On Thi vao lop 10

Ngời soạn : Hoàng Văn Phúc Trờng THCS Diễn ThịnhDạng 5: Bài toán tìm điều kiện Ví dụ:Cho đờng thẳng D:y=x+2m và parabolP:y=-x2-x+3m aVới giá trị nào của m thìD tiếp xúc với parabolP.. b

Ngời soạn : Hoàng Văn Phúc Trờng THCS Diễn Thịnh

Thứ 2,ngày 25 / 5 / 2009

Ôn THI Vào lớp 10 THPT

Đại sốBuổi 1 - 2 : Chuyên đề I.

Thực hiện phép tính, rút gọn biểu thức

Có chứa căn thức bậc hai

I.Các kiến thức cần lu ý.

a) Điều kiện để A có nghĩa: A ≥0.

b) Không phải bao giờ ta cũng có: A2 =A.( Chỉ xảy ra khi A≥0 )

Tổng quát:

2

A = /A/ Bằng A khi A≥0 ; Bằng –A khi A≤0.

c) Không phải bao giờ ta cũng có:

B A B

Hớng dẫn giải: a) Viết biểu thức trong căn dới dạng bình phơng.

b) Nhân cả tử và mẫu với 2 rồi làm nh câu a.

( Hoặc đặt biểu thức là A rồi bình phơng hai vế.).

− c) 16 5.

Bài 4 Thực hiện phép tính:

3

216 2

8

6 3

1 : 3 1

5 15 2

15 2 8 6 2 5

+

− + +

Hớng dẫn giải: a) Đáp số: −23 b) -2 c) 1 Bài 5 Cho biểu thức: A = )

1

2 1

1

1 ( : ) 1

1 1

x x

x

x x

x

Rút gọn biểu thức A.

Tính giá trị của A khi x = 4 + 2 3

1 1

−

− + +

−

−

−

1 3

2 3 1 : 1 9

8 1 3

1 1 3

1

x

x x

x x

x

x

a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị của P khi x = 6+2 5.

Sau đó thay x vào P tính đợc: P =

41

5 15

c) P = 56  x1= 4 ; x2 = 259 .

Ngời soạn : Hoàng Văn Phúc Trờng THCS Diễn Thịnh

Tìm điều kiện để P có nghĩa, rút gọn biểu thức P;

Tính giá trị của P với x = 4 – 2 3.

b) Tớnh giỏ trị của B khi x 3= + 8

c) Với giỏ trị nào của x thỡ B > 0? B< 0? B = 0?

a) Tỡm điều kiện của a để B xỏc định Rỳt gọn B

b) Với giỏ trị nào của a thỡ B > 1? B< 1?

c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất

c) Tìm giá trị của x khi B = 4

d) Tìm các giá trị nguyên dương của x để B có giá trị nguyên

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 3+ 8

c) Tìm giá trị của x khi A = 5

Ngời soạn : Hoàng Văn Phúc Trờng THCS Diễn Thịnh

Bài 17: Cho biểu thức

a 13a4

c) Tớnh giỏ trị của biểu thức C khi x= 6+ 20

d) Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để C cú giỏ trị nguyờn

HD: a) x ≠ 1, x ≠ −2, x ≠ 0; b) C x 2

x 2

−

=+ ; c) C= 5 2− ; d) x ∈ {−1, −3, −4, −6, 2}

+ Đờng thẳng y = ax + b (a ≠0) có a gọi là hệ số góc Và ta có: tgα= a Trong đó α

là góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b (a ≠0) với trục Ox.

2 Hàm số: y = ax2 (a ≠0)

+ Tính chất : * TXĐ : mọi x ∈R.

* Sự biến thiên :

+ Nếu a > 0 hàm số đồng biến với mọi x > 0 ; nghịch biến vứi mọi x < 0 + Nếu a < 0 hàm số đồng biến với mọi x < 0 ; nghịch biến với mọi x > 0.

+ Đặc điểm của giá trị hàm số y = ax2 (a ≠0)

Khi a > 0 : Giá trị hàm số luôn > 0 với mọi x khác 0 y = 0 khi x = 0 => 0 là giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt đợc khi x = 0.

Khi a < 0 : Giá trị hàm số luôn < 0 với mọi x khác 0 y = 0 khi x = 0 => 0 là giá trị lớn nhất của hàm số đạt đợc khi x = 0.

+ Đặc điểm của đồ thị hàm số : y = ax2 (a ≠0)

- là đờng cong đi qua gốc toạ độ nhận trục Oy là trục đối xứng.

* Nếu a > 0 đồ thị nằm phía trên trục hoành O là điểm thấp nhất của đồ thị.

* Nếu a < 0 đồ thị nằm phía dới trục hoành O là điểm cao nhất của đồ thị.

3 Tơng giao của đờng cong Parabol y = ax2 (a ≠0) và đờng thẳng y = bx + c

Toạ độ giao điểm (Nếu có) của Parabol (P): y = ax2 (a ≠0) và đờng thẳng (d):

ù = +

=> phơng trình: ax2 = bx + c (1) là phơng trình hoành độ Vậy:

+ Đờng thẳng (d) không cắt (P)  phơng trình (1) vô nghiệm.

+ Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đờng cong (P)  Phơng trình (1) có nghiệm kép.

+ Đờng thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt  phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt

II Một số dạng bài tập thờng gặp.

Dạng1 Tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng.

Bài tập 1:

Cho hai hàm số y= x+3 (d) và hàm số y = 2x + 1 (d / )

a)Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ.

b)Tìm toạ độ giao điểm nếu có của hai đồ thị.

