Giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d bằng 1 là: Câu 5.. Cho tam giác vuông có chu vi 72cm, hiệu giữa đường trung tuyến và đường cao ứng với cạnh huyền bằng 7cm..
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THUỶ
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
NĂM HỌC: 2016-2017 MÔN:TOÁN
Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
Đề thi có: 02 trang
I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)
Hãy chọn phương án trả lời đúng
Câu 1 Cho biết 2 6 13 2 6 10 1
Giá trị của biểu thức 2 6 13 2 6 10
A 4 B 3 C 2 D 1
Câu 2 Cho biểu thức M = 2017 201612016 2017
4 3 3 4
1 3
2 2 3
1 2
1 1 2
1
Giá trị của biểu thức M là:
A
2016
1
2016
B
1 2016
2016
C 2017 2017 1 D
1 2017
2017
Câu 3 Cho ba điểm A(-1;6); B(-4;4), C(1;1) Tọa độ đỉnh D của hình bình hành ABCD là:
A (3; -4) B.(-4; 3) C.(4; -3) D (4;3)
Câu 4 Cho đường thẳng y = (m - 2)x + 2 (d) Giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) bằng 1 là:
Câu 5 Gọi góc tạo bởi đường thẳng (d): y = 2017(x - 1) + 2016 với trục
hoành là αo
Vậy tan(180 - α)o có giá trị là:
A
2017
1
B
2017
2016
Câu 6 Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 1 2 2 5
Câu 7 Cặp số (x;y) thỏa mãn phương trình 3x2 - 6x + y - 2 = 0 sao cho y đạt giá trị lớn nhất là:
Câu 8 Cho phương trình bậc hai 2 12
2m
Biết phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x x1; 2với mọi m Giá trị nhỏ nhất của x14 + x24 là:
Câu 9 Hình thang ABCD (AB//CD) có AB = 8cm, CD =12cm Điểm M thuộc AB sao cho
DM chia hình thang thành hai phần có diện tích bằng nhau Độ dài đoạn BM là:
Câu 10 Cho tam giác ABC vuông tại A D, E thuộc cạnh BC sao cho BD = DE = EC Biết
AD =10cm, AE =15cm Độ dài đoạn BC là:
Câu 11 Cho tam giác vuông có chu vi 72cm, hiệu giữa đường trung tuyến và đường cao ứng
với cạnh huyền bằng 7cm Diện tích tam giác vuông đó là:
A 36 B 72 C.144 D 288
Câu 12 Tam giác ABC có độ dài các cạnh AB, BC, AC lần lượt là ba số tự nhiên liên tiếp
tăng dần Kẻ đường cao AH, đường trung tuyến AM Độ dài HM bằng:
A 2,4 B 2,8 C 1,4 D 2
Đề chính thức
Trang 2Câu 13 Cho hình vuông ABCD M, N thứ tự là trung điểm của BC, CD Ta có cosMAN bằng:
2
3
D 21
Câu 14 Cho đường tròn (O; 2), các tiếp tuyến AB và AC kẻ từ A đến đường tròn vuông góc với nhau tại A (B, C là các tiếp điểm),
M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC Qua M kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB, AC theo thứ tự ở D và E Chu vi tam giác ADE bằng:
Câu 15 Biết bán kính của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp một tam giác cân lần lượt là 6cm
và 12,5cm Cạnh đáy của tam giác cân đó bằng:
Câu 16 Một ca nô xuôi dòng một khúc sông dài 80km và ngược dòng 64km hết 8 giờ với
vận tốc không đổi Biết vận tốc xuôi dòng hơn vận tốc ngược dòng 4km/giờ Vận tốc riêng của ca nô bằng:
A 18km/giờ B 12,5km/giờ C 16km/giờ D 24km/giờ
II Phần tự luận (12 điểm)
Câu 1(3 điểm)
a) Cho các số nguyên x, y, z, t thỏa mãn: x3 + y3 = 2(z3 – 8t3)
Chứng minh rằng: x + y + z + t chia hết cho 3
1 3 3
x
f x
Hãy tính giá trị của biểu thức sau:
2016
2015 2016
2014
2016
3 2016
2 2016
1
f f
f f
f
Câu 2 (3,5 điểm).
a) Giải phương trình sau: 3 1 2 3 3 2 2 3
x
b) Giải hệ phương trình sau:
0 4 2
9 2 2 3 3
y x y x y x
Câu 3 (4điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB Điểm C di động trên đường tròn
(C A, C B) sao cho BC < CA Lấy điểm I trên AB sao cho IB < IA Đường thẳng đi qua
I và vuông góc với AB cắt AC ở F và BC ở E Lấy điểm M đối xứng với điểm B qua I
a) Chứng minh rằng IE.IF = IA.IB
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF cắt AE ở N Chứng minh B, F, N thẳng hàng c) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FAE chạy trên một đường thẳng cố định khi C di động trên đường tròn
Câu 4 (1,5điểm) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng:
1 1 2
1 1 2
1 1
2
1
2 2
ab
Hết
Họ và tên thí sinh: SBD:
Cán bộ coi thi không cần giải thích gì thêm./
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH THỦY
Trang 3HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN: TOÁN
Hướng dẫn chấm có: 04 trang
A Một số chú ý khi chấm bài.
Đáp án dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách giải Thí sinh giải cách khác mà đúng thì tổ chấm cho điểm từng phần ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm
B Đáp án và thang điểm.
