bài tập hệ toạ độ điển hình

các bài tập về hệ trục toạ độ thì đây là tài liệu bổ ích dành cho em. Với 38 bài tập điển hình có lời giải chi tiết giúp các em “ngộ” được kha khá lượng kiến thức cũng như nhận dạng bài tập kèm phương pháp giải. Đây là một trong những chuyên đề thực ra dễ ăn điểm nhất của Toán học, vì thế học kỹ và không để mất điểm đối với những câu phần này nhé

Phần 1: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

Câu 1: [2H3-1.1-3]Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(5;3; 1− , ) B(2;3; 4− và )

(1; 2; 0)

C Tọa độ điểm D đối xứng với C qua đường thẳng AB là

A (6; 4; 5− ) B (4; 6; 5− ) C (6; 5; 4− ) D (−5; 6; 4)

Hướng dẫn giải

Ch ọn A

Phương trình đường thẳng AB: ( )

5 3 3

1 3

= +





 = − +





Gọi C1(5 3 ;3; 1 3+ t − + t) là hình chiếu vuông góc của C lên đường thẳng AB

Ta có: CC1 =(4 3 ;1; 1 3+ t − + t)

Khi đó: CC 1⊥BA

CC BA

⇔ =

3 4 3t 3 1 3t 0

2

t

⇔ = − Hay 1 7;3; 5

Điểm D đối xứng với C qua đường thẳng AB ⇒ là trung điểm CDC1 ⇒D(6; 4; 5− )

Câu 2: [2H3-1.1-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hình hộp Biết tọa độ

các đỉnh , , , Tìm tọa độ điểm của hình hộp

Hướng dẫn giải

Ch ọn D

Gọi A x y z′( 1; 1; 1), C x y z′( 2; 2; 2)

Tâm của hình bình hành A B C D′ ′ ′ ′ là 1;3;5

 

Do I là trung điểm của A C′ ′ nên

1 6 5

z z



 + =



 + =



Ta có AC =(7; 0; 1− )

và A C′ ′ =(x2−x y1; 2−y z1; 2−z1)

Oxyz ABCD A B C D ′ ′ ′ ′

( 3; 2;1)

A − C(4; 2; 0) B′(−2;1;1) D′(3;5; 4) A′

( 3;3;1)

A′ − A′(− −3; 3;3) A′(− − −3; 3; 3) A′(−3;3;3)

D /

C /

B /

A /

D

C B

A

Do ACC A′ ′ la hình bình hành nên

7 0 1

− =



 − =



 − = −



Xét các hệ phương trình:

⇔

⇔

  

⇔

Vậy A′(−3;3;3)

Cách khác

Gọi I là trung điểm của AC 1; 2;1

⇒  

Gọi I′ là trung điểm của B D′ ′ 1;3;5

I′ 

⇒  

Ta có  AA′=II′⇒A′(−3;3;3)

Câu 3: [2H3-1.1-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có điểm A

trùng với gốc tọa độ, B a;0;0 , 0; ;0 , 0;0; D a  A b với a 0, 0b Gọi M là trung điểm của cạnh

CC  Giả sử a b  4, giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện A BDM bằng:

A 64

.

128

128

27 4

Hướng dẫn giải

Ch ọn A

Từ giả thiết, suy ra

; ;0 ' ;0;

; ; 2 ' 0; ;

' ; ;

C a a

M a a

D a b

C a a b











Ta có

3

2

; ; 2

A B a b

a b

A D a b A B A D ab ab a A B A D A M

b

AM a a













1

A MBD

a b

V    A B A D A M 

3

Suy ra max ' 64.

27

A MBD

Câu 4: [2H3-1.2-3]Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; 0; 2− và mặt cầu )

( ) ( ) (2 ) (2 )2

S x− + y+ + +z = Một đường thẳng d đi qua A, cắt mặt cầu tại hai điểm

M , N Độ dài ngắn nhất của MN là

A 8 B 4 C 6 D 10

Lời giải Chọn A

Mặt cầu ( ) ( ) (2 ) (2 )2

S x− + y+ + +z = có tâm I(1; 2; 3 ;− − ) R= 5

Ta có : AI = < = Nên điểm 3 5 R A năm trong mặt cầu

Gọi H là hình chiếu của I trên đường thẳng d

Trong tam giác vuông ∆IAH à∆IHMTa có: 1 2 2

; 2

IH ≤IA MN=HM = IM −IH

M

IH ⇒IH =IA⇒MN = HM = IM −IA =

Câu 5: [2H3-1.2-3] Trong không gian Oxyz cho điểm M(2; 2; 5− − ) và đường thẳng

:

− Biết N a b c thu( ; ; ) ộc ( )d và độ dài MN ngắn nhất Tổng a b c+ + nhận giá trị nào sau đây?