Nhận xét:gặp dạng toán này học sinh thờng vẽ đồ thị hai hàm số trên rồi tìm toạ độ giao điểm (x;y) tuy nhiên gặp những bài khi x và y không là số nguyên thì tìm toạ độ bằng đồ thị sẽ gặp khó khăn khi tìm chính xác giá tri của x;y

Giải: a) vẽ đồ thị hai hàm số

b) Hoành độ giao điểm là nghiệm của phơng trình: x+3=2x+1⇔x=2 suy ra y=5

Ví dụ 2: Cho 3 đờng thẳng lần lợt có phơng trình:

(D1) y=x+1 ; (D2) y=-x+3 ; (D3) y= (m2-1)x+ m2 - 5 (với m≠ ±1)

Xác định m để 3 đờng thẳng (D1) ,(D2), (D3) đồng quy.

Ngời soạn : Hoàng Văn Phúc Trờng THCS Diễn Thịnh

Nhận xét: 3 đờng thẳng (D1) ,(D2), (D3) đồng quy tại một điểm nào đó chẳng hạn điểm A(x;y)

thì rỏ ràng x;y là một nghiệm của 3 phơng trình trên hay x;y là nghiệm của 1

2

( )( )

D D

Hoành độ giao điểm B của (D1) ,(D2) là: -x+3=x+1⇔x=1 thay vào y=x+1suy ra y=2 để 3

đ-ờng thẳng đồng quy thì (D3)phải đi qua điểm B nên ta thay x=1;y=2 vào phơng trình (D3) ta có: 2=(m2-1)1+m2-5⇔m2=4⇔m=2;m=-2.

Vậy với m=2;m=-2thì 3 đờng thẳng (D1) ,(D2), (D3) đồng quy.

Dạng 2: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua:

+ Hai điểm A (x1; y1) và B (x2 ; y2)

+ Điểm M (x0 ; y0) và song song (vuông góc) với đờng thẳng (d) cho trớc

Bài tập 2

Xác định phơng trình đờng thẳng (d) biết:

a) Đờng thẳng (d) đi qua hai điểm A( -1; 3) và B ( 2; -4)

b) Đờng thẳng (d) đi qua M (-2; 5) và song song với đờng thẳng: (d’): y = - 7

3x + 3 c) Đờng thẳng (d) đi qua N (-3; 4) và vuông góc với đờng thẳng y = 2x + 7

a b

ỡùù ùùùớù

=-ù =ùùùợ

2x 2

Bài tập 3

Cho hàm số y = (m2 – 2).x + 3m + 2 Tìm các giá trị của m biết:

a) Đồ thị (D) của hàm số song song với đờng thẳng y = 3x + 2

b) Đồ thị (D) của hàm số vuông góc với đờng thẳng y = -3x -2

c) Đồ thị (D) đi qua điểm A (2; 3)

Dạng 3 Tìm điểm cố định mà họ đờng thẳng đi qua.

* Phơng pháp: Họ đờng thẳng y = f(x;m) đi qua điểm cố định I( x0; y0) với mọi m 

phơng trình ẩn m: y0= f(x0;m) có nghiệm với mọi m

Bài tập 4

Cho họ đờng thẳng (m – 2).x + 2m y + 1 = 0 (Dm)

a) Tìm giá trị m biết đờng thẳng (Dm) đi qua điểm A(-2; 4)

b) Tìm điểm cố định I mà họ đờng thẳng (Dm) đi qua với mị giá trị của m.

 <=>

− + = 



Dạng 4: Bài toán chứng minh

Chứng minh rằng: Đờng thẳng (D): y= 4x - 3 tiếp xúc với parabol (P):

y= 2x2 - 4(2m-1)x + 8m2 - 3

Nhận xét:

Gặp dạng toán này học sinh sẽ lúng túng để tìm phơng pháp giải vì học sinh không nắm đợc

đờng thẳng (D): y=4x-3 tiếp xúc với parabol (P): y=2x2-4(2m-1)x+8m2-3 tại một điểm thì

điểm đó là nghiệm của hai phơng trình vậy phơng trình hoành độ giao điểm bắt buộc phải có nghiệm kép từ đó ta có cách giải sau:

Ngời soạn : Hoàng Văn Phúc Trờng THCS Diễn Thịnh

Dạng 5: Bài toán tìm điều kiện

Ví dụ:Cho đờng thẳng (D):y=x+2m và parabol(P):y=-x2-x+3m

a)Với giá trị nào của m thì(D) tiếp xúc với parabol(P).

b) Với giá trị nào của m thì(D) cắt parabol(P)tại hai điểm phân biệt A và B.tìm toạ độ giao

điểm A và B khi m=3

Nhận xét: Tơng tự nh ví dụ trên ta sẽ đi xét sự có nghiệm của phơng trình bậc hai

nếu có một nghiệm thì (D) và (P) có một điểm chung còn nếu có hai nghiệm thì (D) và (P) có hai điểm chung.

