Sức bền vật liệu _ thanh chịu uốn

Dầm với mặt phẳng đối xứng trong chịu uốn thuần túy:• Phần tử vẫn đối xứng • Uốn đều để tạo thành cung tròn • Mặt phẳng tiết diện qua tâm cung và vẫn phẳng • Chiều dài cạnh đỉnh giảm và

MECHANICS OF MATERIALS

CHAPTER

Thanh Chịu Uốn

Pure Bending

Symmetric Member in Pure Bending

Bending Deformations

Strain Due to Bending

Beam Section Properties

Deformations in a Transverse Cross Section

Stress Concentrations Plastic Deformations Members Made of an Elastoplastic Material Plastic Deformations of Members With a Single Plane of S

Residual Stresses Example 4.05, 4.06 Eccentric Axial Loading in a Plane of Symmetry Example 4.07

Sample Problem 4.8 Unsymmetric Bending Example 4.08

General Case of Eccentric Axial Loading

Uốn thuần túy: Chi tiết hình trụ

chịu tác dụng ngẫu lực tác dụng trong mặt phẳng dọc trục

dA z

M

dA F

x z

x y

x x

s s

s

0 0

• Những điều kiện có thể được áp dụng đến tổng của thành phần và moment của những nội lực siêu tĩnh cơ bản.

• Nội lực trong mặt cắt bất kỳ tương đương với một ngẫu lực Moment của ngẫu lực là moment uốn tiết diện.

• Moment thì như nhau đối với bất kỳ trục nào vuông góc với mặt phẳng của ngẫu lực

và bằng không đối với trục thuộc mặt phẳng.

• Tổng của những thành phần của lực trong mọi hướng thì bằng không.

Dầm với mặt phẳng đối xứng trong chịu uốn thuần túy:

• Phần tử vẫn đối xứng

• Uốn đều để tạo thành cung tròn

• Mặt phẳng tiết diện qua tâm cung và vẫn phẳng

• Chiều dài cạnh đỉnh giảm và của cạnh đấy tăng

• Mặt trung hòa phải xuất hiện Nó song song

với mặt trên và mặt dưới, đồng thời chiều dài của nó không đổi

• Ứng suất và biến dạng của phần tử phía trên mặt trung hòa sẽ âm (nén) và ngược lại

+ với ρ : bán kính cong

m x

m m

x

c y

c ρ c

y y

L

y y

L L

y L

linearly) ries

(strain va

Xét đoạn dầm với chiều dài L.

Sau biến dạng, chiều dài của mặt trung hoa vẫn không đổi Tại mặt cắt bất kỳ,

• Với vật liệu đàn hồi tuyến tính,

linearly) varies

(stress

m

m x

x

c y

E c

y E

s



 s

dA c

y dA

F

m

m x

x

s

s s

0

0

Moment tĩnh đối với trục

trung hòa bằng không Như

vậy, trục trung hòa đi qua

trọng tâm tiết diện

• Khi cân bằng tĩnh,

I My

c y S

M I

Mc

c

I dA

y c M

dA c

y y

dA y

M

x

m x

m

m m

m x

s

s s

s s

ng Substituti

2

• Ứng suất pháp cực đại do uốn,

modulus section

inertia of

moment section

I

S

M I

Mc

m

s

Một dầm có moment tĩnh càng lớn, ứng suất cực đại càng nhỏ.

• Xét dầm tiết diện hình chữ nhật

Ah bh

h

bh c

I S

6 1 3 6 1

3 12 1

• Dầm thép được thiết kế đề có moment tĩnh lớn

• Biến dạng do moment uốn M được định lượng

bởi đường cong mặt trung hòa:

EI M

I

Mc Ec Ec

c

m m

Một chi tiết bằng gang đúc chịu tác

dụng bởi moment 3 kN-m Biết E

= 165 GPa và loại bỏ ảnh hưởng

của mặt lượn, xác định (a) ứng suất

nén và kéo cực đại, (b) bán kính

cong.

SOLUTION:

• Dựa trên hình học tiết diện, tính

trọng tâm tiết diện và moment quán tính.

Dựa trên hình học tiết diện, tính trọng

tâm tiết diện và moment quán tính.

mm 38 3000

3 2

10 114 3000

10 4 2 20

1200 30

40 2

10 90 50

1800 90

20 1

mm , mm

, mm

Area,

A y A

A y y

4 9 - 4

3

2 3

12 1 2

3 12

1

2 3

12 1 2

m 10 868 mm

10 868

18 1200 40

30 12

1800 20

d A I

I x

• Áp dụng công thức uốn đàn hồi dể tìm ứng suất nén và kéo lớn nhất.

