Đặt vấn đề : Trong quá trình giảng dạy tôi tích lũy được một số bài toán có dạng : Chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất mà trong cách giải có thể sử dụng phương p
Trang 1Sáng kiến kinh nghiệm
KHOẢNG CÁCH HÌNH HỌC
Người viết: Vũ Đức Bình
Tổ : Toán Trường T.H.P.T-C Nghĩa Hưng-Nam Định
Trang 2A. Đặt vấn đề : Trong quá trình giảng dạy tôi tích lũy được một số bài toán
có dạng : Chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
mà trong cách giải có thể sử dụng phương pháp hình học cụ thể là
khoảng cách hình học có hiệu quả cao như dễ thuyết phục, trình bày ngắn gọn…Sau đây tôi xin trình bày nội dung bài viết này
B. Giải quyết vấn đề :
1) Khái niệm khoảng cách giữa hai vật thể hình học trong hình học phẳng cũng như trong không gian:
có:
hình học không gian, công thức tọa độ của các khoảng cách đó như:
- Khoảng cách của hai điểm
- Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
- Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
- Khoảng cách của hai đường thẳng song song
- Khoảng cách của hai chéo nhau
- Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mp song song
- Khoảng cách của hai mp song song
- Khoảng cách
3) Các quỹ tích cơ bản, phương trình của các yếu tố cơ bản của hình học phẳng và của hình học không gian như:
-Trong mặt phẳng tọa độ: đường thẳng, đường tròn, e- líp, hypeol,
parabol,
-Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz: Đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu
4) Các kỹ năng:
- Tìm giao điểm của đường thẳng
- Tìm giao điểm của đt và đường tròn
- Tìm giao điểm của hai đường tròn
- Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
- Tìm hình chiếu của một điểm trên một đường thẳng, trên một mặt phẳng
-
II Các dạng bài tập
Trang 3+) Sử dụng tính chất khoảng cách: AB+ BC ≥ AC
2 2 2 1 1 2 2 2 2 1
2 2 2 1
(a −c + a −c
2 2 2 1 1 2 2 2 2 1
2 2 2 1
(n −i + n −i ≥ 2
2 2 2
1
(a −i + a −i
3 3 2 2 2 2 1 1 2 3 3 2 2 2 2
1
2 3 3 2 2 2 2
1
(a −c + a −c + a −c
3 3 2 2 2 2 1 1 2 3 3 2 2 2 2
1
a
2 3 3 2 2 2 2
1
3 3 2 2 2 2 1
(a −i + a −i + a −i
+) Sử dụng tính chất bất đẳng thức độ dài vec tơ tổng:
|→a| + |→b| ≥ |→a+→b|
+ + + →
→
|
|
|
các vec tơ đã cho cùng hướng Ta có được một số bất đẳng thức sau:
2a) a2 +b2 + x2 +y2 ≥ (a−x) 2 + (b−y) 2
2 2 1 2
2
2
2
2
1 i
2 2
2 2 1 1
1 ) ( ) (a +b + +i + a +b + +i
3 2 2 2 1 2 3 2
2
2
3 3 2 2 2 2 1
(a −b + a −b + a −b
3 3 2 2 2 2 1 1 2 3 3 2 2 2 2
1
a
2 3 3 2 2 2 2
1
3 3 2 2 2 2 1
(a −i + a −i + a −i
+) Các bài tập dạng này có khá nhiều, sau đây tôi nêu một số bài
và mong các đồng nghiệp bổ xung thêm cho phong phú
Bài 1 Chứng minh các B.Đ.T sau:
1 CMR: Với ba số a, b, c bất kỳ ta có b.đ.t sau
a2 +ab+b2 + x2 +ac+c2 ≥ b2 +bc+c2
2 CMR: Với ba số dương a, b, c bất kỳ ta có b.đ.t sau