Ví dụ:Cho đờng thẳng (D):y=ax+b tìm a và b biết:

a) đờng thẳng (D) song song với đờng thẳng 2y+4x=5 và tiếp xúc với parabol (P):

y=-x2

b)Đờng thẳng (D) vuông góc với đờng thẳng x-2y+1=0 và tiếp xúc với parabol (P):

y=-x2

c) đờng thẳng (D) tiếp xúc với parabol(P):y=x2-3x+2 tại điểm C(3;2)

Nhận xét:ở đây học sinh cần nhớ điều kiện để hai đờng thẳng song song va vuông góc để tìm

ra giá trị của a sau đó vận dụng kiến thức nh dạng hai để giải

Vậy phơng trình đờng thẳng (D) là:y= - 2x + 1

b)Ta có: x-2y+1=0⇔y=1/2x+1/2.Đờng thẳng (D) vuông góc với đờng thẳng có phơng

trình:x-2y+1=0⇔a.1/2=-1⇔a=-2 suy ra (D):y=-2x+b Theo cách làm của dạng 5,ta tìm đợc b=1.Vậy phơng trình đờng thẳng (D) có phơng trình là:y=-2x+1

c)Ta có:C(3;2)∈ (D) ⇔2=3a+b⇔b=2-3a

Theo cách làm của dạng 5 ta tìm đợc a=3 và suy ra b=-7 Vậy phơng trình đờng thẳng (D) có phơng trình là:y=3x-7

Dạng 7:Xác định toạ độ tiếp điểm.

Ví dụ: Cho parabol (P): y=x2-2x-3

Tìm các điểm trên (P) mà tiếp tuyến của (P) tại điểm đó song song với đờng thẳng (D): y=-4x.

Giải: Gọi đờng thẳng tiếp xúc với (P) là (d).

Do (d) song song với (D) nên d có dạng:y=-4x+b (b≠0).Hoành độ điểm chung của (p) và (d)

là nghiệm của phơng trình: x2-2x-3=-4x+b⇔x2+2x-3+b=0 (2)

Ta thấy: (d) tiếp xúc với (P) ⇔phơng trình (2) có nghiệm kép ⇔ ∆ = ⇔ + = ⇔ = −′ 0 4 b 0 b 4

Khi đó nếu điểm A(x0;y0) là tiếp điểm của (P) và (d) thì(do A∈( );p A∈( )d nên ta có hệ phơng

Ví dụ:Xác định parabol (P):y=ax2+bx+c thoả mãn:

a) (P) tiếp xúc với đờng thẳng (D) :y=-5x+15 và đi qua hai điểm (0 ; -1) và (4 ; -5)

b) (P) cắt trục tung tại điểm cú tung độ bằng 2 và cắt đường thẳng (D) : y = x - 1 tại hai điểm cú hoành độ là 1 và 3

Giải : a) (P) đi qua hai điểm (0 ; -1) và (4 ; -5)

Do đú parabol (P) là đồ thị của hàm số y = ax2 - (1 + 4a)x - 1

Hoành độ điểm chung của (D) và (P) là nghiệm phương trỡnh :

Vậy parabol (P) đi qua ba điểm (0 ; 2) ; (1 ; 0) và (3 ; 2) khi và chỉ khi

Do đú a = 1 ; b = -3 và c = 2.<=> Parabol (P) : y= x2 - 3x + 2

Dạng 9:Tính khoảng cách giữa 2 điểm trên mặt phẳng toạ độ

Gọi 2 điểm có toạ độ là A (x1;y1) và B (x2; y2) Khi đó khoảng cách giữa 2 điểm A và B trên

(x −x) + (y −y )

Dạng 10: Xác định trung điểm của đoạn thẳng

Gọi 2 điểm A,B có toạ độ là A( xA; yA) và B( xB ; yB ) Khi đó ta có toạ độ trung điểm M của

ĐS: a = 3 và b = −5

Bài 2 : Viết phương trỡnh đường thẳng cú hệ số gúc là −2 và đi qua điểm A(1; 5)

ĐS: y = −2x + 7

Ngời soạn : Hoàng Văn Phúc Trờng THCS Diễn Thịnh

Bài 3: Viết PT đg thẳng đi qua điểm B(−1; 8) và song song với đg thẳng y = 4x + 3

ĐS: y = 4x + 12

Bài 4: Viết phương trỡnh đường thẳng song song với đường thẳng y = −x + 5 và cắt trục

hoành tại điểm cú hoành độ bằng 2

ĐS: y = −x + 2

Bài 5: Xỏc định hệ số a, b của hàm số y = ax + b trong mỗi trường hợp sau:

a) Đồ thị hàm số là một đường thẳng cú hệ số gúc bằng 3 và đi qua điểm A(−1 ; 3)

b) Đồ thị của hàm số đi qua hai điểm B(2 ; 1) và C(1 ; 3)

c) Đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1 ; 3) và song song với đường thẳng y = 3x − 2

ĐS: a) (a ; b) = (3 ; 6) b) (a ; b) = (−2 ; 5) c) (a ; b) (3 ; 0)

Bài 6: Cho Parabol (P): y = 2x2 và hai đường thẳng: (d1): mx − y − 2 = 0 và

(d2): 3x + 2y − 11 = 0

a) Tỡm giao điểm M của (d1) và (d2) khi m = 1

b) Với giỏ trị nào của m thỡ (d1) song song với (d2)

c) Với giỏ trị nào của m thỡ (d1) tiếp xỳc với (P).

HD: a) M(3 ; 1); b) m 3

2

= − c) (d1) tiếp xỳc với (P) ⇔ 2x2 − mx + 2 = 0 cú nghiệm

kộp ⇔ ∆ = 0 ⇔ m2 = 16 ⇔  = −m 4m= 4

Lưu ý: Khai thỏc việc tỡm tham số m để hai đường thẳng song song, trựng nhau, cắt nhau

Bài 7 Tỡm giỏ trị của m để ba đường thẳng sau đồng qui:

Bài 9 :Cho tam giác ABC trên mặt phẳng toạ độ với A(-3;1); B( -2; 4); C(2; 2 )

a) Viết phơng trình đờng trung tuyến BM, CN của tam giác ABC.

b) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Hoàn toàn tơng tự ta tìm đợc trung tuyễn CN: y = 1 20

ùùùợ

=> G( -1; 7

3)

Bài 10 Một điểm H trong mặt phẳng toạ Oxy có toạ độ H(2m – 1; m + 3)

Tìm một hệ thức liên hệ giữa xH và yH độc lập với m.