4 9

4 9

m 10 868

m 038 0 m kN 3

m 10 868

m 022 0 m kN 3

c M I Mc

B B

A A

m

s s

s

MPa 0

76

131

m 10 95 20

• Xét dầm composite được tạo thành bởi

dF dA

y E dA

1 2

E

E n dA

n y E dA

y nE

x

n I

My

s s

s s

Thanh được ghép từ thanh thép

• Tính toán đặc tính của tiết diện mới

• Tính ứng suất cực đại trong tiết diện mới Nó chính là ứng suất cực đại của thanh đồng.

• Xác định ứng suất cực đại của phần thép của thanh bởi nhân tỉ số của mo đun đàn hồi với ứng suất cực đại của đồng.

• Tính toán đặc tính của tiết diện mới

4

3 12

1 3 12

1

in.

063 5

in.

3 in.

25 2

933

1 psi 10 15

psi 10 29

6 6

b E

E n

• Tính ứng suất cực đại

ksi 85

11 in.

5.063

in.

5 1 in.

kip 40

m b

ns s

s

  22.9 ksi

ksi 85 11

• Dầm bê tông chịu moment uốn được tăng cường bởi thanh thép.

• Tại tiết diện biến đổi, diện tích mặt cắt ngang

của thép, A s , được thay thế bởi diện tích tương đương nA s với n = E s /E c .

• Để xác định vị trí trục trung hòa

0

0 2

2 2

b

x d A n

x bx

s s

s

• Ứng suất pháp trong bê tông và thép

x s

x c

x

n I

My

s s

s s

Một sàn bê tông được tăng cường

bởi thanh thép d = 5/8-in Mô đun

đàn hồi của thép 29x106psi và bê

tông 3.6x106psi Với mỗi ft của

sàn chịu moment uốn 40 kip*in,

ứng suất cực đại trong bê tông và

SOLUTION:

• Biến đổi sang tiết diện bằng bê tông

• Đánh giá đặc tính hình học của tiết diện biến đổi

• Tính ứng suất cực đại trong

bê tông và thép

6 6

in 95 4 in

2 06 8

06

8 psi 10 6 3

psi 10 29

nA

E

E n

• Đánh giá đặc tính hình học của tiết diện mới.

4 95 4 2 12

x x

• Tính ứng suất cực đại trong bê tông và thép.

4 2

4 1

in 44.4

in 55 2 in kip 40 06 8

in 44.4

in 1.45 in

kip 40

I Mc



s

s

MECHANICS OF MATERIALS

CHAPTER

of Beams for Bending Phân tích – Thiết kế dầm chịu uốn

Introduction Shear and Bending Moment Diagrams Sample Problem 6.1

Sample Problem 6.2 Relations Among Load, Shear, and Bending Moment Sample Problem 6.3

Sample Problem 6.5 Design of Prismatic Beams for Bending Sample Problem 6.8

• Dầm - cấu kiện mang tải tại những

điểm khác nhau dọc theo chiều dài

• Tải ngang của dầm được phân loại: tải tập trung và tải phân bố

• Tải tác dụng dẫn đến nội lực bao gồm lực cắt (từ sự phân bố ứng suất cắt) và moment uốn (từ sự phân bố ứng suất pháp)

• Ứng suất pháp thường là tiêu chuẩn thiết kế tới hạn

S

M I

c M I

My

m

sYêu cầu xác định vị trí và giá trị của moment uốn lớn nhất

Phân loại gối tựa

• Xác định ứng suất cắt và pháp cực đại yêu cầu chỉ ra lực cắt và

moment uốn cực đại

• Lực cắt và moment uốn tại một điểm được xác định bởi áp dụng phương trình cân bằng tại mặt cắt đi qua điểm đó

• Khái niệm dấu của lực cắt V - V’ và moment uốn M - M’

For the timber beam and

loading shown, draw the shear

and bend-moment diagrams and

determine the maximum normal

stress due to bending.Cho dầm

gỗ chịu tải như hình vẽ, vẽ biểu

• Áp dụng công thức uốn đàn hồi để xác định ứng suất pháp cực đại tương ứng

• Vẽ mặt cắt tại điểm gần gối tựa và điểm áp dụng tải Lập phương trình cân bằng tại mặt cắt để xác định moment uốn

và lực cắt

• Xác định phản lực liên kết

  0   :  46 kN  14 kN

• Vẽ mặt cắt và lập ptcb tại mặt cắt

 20 kN  0 m  0 0 0

kN 20 0

kN 20 0

1 1

1

1 1

M

V V

F y

 20 kN  2 5 m  0 50 kN m 0

kN 20 0

kN 20 0

2 2

2

2 2

M

V V

F y

0 kN

14

m kN 28 kN

14

m kN 28 kN

26

m kN 50 kN

26

6 6

5 5

4 4

3 3

M V

M V

M V

• Chỉ ra moment uốn và lực cắt cực đại từ đồ thị.

