Tín hiệu điện nói chung là một dao động điện có chứa tin tức trong nó. Nó thường được ký hiệu là s(t)-signal-đó là điện áp hay dòng điện, được biểu diễn như một hàm của biến thời gian. Để tìm hiểu cấu trúc tần số trong tín hiệu người ta thường dùng công cụ chuỗi Fourrie và tích phân Fourrie. Một tín hiệu s(t) tuần hoàn (vô hạn ) với chu kỳ T thì nó sẽ được phân tích thành chuỗi Fourrie dạng sau
Trang 1Chương 4
Tín hiệu và phổ của tín hiệu
Tóm tắt lý thuyết
Tín hiệu điện nói chung là một dao động điện có chứa tin tức trong nó Nó thường được ký hiệu là s(t)-signal-đó là điện áp hay dòng điện, được biểu diễn như một hàm của biến thời gian Để tìm hiểu cấu trúc tần số trong tín hiệu người
ta thường dùng công cụ chuỗi Fourrie và tích phân Fourrie
Một tín hiệu s(t) tuần hoàn (vô hạn ) với chu kỳ T thì nó sẽ được phân tích
thành chuỗi Fourrie dạng sau:
) t k cos(
A
) t k cos(
A A
) t k sin b t k cos a (
a
)
t
(
s
k k
k
k
0
0
2
(4.1)
Trong đó :
T
1 (4.2.) -gọi là tần số (sóng) cơ bản- là tần số góc của tín hiệu tuần hoàn (k=1)
kω1 ωk, k = 2,3,4,…sóng hài bậc k
k
k k
k k k
T
T k
T
T k
T
T
a
b tg arc
; b a
A
, , , k
; dt t k sin ) t ( s T b
; dt t k cos ) t ( s T
a
) k (
; dt ) t ( s T
a
2 2
2
2
1 2
2
1
2
2 0
4 3 2 1 2
2
0 2
; (4.3)
Có thể biểu diễn ở dạng phức như sau
) ( ()
dt e
) t ( s T e
C
C
) ( )
t k cos(
C C
e
C ) t ( s
T
T
t jk j
k k
t jk k
4 4 2
2
2
0
1 1
Trong (4.1.) các thành phần thứ k (với k=0,1,2,3 ) có biên độ Ak, góc
Trang 2diễn theo trục tần số gọi là phổ biên độ, đồ thị của k biểu diễn theo trục tần số gọi là phổ pha Trong công thức (4.4) thì biên độ là Ak=2Ck., riêng A0=C0
Công thức (4.2) hoặc (4.5) gọi là công thức biến đổi Fourrie thuận, cho phép tìm phổ của tín hiệu khi biết tín hiệu Công thức (4.1) hoặc (4.4) gọi là công thức biến đổi Fourrie ngược, cho phép tìm tín hiệu (biểu diễn dưới dạng tổng của các dao động hình sin) khi biết phổ của nó
n
; k cos a
a ) t ( s
Nếu s(t) là hàm lẻ thì ak=0
n
; k cos b ) t ( s
1 1 (4.7)
Chú ý: Khi phân tích phổ của tín hiệu tuần hoàn có thể sử dụng công
thức trên tuỳ ý, cho ra cùng kết quả Tuy nhiên nên phân tích tiện hơn như sau:
Nếu tín hiệu là hàm lẻ-dùng công thức (4.7), tức tìm bk theo 4.3., lúc đó
Ak=bk Nếu tín hiệu là hàm chẵn-dùng công thức (4.6), tức tìm ak theo 4.3., lúc đó
Ak=ak Nếu tín hiệu là hàm không chẵn không lẻ-dùng công thức (4.4), tức tìm .