L ời giải

Ch ọn C

( ) (1 2 ; 1 ; )

N∈ d ⇒N + t − + − t t

( ) (2 ) (2 )2 ( )2

MN

⇒ ngắn nhất bằng 21 khi t= khi đó 1 N(3; 0; 1− )⇒ + + = + − = a b c 3 0 1 2

Câu 6: [2H3-1.2-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có A(2;1;3)

;

(0; 1; 1)

; C(− −1; 2; 0)

; D′(3; 2;1− )

Tính thể tích hình hộp

Hướng dẫn giải

Ch ọn A

M

N A H I

Ta có BA=(2; 2; 4)

; BC= − −( 1; 1;1)

; 6; 6; 0

BA BC

 

( )2 2

ABCD

S BA BC

⇒ =   = + − =

Mặt phẳng (ABCD ) đi qua điểm A(2;1;3) và có vectơ pháp tuyến BA BC ;  = (6; 6; 0− )

có phương trình: 6(x− −2) (6 y− +1) (0 z− = ⇔ − − = 3) 0 x y 1 0

( )2 2

′

Vậy thể tích hình hộp là V =S ABCD.h=6 2.2 2 =24

Câu 7: [2H3-1.2-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có A(2;1;3)

;

(0; 1; 1)

; C(− −1; 2; 0)

; D′(3; 2;1− ) Tính thể tích hình hộp

Hướng dẫn giải

Ch ọn A

Ta có BA=(2; 2; 4)

; BC= − −( 1; 1;1)

; 6; 6; 0

BA BC

 

( )2 2

ABCD

S BA BC

⇒ =   = + − =

Mặt phẳng (ABCD ) đi qua điểm A(2;1;3) và có vectơ pháp tuyến BA BC ;  = (6; 6; 0− )

có phương trình: 6(x− −2) (6 y− +1) (0 z− = ⇔ − − = 3) 0 x y 1 0

( )2 2

′

Vậy thể tích hình hộp là V =S ABCD.h=6 2.2 2 =24

Câu 8: [2H3-1.2-3] Trong không gian Oxyz, cho điểm A(−2; 2; 2 ,− ) (B 3; 3;3− ) M là điểm thay đổi trong

không gian thỏa mãn 2

3

MA

MB= Khi đó độ dài OM lớn nhất bằng?

2 D 5 3

L ời giải

Ch ọn A

Gọi M x y z Ta có: ( ; ; )

2

3

MA

MB

⇔ + + + − + = ⇒M∈ mặt cầu ( )S tâm I(−6; 6; 6− bán kính ) R=6 3 Khi đó OMmax =d O I( ; )+R =OI+ =R 6 3+6 3=12 3

Câu 9: [2H3-1.2-3]Cho tam giác ABC với A(1; 2; 1− , ) B(2; 1; 3− ), C(−4; 7; 5) Độ dài phân giác trong

của ∆ABC kẻ từ đỉnh B là

A 2 74

2 74

3 73

3 D 2 30

Gi ải

Ch ọn B

Gọi D a b c ( ; ; ) là chân đường phân giác kẻ từ đỉnh B

Ta có

2 3

a

 = −



− = − −



 

Câu 10: [2H3-1.2-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 0;0;0 , 0;1;1 , 1;0;1 B  C  Xét

điểm D thuộc mặt phẳng Oxy sao cho tứ diện ABCD là một tứ diện đều Kí hiệu D x y z0 ; ; 0 0 là tọa

độ của điểm D Tổng x0 y0 bằng:

A 0 B 1 C 2 D 3

Hướng dẫn giải

Ch ọn C

Tính được ABBCCA 2

Do DOxy D x y 0 ; ;0 0  Yêu cầu bài toán

2

2

DA

DC









0

2 2

2 2

1

1

x

y



Câu 11: [2H3-1.3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; 4), điểm M nằm trên mặt

phẳng (Oxy và ) M ≠ GO ọi D là hình chiếu vuông góc của O lên AM và E là trung điểm của

OM Biết đường thẳng DE luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định Tính bán kính mặt cầu đó

