dạy cho học sinh giải một số bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ hóa SKKN

Sáng kiến kinh nghiệm trung học phổ thông này quý thầy cô sẽ có nguồn tài liệu tham khảo hay, củng cố xây dựng phương pháp dạy hiệu quả, qua đó giúp các em học sinh tiếp thu bài tốt, nắm vững kiến thức phát triển tư duy trí tuệ. Sáng kiến kinh nghiệm tiểu học tập hợp các đề tài đa dạng mang tính ứng dụng cao như ứng dụng công nghệ thông tin trong trường học

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT SẦM SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO DÀNH CHO

1.3 Đối tượng nghiến cứu

1.4 Phương pháp nghiên cứu và tổ chức thực hiện

2

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

3

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 6

Kinh nghiệm giải bài toán theo hướng tư duy sáng tạo dành cho học sinh

khá, giỏi

8

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệmđối với hoạt động giáo dục, với bản

có thể đưa đến kết quả nhanh nhất có thể đối với một số bài toán với mức độ vận dụng cao đặc biệt là các bài toán về hình học Xuất phát từ tinh thần đó tôi mạnh dạn đư vấn đề tọa đọ hóa một bài toán hình học vào giảng dạy cho học sinh, nhằm mục đích chỉ cho học sinh một cách nhìn đa chiều về các bài toán Trong quá trình giảng dạy và thực hiện đề tài này tôi đã nhận được sự giúp đỡ

vô cùng quý báu của các đồng nghiệp trong nhóm toán trường THPT Sầm sơn, các đồng nghiệp dạy môn toán trong tỉnh và các em học sinh lớp 12A 1, 12A 2

năm học 2016 – 2017, học sinh lớp 10A 1 , 10A 4 năm học 2017 -2018

Tôi xin chân thành cảm ơn và mong muốn được giúp đỡ nhiều hơn nữa trong công tác giảng dạy để có thể dạy tốt môn Toán Tôi rất mong được các đồng chí đồng nghiệp đóng góp những ý kiến để tôi hoàn thiện tốt hơn những ý tưởng trong bản sáng kiến kinh nghiệm của mình.

1.1 Lý do chọn đề tài

Rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo toán học cho học sinh là một nhiệm

vụ quan trọng trong trường phổ thông vì: Toán học có vai trò to lớn trong sựphát triển của các ngành khoa học, kỹ thuật Sự nghiệp cách mạng trong côngcuộc CNH - HĐH đất nước cần thiết có một đội ngũ những công dân có nănglực toán học

Toán học có liên quan chặt chẽ với thực tế và có ứng dụng rộng rãi trongrất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ sản xuất và đời sống xãhội hiện đại nó thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hoá sản xuất trở thànhcông cụ thiết yếu của mọi ngành khoa học và được coi là chìa khoá của sự pháttriển

Trong việc phát triển tư duy toán học "Toán học là một môn thể thao củatrí tuệ "Toán học giúp học sinh rèn luyện cách suy nghĩ, rèn luyện tính độc lập,rèn luyện tính linh hoạt Học sinh phải nắm vững những dạng cơ bản, tổng hợpkiến thức, kỹ năng Trong việc dạy toán ở trường phổ thông người giáo viênphải truyền thụ kiến thức, dạy học sinh cách lĩnh hội kiến thức suy nghĩ giảiquyết vấn đề và phát triển sáng tạo

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Để đáp ứng yêu cầu của xã hội Trong tương lai gần, vấn đề số hóa rấtcần được quan tâm và dần thay đổi những tư duy trừu tượng phù hợp với tốc độphát triển của thế giới và các nước trong khu vực Trọng tâm của ngành giáodục là phải đào tạo ra những con người năng động, sáng tạo, có khả năng giảiquyết vấn đề Điều này đã được luật GD quy định "Phương pháp giáo dục phảiphát huy tính tích cực, bồi dưỡng năng lực tự học, tự giác, chủ động, tư duysáng tạo của người học lòng say mê học tập và ý chí vươn lên"

Từ những lý do trên tôi chọn đề tài "Phương pháp giải bài toán theohướng phát triển tư duy, sáng tạo dành cho học sinh khá, giỏi” thông qua việc “

dạy cho học sinh giải một số bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ hóa ”