I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)
Mỗi câu trả lời đúng cho 0,5 điểm
II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)
Câu 1(3 điểm)
Cho các số nguyên x, y, z, t thỏa mãn: x3 + y3 = 2(z3 – 8t3) Chứng minh rằng:
x+y +z+ t chia hết cho 3
1 3 3
x
f x
Hãy tính giá trị của biểu thức sau:
2016
2015 2016
2014
2016
3 2016
2 2016
1
f f
f f
f
a) ta có x3 + y3 = 2(z3 – 8t3) x3 +y3 +z3 +t3 = 3z3 -15t3
lại có x3 – x = (x – 1)x(x + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên x3 – x 3
Tương tự ta có y3 – y 3; z3 – z 3 và t3 – t 3 0,5 suy ra (x3- x +y3 – y +z3 – z + t3 – t ) 3 hay (x3 +y3 +z3 +t3) – (x + y + z + t) 3
b) Nhận xét Nếu x y 1 thì f x f y 1
Thật vậy, ta có
3 3
1 1
x x
0,5
suy ra
3 3
1
x x
Vậy, nhận xét được chứng minh Ta có 1 1
f
0,5
Theo nhận xét trên ta có:
2
1 2016
2009 2016
2007
2016
2014 2016
2 2016
2015 2016
1
f f
f f
f f
f
= 1+ 1 + + 1 +
2
1
= 1007 +0,5 = 1007,5
0,5
Câu 2 (3,5 điểm).
a) Giải phương trình sau: 3 1 2 3 3 2 2 3
x
b) Giải hệ phương trình sau: x3 y3 9
Trang 4Nội dung Điểm
Đặt 2 3
x = t (t>0) khi đó pt đã cho trở thành:
2t2 – (3x + 1)t +x2 +2x – 3 = 0, coi đây là pt bậc hai với ẩn t, ta có
= x2 – 10x +25= (x – 5)2 suy ra
2 3
1
x t
x
Nếu t = x-1 thì ta có 2 3
x x x x x x
1 1 1 2 3 0 1
2 2
0,5
1
3 9 6 12 4
3 2
3
2
x
x x x x
x x x
Đối chiếu điều kiện của bài toán ta thấy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình
đã cho
0,5
b)
) 2 ( 0 4
2
) 1 ( 9
2
2
3
3
y x y
x
y
x
Lấy phương trình (2) nhân với -3 rồi cộng với pt (1) ta được:
x3 – y3 – 6x2 -3y2 +12x - 3y = 9 (x - 2)3 = (y + 1)3 x = y + 3 1,0 Thế x = y + 3 vào pt (2) ta có: 3y2 + 9y + 6 = 0 2 3 2 0
y y
2
1
y
y
Với y = -1 thì x =2
Với y = -2 thì x = 1
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (2; -1) và (1; -2)
0,75
Câu 3 (4điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB Điểm C di động trên đường tròn
(C A, C B) sao cho BC < CA Lấy điểm I trên AB sao cho IB < IA Đường thẳng đi qua
I và vuông góc với AB cắt AC ở F và BC ở E Lấy điểm M đối xứng với điểm B qua I
a) Chứng minh rằng IE.IF = IA.IB
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF cắt AE ở N Chứng minh B, F, N thẳng hàng c) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FAE chạy trên một đường thẳng cố định khi C di động trên đường tròn
Trang 5F
O
E
H
C
I
a) Tam giác EMB có EI vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến tam giác
EMB cân tại E EI cũng là phân giác MEI BEI
0,5
Tam giác ACB nội tiếp đường tròn đường kính AB nên ACB 90 0
BEI BAC (cùng phụ với góc ABE) IME và IFA đồng dạng 0,5
IA
IE
IF
IM
b) Tam giác ABE có hai đường cao EI và AC cắt nhau tại F F là trực tâm của
Mặt khác tam giác ENF nội tiếp đường tròn đường kính EF (Đường tròn ngoại tiếp
tam giác CEF) FN AE (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm B, F, N thẳng hàng
0,5
c) Dễ thấy ENF và BIF đồng dạng nên NEF FBI mà FBI FMIsuy
ra NEF FMI tứ giác AEFM nội tiếp đường tròn
Đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFM chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác FAE
0,5
Gọi tâm của đường tròn đó là H
Vì B, I cố định nên M cố định (vì M đối xứng với B qua I), A cố định AM cố
định
0,25
vậy điểm H chạy trên đường trung trực d của AM cố định khi C di động trên (O) 0,5
Câu 4 (1,5điểm) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a+b+c = 3 Chứng minh rằng:
1
1 2
1 1 2
1 1
2
1
2 2
ab
1 1 2
1 1 2
1 1
2
1
2 2
1 2
1 1 1 2
1 1 1 2
1
2 2
ab
1 1 2 1 2 1
2 2
2 2
2
ca
ca bc
bc ab
ab
0,25
Theo bất đẳng thức cauchy ta có: 2ab2 + 1 = ab2 +ab2 +1 3 3 a2b4 suy ra
9
2 3
1 3
1
2
3 2
3 2 4
2 2
ab b
a
ab
ab
Tương tự ta có:
9
2 1
bc
9
2 1
ca
Trang 6Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được:
1 3
3 3
9
) (
3 1 2 1 2 1
2 2
2 2
2
ca
ca bc
bc ab
ab
0,5
Đẳng thức xảy ra khi 1
3
c b a c b a c b a
0,25