CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC1.. Công thức biến tích thành tổng: sin ?.
Trang 1CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1 Công thức cộng:
cos(𝑎 ± 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 ∓ sin 𝑎 sin 𝑏
sin(𝑎 ± 𝑏) = sin 𝑎 cos 𝑏 ± sin 𝑏 cos 𝑎
tan(𝑎 ± 𝑏) = tan 𝑎 ± tan 𝑏
1 ∓ tan 𝑎 tan 𝑏
2 Công thức nhân đôi:
sin 2𝑎 = 2sin 𝑎 cos 𝑎
cos 2𝑎 = cos2𝑎 − sin2𝑎
= 2cos2𝑎 − 1
= 1 − 2 sin2𝑎
tan 2𝑎 = 2 tan 𝑎
1 − tan2𝑎
3 Công thức hạ bậc:
cos2𝑎 =1 + cos 2𝑎
2
sin2𝑎 =1 − cos 2𝑎
2
cos3𝑎 =3 cos 𝑎 + cos 3𝑎
4 sin3𝑎 =3 sin 𝑎 − sin 3𝑎
4 cos4𝑎 =cos 4𝑎 + 4 cos 2𝑎 + 3
8 sin4𝑎 =cos 4𝑎 − 4 cos 2𝑎 + 3
8 sin2𝑎 cos2𝑎 =1 − cos 4𝑎
8
4 Công thức nhân ba:
sin 3𝑎 = 3 sin 𝑎 − 4 sin3𝑎
cos 3𝑎 = 4 cos3𝑎 − 3 cos 𝑎
tan 3𝑎 =3 tan 𝑎 − tan
3𝑎
1 − 3 tan2𝑎
5 Công thức tính theo t = 𝐭𝐚𝐧(𝒂/𝟐):
cos 𝑎 =1−𝑡1+𝑡22 sin 𝑎 =1+𝑡2𝑡2
tan 𝑎 =1−𝑡2𝑡2 cot 𝑎 =1−𝑡2𝑡2
6 Công thức biến tích thành tổng:
sin 𝑎 sin 𝑏 = −1
2[cos(𝑎 + 𝑏) − cos(𝑎 − 𝑏)]
cos 𝑎 cos 𝑏 =1
2[cos(𝑎 + 𝑏) + cos(𝑎 − 𝑏)]
sin 𝑎 cos 𝑏 =1
2[sin(𝑎 + 𝑏) + sin(𝑎 − 𝑏)]
7 Công thức biến tổng thành tích:
cos 𝑎 + cos 𝑏 = 2 cos𝑎 + 𝑏
2 cos
𝑎 − 𝑏 2 cos 𝑎 − cos 𝑏 = −2 sin𝑎 + 𝑏
2 sin
𝑎 − 𝑏 2 sin 𝑎 + sin 𝑏 = 2 sin𝑎 + 𝑏
2 cos
𝑎 − 𝑏 2 sin 𝑎 − sin 𝑏 = 2 cos𝑎 + 𝑏
2 sin
𝑎 − 𝑏 2
☆ Cơ bản:
tan 𝑥 =sin 𝑥
sin 𝑥 sin2𝑥 + cos2𝑥 = 1 tan 𝑥 cot 𝑥 = 1
1 + tan2𝑥 = 1
cos 2 𝑥 1 + cot2𝑥 = 1
sin 2 𝑥 sin4𝑥 + cos4𝑥 =3+cos 4𝑥
4 sin6𝑥 + cos6𝑥 =5+3cos 4𝑥
8
1 ± sin 2𝑥 = (sin 𝑥 ± cos 𝑥)2
☆ Đặc biệt:
sin 𝑥 + cos 𝑥 = √2 sin (𝑥 +𝜋
4) = √2 cos (𝑥 −
𝜋
4) sin 𝑥 − cos 𝑥 = √2 sin (𝑥 −𝜋
4) = −√2 cos (𝑥 +
𝜋
4) sin 𝑥 ± √3 cos 𝑥 = 2 sin (𝑥 ±𝜋
3) = ±2 cos (𝑥 ∓
𝜋
6)
√3 sin 𝑥 ± cos 𝑥 = 2 sin (𝑥 ±𝜋
6) = ∓2 cos (𝑥 ∓
𝜋
3) tan 𝑥 + cot 𝑥 = 2
sin 2𝑥 tan 𝑥 − cot 𝑥 = −2 cot 2𝑥
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1) Phương trình dạng đặc biệt: cos= 1 ⇔= 𝑘2𝜋 cos= −1 ⇔= 𝜋 + 𝑘2𝜋 cos= 0 ⇔=𝜋
2+ 𝑘𝜋
sin= 1 ⇔=𝜋
2+ 𝑘2𝜋 sin= −1 ⇔= −𝜋
2+ 𝑘2𝜋 sin= 0 ⇔= 𝑘𝜋
2) Phương trình lượng giác cơ bản:sin 𝑢 = sin 𝑣 ⇔ [𝑢 = 𝑣 + 𝑘2𝜋
𝑢 = 𝑣 + 𝑘2𝜋
𝑢 = −𝑣 + 𝑘2𝜋 tan 𝑢 = tan 𝑣 ⇔ 𝑢 = 𝑣 + 𝑘𝜋 cot 𝑢 = cot 𝑣 ⇔ 𝑢 = 𝑣 + 𝑘𝜋
3) Phương trình bậc nhất đối với sin và cos: 𝒂 𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝒃 𝐜𝐨𝐬 𝒙 = 𝒄 (1)
Chia hai vế cho √𝑎2+ 𝑏2 ta có: pt (1) ⇔ 𝑎
√𝑎 2 +𝑏 2sin 𝑥 + 𝑏
√𝑎 2 +𝑏 2cos 𝑥 = 𝑐