m kN 50 kN

3 6

2 6

1 2 6 1

m 10 33 833

m N 10 50

m 10 33 833

m 250 0 m 080 0

h b S

B m

s

Pa 10 0

60  6



m

s

Cấu trúc được chế tạo từ thép cán

và lực cắt

• Áp dụng công thức uốn đàn hồi để xác định ứng suất pháp

cực đại ở bên phải và trái D.

• Dời lực 10 kips từ E về D Xác định phản lực tại B.

• Vẽ mặt cắt và lập ptcb

  3   0 1 5 kip ft 0

kips 3

0 3

0

:

2 2

M x

x M

x V

V x F

C to A From

y

 4  0  96 24  kip ft 24

0

kips 24 0

24 0

M x

M

V V

F

D to C From

y

 226 34  kip ft kips

• Áp dụng công thức uốn đàn hồi để xác định ứng suất pháp cực đại ở

bên phải và trái D.

in kip 1776

:

in 126

in kip 2016 :

D of right the

To

S M

D of left the To



m

s

 

x w V

x w V

V V

0 2 :

0

x w x

V M

x x w x V M M

dM

• Quan hệ giữa lực cắt và moment uốn

• Áp dụng quan hệ lực cắt và moment uốn để vẽ biểu đồ moment.

• Xác định phản lực liên kết tại gối đỡ

kips 18

kips 12 kips 26 kips 12 kips 20 0

0 F

kips 26

ft 28 kips 12 ft

14 kips 12 ft

6 kips 20 ft

24 0

A

A

D D M

• Áp dụng quan hệ lực cắt và tải để vẽ biểu đồ lực cắt

dx w dV

w dx

- Độ dốc bằng không giữa các tải tập trung.

- Thay đổi tuyến tính trên đoạn tải phân bố

• Áp dụng quan hệ lực cắt và moment uốn để vẽ biểu đồ moment.

dx V dM V

dx

dM





- Moment uốn tại A và E bằng không

- Tổng của tất cả độ lệch moment uốn trên toàn bộ dầm bằng không

- Độ lệch trong moment uốn bằng diện tích bên dưới đoạn phân bố lực cắt

- Thay đổi moment uốn giữa D và E

là bậc hai

- Thay đổi moment uốn giữa A, B,

C và D là tuyến tính

0

0 2

1 0

2 1

0 2

1 0

2 1

a L a w M

M

a L a w M

a w R

R a w F

C C

C

C C

y

Kết quả từ tích phân của tải và lực phân

bố phải tương đương

• Áp dụng quan hệ giữa tải và lực cắt để

vẽ biều đồ lực cắt

area under load curve

a w V

a

x x w dx

a

x w

V V

B

a a

A B

0

2 0

0

0

2 1

- Không có thay đổi lực cắt giữa B và C.

- Tương thích với phân tích vật tự do

• Áp dụng quan hệ giữa moment uốn và lực cắt để vẽ biều đồ lực cắt.

2 0 3 1

0

3 2

0 0

2 0

6 2 2

a w M

a

x x

w dx

a

x x w M

M

B

a a

A B

• Ứng suất pháp lớn nhất được tìm thấy tại mặt cắt nơi moment uốn lớn nhất xuất hiện.

S

M I

c M

m  max  maxs

• Một thiết kế an toàn yêu cầu rằng ứng suất pháp lớn nhất phải nhỏ hơn ứng suất cho phép đối với vật liệu sử dụng Tiêu chuẩn này dẫn đến việc xác định moment tĩnh có thể chấp nhận nhỏ nhất

all

all m

M S

s

s s

max min 



Dầm thép chịu tải phân bố và

tập trung như hình vẽ Biết ứng

suất cho phép đối với loại thép

• Xác định mô đun tĩnh nhỏ nhất Chọn tiết diện tiêu chuẩn tốt nhất đáp ứng tiêu chuần trên

• Tính phản lực tại A và D.

