KHỐI CẦU - BT - Muc do 3 (2)

Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp đó là: Lời giải Chọn A Trong mặt phẳng kẻ trung trực của đoạn cắt tại , suy ra nên là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .Gọi là trung điểm

Câu 49 [HH12.C2.3.BT.c] (Toán Học Tuổi Trẻ - Tháng 12 - 2017) Cho tứ diện có tam giác

là tam giác cân với , Hình chiếu của trên mặt phẳng là trungđiểm Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện biết thể tích của tứ diện là

Lời giải Chọn A

Gọi là trung điểm

Từ trung điểm của đoạn kẻ đường vuông góc với , cắt tại

Dễ dàng có là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Câu 18 [HH12.C2.3.BT.c] (THPT Xuân Trường - Nam Định - 2018-BTN) Tính theo bán kính

của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều , biết các cạnh đáy có độ dài bằng , cạnh bên

A B C D

Lời giải Chọn A

Gọi là trung điểm của Trong mặt phẳng kẻ đường thẳng qua và vuông góc với cắt

Câu 28: [HH12.C2.3.BT.c] (THPT Chuyên Thái Bình - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp tam

giác đều có cạnh đáy bằng và chiều cao Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp

đó là:

Lời giải Chọn A

Trong mặt phẳng kẻ trung trực của đoạn cắt tại , suy ra

nên là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Gọi là trung điểm của , ta có đồng dạng với nên

Vậy diện tích mặt cầu

Câu 41: [HH12.C2.3.BT.c] (THPT Chuyên Thái Bình - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho lăng trụ tam

giác đều có cạnh đáy bằng cạnh bên bằng Tính thể tích của khối cầu đi qua các đỉnh của lăngtrụ

Lời giải Chọn B

Gọi lần lượt là tâm hai đáy, là trung điểm của Khi đó ta có là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ

Ta có: suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là

Vậy

Câu 20: [HH12.C2.3.BT.c] (CỤM 2 TP.HCM) Cho hình chóp có , đáy

là hình chữ nhật, góc giữa đường thẳng và đáy bằng Tính theo thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp

Lời giải Chọn D

.Gọi và là trung điểm

Khi đó là trục của hình chữ nhật nên

Mặt khác do và là trung điểm nên

Vậy là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Do nên là hình chiếu của lên Vậy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là

Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp là

Câu 11: [HH12.C2.3.BT.c] Cho lăng trụ tam giác đều có góc giữa đường thẳng

và mặt phẳng bằng Gọi là trung điểm của Tính theo bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Lời giải Chọn D

Ta có Tam giác đều cạnh và

Câu 16: [HH12.C2.3.BT.c] (THPT LƯƠNG VĂN CHÁNH) Cho hình chóp có

, tam giác cân tại , , Tính diện tích củamặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Lời giải Chọn A

Gọi là trung điểm , trong mp

vẽ đường trung trực cắt tại

là tâm đường tròn ngoại tiếp

Trong vuông tại

Gọi là trung điểm Trong mp vẽ trung trực cắt đường thẳng qua và vuông góc

mp tại Chứng minh được là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Ta có là hình chữ nhật

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là (đvdt)

Câu 17: [HH12.C2.3.BT.c] (THPT Chuyên Lào Cai) Cho hình chóp , tam giác vuông tại

đỉnh Tam giác , lần lượt vuông tại và Khoảng cách

từ đến mặt phẳng bằng Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng

Lời giải

Chọn D

Gọi là trung điểm của là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

.Gọi lần lượt là trung điểm của

Câu 18: [HH12.C2.3.BT.c] (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8) Cho hình lăng trụ tam giác đều

có độ dài cạnh đáy bằng và chiều cao bằng Thể tích của khối cầu ngoại tiếplăng trụ đã cho là

Lời giải Chọn C

Lăng trụ tam giác đều là lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều.