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là đề xuất một số phương pháp nhằmgóp phần rèn luyện một số yếu tố tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạybài tập tọa độ hóa bài toán hình học

Trên cơ sở tôn trọng nội dung chương trình SGK hiện hành Nếu xâydựng được một hệ thống bài tập cho học sinh thì ta có thể :

+Rèn luyện năng lực, tính tư duy sáng tạo cho học sinh

+Góp phần nâng cao chất lượng dạy - học toán ở trường THPT

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Dự giờ, quan sát việc học của học sinh trong quá trình khai thác bài tậptrong sách giáo khoa

Tham khảo các tài liệu hướng dẫn phương pháp dạy học trong trườngphổ thông

Tham khảo sách giáo khoa, sách bồi dưỡng học sinh, các đề thi Đại họctrong những năm gần đây, các sách bài tập và bài viết có liên quan đến đề tài

Tham khảo ý kiến giáo viên có kinh nghiệm giảng dạy trong tổ

Tổ chức thực nghiệm trên các lớp đã dạy tại trường THPT Sầm Sơn.Tổng hợp kết quả so sánh và rút ra kết luận

Vận dụng kết quả đạt được vào giảng dạy các bài học cụ thể

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

a- Khái niệm sự sáng tạo và tư duy sáng tạo

Sáng tạo là tạo ra những giá trị mới về vật chất hoặc tinh thần hoặc sángtạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới, không bị phụ thuộc, gò bó vào cái đã

có Nội dung của sáng tạo gồm hai ý chính, có tính mới ( khác với cái cũ, cái đãbiết và cái có lợi ích ( tốt, có giá trị hơn cái cũ, cái đã biết )

Ví dụ 2: Khai thác từ một dạng toán đơn giản sách giáo khoa đại số 10 nâng

cao: Giải hệ phương trình : 



= +

= +

4 2

8

4 2 2

y x

y x

(2)

) 1 (

2 2

⇔ y1 = y2 =1

thay vào biểu thức (3) ta có : x=2

Vây hệ có nghiệm duy nhất :

Đặt vấn đề: Ngoài cách giải trên có còn cách giải nào khác để giải hệ trên

−

1

2 0

1 4 2 8

16 4

2

y

x y

x y

y x x

thế vào hệ (1.2) thấy thoả mãn, vậy hệ có nghiệm duy nhất x=2 ,y=1

Một cách giải khác về hệ phương trình trên

Gọi (xo,yo) là nghiệm của hệ phương trình, tức 





= +

= +

4 2

8 4

0 0

2 0

2 0

y x

y x

Vậy xo = 2 ; yo =1 Thử lại kết quả ta thấy thoả mãn.

= +

⇔

4 2

8 ) 2 ( 2 2

y x

y x

Đặt : 2y=t khi đó hệ trở thành 



= +

= +

4

8

2 2

t x

t x

(Đây là hệ đối xứng với hai ẩn x và t )

=

− +

⇔

4

4 4

8 2 )

xt

t x t

x

xt t

Một cách suy nghĩ về hệ phương trình 





= +

= +

4

8

2 2

t x

t x

Hệ phương trình : 



= +

= +

4

8

2 2

t x

t x

Khi thử biểu diễn hình học của hai đường, trên hệ trục toạ độ Oxt ta thấy đườngthẳng tiếp xúc với đường tròn, vậy ta có cách giải thứ 4:

Cách 5

Ta phán đoán thêm một cách giải nữa của hệ, đó là phương pháp đánh giá

Vấn đề bây giờ là phải đánh giá như thế nào ?