Chứng minh quỹ tích H là một đờng thẳng khi m thay đổi.

Hớng dẫn giải

XH -2yH = 7.

Toạ độ H thoả mãn x -2y = 7 => Quỹ tích H là đờng thẳng x -2y = 7

Bài tập về nhà

Bài 11: Xỏc định a và b để đường thẳng y = ax + b đi qua A(−2 ; 15) và B(3 ; −5)

Bài 12: Viết phương trỡnh đường thẳng cú hệ số gúc là −1 và đi qua gốc tọa độ

Bài 13: Xỏc định a và b để đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = 3x và

cắt đường thẳng tại điểm nằm trờn trục tung

Bài 14: Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(1 ; 1) và cắt trục hoành tại điểm cú hoành độ là

2005 Hóy viết phương trỡnh đường thẳng (d)

Bài 15: Cho hàm số : y = x + m (D) Tỡm cỏc giỏ trị của m để đường thẳng (D) :

a) Đi qua điểm A (1 ; 2003) ;

b) Song song với đường thẳng x - y + 3 = 0 ; c) Tiếp xỳc với parabol y = –1/4.x2

Bài 16: Cho hai hàm số y = 2x + 3m và y = (2m + 1)x + 2m − 3 Tỡm điều kiện của m để:

a) Hai đường thẳng cắt nhau

b) Hai đường thẳng song song với nhau c) Hai đường thẳng trựng nhau

Bài 17:cho parabol y= 2x2 (p)

a tìm hoành độ giao điểm của (p) với đờng thẳng y= 3x-1.

b tìm toạ độ giao điểm của (p) với đờng thẳng y=6x-9/2.

c tìm giá trị của a,b sao cho đg thẳng y=ax+b tiếp xúc với (p) và đi qua A(0;-2).

d tìm phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (p) tại B(1;2).

e biện luận số giao điểm của (p) với đờng thẳng y=2m+1 ( bằng hai phơng pháp đồ thị và đại số).

f cho đờng thẳng (d): y=mx-2 Tìm m để :

+(p) không cắt (d).

+(p)tiếp xúc với (d) tìm toạ độ điểm tiếp xúc đó?

+ (p) cắt (d) tại hai điểm phân biệt.

+(p) cắt (d).

Bài 18:cho hàm số (p): y=x2 và hai điểm A(0;1) ; B(1;3).

Ngời soạn : Hoàng Văn Phúc Trờng THCS Diễn Thịnh

a viết phơng trình đờng thẳng AB tìm toạ độ giao điểm AB với (P) đã cho.

b viết phơng trình đờng thẳng d song song với AB và tiếp xúc với (P).

c viết phơng trình đờng thẳng d1 vuông góc với AB và tiếp xúc với (P).

d chứng tỏ rằng qua điểm A chỉ có duy nhất một đờng thẳng cắt (P) tại hai điểm phân biệt C,D sao cho CD=2.

Bài 19:Cho (P): y=x2 và hai đờng thẳng a,b có phơng trình lần lợt là

y= 2x-5 (a) và y=2x+m (b)

a chứng tỏ rằng đờng thẳng a không cắt (P).

b tìm m để đờng thẳng b tiếp xúc với (P), với m tìm đợc hãy:

+ Chứng minh các đờng thẳng a,b song song với nhau.

+ tìm toạ độ tiếp điểm A của (P) với b.

+ lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc bằng -1/2 tìm toạ độ giao

điểm của (a) và (d).

b tìm m để (d) cắt (P) y=x2 tại 2 điểm phân biệt A và B, sao cho AB= 3.

Bài 22: trên hệ trục toạ độ Oxy cho các điểm M(2;1); N(5;-1/2) và đờng thẳng (d) y=ax+b.

a tìm a và b để đờng thẳng (d) đI qua các điểm M, N.

b xác định toạ độ giao điểm của đờng thẳng MN với các trục Ox, Oy.

Thứ 2,ngày 1 / 6 / 2009

Buổi 5- 9 : Chuyên đề III Phơng trình hệ ph – ơng trình GiảI bài toán bằng cách lập phơng trình hệ ph – ơng trình

Gọi là phơng trình bậc nhất hai ẩn (x, y: ẩn – a, b hệ số)

* Phơng trình (1) có vô số nghiệm (x; y) và nghiệm viết dạng tổng quát.

3 Giải bài toán bằng cách lập phơng trình hệ ph – ơng trình.

1 Các công việc cần thiết trớc khi tiến hành trình bày giải toán bằng cách lập phơng trình – hệ phơng trình:

+ Đọc kỹ đề, tóm tắt bài toán.

+ Lập bảng thể hiện mối liên hệ giữa các đối tợng và các các đại lợng

=> PT hoặc hệ pt.

+ Căn cứ vào bảng trình bày giải bài toán bằng cách lập pt hoặc hpt

II Một số bài toán điển hình.

1 Phương trỡnh, hệ phương trỡnh bậc nhất

Bài 1 Cho phơng trình: ax + (2a – 1).y + 3 = 0 (1)

a) Chứng tỏ rằng phơng trình (1) luôn là phơng trình bậc nhất hai ẩn với mọi giá trị của a.

b) Chứng tỏ rằng phơng trình luôn có nghiệm là (-6; 3) với mọi giá trị của a.