Gọi lần lượt là trọng tâm tam giác và Vậy là trục các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác đáy

Trong mặt phẳng , kẻ đường trung trực tại trung điểm của và cắt tại Khi đó ta có

Do đó mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ có tâm là là bán kính là

Câu 26: [HH12.C2.3.BT.c] (THPT TRẦN PHÚ) Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại

Kẻ tại Bán kính mặt cầu đi qua sáu điểm bằng:

Suy ra các điểm cùng nhìn hai điểm

dưới một góc vuông nên 6 điểm cùng

thuộc mặt cầu đường kính

Bán kính mặt cầu:

Câu 35: [HH12.C2.3.BT.c] (THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI) Cho hình chóp có đáy là

tam giác vuông cân tại với , góc và khoảng cách từ đếnmặt phẳng bằng Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Lời giải Chọn C

Gọi D là hình chiếu vuông góc của S trên Ta có:

Tương tự Suy ra ABCD là hình vuông Gọi H là hình chiếu của D trên SC

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác , ta có

Gọi I là trung điểm SB ta có nên là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Suy ra bán kính mặt cầu là Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là

Câu 1: [HH12.C2.3.BT.c] Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh bằng , vuông góc với

đáy, góc giữa mặt bên và đáy bằng Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằngbao nhiêu?

Lời giải Chọn D

Gọi , lần lượt là trung điểm , ;

là trọng tâm

Ta có

đều, cạnh bằng Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Câu 2: [HH12.C2.3.BT.c] Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân đỉnh ,

, Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là

A B. C D

Lời giải Chọn B

Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cũng là mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng

Gọi lần lượt là trung điểm của và Do tam giác vuông cân đỉnh nên trung điểm của là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng

Diện tích mặt cầu là .

Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng

Lời giải

Chọn B

Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp và tại

Trong mặt phẳng , đường trung trực của cắt tại Ta

có I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Gọi là bán kính đường tròn ngoại tiếp , ta có

Áp dụng đinh lý trong ta có:

Câu 4: [HH12.C2.3.BT.c] Cho hình chóp tam giác , đáy là tam giác vuông tại và

Cạnh bên và vuông góc với đáy Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại

tiếp hình chóp đó (Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là mặt cầu chứa đỉnh hình chóp và tất cả các đỉnh của đa giác đáy của hình chóp, khối cầu tương ứng gọi là khối cầu ngoại tiếp hình chóp) bằng

Lời giải Chọn D

Gọi là trung điểm của , là trung điểm của Qua dựng đường thẳng

Qua dựng đường thẳng Lúc đó tâm của mặt cầu ngoại tiếp là

Xét tam giác vuông tại ta có:

.Diện tích hình cầu:

Thể tích khối cầu:

Câu 5: [HH12.C2.3.BT.c] Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại

Biết rằng Gọi là trung điểm của Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện bằng

Lời giải Chọn A

Ta có

Gọi là trung điểm của , suy ra là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Gọi là trung điểm của

Tam giác vuông cân tại Suy ra là tâm đường tròn ngoại tiếp

Suy ra là trục của tam giác

Suy ra

Suy ra là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện bán kính

Câu 18 [HH12.C2.3.BT.c] (THPT Kinh Môn - Hải Dương - 2018 - BTN) Cho tứ diện , biết tam

giác là tam giác đều cạnh Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện nhận đường tròn ngoại tiếptam giác làm đường tròn lớn Khi đó thể tích lớn nhất của tứ diện sẽ là:

Lời giải Chọn C

Gọi là trọng tâm tam giác , là trung điểm và là hình chiếu của trên

Vậy thể tích lớn nhất của tứ diện sẽ là

Câu 34 [HH12.C2.3.BT.c] (THPT Kinh Môn - Hải Dương - 2018 - BTN) Cho hình chóp có

đáy là hình vuông cạnh bằng , vuông góc với đáy Biết tạo với mặt phẳng

một góc Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Lời giải Chọn D

Gọi là trung điểm Do nên là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Diện tích mặt cầu:

Câu 21: [HH12.C2.3.BT.c] (THPT Thanh Miện - Hải Dương - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hình chóp tứ

giác có đáy là hình thang vuông tại và , , ,

và Gọi là trung điểm của Kẻ tại Bán kính mặt cầu đi qua sáu điểm , , , , , là:

Lời giải Chọn C

Vì là trung điểm của , là hình thang vuông tại và và ,

Vậy các góc , , , cùng nhìn cạnh dưới một góc không đổi nên các điểm , , , , , nằm trên mặt cầu tâm là trung điểm của bán kính

Câu 28: [HH12.C2.3.BT.c] (Toán học và Tuổi trẻ - Tháng 4 - 2018 - BTN) Cho

tích mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp là

Lời giải Chọn A

Xét tam giác theo định lí cosin ta có :

Xét tam giác theo định lí cosin ta có :

Xét tam giác theo định lí cosin ta có :

Gọi là hình chiếu của lên mặt phẳng Vì

Vậy là tâm đường tròn ngoại tiếp mà vuông tại là trungđiểm

là trục của mặt phẳng đáy Dựng mặt phẳng trung trực của cắt tại là tâm mặt cấu ngoại tiếp

Xét

Mặt khác vuôn tại áp dụng định lí pitago

Thay vào vậy bán kính cầu ngoại tiếp chóp là

diện tích của mặt cầu ngoại tiếp chóp là

Câu 28 [HH12.C2.3.BT.c] (TRƯỜNG CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH - LẦN 2 - 2018) Cho hình lăng trụ

đứng có đáy là tam giác vuông tại , , , đường thẳng tạo với mặt phẳng một góc Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã chobằng

A B C D

Lời giải Chọn B

\Gọi lần lượt là trung điểm của ,

Dễ thấy trung điểm của là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ

Bán kính

Câu 45: [HH12.C2.3.BT.c] (THPT Kiến An - HP - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp

có đáy là hình chữ nhật, , Hình chiếu của lên mặt phẳng là trung điểm của , Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Lời giải Chọn C

Gọi và lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và tam giác

Ta có .

Câu 48 [HH12.C2.3.BT.c] (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 8 Tuần HK1 - 2018 - BTN) Cho

hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại và Cạnh bên vuông góc với đáy Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên cạnh bên và Thể tích của khối cầu tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:

Lời giải Chọn B

kính Bán kính

Cách 2: Dựng hình vuông Gọi là trung điểm

Tam giác vuông tại và suy ra là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác

Tam giác vuông tại suy ra Suy ra là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Câu 50 [HH12.C2.3.BT.c] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc- Lần 3-2018) Cho hình chóp

đến mặt phẳng bằng Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo

Lời giải Chọn C

Gọi là hình chiếu của trên mặt phẳng Khi đó điểm , , , , cùng thuộcmặt cầu tâm là trung điểm của

Do , , , cùng thuộc một mặt phẳng nên là tứ giác nội tiếp Theo giả thiết

là tam giác vuông cân tại nên là hình vuông

Xét tam giác vuông ta có

Do là trung điểm của nên

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là

BẢNG ĐÁP ÁN

Câu 18: [HH12.C2.3.BT.c] (THPT Kim Liên - HN - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho tứ diện có

, , các cạnh còn lại có độ dài Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Lời giải Chọn C

Gọi , lần lượt là trung điểm và

Ta có: ; tương tự Suy ra là đường trung trực và là đoạnvuông góc chung của và

Gọi là tâm mặt cầu ngoại tiếp thì thuộc

nên hay là trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

thẳng qua và vuông góc với cắt tại khi đó ta có

hay là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Vậy thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp là

Câu 39: [HH12.C2.3.BT.c] (THPT Thăng Long - Hà Nội - Lần 2 - Năm 2018) Cho hình chóp có

vuông góc với đáy Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên và Biết, , , tìm bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Lời giải Chọn A