a2 +ab+b2 + x2 +ac+c2 > b2 +bc+c2
Hướng dẫn: câu 1 và 2 Xét các vec tơ sau trong mp với hệ trục tọa độ Oxy
→
(Trong câu 2 thì các vec tơ đã chọn không thể cùng hướng nên đẳng thức
không thể xảy ra = đpcm)
3 CMR: Với số thực a bất kỳ ta có b.đ.t sau
a2 +a+ 1 + a2 −a+ 1 ≥ 2
4. Cho là ba số dương và x+y+z = 1 Chứng minh rằng
Trang 4
1 1 2 12 82
2 2 2
2 + + + + + ≥
z
z y
y x
HD: Áp dụng b.đ.t 2b) Ta có (4) có
z y x z y
x+ + + + + = 1 (1 1 1) 2
z y
x+ + +
Và sử dụng b.đ.t Cô si cho ba số dương x, y, z ta có
5 Chứng minh rằng với mọi x, y ta đều có:
4 cos 2xcos 2 y+ sin 2 (x−y) + 4 sin 2xsin 2y+ sin 2 (x−y) ≥2
6 Cho Chứng minh rằng:
9 Chứng minh rằng với mọi số thực a,b ta luôn có:
1
2
10 CMR: | cos 4x+ 1 − sin 4x+ 1 | ≤ | cos 2x|
Bài 2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất:
1 Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa hàm số: y =
2 2
2
2 2ax 2a x 2bx 2b
Với a và b là hai số cho trước và khác nhau
2.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y = x3 + 2 ( 1 + x3 + 1 ) + x3 − 2 ( 1 − x3 + 1 )
thức:
(x− 1 ) 2 +y2 + (x+ 1 ) 2 +y2 + |y− 2 |
4 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :
y = cos 2 x− 2 cosx+ 3 + cos 2x+ 4 cosx+ 8
Trang 5
M = (x-a)2 +(y-b)2+ (z-c)2
N = (a− 1 ) 2 +b2 +c2 + x2 + (y− 3 ) 2 +z2
6.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:
y=f(x) = cos 2x− 6 cosx+ 13 + cos 2x+ 2 cosx+ 2
Hd: Đặt →
Bài 3 Giải các p.t, bpt sau:
1 x2 − 2x+ 2 + 4x2 + 12x+ 25 = 9x2 + 12x+ 29
HD : Xét các vec tơ sau trong mp với hệ trục tọa độ Oxy →
cùng phương
=> nghiệm của pt là x = 7/2
2 x+ 2 x− 1 + 1 + x− 2 x− 1 + 1 ≥ 5−2x
HD MinVT=MaxVP
2) Dạng bài sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường hoặc một mặt phẳng
Bài 1: Cho hai số x và y thỏa điều kiện: 3x+ 4y =25 (1) , cmr: (x-2)2
+ y2 ≥361/25, tìm x và y để đẳng thức xảy ra.
HD: Đây là bài tập khá đơn giản, có nhiều cách giải như tam thức bậc hai, Bunhiacopxki còn phương pháp dùng khoảng cách đưa ra để hs tham khảo lựa chọn
Xét trong mp với hệ tọa độ Oxy, điểm M(x;y) thỏa (1) M thuộc đ/t ∆có pt (1) Khi đó gọi d = k/c(M,∆) = 19/5 và với điểm I(2;0) thì IM2 = (x-2)2 + y2 Dễ thấy IM≥ d => đ.c.m Đẳng thức xảy
Bài 2 Cho (1) Chứng minh rằng: − 2 ≤x+y≤ 2
Hd: Có thể thấy M(x;y) thỏa (1) m thuộc đường Tròn tâm O bán kính R = 1 và d là đường thẳng có pt:
x+y = 0 thì khoảng cách từ M đến
đường thẳng d là |
2
|x+y
, do d đi qua tâm O của
Trang 6đường tròn nên R ≥ d
=> đ.p.c.m
Bài 3: Cho x2+y2 = u2+v2 = 1
Chứng minh rằng: |x(u-v)+y(u+v)| ≤ 2
HD:Có thể thấy M(x;y) và điểm N(u-v;u+v) thỏa điều kiện của bài toán thì M thuộc đường tròn tâm O bán kính R1 = 1
và N thuộc đường tròn tâm O bán kính R2 = 2 ,
áp dụng công thức |→a.→b| ≤ |→a| |→b| => đ.p.c.m