Hạng tử thứ hai của PT thứ hai là 2y

Ta nghĩ ngay đến bất đẳng thức liên hệ giữa các số a,b và

2

a

, 2

b

Ta nhớ lại: bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xky cho hai bộ số trang 111 SGK-ĐS

2 1

2

, thay vào (2) ta được : y=1 ; x=2

Vẫn với phân tích để tìm ra cách 4 , ta còn thấy một phép toán hình học có liênquan đến mối liên hệ giữa 2 cặp số (a,b) và (a2,b2)

.Đó là :( )a,b,u a2 b2

u = → = +

→

Vậy nếu chọn →v =( )1 , 1 ⇒u→.→v =a+b

Từ đó gợi cho ta cách giải 5

Cách 6 Một cách giải khác nhờ công thức tích vô hướng

Đặt →u =(x, 2y);→v =( )1 , 1

y x

v u

v y x

u

2

; 2

Lưu ý cho học sinh: ở bên trái là trị tuyệt đối của một số

ở bên phải là độ lớn của một véc tơ

2 2

⇔

(5) (Trở lại bất đẳng thức (4)), dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

o

0 1

; 2 2

1 2

1

k y

k x v

k u

Ta để ý bất đẳng thức (4) ở cánh 3 và bất đẳng thức (5) ở cách 4 là giốngnhau mặc dù hai cách dẫn đến là khác nhau

Vì vậy mà gợi cho ta nghĩ đến việc đặt vấn đề ngược lại, tìm cách chứngminh bài tập bằng cách sử dụng tích vô hướng của hai véc tơ

Nếu bắt trước cách làm trên ta có cách chứng minh như sau:

) :

(

; 0

0

a hay c b d a d

b

d k c

b k a v

v k u

Cũng với việc phân tích để dẫn đến cách 3 gợi cho ta nghĩ đến việc ápdụng bất đẳng thức quen thuộc khác:

của phương trình (1) cho 8 khi đó: (1)

1 2 2

2

2 2

2x ≥

Ta quay lại xét hệ (1.2) Ta thấy :

Từ PT(1)

) ( 4 2

4 8

0 ≤ x ≤

;

1 2

0 ≤ y ≤

.Từ đây ta có cách 6:

Cách 8 Lượng giác hoá bài toán đại số

Theo lý luận trên thì có góc α để 2 2

sin α = x

) 90 0

( o ≤ α ≤ o

Thay vào PT(1)

suyra:

α α

α

2 cos

sin 1 2

2

1 2

2 2

2 2

2 cos

(Bài tập này có thể ra cho hoc sinh làm ở phần tích vô hướng của hai véc tơ)

Vậy

o o

o o

45 0

45 1

45 cos

Suy ra 2cos45 1;

2 45 sin 2 2

y x

Tính linh hoạt, tính độc lập, tính mềm dẻo là những điều kiện cần thiếtcủa tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của tư duysáng tạo Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới,phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới tuy nhiên chúng

ta không xem nhẹ cái cũ bởi vì kiến thức cơ bản là gốc của mọi vấn đề pháttriển lên cái mới

2.2.Thực trạng vấn đề Trong giảng dạy học sinh THPT vấn đề dạy học sinh

phát triển tư duy sáng tạo trong học tập là vấn đề khá khó, do thói quen ỷ lại,tính tự lập, cách phát triển một vấn đề của học sinh không cao do đó giáo viêncần nắm vững các đặc trưng của sáng tạo để phần nào giúp học sinh có tư duytốt trong học tập

Một số đặc trưng của tư duy sáng tạo [2]

Tư duy sáng tạo có những đặc trưng cơ bản sau:

a- Tính mềm dẻo: Là năng lực dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang

hoạt động trí tuệ khác, vận động linh hoạt phân tích, tổng hợp, so sánh, trừutượng hoá, khái quát hoá, cụ thể hoá: Có thể chuyển hoá một bài toán từ dạngnày sang dạng khác bằng cách: Hình học hoá bài toán đại số, lượng giác hoábài toán đại số Đại số hoá bài toán hình học, lượng giác v.v…

b- Tính nhuần nhuyễn: Là tạo ra một cách nhanh chóng sự tổng hợp giữa các

yếu tố riêng lẽ của tình huống, đưa ra giả thiết mới Tính đa dạng của cách xử

lý bài toán, có cách nhìn khác nhau một hiện tượng, một sự vật và cụ thể là mộtbài toán Tránh cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc

c- Tính độc đáo: Tức là khả năng tìm ra các giải pháp hay, lạ tuy đã biết những

giải pháp khác

d- Tính nhạy cảm vấn đề: Khả năng nhanh chóng phát hiện ra vấn đề, khả

năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu lô gíc, chưa tối ưu từ đó có nhu cầucấu trúc lại, tạo ra cái mới