√𝑎 2 +𝑏 2 Gọi là góc thỏa: cos= 𝑎
√𝑎 2 +𝑏2 , sin= 𝑏
√𝑎 2 +𝑏2 ; pt (1) ⇔ sin(𝑥 +) = 𝑐
√𝑎 2 +𝑏2
𝑎 sin 𝑥 + 𝑏 cos 𝑥 = 𝑐 có nghiệm x ⇔ 𝑎2+ 𝑏2≥ 𝑐2 ⇒ −√𝑎2+ 𝑏2≤ 𝑎 sin 𝑥 + 𝑏 cos 𝑥 ≤ √𝑎2+ 𝑏2 (∀𝑥 ∈ 𝑍)
4) Phương trình đẳng cấp theo sin và cos:
Đẳng cấp bậc 2: 𝒂 𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙 + 𝒃 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝒄 𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙 = 𝒅 (2)
TH1: Xét cos 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 =𝜋
2+ 𝑘𝜋
TH2: Xét cos 𝑥 ≠ 0:
Chia hai vế pt (2) cho cos2𝑥 ta được phương trình bậc 2 theo tan 𝑥 → Giải phương trình → Kết luận nghiệm: gộp 2 trường hợp
Đẳng cấp bậc 3: 𝒂 𝐬𝐢𝐧𝟑𝒙 + 𝒃 𝐜𝐨𝐬𝟑𝒙 + 𝒄 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙 + 𝒅 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙 + 𝒆 𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝒈 𝐜𝐨𝐬 𝒙 = 𝟎 (3)
TH1: Xét cos 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 =𝜋
2+ 𝑘𝜋
TH2: Xét cos 𝑥 ≠ 0:
Chia hai vế pt (3) cho cos3𝑥 ta được phương trình bậc 3 theo tan 𝑥 → Giải phương trình → Kết luận nghiệm: gộp 2 trường hợp
5) Phương trình đối xứng theo sin và cos: 𝒂(𝐬𝐢𝐧 𝒙 ± 𝐜𝐨𝐬 𝒙) + 𝒃 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝒄 = 𝟎; 𝒇(𝐬𝐢𝐧 𝒙 ± 𝐜𝐨𝐬 𝒙 ; 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙) = 𝟎 (4)
Đặt 𝑡 = sin 𝑥 ±cos 𝑥 với 𝑡 ∈ [−√2; √2] → sin 𝑥 cos 𝑥 = ±𝑡22−1
pt (4) ⇔ 𝑎𝑡 ± 𝑏𝑡2−1
2 + 𝑐 = 0 hay 𝑓 (𝑡; ±𝑡2−1
2 ) = 0
6) Phương trình dạng: 𝒇 (𝐬𝐢𝐧 𝒙 , 𝐜𝐨𝐬 𝒙 , 𝐭𝐚𝐧𝒙
𝟐, 𝐭𝐚𝐧 𝒙 , 𝐜𝐨𝐭 𝒙) = 𝟎, ta đặt t = tan𝑥
2, nếu pt thay x bởi 2x thì ta đặt t = tan 𝑥
sin(+ 𝑘𝜋) = {sin (𝑘 chẵn)
− sin (𝑘 lẻ)
cos(+ 𝑘𝜋) = {cos (𝑘 chẵn)
− cos(𝑘 lẻ)
tan(+ 𝑘𝜋) = tan ∀𝑘 ∈ 𝑍
cot(+ 𝑘𝜋) = cot ∀𝑘 ∈ 𝑍
sin (𝜋
2∓) = cos
cos (𝜋
2∓) = ±sin
tan (𝜋
2∓) = ±cot
cot (𝜋
2∓) = ±tan
Hai cung đối nhau:
cos(−) = cos
sin(−) = −sin
tan(−) = −tan
cot(−) = −cot
Hai cung bù nhau:
sin(𝜋 −) = sin
cos(𝜋 −) = −cos
tan(𝜋 −) = −tan
cot(𝜋 −) = −cot
Trang 2Cung phần tư Giá trị
lượng giác
I II III IV
sin
cos
tan
cot
1
1 -1
-1
1
-1
−√3
√3
√3/3
−√3/3
−√3
√3/2
√2/2
O
A (Điểm gốc)
1/2
-1/2
−√2/2
−√3/2
1 2
−√2 2
√2 2
−√3 2
√3 2
−1 2
𝝅/6
𝝅/𝟒 /4
𝝅/𝟑 𝟐𝝅/𝟑
𝟑𝝅/𝟒 𝟓𝝅/𝟔
−𝟓𝝅/𝟔
−𝟑𝝅/𝟒
−𝟐𝝅/𝟑
−𝝅/𝟐
−𝝅/𝟑
−𝝅/𝟒
−𝝅/𝟔
Đường tròn lượng giác và dấu của các giá trị lượng giác:
cos
sin
1
1
-1
-1
I
II
tan
cot