C
k theo 4.5.,lúc đó Ak=2.Ck
Một tín hiệu s(t) không tuần hoàn thì dùng cặp công thức tích phân
Fourrie :
2 1
8 4 2
1
t
t
t jk
t j
) ( dt
e ) t ( s ) (
G ) (
S
) ( d
e ) (
S )
t ( s
Trong đó hàm S .( )[hay còn ký hiệu là G .( )] gọi là hàm mật độ phổ hay gọi tắt là hàm phổ của tín hiệu Đó là một hàm phức:
S .( )=IS .( )Iej()=S(j) ej()
Công thức (4.9) gọi là công thức tích phân Fourrie thuận, cho phép tìm phổ của tín hiệu khi biết tín hiệu Công thức (4.8) gọi là công thức tích phân Fourrie ngược, cho phép tìm tín hiệu khi biết hàm phổ của nó Với công thức (4.8)ta cũng biểu diễn tín hiệu không dưới dạng tổng của các dao động hình sin gồm mọi tần số có biên độ phức vô cùng nhỏ là
(j )d
S
S
d m
2
Tín hiệu nhận được bằng cách biến đổi các đại lượng vật lý (cần truyền
đi) thành các dao động điện gọi là tín hiệu sơ cấp (tín hiệu tương tự – analog).Để truyền nó đi cần một sóng mang (hoặc tải tin carrier)-đó là một dao động hình sin cao tần
Tín hiệu sơ cấp ký hiệu là u(t), sóng mang ký hiệu
u0(t)=U0mcos(0t+0)=U0mcos(2f0t+0)
Tín hiệu điều biên đơn âm là một số sơ cấp:
Trang 3u(t)=Um cos(t+)= Um cos(2Ft+)
Tớn hiệu điều biờn đơn õm:
uđb(t)=U0m[1+mcos(t+)]cos(0t+0) (4.10)
Trong đú m là độ sõu điều biờn :
m=
m
m
U
aU
0
1 (4.11) Khi tớnh trong cỏc bài tập hằng số a thường coi bằng 1
m cú thể xỏc định trờn đồ thị theo hỡnh 4.1 giỏ trị max và min của tớn hiệu điều biờn đơn õm
m
min max
min max
min max
U
U U
U
U
U
U
m
0
2
(4.12.)
Biểu thức (4.10 )cú thể phõn tớch thành:
] t
) cos([
U
] t
) cos([
U
) t cos(
U
)
t
(
u
m
m
om
db
0 0
0
0 0
0
0 0
2
1
2
1
(4.13)
Hình 4.1
u đb (t)
U max
U min
t
0
2
0m
mU
2
0m
mU
U 0m
+ _
0
Biên độ
a)
0
U 0m
+ _
0
b)
0
+
0
_
Hình 4.2
Biên độ
Trang 4Công thức (4.13) cho thấy tín hiệu điều biên đơn âm có ba vạch phổ như ở hình 4.2a
Với tín hiệu sơ cấp đa âm u (t) U cos( it i)
N i m
của N dao động điều hoà, tức i=1N thì biểu thức của tín hiệu điều biên đa âm
sẽ là :
N
m
N i
i i
i m m
N N N
m N
N m
m m
m db
) t
) cos[(
m U
) t
) cos[(
m U
) t cos(
U
) t cos(
)]
t cos(
m
) t cos(
m
) t cos(
m [ U ) t cos(
)]
t cos(
aU
) t cos(
aU ) t cos(
aU U
[
)
t
(
u
N
0
0 0
0 0
0 0 2
2 2
1 1 1
0 0 0
2 2 1
1 0
2 1 2 1
1
2 1
(4.14)
om
m om
m i
U
U a
U
aU
1 (4.15)
1
1
2
N i i
m
m (4.16) Phổ của tín hiệu điều biên đa âm được biểu biểu diễn tượng trưng như ở đồ thị hình 4.2b.Từ đó bề rộng phổ của tín hiệu điều biên là =2N hay F=2FN
Với tín hiệu sơ cấp đơn âm u(t)=Umcost và sóng mang
u0(t)=U0mcos(0t+0) thì biểu thức của tín hiệu điều tần và điều pha sẽ là các biểu
thức (4.17)và (4.18) tương ứng :
uđt=U0m cos( 0t+ mđtsint+0) (4.17)
uđt=U0m cos( 0t+ mđfcost+0) (4.18)
Trong đó m-chỉ số (độ sâu) điều tần (điều pha) :
dt
U a
aU m
1 (4.19)
df
U a
aU m
1 (4.20) Lấy đạo hàm pha tức thời sẽ cho tần số của tín hiệu
Với tín hiệu điều tần:
) t ( t
cos aU
t cos m
)
t
Trong đó lượng biến thiên tần số (t) gọi là độ dịch tần hoặc độ di tần.
m=aUm gọi là độ di tần cực đại
Với tín hiệu điều pha:
) t ( t
sin U a t
sin m
)
t
Trang 5Trong đó lượng biến thiên tần số (t) gọi là độ dịch tần hoặc độ di tần.