A R=2 B R=1 C R=4 D R= 2

Hướng dẫn giải

Ch ọn A

Ta có tam giác OAM luôn vuông t ại O

Gọi I là trung điểm của OA (Điểm I cố định)

Ta có tam giác ADO vuông tại D có ID là

đường trung tuyến nên 1 ( )

2 1 2

ID= OA=

Ta có IE là đường trung bình của tam giác OAM

nên IE song song với AM mà OD⊥ AM ⇒OD⊥IE

Mặt khác tam giác EOD cân tại E Từ đó suy ra

IE là đường trung trực của OD

Nên DOE   =ODE IOD; =IDO⇒IDE =IOE= ° ⇒90 ID⊥DE ( )2

Vậy DE luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm I bán kính 2

2

OA

R= =

Câu 12: [2H3-1.3-3] Trong không gian với hệ trục , cho hình chóp có , ,

, Tính thể tích khối chóp

Oxyz S ABC S(2; 2; 6) A(4; 0; 0) (4; 4; 0)

A

M D

E I

O

A B C D

Hướng dẫn giải

Ch ọn B

Câu 13: [2H3-1.3-3] Trong không gian với hệ tọa độ , cho hình lăng trụ đứng có

tứ diện là

Hướng dẫn giải

Ch ọn A

Thể tích khối tứ diện là

Câu 14: [2H3-1.3-3]Cho tam giác ABC với A(1; 2; 1− , ) B(2; 1;3− ), C(−4; 7;5) Độ dài phân giác trong

của ABC∆ kẻ từ đỉnh B là:

A 2 74

2 74

3 73

3 D 2 30

Hướng dẫn giải

Ch ọn B

Gọi D a b c ( ; ; ) là chân đường phân giác kẻ từ đỉnh B Ta có

(0; 4; 0)

BA= −



( 4; 0; 0) 0

  

B

4

2

ABC

BC= BC = ⇒S = = (4; 0; 0)

A B(4; 4; 0) C(0; 4; 0) (Oxy):z=0

(0; 0; 0)

A B(2; 0; 0) C(0; 2; 0) A1(0; 0;m) (m>0) A C1 BC1

A CBC

4 3

8

1 ; ;

C x y z

1 1 1

ABC A B C  AA1=CC1 0

2 0

x y

=





⇔ − =

 =



0 2

x y

=





⇔ =

 =



1 0; 2;

⇒

1 0; 2;



1 2; 2;



1

2

2

m

m

=



= ⇔ − = ⇔  = −



 

0

m> m=2 A1(0; 0; 2)

A CBC

A CBC ABC A B C

( )

2 3

a

 = −



− = − −



 

Câu 15: [2H3-1.3-3]Cho tam giác ABC với A(1; 2; 1− , ) B(2; 1;3− ), C(−4; 7;5) Độ dài phân giác trong

của ABC∆ kẻ từ đỉnh B là:

A 2 74

2 74

3 73

3 D 2 30

Hướng dẫn giải

Ch ọn B

Gọi D a b c ( ; ; ) là chân đường phân giác kẻ từ đỉnh B Ta có

2 3

a

 = −



− = − −



 

Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Câu 16: [2H3-2.2-3] Viết phương trình mặt phẳng qua A(1;1;1), vuông góc với hai mặt phẳng

( )α :x+ − − = , y z 2 0 ( )β :x− + − = y z 1 0

A y+ − =z 2 0 B x+ + − =y z 3 0

C x−2y+ =z 0 D x+ − = z 2 0

Hướng dẫn giải

Ch ọn A

Gọi ( )P là mặt phẳng cần tìm Ta có: n P =n nα; β=(0; 2; 2)

  

, Phương trình ( )P :y+ − = z 2 0

Câu 17: [2H3-2.2-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm

(1; 2;3)

M − và vuông góc với hai mặt phẳng ( )P : 2x− − − =y z 1 0, :( )Q x− + − = y z 3 0

A 2x+3y+ − =z 1 0 B x+3y+2z+ =1 0 C x+3y+2z− =1 0 D 2x+3y+ + =z 1 0

Hướng dẫn giải

Ch ọn D

( )P có vtpt n1=(2; 1; 1− − )

, ( )Q có vtpt n2 =(1; 1;1− )

Vì mặt phẳng vuông góc với ( )P và ( )Q nên có vtpt n  = ∧n1 n2 = − − −( 2; 3; 1)

Phương trình mặt phẳng cần tìm −2(x− −1) (3 y+ − − = ⇔2) (z 3) 0 2x+3y+ + = z 1 0