       

kN 0 52

kN 50 kN 60 kN 0 58 0

kN 0 58

m 4 kN 50 m

5 1 kN 60 m

5 0

A

A

A F

D

D M

• Vẽ biểu đồ moment – lực cắt

kN 8

kN 60

kN 0 52

y A

V

curve load

under area

V V

A V

• Moment uốn lớn nhất tại V = 0 or

x = 2.6 m.

kN 6 67

• Xác định moment tĩnh nhỏ nhất

3 3

3 6

max min

mm 10

5 422 m

10 5 422

MPa 160

m kN 6 67

s

• Chọn tiết diện tiêu chuẩn tốt nhất đáp ứng tiêu chuẩn trên

448 1

46 W200

535 8

44 W250

549 7

38 W310

474 9

32 W360

637 38.8

9 32

360 

W

• Dầm lăng trụ chịu tải ngang

It

VQ It

VQ

I

Mc I

My

m xy

m x

s s

• Ứng suất chính được xác định từ phương pháp của chương 3

• Ứng suất pháp cực đại có thể lớn hơn σm ?

I

Mc

m 

s

• Moment quán tính của mặt cắt ngang

2

3

3 1 2

x xy

• C 1 : center of the hatched area.

• t: width of the cross-section at M

• Hình dạng của mặt cắt ngang dẫn đến giá trị lớn củatxy gần bề mặt nơi sx cũng có giá trị lớn.

• Ứng suất pháp tại b (mối nối của bản cánh-bản bụng) trên tiết diện:

;2

Với phân tố ở trạng thái ứng suất đơn: trị số

ứng suất pháp phụ thuộc vào Mx nên ta phải chọn mặt cắt tính toán là mặt cắt có MxmaxĐiều kiện bền là:

• Với vật liệu dẻo:

M

y I

M

y I

• Với phân tố ở trạng thái trượt thuần túy: trị

số ứng suất pháp phụ thuộc vào lực cắt Qy nên

Với vật liệu dẻo: dùng

+ Thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng lớn nhất (thuyết bền 4) để kiểm tra như sau:

Với vật liệu dòn: dùng thuyết bền Mohr để kiểm tra



Một lực 160-kN tác dụng tại

đầu mút thép cán W200x52

Loại bỏ ảnh hưởng của góc

lượn và tập trung ứng suất, xác

định ứng suất pháp thỏa mãn

tiêu chuẩn thiết kế hay không

Biết rằng ứng suất cho phép tại

• Tính ứng suất cắt tại mối nối bản cánh và bản bụng

• Tính ứng suất chính tại mối nối bản cánh và bản bụng

m - kN 60 m

375 0 kN 160

• Tính ứng suất pháp tại đỉnh của bề mặt và tại mối nối của bản cánh và bản bụng

MPa 9

102

mm 103

mm 4 90 MPa 2

117

MPa 2

117

m 10 512

m kN 60

3 6

S M

b a b

A a

s s

• Tính ứng suất cắt tại mối nối bản cánh và bản bụng.

MPa 5

95

m 0079

0 m 10 7 52

m 10 6 248 kN

160

m 10 6 248

mm 10

6 248 7

96 6 12 204

4 6

3 6

3 6

3 3

Q

A b

159

5

95 2

9 102 2

9

2 2

2

1 2

1 max

Design specification is not satisfied.

Cho dầm chịu tải như hình vẽ

Biết bằng với loại thép sử dụng

có sall = 24 ksi và tall = 14.5

• Tính modul tiết diện yêu cầu và chọn tiết diện dầm hợp lý.

section beam

62 select W21

in 7 119 ksi

24

in kip

max min

s

SOLUTION:

• Xác định phản lực tại A và D.

kips 41 0

kips 59 0

D A

R M

R M

• Từ biểu đồ nội lực xác định moment uốn và lực cắt lớn nhất

kips 43

kips 2 12 with

in kip 4 239

• Tìm ứng suất tiếp cực đại.