m=aUm gọi là độ di tần cực đại
Tín hiệu điều tần và điều pha có góc pha tức thời biến thiên nên gọi chung
là tín hiệu điều góc,ví dụ biểu thức tín hiệu điều góc đơn âm
uđg(t)=U0mcos(0t+msint) Muốn biết cấu trúc phổ của nó người ta dùng hàm
Jn(m)- Hàm Besselle loại một bậc n của biến số m, để phân tích Lúc đó sẽ có:
uđg(t)=U0mcos(0t+msint)=U0mJ0(m)cos(0t)
+ U0mJ1(m)[cos(0+)t - cos(0 - )t]
+ U0mJ2(m)[cos(0+2)t + cos(0 -2 )t]
+ U0mJ3(m)[cos(0+3)t - cos(0 -3 )t]
+ U0mJ4(m)[cos(0+4)t + cos(0 - 4)t]
+……… (4.23) Công thức (4.23) cho thấy ngay cả khi điều góc đơn âm thì về mặt lý thuyết phổ của tín hiệu đã rộng vô cùng Thực tế khi n>m thì Jn(m)0 nên phổ lấy : =2(m+1) (4.24)
Nếu m >>1 thì 2m (4.25)
C
) t k t (
) t k t ( sin ) t k ( s )
t (
Công thức (4.26) gọi là chuỗi Cochenhicop Theo đó tín hiệu s(t) liên tục
có phổ 0C=2FC được xác định bởi chuỗi rời rạc (4.26) (chuỗi Cochenhicop) nếu các điểm rời rạc kt thoả mãn:
C
F
t 2
1
(4.27)
Liên hệ giữa các đặc tính của tín hiệu và các đặc tính của mạch:
Nếu tác động là f1(t) có phổ S.1(j) và mạch có đặc tính tần số là T(j) thì phản ứng là f2(t) sẽ được xác định:
f (t) T(j ) (j )ej td ( )
.
2
1
1
T(j)S.1(j)S.2(j) (4.28)
H(p) là ảnh toán tử của đặc tính quá độ h(t), H(p)=T(p) gọi là hàm truyền đạt toán tử của mạch
p j ) j ( T ) p ( T ) p ( H
(4.29)
Khi tác động là xung Dirac (t) có phổ S.(j)1thì phản ứng là đặc tính xung g(t) nên : nếu mạch có đặc tính xung là g(t) mà đặc tính xung có phổ là S. (j )
g thì có quan hệ theo cặp tích phân Fourrie :
Trang 6
d e )
t ( g ) j ( T
d e ) j ( T d
e ) j ( T )
j ( S )
t ( g
t j
t j t
j g
.
2
1 2
1
(4.30)
Bài tập
4.1 Cho tín hiệu tuần hoàn trên hình 4.3 là dãy xung vuông (còn gọi là xung thị
tần – xung video) tuần hoàn vô hạn
1 Tìm phổ của nó theo 2 cách:
a) Tìm qua ak và bk rồi tìm Ak và k
b) Tìm qua C.
krồi tìm Ak và k
2 Viết biểu thức biến đổi Fourrie ngược cho tín hiệu u(t) theo phổ vừa tìm ghi nhớ công thức này
3 Cho độ rộng của xung tX=1S, chu kỳ lặp T=5S, độ cao h=20[V], hãy tính và vẽ đồ thị 14 vạch phổ biên độ đầu tiên (k=013) của tín hiệu
u(t)
t
t X
h
0
T
H×nh 4.3
t X /2 -t X /2
4.2 Cho các tín hiệu tuần hoàn trên hình 4.4 a) và 4.4.b).
1 Hãy áp dụng định lý trễ tìm phổ của chúng dựa vào BT4.1
2 Viết biểu thức biến đổi Fourrie ngược cho tín hiệu u(t) theo phổ vừa tìm
và ghi nhớ công thức này
u(t)
t
t X
h
u(t)
t
t X
h
H×nh 4.4
a)
b)
Trang 74.3 Cho tín hiệu là dãy xung tuần hoàn vô hạn hai cực tính hình 4.5.Tìm phổ của
nó và viết biểu thức chuỗi Fourrie ngược cho tín hiệu này
u(t)
t
E
0
T
H×nh 4.5
-E
2 T
2 T _
4.4 Cho tín hiệu là dãy tuyến tính tuần hoàn vô hạn hình 4.6 Tìm phổ của nó và
viết biểu thức chuỗi Fourrie ngược cho tín hiệu này
u(t)
t
=t X
H×nh 4.6
4.5 Tìm phổ của dãy xung dòng điện tuyến tính tuần hoàn vô hạn hình 4.7 Tìm
phổ và vẽ 14 vạch phổ biên độ đầu tiên của dãy xung này
i(t)
t 0
H×nh 4.7
50
[mA]