Hớng dẫn giải.

Ngời soạn : Hoàng Văn Phúc Trờng THCS Diễn Thịnh

a) Chứng tỏ a2 + (2a – 1)2 ạ 0 với mọi a.

b) Thay cặp số (-6; 3) vào phơng trình thoả mãn với mọi a.

Bài 2 Cho phơng trình: mx + (m + 1).y -5 = 0 (m là tham số).

a) Chứng tỏ rằng phơng trình (1) luôn là phơng trình bậc nhất hai ẩn với mọi giá trị của m.

b) Tìm giá trị của m để (0; 3) là nghiệm của phơng trình.

a) Chứng tỏ hệ phơng trình (I ) luôn có nghiệm với mọi giá trị của a; a’; b

b) Khi nào hệ phơng (I) có một nghiệm duy nhất.

c) Giải hệ phơng trình khi a = 5; a’ =1; b = 2

Vì (d) và (d’) luôn cắt nhau tại (0; b) => hệ phơng trình luôn có ít nhất một nghiệm (0;b)

b) Khi a = a’ => hệ phơng trình có vô số nghiệm.

a ạ a’ => hệ có nghiệm duy nhất: (0; b)

a) Giải hệ phương trỡnh khi cho m = 1

b) Tỡm giỏ trị của m để hệ phương trỡnh vụ nghiệm

HD: a) Với m = 1: (x ; y) = (2002 ; 2001) b) Hệ đó cho vụ nghiệm ⇔ m 3

2

=

Bài 9: Cho hệ phương trỡnh: x my 1mx 3my 2m 3+− = = +



a) Giải hệ phương trình với m = –3

b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có một nghiệm duy nhất

a) Giải hệ phương trình khi m = 3

b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có một nghiệm duy nhất thoả mãn

x2 -2x -y > 0

HD: a) Thay m = 3 => nghiệm của hệ phương trình là (x; y ) = ( 3; 2)

b) Từ (1 ) ta có x = 3m -my Thay vào (2) ta có y = 2 ; x = m

Ta có : x2 - 2x - y = m2 - 2m - 2 = (m - 1 ) 2 - 3 > 0  m−1 > 3  1 3

m m

Bài 12: Cho hệ phương trình: 2mx y 5

a) Giải hệ phương trình khi m = 1

b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có một nghiệm duy nhất

Ngêi so¹n : Hoµng V¨n Phóc Trêng THCS DiÔn ThÞnh

HD: Đưa các biểu thức về dạng x1 + x2 và x1x2 rồi sử dụng hệ thức Vi - ét

Bài 3: Cho phương trình: x2 – 2mx + m + 2 = 0 Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm x1 = 2 Tìm nghiệm x2.

HD: m = 2, x2 = 2

Bài 4: Cho phương trình (m + 1)x2 − 2(m − 1)x + m − 3 = 0 (1)

a) Chứng minh rằng ∀ m ≠ −1 phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu

HD: a) Chứng minh ∆ ' > 0

b) Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu ⇔ ac<0  m < −1 hoặc m > 3

Bài 5: Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x + m − 4 = 0 (1)

a) Giải phương trình (1) khi m = 1

b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

c) gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) Chứng minh rằng :

A = x1(1 − x2) + x2(1 − x1) không phụ thuộc vào giá trị của m

HD: a) Khi m = 1: PT có hai nghiệm x = ±2 2 7

b) A = 2(m + 1) − 2(m − 4) = 10 ⇒ A không phụ thuộc vào m

Bài 6: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình x2 − 2(m − 1)x + m − 3 = 0

a) Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức P = (x1)2 + (x2)2 theo m b) Tìm m để P nhỏ nhất

Bài 7: Cho phương trình x2 − 6x + m = 0 (m là tham số) (1)

a) Giải phương trình (1) với m = 5

b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn 3x1

+ 2x2 = 20

HD: a) Với m = 5 ⇒ x1 = 1, x2 = 5 b) Đáp số: m = −16 (x1 = 8, x2 = −2)

Bài 8: Cho phương trình x2 − 4x + k = 0

a) Giải phương trình với k = 3

b) Tìm tất cả các số nguyên dương k để phương trình có hai nghiệm phân biệt

HD: a) Với m = 3: x1 = 1, x2 = 3 b) ∆ ' = 4 − k > 0 ⇔ k < 4 ĐS: k ∈ {1 ; 2 ; 3}

Bài 9: Cho phương trình : x2 − (m + 5)x − m + 6 = 0 (1)

a) Giải phương trình với m = 1

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = −2

HD: a) ĐS: x1 = 1, x2 = 5 b) ĐS: m = − 20

Bài 10: Cho phương trình x2 − 2mx + (m − 1)3 = 0

a) Giải phương trỡnh với m = −1

b) Xỏc định m để phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt, trong đú cú một nghiệm bằng bỡnh phương của nghiệm cũn lại.

HD: a) Với m = −1 ⇒ x1 = 2, x2 = −4 b) m = 0 hoặc m = 3

Bài tập về nhà

Bài tập 1: Cho phơng trình: x2 - (2m- 6)x + m -13 = 0

a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = - x1 x2 + x12 + x22

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn: A = x12 x2 + x2 x1

d) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

Bài tập 4: Tìm giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phơng trình

mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 thoả mãn điều kiện x12 + x22 = 1

Bài tập 5: Cho phơng trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0 Tìm m để phơng trình có 2

nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn 1 1 1 5 2

2 1

x x x x

+

=+

Bài tập 6: Cho phơng trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham số).

a) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phơng trình thoả mãn x1 + 4x2 = 3

b) Tìm một hệ thức giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m

Bài tập 7: Cho phơng trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = 0 (1)

Tìm giá trị của tham số m để phơng trình có (1) có nghiệm x1 = 2x2.