e- Tính hoàn thiện: Khả năng lập kế hoạch, quy trình giải phối hợp các kiến

thức đã biết, hành động để thực hiện ý tưởng, kiểm tra kết quả thực hiện

2.3 Giải pháp để giải quyết vấn đề

a- Các yêu cầu cơ bản

Học sinh nắm vững định nghĩa: Trục tọa độ, hệ trục tọa độ Oxy, Oxyz.Tọa độ véc tơ, tọa độ điểm trong hệ trục, các biểu thức tọa độ, các bài toán cơbản trong hệ trục tọa độ

Về kỹ năng: Yêu cầu học sinh biết cách tìm tọa độ điểm, phương trìnhđường thẳng , đường tròn, conic trong Oxy, phương trình đường thẳng , phươngtrình mặt phẳng, mặt cầu vv Trong Oxyz

Học sinh biết linh hoạt vận dụng các kiến thức đã học vào bài toán tìmtọa độ điểm, phương trình các đường theo yêu cầu bài tóan

Học sinh biết vận dụng các bài toán cơ bản vào việc phát triển khả năngsáng tạo trong quá trình giải toán

Một số kiến thức chuẩn bị

Kiến thức véc tơ, phương pháp tọa độ trong mặt phẳng lớp 10

Kiến thức về hình học không gian lớp 11, phương pháp tọa độ trong không gianlớp 12

Kiến thức hình học liên quan đến tích vô hướng, độ dài đoạn thẳng, khoảngcách

Tài liệu bồi dưỡngthường xuyên: Dạy và học tích cực, các phương pháp dạy vàhọc tích cực vv

b Một số ví dụ minh họa Tọa độ hóa bài toán hình học theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh dành cho học sinh khá, giỏi

Rèn luyện cách nhìn bài toán dưới nhiều khía cạnh.

Trước hết phải lựa chọn bài toán có những đối tượng, những quan hệ

có thể xem xét dưới nhiều khía cạnh khác nhau

Việc cho học sinh làm quen với bài toán đó sẽ giúp học sinh rèn luyện khả năng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, rèn

Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A AB = 3a, AC = 4a Đường cao AH,

điểm I thuộc cạnh AB sao cho 2

Phân tích bài toán: Đây là bài toán không khó đối với học sinh lớp 9 vì chỉ cần

các kiến thức về tam giác đồng dạng, hệ thức lượng trong tam giác vuông làcác em có thể giải quyết được Xong với học sinh lớp 10 giáo viên cần hướngdẫn để học sinh có thể vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải quyết bàitoán và từ đó tìm ra hướng giải quyết bài toán một cách nhanh nhất, tối ưu nhất,

ít thời gian nhất Sau đây tôi đưa ra một vài phương án giải quyết bài toán này

Lời giải HÌNH VẼ 1 HÌNH VẼ 2

Cách 1: ( Hình vẽ 1

Kẻ IK⊥BC Ta có:

AH IK

3

1

=

mà theo hệ thức lượng trong tam giác ABC

vuông tại A ta tính được AH = 5

CK

CH CI

CE

11

5 16

B

C A

E

Cách 2: ( Hình vẽ 1) Theo định lý cosin trong tam giác BIC thì:

5 10

22

2 cos

2 2 2

=

− +

=

CI BC

BI CI BC

Cách 3: (Hình vẽ 2) Do AB⊥AC Chọn hệ trục tọa độ Oxy: A≡O(0;0),C(4a;0) B(0;3a) Khi đó: I(0;2a): phương trình CI là phương trình đoạn chắn:

11 16 11 12

0 3 4

4 2

a y

a x y

x

a y x

E

thì

a CE

11

5 16

=

Nhận xét về cách giải: Cách giải 3 không phải là cách giải ngắn gọn nhất.