4.6 Tìm phổ của tín hiệu xung s(t) tuần hoàn vô hạn trên hình 4.8.
S
H×nh 4.8
-1
-4
4 s(t)
4.7 Trên hình 4.9 là dãy xung xạ tần được coi là dài vô hạn Chu kỳ đầu tiên có
biểu thức giải tích:
Trang 8
t khi
t khi
) t cos(
U
t khi )
t (
2 0
2 2
2 0
0 0
a) Tìm biểu thức phổ của dãy xung này
b) Tính và vẽ phổ biên độ Ak khi T0=10-6 S; =5T0; T=2 ; U0m=100V
u(t)
T
H×nh 4.9
2
2
_
U 0m
t
4.8 Tìm phổ của tín hiệu xung s(t)
tuần hoàn vô hạn trên hình 4.10,
có biểu thức giải tích
s(t)=AIcos0tI
4.9 Cho dãy xung tuần hoàn vô hạn hàm mũ hình 4.11, biểu thức giải tích trong
Ae ) t (
u khi
2
2
T
t
T
(Với >>1 - ứng với
sự biến thiên nhanh của hàm)
4.10 Tìm phổ của dãy xung hình thang hai cực tính tuần hoàn vô hạn hình 4.12.
t A
H×nh 4.10
s(t)
t A
H×nh 4.11
_
2
T 2
T 0 s(t)
Trang 9t[ ]
H×nh 4.12
0
E
-E
0 -1 -2 -3
4.11 Cho tín hiệu là dãy xung tuần hoàn vô hạn hai cực tính hình 4.13.Tìm phổ
của nó và viết biểu thức chuỗi Fourrie ngược cho tín hiệu này
u(t)
t E
T
H×nh 4.13
0
-E 2
T 2 T _
hiệu tuần hoàn vô hạn hình 4.14 với T=2 mS, U0=50 V
0
t[ ] S 2
T
H×nh 4.14.
2 T
_
U 0
4.13.Với tín hiệu điều hoà s(t), công suất trung bình của nó được xác định theo
biểu thức:
(t)dt
* S ) t (
S T p
T
T
2
1
Hãy biểu diễn công thức công suất trung bình trên qua các hệ số A. k của chuỗi Fourrie tương ứng của tín hiệu này
4.14 Tìm hàm phổ của các xung vuông đơn hình 4.15.
Trang 10
t
0
A u(t)
t 0
A u(t)
t 0
A u(t)
H×nh 4.15.
4.15.Tìm phổ của tín hiệu có biểu thức giải tích là :
t khi Ae
t khi )
t ( s
0 0
; >0
4.16.Tìm phổ của tín hiệu cho bởi biểu thức :
t khi
t khi Ae
t khi )
t
(
0
0
0 0
; >0 ;
(Hình 4.16.)
4.17 a)Tìm hàm phổ của chuỗi n xung vuông tuần hoàn hình 4.17.
b) Vẽ phổ biên độ trong trường hợp tX=1 S, A = 40 V, T=5tX, n=8
4.18 a)Tìm hàm phổ của một xung xạ tần (Hình 4.18.)
u(t)
0 H×nh 4.16.
u(t)
t
t X
A
0
H×nh 4.17
T
Trang 11
t khi
t khi
t cos U
t khi )
t (
2 0
2 2
2 0
0
b) Vẽ phổ biên độ với tX=10T0, T0=0,5 S, U0m =20 V
là các số nguyên dương >1
u(t)
t
U 0m
H×nh 4.18
2
2
_
2
2
_
T 0
T
U 0m
T 0
u(t)
t
H×nh 4.19
4.20.Tìm phổ của tín hiệu s(t)=
t khi ) e e
(
t khi
t
0 0
2
1 với 12 và 1, 2 >0
4.21 Tìm phổ của tín hiệu s(t) = cos2
0t với - <t < t <t <
2.22 Tìm tín hiệu s(t) khi biết phổ của chúng:
vµ
;
; ý tuú sè ng
» h A Víi ) j ) j (
A )
j ( S )
d
ý tuú sè ng
» h , A Víi ) j (
A )
j ( S )
c
ý tuú sè ng
» h , A Víi
A )
j ( S ) b
ý tuú sè ng
» h , A Víi
A )
j ( S )
a
.