Bài tập 8: Cho phơng trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0

a) Tìm m để phơng trình có nghiệm.

b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào

có giá trị tuyệt đối lớn hơn?

c) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phơng trình thoả mãn: x1 + 4x2 = 3.

Ngời soạn : Hoàng Văn Phúc Trờng THCS Diễn Thịnh

d) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m.

Bài tập 9 : a) Với giá trị nào m thì hai phơng trình sau có ít nhật một nghiệm chung Tìm

nghiệm chung đó? x2 - (m + 4)x + m + 5 = 0 (1)

x2 - (m + 2)x + m + 1 = 0 (2) b) Tìm giá trị của m để nghiệm của phơng trình (1) là nghiệm của phơng trình (2) và ngợc lại.

Bài tập 10: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình: x2 - (2m - 1)x + m – 2 = 0

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =  x1x2 - 2x1 - 2x2

Bài tập 11: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình x2 + 2(m - 2)x - 2m + 7 = 0

Tìm m để x12 + x22 có giá trị nhỏ nhất.

Bài tập 12: Cho phơng trình: x2 - m + (m - 2)2 = 0

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

A = x1x2 + 2x1 + 2x2

Bài tập 13: Cho phơng trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số) Tìm m sao cho 2

nghiệm x1; x2 của phơng trình thoả mãn 10x1x2 + x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị đó.

Bài tập 17: Cho phơng trình: mx2 - (m + 3)x + 2m + 1 = 0

a) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

c) Tìm m để phơng trình có hiệu hai nghiệm bằng 2

d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1và x2 không phụ thuộc m

Bài tập 18: Cho phơng trình: x2 - (2a- 1)x - 4a - 3 = 0

a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào a

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x12 + x22

Bài tập 19: Cho phơng trình bậc hai ,với tham số m : 2x2 - ( m + 3 )x + m = 0 (1)

1) Giải phơng trình (1) khi m = 2.

2) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn

x1 + x2 = 5

2x1 x2 3) Gọi hai nghiệm x1, x2 là hai nghiệm của ohơng trình )1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x1 −x2

* Một số dạng toán giải bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình.

1 Dạng toán chuyển động

* Bài toán: (SGK đại số 9)

Quãng đờng AB dài 270 km, hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến b, ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 12 km/h nên đến trớc ô tô thứ hai 42 phút Tính vận tốc mỗi xe.

* Hớng dẫn giải: - Trong bài này cần hớng dẫn học sinh xác định đợc vận tốc của mỗi xe Từ

đó xác định thời gian đi hết quãng đờng của mỗi xe.

- Thời gian đi hết quãng đờng của mỗi xe bằng quãng đờng AB chia cho vận tốc của mỗi xe tơng ứng.

- Xe thứ nhất chạy nhanh hơn nên thời gian đi của xe thứ hai trừ đi thời gian đi của xe

thứ nhất bằng thời gian xe thứ nhất về sớm hơn xe thứ hai (42 phút = 7

Ngời soạn : Hoàng Văn Phúc Trờng THCS Diễn Thịnh

* Chú ý:- Trong dạng toán chuyển động cần cho học sinh nhớ và nắm chắc mối quan hệ giữa

các đại lợng: Quãng đờng, vận tốc, thời gian (S = v.t) Do đó, khi giải nên chọn một trong ba

đại lợng làm ẩn và điều kiện luôn dơng Xây dựng chơng trình dựa vào bài toán cho.

- Cần lu ý trong dạng toán chuyển động cũng có thể chia ra nhiều dạng và lu ý:

+ Nếu chuyển động trên cùng một quãng đờng thì vận tốc và thời gian tỉ lệ nghịch với nhau

+ Nếu thời gian của chuyển động đến chậm hơn dự định thì cách lập phơng trình nh sau: Thời gian dự định đi với vận tốc ban đầu cộng thời gian đến chậm bằng thời gian thực đi trên đờng Nếu thời gian của dự định đến nhanh hơn dự định thì cách lập phơng trình làm ng-

2.Dạng toán liên quan đến số học:

* Bài toán: (SGK đại số 8)

Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng Nếu thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số thì đợc số lớn hơn số đã cho là 180 Tìm số đã cho.

* Hớng dẫn giải: - Để tìm số đã cho tức là ta phải tìm đợc những thành phần nào

Viết thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta đợc số mới có dạng : x0(7−x) = 100x + 7 - x = 99x + 7

* Chú ý:- Với dạng toán liên quan đến số học cần cho học sinh hiểu đợc mối liên hệ giữa các

đại lợng đặc biệt hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm

Biểu diễn dới dạng chính tắc của nó: ab = 10a + b.

abc = 100a + 10b + c.

.

- Khi đổi chỗ các chữ số hàng trăm, chục, đơn vị ta cũng biểu diễn tơng tự nh vậy Dựa vào

đó ta đặt điều kiện ẩn số sao cho phù hợp.

3.Dạng toán về năng suất lao động:

* Bài toán: ( SGK đại số 9)

Trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy Trong tháng hai tổ một vợt mức 15%, tổ hai vợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy, tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy?

- Tính số chi tiết máy sản xuất vợt mức trong tháng sau từ đó xây dựng phơng trình.