Câu 18: [2H3-2.2-3] Viết phương trình mặt phẳng qua A(1;1;1), vuông góc với hai mặt phẳng

( )α :x+ − − = , y z 2 0 ( )β :x− + − = y z 1 0

A y+ − =z 2 0 B x+ + − =y z 3 0

C x−2y+ =z 0 D x+ − = z 2 0

Hướng dẫn giải

Ch ọn A

Gọi ( )P là mặt phẳng cần tìm Ta có: n P =n nα; β=(0; 2; 2)

  

, Phương trình ( )P :y+ − = z 2 0

Câu 19: [2H3-2.2-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm

(1; 2;3)

M − và vuông góc với hai mặt phẳng ( )P : 2x− − − =y z 1 0, :( )Q x− + − = y z 3 0

A 2x+3y+ − =z 1 0 B x+3y+2z+ =1 0 C x+3y+2z− =1 0 D 2x+3y+ + =z 1 0

Hướng dẫn giải

Ch ọn D

( )P có vtpt n1=(2; 1; 1− − )

, ( )Q có vtpt n2 =(1; 1;1− )

Vì mặt phẳng vuông góc với ( )P và ( )Q nên có vtpt n  = ∧n1 n2 = − − −( 2; 3; 1)

Phương trình mặt phẳng cần tìm −2(x− −1) (3 y+ − − = ⇔2) (z 3) 0 2x+3y+ + = z 1 0

Câu 20: [2H3-2.3-3]Cho điểm , gọi lần lượt là hình chiếu của trên Mặt

phẳng song song với mp có phương trình là

Hướng dẫn giải

Câu 21: [2H3-2.3-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;8; 0), B(−4; 6; 2), và

(0;12; 4)

C Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A , B , C và có tâm thuộc mặt phẳng

(Oyz )

A ( ) 2 2 2

S x +y +z − x− z− =

C ( ) 2 2 2

S x +y +z − y− z− = D ( ) 2 2 2

S x +y +z − y− z+ =

Hướng dẫn giải

Ch ọn D

(–3; 2; 4)

(ABC)

4 – 6 – 3x y z+12=0 3 – 6 – 4x y z+12=0

6 – 4 – 3 – 12x y z =0 4 – 6 – 3 – 12x y z =0

(–3; 0; 0) (, 0;2; 0) (, 0; 0; 4)

3 2 4

−

2 2 2

x +y +z − by− cz+ = d

Vì ( )S đi qua A(0;8; 0), B(−4; 6; 2), và C(0;12; 4) nên ta có hệ:

− − + = − ⇔ =

⇒ phương trình của ( ) 2 2 2

S x +y +z − y− z+ =

Câu 22: [2H3-2.3-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;8; 0), B(−4; 6; 2), và

(0;12; 4)

C Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A , B , C và có tâm thuộc mặt phẳng

(Oyz )

A ( ) 2 2 2

S x +y +z − x− z− =

C ( ) 2 2 2

S x +y +z − y− z− = D ( ) 2 2 2

S x +y +z − y− z+ =

Hướng dẫn giải

Ch ọn D

Mặt cầu ( )S c ần lập có tâm I thuộc (Oyz ) ⇒I(0; ;b c) nên ( )S có phương trình dạng:

x +y +z − by− cz+ = d

Vì ( )S đi qua A(0;8; 0), B(−4; 6; 2), và C(0;12; 4) nên ta có hệ:

− − + = − ⇔ =

⇒ phương trình của ( ) 2 2 2

S x +y +z − y− z+ =

Câu 23: [2H3-2.4-3] Trong không gian với hệ trục Oxyz cho mặt phẳng ( )P có phương trình là

2x−2y−3z=0 Viết phương trình của mặt phẳng ( )Q đi qua hai điểm H(1; 0; 0) và K(0; 2; 0− )

biết ( )Q vuông góc ( )P

A ( )Q : 6x+3y+4z+ = 6 0 B ( )Q : 2x− +y 2z− = 2 0

C ( )Q : 2x− +y 2z+ = 2 0 D ( )Q : 2x+ +y 2z− = 2 0

Hướng dẫn giải:

Ch ọn B

Vì mặt phẳng ( )Q đi qua hai điểm H(1; 0; 0), K(0; 2; 0− )và ( )Q vuông góc ( )P nên mặt phẳng nhận n( )Q = HK n,( )P 

làm véctơ pháp tuyến

Ta có

( ) ( )