Nhưng với việc tọa độ hóa bài toán thì đây là cách giải quyết mà học sịnh họctrung bình cũng có thể làm được So với cách giải 1, 2 thì đơn giản hơn, vì phải

sử dụng đến đường vẽ phụ mà học sinh ít khi nghĩ tới trong bài toán hình học

( Trừ học sinh khá, giỏi)

BÀI TẬP VẬN DỤNG VÀO CHO HỌC SINH LỚP 12

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông AB=3a, AC=4a,

I thuộc cạnh AB sao cho 2

1

=

IA

IB

AH⊥BC Các mặt (SCI) và (SAH) đều

vuông góc với mặt phẳng đáy [4]

a) Tính thể tích khối chóp: S.ABC nếu SC hợp với đáy góc 450

b) Tính thể tích khối chóp: S.ABC nếu (SBC) hợp với mặt đáy góc 600

c) Tính thể tích khối chóp: S.ABC nếu SC 11

5

29a

=

Rèn luyện sự mềm dẻo trong suy nghĩ giải quyết vấn đề

Một trong những nhiệm vụ quan trọng của người thầy giáo là rèn luyện cho học sinh lòng say mê học tập, ham muốn hiểu biết, biến nó thành nhu cầu, một nguồn vui trong cuộc sống Cần rèn luyện cho học sinh ý chí

S z

C

O B

y

S

B

D A

C

H O

K

tiến lên không ngừng, luôn sáng tạo không bằng lòng với những cái hiện có

mà luôn luôn tìm cách cải tiến, cần giúp học sinh tránh ý nghĩ rằng " vấn

đề đó đã cạn, chẳng còn gì để đào sâu, mở rộng, cải tiến, sáng tạo mới" ý nghĩ đó sẽ làm cằn cỗi khả năng sáng tạo của học sinh Người thầy giáo cũng cần giúp học sinh tránh định kiến cho rằng kiến thức còn quá ít chưa thể sáng tạo được, cần rèn luyện cho học sinh tinh thần học tập kiên trì, nhẫn nại, vượt khó khăn, để có thể giải quyết những bài toán khó hơn

Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, góc

Nhận xét: Đây là bài toán tương đối đơn giản mà hầu hết học sinh từ trung

bình trở lên đều có thể giải quyết được Xong nếu chỉ dừng lại ở chổ tính đượckhoảng cách của AB và SC thì học sinh hoặc không có một cảm xúc gì về bàitoán đã giải được hoặc không giải được vì lý do lý thuyết về khoảng cách củahai đường thẳng chéo nhau Giáo viên cần hướng dẫn học sinh vận dụng kiếnthức hợp lý vào giải bài toán để có thể khái quát một số phương pháp tínhkhoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau hoặc đơn giản là tính khoảng cách

từ một điểm đến một mặt phẳng mà hầu hết các đề thi đều có

Một vài cách giải thể hiện “sự mềm dẻo trong suy nghĩ giải quyết vấn đề”

HÌNH VẼ 1 HÌNH VẼ 2

b

A P

b/

N M

góc chung của chúng là không hề đơn giản

Lý thuyết chung: Cho a, b chéo nhau và không vuông góc với nhau Tìm đoạn

vuông góc chung

Về mặt lý thuyết việc tìm đoạn vuông góc chung của chúng là : Ví dụ a,

b chéo nhau và không vuông góc với nhau thì quy trình là:

+ Chọn (P) vuông góc với a, gọi b/ là hình chiếu của b trên (P)

+a∩(P)= A Kẻ AB⊥b/, qua B kẻ BN // a BN ( N thuộc b) Kẻ NM//AB, Mthuộc a Thì doạn vuông góc chung là MN

Như vậy: cách 1 là cách làm không khả thi( không phải là chúng ta không giải

quyết được mà vì chúng ta cần hạn chế về thời gian để giải quyết một vấn đề ), trong đó nếu chúng ta mềm dẻo hơn thì bài toán trở thành đơn giản rất nhiều.

Cách giải 2 ( cách giải gián tiếp) Hình vẽ 1:

Do AB//CD nên AB//(SCD) do đó: d(AB,SC) = d(AB,(SCD))= d(A, (SCD))

Ta tính khoáng cách từ O đến (SCD) Lý do A,O,C thẳng hàng mà C thuộc (SCD), O là trung điểm AC nên d(A,(SCD)( = 2d(O,(SCD))

Kẻ OH⊥CD

thì (SCD) ⊥(SOH) khi đó Kẻ OK⊥SH thì