Biết rằng chiều cao của hình nón bằng Bỏ qua bề dày của các lớp

vỏ thủy tinh, tổng thể tích của hai khối cầu bằng

Lời giải Chọn A

Gọi là đường kính mặt nón, là đỉnh, , lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến chung của hai mặt cầu và , (hình vẽ)

Ta có tam giác đều nên bán kính đường tròn nội tiếp bằng

Tương tự, tam giác đều, có chiều cao nên có bán kính đường

Câu 32: [HH12.C2.3.BT.c](THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - Lần 2 -2018 - BTN) Cho hình chóp

có đáy là hình vuông cạnh bằng , vuông góc với đáy Biết tạo với mặtphẳng một góc Tính Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp

Lời giải Chọn A

Góc giữa và là góc bằng nên tam giác vuông cân tại nên

vuông tại Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là trung điểm , bán kính

Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là

Câu 41: [HH12.C2.3.BT.c] (Lương Văn Chánh - Phú Yên – 2017 - 2018 - BTN)

Gọi là giao điểm của là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật

.Gọi là trọng tâm là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều Qua dựng đường thẳng là trục của đường tròn qua dựng

là tâm của mặt cầu ngoại tiếp chóp

Câu 50: [HH12.C2.3.BT.c] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Lần 3 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp tam

giác đều có cạnh đáy bằng và mỗi cạnh bên bằng Khi đó bán kính mặt cầu ngoạitiếp hình chóp là:

Lời giải Chọn A

Gọi là trọng tâm tam giác đều , khi đó và là trục đường tròn ngoại tiếp mặt đáy.

Gọi là trung điểm , mặt phẳng trung trực của cạnh cắt tại Khi đó

nên là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

-HẾT -Câu 30: [HH12.C2.3.BT.c] (THPT Trần Nhân Tông Quảng Ninh Lần 1

-2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật Tam giác nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng Biết rằng , và Tínhdiện tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp .

Lời giải Chọn B

Gọi là bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật và mặt bên Gọi là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Vì hình chóp đã cho có mặt bên vuông góc với đáy nên bán kính mặt cầu hình chóp được tính theo công thức:

Diện tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho là:

Câu 42: [HH12.C2.3.BT.c] (THPT Yên Định - Thanh Hóa - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp

có đáy là tam giác đều cạnh bằng , mặt bên là tam giác cân tại và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp

Lời giải Chọn A

Gọi là trung điểm , do , tam giác đều và tam giác

Gọi và là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác và tam giác

của đường tròn ngoại tiếp tam giác và là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác Khi

đó thì là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Câu 25: [HH12.C2.3.BT.c] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - Lần 1 -

2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân

phẳng bằng Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Lời giải

Chọn B

Gọi là hình chiếu của trên

Gọi là trung điểm suy ra là tâm mặt cầu và

Câu 28: [HH12.C2.3.BT.c] (THPT Chuyên Thái Nguyên - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Trong mặt phẳng

cho tam giác cân tại , Trên đường thẳng vuông góc với tại lấy hai điểm nằm về hai phía của mặt phẳng sao cho tam giác vuôngtại và tam giác đều Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Lời giải Chọn A

Gọi là trung điểm của , ta có

Câu 43: [HH12.C2.3.BT.c] (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên - 2017 - 2018 - BTN) Người ta đặt

được vào trong một hình nón hai khối cầu có bán kính lần lượt là và sao cho các khối cầuđều tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón, hai khối cầu tiếp xúc với nhau và khối cầu lớn tiếpxúc với đáy của hình nón Bán kính đáy của hình nón đã cho là

Lời giải Chọn C

Gọi thiết diện qua trục của hình nón là tam giác với là đỉnh của hình nón và là đườngkính đáy của hình nón có tâm đáy là

Gọi và lần lượt là tâm của hai khối cầu có bán kính và và lần lượt là điểm

tiếp xúc của với hai đường tròn tâm và

Ta có: là đường trung bình trong tam giác suy ra là trung điểm của

Ta lại có hai tam giác vuông và đồng dạng

Vậy bán kính hình nón là