Giả thuyết ứng suất cắt đều trên mc,

ksi 14.5 ksi

12

5 in

8.40

kips 43

1 in

8.40

kips 2

12

ksi 3 21 5

10

88 9 ksi 6 22

ksi 6

22 27in

1

in kip 60 2873

2 b

3 max

a

A V c

y σ

S M

t

s s

ksi 24 ksi

4 21

ksi 45

1 2

ksi 3 21 2

ksi 3

MECHANICS OF MATERIALS

CHAPTER

Độ võng – Góc xoay

Deformation of a Beam Under Transverse

Loading

Equation of the Elastic Curve

Direct Determination of the Elastic Curve

From the Load Di

Statically Indeterminate Beams

Bending Moment Diagrams by Parts Sample Problem 6.11

Application of Moment-Area Theorems to Beams With Unsymme

Maximum Deflection Use of Moment-Area Theorems With Statically Indeterminate

• Quan hệ giữa moment và độ cong của dầm chịu tải ngang

EI

x

M( ) 1

• Xét dầm chìa AD

• Phản lực tại A, C và biểu đồ moment uốn

• Độ cong bằng không tại điểm có moment bằng không: A, E, D

EI

x

M( ) 1

• Phương trình cho hình dạng dầm hoặc

đường cong đàn hồi được yêu cầu để

xác định độ võng và góc xoay

• Từ phép tính vi phân, được đơn giản hóa cho thống số dầm,

2

2 2

3 2 2 2

1

1

dx

y d

dx dy dx

y d

1 0

2

2

1

C x C dx x M dx y

EI

C dx x

M dx

dy EI EI

x

M dx

y d EI EI

x x



  1 20

0

C x C dx x M dx y

EI

x x

• Phương trình chuyển vị của dầm trở thành

 x

w dx

y d EI dx

M d

2

4 3

2 2 2

1

3 1 6

1C x C x C x C

dx x w dx dx dx x

y EI

M d x

V dx

• Hằng số tích phân được xác định từ điều kiện biên

• Xét dầm có liên kết ngàm tại A và gối lăn tại B

• Từ sơ đồ phân tích lực, ta có 4 ẩn

• Lập phương trình cân bằng

0 0

C x C dx x M dx y

EI

x x

At 0

0 ,

0

At x  q  y  x  L y 

ft 4 ft

15 kips

50

psi 10 29 in

723 68

P

E I

W

Dầm chịu lực như hình vẽ, (a) viết

phương trình đường đàn hồi, (b) xác

• Độ võng cực đại tại nơi có góc xoay bằng không

• Tính độ võng cực đại tương ứng

R L

a P

x L

a P dx

y d

EI  

2 2

- Phương trình vi phân cho đường đàn hồi,

PaL C

L C

L L

a P y

L x

C y

x

6

1 6

1 0

: 0 ,

at

0 :

0 ,

0

at

1 1

• Tích phân hai lần phương trình vi phân

và áp dụng điều kiện biên để nhận phương trình đường đàn hồi

2 1

3

1 2

6 1 2 1

C x C

x L

a P y

EI

C

x L

a P dx

dy EI

a P dx

y d

EI  

2 2

x L

x EI

PaL y

PaLx

x L

a P y

EI

L

x EI

PaL dx

dy PaL

x L

a P dx

dy EI

6

1 6

1

3 1 6

6

1 2

1

3

2 2

• Vị trí mà độ võng đạt giá trị cực đại (góc xoay bằng không)

x L

x EI

PaL y

L

L x

L

x EI

PaL dx

dy

m

3 3

1 6



EI

PaL y

EI

PaL y

6

0642

0

2 max 

2 max

in 723 psi

10 29 6

in 180 in

48 kips 50 0642

max 

y

Cho dầm chịu tải như hình vẽ và sử

dụng singularity functions, (a) thể

hiện hàm của độ võng và góc xoay

dependent on the reaction at

A, moment at E, concentrated and distributed loads)

• Tích phân hai lần và áp dụngđiều kiện biên để nhận đượcphương trình đường đàn hồi

• Ước lượng độ võng tại D

• Tải phân bố đã cho được thay thế bởihai tải tương đương như hình vẽ.

Công thức sau được nhận bởi lực cắt

0.75 0.6 0.75 1.8 2.6 1.2 0.6 1.44 2.6

d y

EI M x

dx 

 Since all the brackets

are positive, the

brackets can be

replaced by ordinary

parentheses.

• Giải tìm C1: C  1 2.692

• Thay thế C1 và C2 vào đường cong

đàn hồi và thế x = x D = 1.8 m, độ võng tại D là:

D

• Dầu ngoặc cuối <> âm, và như vậy bằng không Tất cả các dấu

ngoặc khác chứa đại lượng dương và có thể được thay thế bởi dầu ngoặc đơn gốc Ta có

Với dầm chịu lực như hình vẽ,

• Đánh giá góc xoay tại A.

• Thay gối A bởi phản lực R A và lấy moment tại mặt cắt ở D,

L

x w x R M

M

x L

x w x

R M

A

A D

6

0 3

2 1 0

3 0

2 0

M dx

y d

6

3 0 2

x w x R

M dx

y d

6

3 0 2

5 0 3

1

4 0 2

120 6

1

24 2

1

C x

C L

x w x

R y

EI

C L

x w x

R

EI dx

dy EI

6

1 : 0 ,

at

0 24

2

1 : 0 ,

at

0 :

0 ,

0

at

2 1

4 0 3

1

3 0 2

w L

R y

L x

C L

w L

R L

x

C y

1 3

10 1