* Lời giải: Gọi số chi tiết máy tổ 1 sản xuất trong tháng đầu là x (chi tiết )

Điều kiện x nguyên dơng, x < 720

Ngời soạn : Hoàng Văn Phúc Trờng THCS Diễn Thịnh

Khi đó tháng đầu tổ 2 sản xuất đợc: 720 - x ( chi tiết ).

⇔ 3x = 9900 - 8640

⇔ 3x = 1260

⇔ x = 420 (thoả mãn).

Vậy, trong tháng giêng tổ một sản xuất đợc 420 chi tiết máy, Tổ hai sản xuất đợc 720 -

420 = 300 chi tiết máy.

* Chú ý: Loại toán này tơng đối khó giáo viên cần gợi mở dần dần để học sinh hiểu rõ bản

chất nội dung của bài toán để dẫn tới mối liên quan xây dựng phơng trình và giải phơng trình

nh các loại toán khác.

Khi gọi ẩn, điều kiện của ẩn cần lu ý bám sát ý nghĩa thực tế của bài toán.

4.Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng:

* Bài toán ( SGK đại số 8).

Hai đội công nhân cùng sửa một con mơng hết 24 ngày Mỗi ngày phần việc làm đợc

của đội 1 bằng 11

2 phần việc của đội 2 làm đợc Nếu làm một mình, mỗi đội sẽ sửa xong con mơng trong bao nhiêu ngày?

* Hớng dẫn giải:

- Trong bài này ta coi toàn bộ công việc là một đơn vị công việc và biểu thị bằng số 1.

- Số phần công việc trong một ngày nhân với số ngày làm đợc là 1.

* Lời giải:

Gọi số ngày một mình đội 2 phải làm để sửa xong con mơng là x ( ngày) ĐK x > 0

Trong một ngày đội 2 làm đợc 1

2 công việc.

Trong một ngày đội 1 làm đợc 1 1 1 3

⇔ x = 60 thoả mãn điều kiện

Vậy, thời gian đội 2 làm một mình sửa xong con mơng là 60 ngày.

Mỗi ngày đội 1 làm đợc 3 1

2.60=40 công việc.

Để sửa xong con mơng đội 1 làm một mình trong 40 ngày.

* Chú ý: ở loại toán này , học sinh cần hiểu rõ đề bài, đặt đúng ẩn, biểu thị qua đơn vị quy

-ớc Từ đó lập phơng trình và giải phơng trình.

5.Dạng toán về tỉ lệ chia phần:

* Bài toán: (SGK đại số 8).

Hợp tác xã Hồng Châu có hai kho thóc, kho thứ nhất hơn kho thứ hai 100 tấn Nếu

chuyển từ kho thứ nhất sang kho thứ hai 60 tấn thì lúc đó số thóc ở kho thứ nhất bằng12

13 số thóc ở kho thứ hai Tính số thóc ở mỗi kho lúc đầu.

* Hớng dẫn giải:

Trớc khi chuyển x + 100 (tấn) x (tấn ), x > 0

Sau khi chuyển x +100 - 60 (tấn ) x + 60 ( tấn )

Phơng trình: x + 100 - 60 = 12

13 (x + 60 )

* Lời giải: Gọi số thóc ở kho thứ hai lúc đầu là x (tấn ), x > 0.

Thì số thóc ở kho thứ nhất lúc đầu là x + 100 (tấn ).

Số thóc ở kho thứ nhất sau khi chuyển là x +100 -60 ( tấn ).

Số thóc ở kho thứ hai sau khi chuyển là x + 60 ( tấn ).

Ngời soạn : Hoàng Văn Phúc Trờng THCS Diễn Thịnh

Theo bài ra ta có phơng : x + 100 - 60 = 12.( 60)

13 x+

Giải phơng trình tìm đợc: x = 200 thoả mãn điều kiện.

Vậy, kho thóc thứ hai lúc đầu có 200 tấn thóc

Kho thóc thứ nhất lúc đầu có 200 + 100 = 300 tấn thóc.

6.Dạng toán có liên quan đến hình học:

* Bài toán: ( SGK đại số lớp 9 ).

Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi là 280 m Ngời ta làm một lối đi xung quanh vờn ( thuộc đất của vờn ) rộng 2m, diện tích đất còn lại để trồng trọt là 4256 m2 Tính kích thớc của vờn.

* Hớng dẫn giải: - Nhắc lại công thức tính chu vi và diện tích của hình chữ nhật.

- Vẽ hình minh hoạ để tìm lời giải.

* Lời giải : Gọi độ dài một cạnh hình chữ nhật là x ( m ), điều kiện 4 < x < 140

Vậy kích thớc của mảnh vờn hình chữ nhật là 60m và 80m.

7.Toán có nội dung vật lý, hoá học:

* Bài toán: ( tài liệu ôn thi tốt nghiệp bậc THCS )

Ngời ta hoà lẫn 8g chất lỏng này với 6g chất lỏng khác có khối lợng nhỏ hơn nó 200kg/m3 để đợc một hỗn hợp có khối lợng riêng là 700kg/m3 Tìm khối lợng riêng của mỗi chất lỏng?