0
1 1
0 0
0 3
0
0 4
4 0
0 2
2 0
2.23.Cho tín hiệu như sau:
t khi e
t khi )
t ( s
15
0 0
7
trung 90% năng lượng của tín hiệu
2.24.Tín hiệu là một xung vuông có độ rộng = 5S Hãy xác định xem có bao
Trang 122.25 Tín hiệu điều biên đơn âm có Umax=130 V, Umin=20 V.
a) Vẽ dạng đồ thị của tín hiệu điều biên này
b) Tìm biên độ sóng mang U0m và chỉ số điều biên m
2.26 Một tín hiệu điều biên cho bởi biểu thức :
uđb(t)= (12+6 cos t+2 cos 2t)cos 0t [V]
Xác định giá trị max và min của đường bao của tín hiệu này
4.27 Cho phổ của một tín
hiệu điều biên hình 4.20
Hãy xác định các chỉ số
điều biên thành phần và chỉ
số điều biên toàn phần
4.28 Cho biểu thức tín hiệu điều biên:
uđb(t)=20[1+0,6cos2.103t+0,5cos6.103t+m3cos.105t]cos2.107t[V]
1 Hãy chỉ ra tần số sóng mang, các tần số tín hiệu sơ cấp với đơn vị là Khz
2 Tìm chỉ số điều biên m3 để tín hiệu không bị điều chế qua mức.
3 Với m3 max vừa tìm được hãy vẽ phổ của tín hiệu với trục tần số f có đơn vị Khz và điền trị số của các vạch phổ trên đồ thị, đơn vị [V]
4.29 Cho tín hiệu sơ cấp là :
u(t)=8 cos 1t+6 cos 2t+ 4 cos 3t+ 2cos 4t[V]
Hãy tìm biên độ sóng mang tối thiểu để tín hiệu không bị điều chế qua mức.
4.30 Tín hiệu điều biên ở đầu ra của bộ khuếch đại công suất có biểu thức :
uđb(t)=75(1+0,4 cos103t) cos 106t [V].Tín hiệu này cấp cho điện trở tải Rt
= 2 K Hãy xác định công suất tác dụng max và min mà khuếch đại phải cung cấp cho tải trong 1 chu kỳ tần số sóng mang
4.31 Tín hiệu điều biên là một nguồn dòng có biểu thức(hình 4.21b):
iđb(t)=10[1+0,8cos100t+0,6cos10 000t) cos106t [mA]
Ngoài tín hiệu này còn có các tần số nhiễu nằm ngoài dải phổ của nó(hình 4.21a) nên cần lọc bỏ bằng khung cộng hưởng song song (hình 4.21b).Biết C=1 nF
a) Chọn giá trị của điện cảm L và giá trị tối ưu của điện trở R để lọc bỏ được nhiễu và nhận được phổ tín hiệu điều biên không bị méo
H×nh 4.20
f
f 0 +F 1 f 0 +F 2
f 0 -F 1
30 V
20 V
20 V
Trang 13b)Với R tối ưu vừa chọn, tính các chỉ số điều biên thành phần, các thành phần phổ và vẽ phổ của điện áp ra
0
Biªn d íi Biªn trªn
a)
C L R
i db (t)
u db (t) b)
H×nh 1.21.
4.32 Cho cấu trúc phổ của một dòng điện điều biên trên hình 4 22.
a) Từ phổ hãy xác định (viết ra) tần số sóng mang 0, các tần số tín hiệu sơ cấp
k và bề rộng phổ với đơn vị là rad/s?
b) Xác định các chỉ số điều biên thành
phần và chỉ số điều biên toàn phần của
tín hiệu
c) Dòng điện này kích thích vào một khung cộng hưởng RLC song song để lọc lấy điện áp điều biên để kích thích cho tầng tiếp theo Chọn điện cảm L có trị số
là 10 H; Hãy xác định trị số của điện dung C và trị số tối ưu của điện trở R để
có thể lọc tốt nhất tín hiệu điều biên này
d) Với R tối ưu vừa chọn, tính các chỉ số điều biên thành phần, các thành phần phổ và vẽ phổ của điện áp ra
4.33 Cho tín hiệu điều góc:
uđg(t)=15cos (108t+3sin.106t+1,4sin 105t+
4
) [V]
a) Hãy xác định biểu thức tần số của dao động, độ di tần và độ di tần cực đại b) Tần số của dao động tại thời điểm t = 1 s
4.34 Hãy tìm max và min trong tín hiệu điều tần sau:
uđt(t)=U0mcos (3.109t+2sin.107t+
6
) [V]
4.35 Hãy chọn tần số cực đại của tín hiệu sơ cấp max sao cho trong phổ của tín
H×nh 4.22.
40 mA 15mA 15mA
107
1,0005.10
s rad /
7
7
7 7 1,0003.10 0,9995.10
0,9997.10