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = x2 + (y− 1 ) 2 + x2 + (y− 3 ) 2
trong đó x,y là các số thỏa mãn: 2x-y = 2 (1)
HD: Xét trong mp với hệ trục tọa độ Oxy các điểm M(x;y), A(0;-1), B(0;3) và
đường thẳng d, ta có P = MA+MB và M thuộc d ta có A và B ở về hai phía của
đường thẳng d nên minP =AB’ với B’ là điểm đối xứng của B qua đường thẳng d
Bài 5: Giải hệ phương trình:
= + +
= + +
= + +
1 1 1
3 3 3
2 2 2
z y x
x y x
z y x
HD : Xét các vec tơ sau trong mp với hệ trục tọa độ Oxyz
→
v= (x2;y2;z2)
Trang 7=>
≤ +
+
−
=
=
=
→
→
→
→
1 ) (
2 1
|
|
1
|
|
1
2 2 2 2 2
2 y y z z x x
v u
v u
Từ đó suy ra hai vec tơ này cùng phương
Nghiệm của hệ là: (1;0;0), (0;1;0) và (0;0;1)
Bài 6: Giải hệ phương trình:
= + +
= + +
= + +
3 3 3
3 3 3
2 2 2
z y x
x y x
z y x
HD : Xét các vec tơ sau trong mp với hệ trục tọa độ Oxyz
→
v = (1;1;1) =>
=
=
=
→
→
→
→
3
|
|
3
|
|
3
v u
v u
Từ đó suy ra hai vec tơ này cùng phương
Nghiệm duy nhất của hệ là: (1;1;1)
Bài 7: Cho ba số a, b, c thỏa mãn a +2b +3c = 6, tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
M = a2 +b2 +c2 + (a− 1 ) 2 + (b− 1 ) 2 + (c+ 3 ) 2
N = (a− 1 ) 2 + (b− 1 ) 2 + (c+ 3 ) 2
Bài 8: Cho ba số a, b, c thỏa mãn a +2b +3c = 16, tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
M = (a− 2 ) 2 + (b− 3 ) 2 + (c− 4 ) 2 + (a− 3 ) 2 + (b− 5 ) 2 + (c− 1 ) 2
N= (a− 2 ) 2 + (b− 3 ) 2 + (c− 4 ) 2
Bài 9: Cho ba số a, b, c thỏa mãn a +2b = 6, tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
N = a2 +b2 + (a+ 2 ) 2 + (b− 1 ) 2
Bài 10: Cho ba số a, b, c thỏa mãn a2 +b2 +c2 = 16, tìm giá trị lớn nhất
và nhỏ nhất của
Bài 11: Cho các số a, b, c, x, y, z thỏa điều kiện: a=b/2=c/3 và
(x-1)/2=(y-2)=(z-3) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
M = (x-a)2 +(y-b)2+ (z-c)2
N = (a− 1 ) 2 +b2 +c2 + x2 + (y− 3 ) 2 +z2
Trang 8Bài 12: Cho các số x, y, z và a, b, c thỏa các điều kiện sau:
2a-2 = b+20 = c-3 và 2x-12 = 3y+3 = 6z + 18 Hãy tìm giá
trị nhỏ nhất của
biểu thức: M = (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2
N = (x-b)2 + (y-c)2 + (z-a)2
C. Kêt luận : Trên đây là một số bài toán sử dụng hình học để giải một số
bài toán trong đại số cụ thể là dùng công thức về khoảng cách, tính chất của tích vô hướng của hai vec tơ Trong quá trình dạy học khi dạy đến các phần hình học liên quan tôi thường ra các bài tập mà có thể sử dụng nội dung bài học hình học để giải được các bài toán đại số tương
tự như nội dung của bài viết trên giúp học sinh có thói quen tìm các lời giải khác nhau cho một bài toán, và chọn ra được lời giải tốt nhất
Bài viêtt trên có thể còn chưa phong phú và không thể tránh khỏi
sai sót, mong
các đồng nghiệp bổ sung và chỉnh lý, để có một tài liệu tham khảo tốt hơn
N.Đ ngày 25 tháng 4 năm 2009
Người viết
V Đ B