – 1) + c và 4b = (2n + 3)c – 3

Do đó UCLN(a,b) = UCLN(b,c) và UCLN(4b,c) = UCLN(c,3) = d

Ta có d = 1 hoặc d = 3

d = 1 thì UCLN(4b,c) = 1

d = 3 thì UCLN(4b,c) = 3 Vì UCLN(4,3) = 1 do đó UCLN(b,c) = 3 = UCLN(3,c)

Vậy ta luôn có UCLN(a,b) = UCLN(b,c) = UCLN(3,c)

= UCLN(3, 2n + 1)

2 Tìm bội chung nhỏ nhất của n , n + 1 , n +2 với n N

3 Chứng minh rằng nếu m – n chia hết mp + nq thì m – n chia hết mq +

np với m, n, p, q  Z

4 Tìm số nguyên tố p sao cho các số 24p2 + 1 và 3p2 + 1 là các số

nguyên tố

Nếu p = 2 thì 24p2 + 1 = 97 và 3p2 + 1 = 13 là các số nguyên tố

Nếu p > 2 thì p là số lẻ Do đó 3p2 + 1 là số chẵn lớn hơn 2 nên không thể là số nguyên tố

Vậy p = 2

5 Chứng minh rằng với mọi số lẻ n thì A = n2 + 4n + 5 không chia hết cho 8

Vì n lẻ nên n = 2k + 1

Ta có A = n2 + 4n + 5

2

Ta thấy

 1 8,  1 8

Vậy A không chia hết cho 8

Đề số 8

1.Tìm ước chung lớn nhất của hai số m ab ba  và 55

Ta có m ab ba  = (10a + b) + (10b + a) = 11(a +b) và 55 = 11.5

Nếu a b  5 thì UCLN(m, 55) = UCLN( 11( a+ b), 11.5) = 55

2 Chứng minh rằng UCLN(a + b, m) = UCLN(a,b) với m = BCNN(a,b)

3 Tìm các số tự nhiên a và b sao cho a + b = 30 và UCLN(a,b) = 6

4 Tìm số tự nhiên n sao cho các số n + 1, n + 77, n + 99 đều là các số nguyên tố

5 Chứng minh rằng với n N, ta có n4 +6n3 + 11n2 + 6n chia hết cho 24.

Ta có n4 +6n3 + 11n2 + 6n = n (n3 +6n2 + 11n + 6)

= n(n + 1)(n + 2)(n + 3)

Tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3

Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 8( một số chia hết cho 2, một số chia hết cho 4)

UCLN(3,8) = 1 Suy ra n4 +6n3 + 11n2 + 6n chia hết cho 8.3 = 24

Đề số 7

1.Tìm ước chung lớn nhất của hai số m + n và m – n với m , n Z , UCLN(m,n) = 1

2 Tìm các số tự nhiên a và b sao cho a2 - b2 = 7344 và UCLN(a,b) = 12

3 Cho A = n! + 1 và B = n + 1 với n là số nguyên dương Chứng minh rằng nếu A chia hết cho B thì B là số nguyên tố

Giả sử B không phải là số nguyên tố

Do đó B có ước số nguyên tố p , p < B suy ra p ≤ n Vậy p \ n!

Mặt khác, A chia hết cho B nên p \ A Do đó p \ A – n! = 1 Điều này không thể xảy ra vì vậy nếu A chia hết cho B thì B là số nguyên tố

4 Chứng minh rằng 4a2 + 3a + 5 chia hết cho 6 khi và chỉ khi a và 6 nguyên tố cùng nhau

Ta có 4a2 + 3a + 5 = 3a(a + 1) + 6 + ( a2 – 1)

4a2 + 3a + 5 chia hết cho 6

↔ a2 – 1 = (a – 1)(a + 1) chia hết cho 6

↔ a và 6 nguyên tố cùng nhau

5 Cho UCLN(a,b) = 1 và n là ước chung của a - b và ac – bd Chứng minh rằng n \ c – d