1; 2; 0 2; 2; 3

P

HK n

= − −



 ⇒n( )Q =HK n,( )P =(6; 3; 6− ) (=3 2; 1; 2− )

Phương trình mặt phẳng ( )Q đi qua H(1; 0; 0)có véctơ pháp tuyến n( )Q =(2; 1; 2− ) là

2 x− − +1 y 2z= ⇔0 2x− +y 2z− = 2 0

Câu 24: [2H3-2.4-3] Trong không gian với hệ tọa độ , mặt phẳng qua hai

Hướng dẫn giải

Ch ọn D

vuông góc với mặt phẳng

Câu 25: [2H3-2.5-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho đường thẳng : 3 1 1

− và

điểm A(1;3; 1− Vi) ết phương trình mặt phẳng ( )P ch ứa d và đi qua A

A 2x− + − =y z 4 0. B. x+ +y 5z+ =1 0 C x+ − =y 4 0. D x− − + =y z 1 0.

L ời giải

Ch ọn B

Ta có d đi qua M(3;1; 1− và có vtcp ) u=(2;3; 1 − )

( 2; 2; 0 )

MA= −



, 1;1;5

=  =

Phương trình ( )P : x+ +y 5z+ =1 0

Câu 26: [2H3-2.5-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 2; 3) và đường thẳng

:

− Lập phương trình mặt phẳng chứa điểm M và d

A 5x+2y−3z=0 B 2x+3y−5z=0

C 2x+3y−5z+ =7 0 D 5x+2y−3z+ =1 0

Hướng dẫn giải

Ch ọn A

Đường thẳng d có véc-tơ chỉ phương là u=(1; 1; 1− )

, lấy O d∈



Oxyz ( )P :ax by cz+ + −27=0

(3; 2;1)

A B(−3;5; 2) ( )Q : 3x+ + + =y z 4 0

S = + +a b c

2

(3; 2;1) ( ): 27 0 3 2 27 0 1( )

A ∈ P ax by cz+ + − = ⇒ a+ b c+ − =

( )P :ax by cz+ + −27=0 ( )Q : 3x+ + + =y z 4 0

( )

p q

n n  = a b c+ + =

( ) ( ) ( )

45

c

a b c



Gọi n ≠0

là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm.Vì n u u OM, ( 5; 2; 3)

 ⊥

⊥



 

 

 

Mặt phẳng chứa điểm M và d có phương trình :

5x+2y−3z=0

Câu 27: [2H3-2.5-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 1

− và điểm

(0; 1;3)

A − Viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua điểm A và chứa đường thẳng d

A ( )P :x+3y+ = z 0 B ( )P :x+4y+2z− = 2 0

C ( )P : 2x+3y− + = z 6 0 D ( )P :x+3y+ − = z 6 0

Hướng dẫn giải

Chọn A

Lấy B(−1; 0;1) ( )∈ d

( 1;1; 2)

AB= − −



Đường thẳng ( )d có VTCP ud =(2; 1;1− )

Vậy ( )P có VTPT  AB u, d = (1;3;1)

PTMP ( ) (P :1 x− +0) (3 y+ +1) (1 z− = ⇔ +3) 0 x 3y+ = z 0

Câu 28: [2H3-2.4-3] Trong không gian với hệ trục Oxyz cho mặt phẳng ( )P có phương trình là

2x−2y−3z=0 Viết phương trình của mặt phẳng ( )Q đi qua hai điểm H(1; 0; 0) và K(0; 2; 0− )

biết ( )Q vuông góc ( )P

A ( )Q : 6x+3y+4z+ = 6 0 B ( )Q : 2x− +y 2z− = 2 0

C ( )Q : 2x− +y 2z+ = 2 0 D ( )Q : 2x+ +y 2z− = 2 0

Hướng dẫn giải:

Ch ọn B

Vì mặt phẳng ( )Q đi qua hai điểm H(1; 0; 0), K(0; 2; 0− )và ( )Q vuông góc ( )P nên mặt phẳng

nhận n( )Q = HK n,( )P 

làm véctơ pháp tuyến

Ta có

( ) ( )

1; 2; 0 2; 2; 3

P

HK n

= − −



 ⇒n( )Q =HK n, ( )P =(6; 3; 6− ) (=3 2; 1; 2− )

 

Phương trình mặt phẳng ( )Q đi qua H(1; 0; 0)có véctơ pháp tuyến n( )Q =(2; 1; 2− )

là

2 x− − +1 y 2z= ⇔0 2x− +y 2z− = 2 0