* Hớng dẫn giải: - Để giải bài toán ta cần chú ý khối lợng riêng của mỗi chất đợc tính theo

công thức: D = V m ⇒ V = D m

Trong đó: m là khối lợng tính bằng kg

V lµ thÓ tÝch cña vËt tÝnh b»ng m3

D lµ khèi lîng riªng tÝnh b»ng kg/m3

* Lêi gi¶i: Gäi khèi lîng riªng cña chÊt thø nhÊt lµ x (kg/m3), ®iÒu kiÖn x > 200

Th× khèi lîng riªng cña chÊt thø hai lµ: x – 200 (kg/m3)

ThÓ tÝch cña chÊt thø nhÊt lµ: 0,008

x (m3) ThÓ tÝch cña chÊt thø hai lµ: 0, 006

VËy khèi lîng riªng cña chÊt thø nhÊt lµ 800 kg/m3

Khèi lîng riªng cña chÊt thø hai lµ 600 kg/m3.

Bµi tËp vÒ nhµ

Bài 1: Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h Khi đến B, người

đó nghỉ 20 phút rồi quay trở về A với vận tốc trung bình 25km/h Tính quãng đường AB, biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phút.

HD: Gọi độ dài quãng đường AB là x km (x > 0)

Ta có phương trình: x x 1 55

30 25 3+ + = 6 Giải ra ta được: x = 75 (km)

Bài 2: Hai canô cùng khởi hành một lúc và chạy từ bến A đến bến B Canô I chạy với vận

tốc 20km/h, canô II chạy với vận tốc 24km/h Trên đường đi, canô II dừng lại 40 phút, sau

đó tiếp tục chạy với vận tốc như cũ Tính chiều dài quãng sông AB, biết rằng hai canô đến bến B cùng 1 lúc.

HD: Gọi chiều dài quãng sông AB là x km (x > 0)

Ta có phương trình: x x 2

20 24− = 3 Giải ra ta được: x = 80 (km)

Bài 3: Một ôtô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40km/h Lúc đầu ôtô

đi với vận tốc đó, khi còn 60km nữa thì đi được một nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm vận tốc 10km/h trên quãng đường còn lại, do đó ôtô đến tỉnh B sớm hơn 1giờ so với dự định Tính quãng đường AB.

Ngêi so¹n : Hoµng V¨n Phóc Trêng THCS DiÔn ThÞnh

HD: Gọi độ dài quãng đường AB là x km (x > 120)

Bài 4: Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi lẫn về mất 8giờ 20phút Tính

vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4km/h.

HD: Gọi vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng là x km/h (x > 0)

Ta có phương trình: 80 80 81

x 4+x 4 = 3

+ − Giải ra ta được: 1

4x5

= − (loại), x2 = 20 (km)

Bài 5: Một ca nô và một bè gỗ xuất phát cùng một lúc từ bến A xuôi dòng sông Sau khi đi

được 24 km ca nô quay trở lại và gặp bè gỗ tại một địa điểm cách A 8 km Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng biết vận tốc của dòng nước là 4 km / h.

HD: Gọi vận tốc canô khi nước yên lặng là x km/h (x > 4)

Ta có phương trình: 24 16 2

x 4+ x 4 =

+ − Giải ra ta được x1 = 0 (loại), x2 = 20 (km/h)

Bài 6: Một người đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50 km Sau đó 1 giờ 30 phút,

một người đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp.

HD: Gọi vận tốc xe đạp là x km/h (x > 0)

Ta có phương trình: 50 50 (1,5 1)

x = 2,5x + + Giải ra ta được: x = 12 (thỏa mãn)

Bài 7: Nhà trường tổ chức cho 180 học sinh khối 9 đi tham quan di tích lịch sử Người ta

dự tính: Nếu dùng loại xe lớn chuyên chở một lượt hết số học sinh thì phải điều ít hơn nếu dùng loại xe nhỏ 2 chiếc Biết rằng mỗi xe lớn có nhiều hơn mỗi xe nhỏ là 15 chỗ ngồi Tính số xe lớn, nếu loại xe đó được huy động

HD: Gọi số xe lớn là x (x ∈ Z+) Ta có PT: 180 180 15

x −x 2 =

+ ⇒ x1 = 4; x2 = –6 (loại)

Bài 8: Một đội xe cần chuyên chở 100 tấn hàng Hôm làm việc, có hai xe được điều đi làm

nhiệm vụ mới nên mỗi xe phải chở thêm 2,5 tấn Hỏi đội có bao nhiêu xe? (biết rằng số hàng chở được của mỗi xe là như nhau)

HD: Gọi x (xe) là số xe của đội (x > 2 và x ∈ N)

Ta có phương trình: 100 100 5

x 2− x = 2

− Giải ra ta được: x1 = −8 (loại), x2 = 10 (thỏa

mãn)

Bài 9: Để làm một chiếc hộp hình hộp không nắp, người ta cắt đi 4 hình vuông bằng nhau

ở 4 góc của một miếng nhôm hình chữ nhật dài 24cm, rộng 18cm Hỏi cạnh của các hình vuông đó bằng bao nhiêu, biết rằng tổng diện tích của 4 hình vuông đó bằng 2

5 diện tích đáy hộp?

HD: Gọi x (cm) là độ dài cạnh của hình vuông bị cắt ( 0 < x < 9)

Ta có phương trình: 2 2

4x (24 2x)(18 2x)5

= − − Giải ra ta được: x1 = −18 (loại), x2 = 4

(thỏa)

Bài 10: Cho một số cú hai chữ số Tỡm số đú, biết rằng tổng hai chữ số của nú nhỏ hơn số

đú 6 lần, nếu thờm 25 vào tớch của hai chữ số đú sẽ được một số viết theo thứ tự ngược lại với số đó cho

Bài 1 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O) Các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại

H và cắt đờng tròn (O) lần lợt tại M,N,P

Chứng minh rằng:

Tứ giác CEHD, nội tiếp

Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn

AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC

H và M đối xứng nhau qua BC

Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF