Bai tap phuong trinh vi phan

Giải gần đúng các phương trình trong Bài tập 1 bằng phương pháp lặp lặp 4 bước, đánh giá sai số bước 4, lấy 7 chữ số có nghĩa, biết bước lặp ban đầu được chọn là trung điểm đoạn li nghiệ

Trang 1

BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TÍNH

Bài tập chương 1

Bài tập 1 Tìm một đoạn li nghiệm của các phương trình sau:

1) x5+ x − 30 = 0

2) e 2x − x2− 20 = 0

3) x2− ln(x + 1) − 30 = 0

4) x(x + 1)4+ x(x − 2) − 50 = 0

5) x2− sin 3x − 40 = 0

6) 3

x+1 +(x+1)4 2 + (x+1)5 3 +(x+1)6 4 = 10

7) x2+√

x + 5 − 50 = 0

8) ln(x2+ 1) + x − 30 = 0

9) x3+ arctan x − 40 = 0

10) 1

x + cos x − 10 = 0

Bài tập 2 Giải gần đúng các phương trình trong Bài tập 1 bằng phương

pháp lặp (lặp 4 bước, đánh giá sai số bước 4, lấy 7 chữ số có nghĩa), biết bước lặp ban đầu được chọn là trung điểm đoạn li nghiệm

Bài tập 3 (*) Cho phương trình x3− sin x − 30 = 0 (*) có ĐLN [3; 4].

a) Tìm ít nhất hai hàm φ(x) sao cho phương trình (*) tương đương với phương trình x = φ(x), đồng thời max

x ∈[3;4] |φ ′ (x) | < 1.

b) Với các hàm φ(x) tìm được trong câu a), hãy giải gần đúng phương

trình (*) bằng phương pháp lặp sao cho sai số không quá 10−5, biết bước

lặp ban đầu x0 = 3, 5 Với kết quả tìm được, hãy nhận xét hàm φ(x) nào

cho nghiệm gần đúng tốt hơn

Bài tập 4 (*) Việc tính gần đúng √

A với A là số nguyên dương không

chính phương có thể thực hiện bằng phương pháp lặp Chẳng hạn, ta

cho A = 2.

Đặt x = √

2, suy ra x2 − 2 = 0 (*) Dễ dàng thấy rằng phương trình

(*) có ĐLN là [1; 2], biến đổi phương trình (*) về dạng x = x

2 +1x = φ(x).

1) Chứng minh rằng max

x ∈[1;2] |φ ′ (x) | < 1.

2) Phải lặp ít nhất bao nhiêu bước thì ta được nghiệm gần đúng có sai số bé hơn 10−7 nếu ta lấy x0 = 1, 5.

Trang 2

3) Với A ∈ Z >2 , chứng minh rằng phương trình x2 = A(**) có ĐLN

là[[√

A

]

;[√

A

] + 1

]

4) Biến đổi phương trình (**) về dạng x = x2 + 2x A = φ A (x) Chứng

minh rằng max

x ∈[[√ A];[√ A]+1]|φ ′

A (x) | < 1.

Bài tập 5 Cho phương trình f (x) = 0 có ĐLN [a; b], chứng minh rằng

f ′ (x) và f ′′ (x) không đổi dấu trong [a; b] biết:

1) f (x) = e x2

− 5x − 30 và [a; b] ≡ [1; 2].

2) f (x) = x2− sin x − 50 và [a; b] ≡ [7; 8].

3) f (x) = x + ln(x + 2) − 10 và [a; b] ≡ [7; 8].

4) f (x) = 2

x+1 + (x+1)3 2 + (x+1)4 3 − 7 và [a; b] ≡ [0; 1].

5) f (x) = x3+ arctan x − 30 và [a; b] ≡ [3; 4].

6) f (x) = x(x + 1)5 + x(x + 2) − 50 và [a; b] ≡ [1; 2].

7) f (x) = 3 x − sin 2x − 30 và [a; b] ≡ [3; 4].

8) f (x) = 2 x+ 3x − 10x − 30 và [a; b] ≡ [3; 4].

9) f (x) = x1 + x2− 40 và [a; b] ≡ [6; 7].

10) f (x) = x2+√

x + 1 − 40 và [a; b] ≡ [6; 7].

Bài tập 6 Giải gần đúng các phương trình trong Bài tập 5 bằng phương

pháp Newton (lặp 3 bước, đánh giá sai số bước 3, lấy 7 chữ số có nghĩa)

Bài tập 7 Tìm chuẩn của các vector sau:

1) X = ( −4; 5; 9) T

2) Y = (2; sin α + cos α; tan α + cot α) T với α ∈ (0; π

2)

3) Z =

(

2a; a2+ 1;−2a;√2 (a4+ 2)

)

với a ∈ R.

4) U = (e a + e −a ; 2 + a2)với a ∈ R >0

Bài tập 8 Tìm chuẩn của các ma trận sau:

1) A =



 0, 1 0, 3 0, 4 0 −0, 2 −0, 2

0, 5 0, 3 −0, 5





2) B =



 √ sin α2− 1 cos α 12 0



 với α ∈ (0; π

2)

3) C =







0, 1 1 2 −1

0, 8 0, 7 −2, 1 0, 2







Trang 3

4) D =

(

e a e −a

2 a

)

với a ∈ R ≥1

Bài tập 9 Tìm x ∈ R để ∥A∥ < 1 biết A =



 0, 1 x 0, 5x 0, 2 0, 4 x

0, 2 0, 1 0, 3





Bài tập 10 Cho hệ phương trình Ax = b có nghiệm đúng là X và

nghiệm xấp xỉ eX Hãy tính X X − b

1)

{ 1

2x1 +13x2 = 631

1

3x1 +14x2 = 1681 và X = (1

7;−1

6)T; eX = (0, 142; −0, 166) T 2)







x1+ 2x2+ 3x3 = 1

2x1+ 3x2+ 4x3 =−1

3x1+ 4x2+ 6x3 = 2

và X = (0; −7; 5) T

; eX = (0, 01; −6, 98; 5, 02) T

3)







x1+ 0, 1x2+ 0, 3x3 = 1, 4

0, 1x1+ x2+ 0, 6x3 = 1, 7

0, 2x1+ 0, 3x2+ x3 = 1, 5

và X = (1; 1; 1) T; eX = (1, 01; 0, 98; 0, 95) T

Bài tập 11 Giải các hệ phương trình sau đây bằng phương pháp lặp

đơn (lặp 3 bước, đánh giá sai số bước 3, lấy 7 chữ số có nghĩa):

1)







10x1+ 2x2+ 3x3 = 18

2x1+ 25x2+ 5x3 = 37

x1+ 4x2 + 20x3 = 45

2)







3x1+ 20x2− x3 = 23

8x1+ 3x2+ 40x3 = 11

25x1+ 2x2+ x3 = 27

3)











10x1+ 2x2+ x3− x4 = 13

x1+ 20x2+ 2x3+ x4 = 23

2x1+ x2 + 25x3+ 2x4 = 28

2x1+ x2 + 3x3+ 40x4 = 6

4)











x1 + x2+ 2x3+ 25x4 = 27

10x1+ 50x2+ x3− x4 = 59

x1+ 3x2 + 40x3+ x4 = 5

40x1+ x2+ 3x3− x4 = 40

Bài tập 12 Cho hệ phương trình







x − 0, 1y + 0, 3z = 0, 9

0, 2x + y + 0, 3z = 1, 2

0, 1x + 0, 2y + z = 0, 3

(1)

Nếu sử dụng phương pháp lặp đơn để giải gần đúng hệ phương trình (1) thì ta phải lặp ít nhất bao nhiêu bước để được số không quá 10−5

Trang 4

Bài tập 13 Giải các hệ phương trình ở Bài tập 11 bằng phương pháp

Seidel (lặp 3 bước, đánh giá sai số bước 3, lấy 7 chữ số có nghĩa)

Bài tập 14 Cho hệ phương trình











x1− 0, 01x2 − 0, 02x3 + 0, 05x4 = 1

0, 03x1+ x2− 0, 01x3 + 0, 1x4 = 1

0, 04x1+ 0, 05x2+ x3+ 0, 04x4 = 2

0, 01x1+ 0, 02x2− 0, 07x3 + x4 = 2

(2)

Nếu sử dụng phương pháp lặp đơn để giải gần đúng hệ phương trình (2) thì ta phải lặp ít nhất bao nhiêu bước để được số không quá 10−5

Bài tập 15 Xây dựng đa thức nội suy dạng Lagrange của hàm số y =

f (x) cho bởi bảng số liệu:

b) x 1, 1 1, 2 1, 3

d) x 1, 0 1, 2 1, 4 1, 6

Bài tập 16 Xây dựng đa thức nội suy dạng Newton của hàm số y = f (x)

cho bởi bảng số liệu trong Bài tập 15

Bài tập 17 Cho hàm số f (x) = √

x + 2 có giá trị tại các mốc x0 = 0; x1 =

1; x2 = 2; x3 = 4 được cho bởi bảng sau:

y 1, 4142 1, 7321 2 2, 2361 1) Xây dựng đa thức nội suy dạng Newton của hàm số f (x) cho bởi

bảng số liệu trên

2) Tính gần đúng f (3) (lấy 5 chữ số có nghĩa) và đánh giá sai số kết

quả tìm được

Bài tập 18 Cho hàm số f (x) = cos x có giá trị tại các mốc x0 =

0, 698; x1 = 0, 733; x2 = 0, 768; x3 = 0, 803được cho bởi bảng sau:

Trang 5

x 0, 698 0, 733 0, 768 0, 803

y 0, 7661 0, 7432 0, 7193 0, 6946 1) Xây dựng đa thức nội suy dạng Newton của hàm số f (x) cho bởi

2) Tính gần đúng f (0, 750) (lấy 5 chữ số có nghĩa) và đánh giá sai số

kết quả tìm được

Bài tập 19 Hàm lỗi (error function) được cho bởi công thức

erf (x) = √2

π

x

∫

0

e −t2dt.

Giá trị của hàm erf(x) tại các mốc x i = 0, 2; i = 0, 5được cho bởi bảng

y 0 0, 1256 0, 2417 0, 3407 0, 4187 0, 4754 1) Xây dựng đa thức nội suy dạng Newton của hàm số f (x) cho bởi

2) Tính gần đúng f (0, 750) (lấy 5 chữ số có nghĩa) và đánh giá sai số

kết quả tìm được

Bài tập 20 Dùng phương pháp bình phương bé nhất xác định a, b để

đường thẳng y = ax + b là xấp xỉ tốt nhất bảng số liệu trong Bài tập 15.

hàm số y = ax + b sin x là xấp xỉ tốt nhất bảng số liệu trong Bài tập 15

(chỉ cần chọn 2 bảng)

hàm số y = ae bxlà xấp xỉ tốt nhất bảng số liệu trong Bài tập 15 (chỉ cần chọn 2 bảng)

hàm số y = ax b là xấp xỉ tốt nhất bảng số liệu trong Bài tập 15 (chỉ cần chọn 2 bảng)

hàm số y = a(x2+ 1) + b √

x + 1là xấp xỉ tốt nhất bảng số liệu trong Bài tập 15 (chỉ cần chọn 2 bảng)

hàm số y = a √

x2 + 1 + b(x + 1) + 1là xấp xỉ tốt nhất bảng số liệu trong Bài tập 15 (chỉ cần chọn 2 bảng)

Trang 6

hàm số y = ax2 + bx + clà xấp xỉ tốt nhất bảng số liệu trong Bài tập 15 (chỉ cần chọn 2 bảng)

hàm số y = a(x2+ 1) + b(x + 1) + clà xấp xỉ tốt nhất bảng số liệu trong Bài tập 15 (chỉ cần chọn 2 bảng)

Bài tập 28 Độ tuổi trung bình lần đầu kết hôn của phụ nữ Nhật Bản

từ năm 1950 tới năm 2000 được cho bởi bảng số liệu sau:

1950 23, 0 1980 25, 2

1955 23, 2 1985 25, 5

1960 23, 7 1990 26, 1

1965 24, 1 1995 26, 3

1970 24, 5 2005 27, 1

1975 24, 9

Sử dụng phương pháp bình phương bé nhất, xác định a, b để đường thẳng y = ax + b là xấp xỉ tốt nhất bảng giá trị trên Với kết quả tìm

được, hãy dự đoán độ tuổi kết hôn lần đầu của phụ nữ Nhật vào năm 2005

Bài tập 29 Bảng số liệu sau đây cho ta biết số dân nước Mỹ (triệu

người) trong khoảng thời gian từ năm 1900 tới năm 2000:

1950 190

Sử dụng phương pháp bình phương bé nhất, xác định a, b để đường thẳng y = ax + b là xấp xỉ tốt nhất bảng giá trị trên Với kết quả tìm

được, hãy dự đoán dân số nước Mỹ vào năm 2010

Bài tập 30 Tính gần đúng các tích phân sau bằng công thức hình

thang suy rộng (không đánh giá sai số):

Trang 7

2

∫

1

ln (x2+ 5) + x3

x ln (2x + 1) dx với n = 8

2)

1,4∫

0,4

x4− x + 1

√

x2+ 4 + 5dx với n = 10.

3)

2

∫

0,4

(

x ln (x + 2) + 1

x3+ 1

)

dx với n = 8.

4)

2,3∫

1,3

(√

x2+ 2 + x

ln (x + 1)

)

dx với n = 10.

5)

2,2∫

1,4

e √ x2 +1dx với n = 8.

6)

2

∫

1

x x2dx với n = 10.

7)

3

∫

2

3x2+ 1

x4+ 3 dx với n = 10.

Bài tập 31 Tính gần đúng các tích phân sau bằng công thức hình

thang suy rộng (có đánh giá sai số):

1)

1

∫

0

x4dx với n = 10.

2)

3

∫

2

x3

x + 1 dx với n = 8.

3)

1

∫

0

e −x2dx với n = 10.

4)

3

∫

1

e 2x

e x+ 1dx với n = 10.

5)

4

∫

1

2√ x dx với n = 10.

6)

2

∫

1

sin 2x

x dx với n = 10.

7)

3

∫

2

3x + 1

x + 3 dx với n = 10.

Bài tập 32 Tính gần đúng các tích phân trong Bài tập 30 bằng công

thức Simpson 1/3 (không đánh giá sai số)

Bài tập 33 Tính gần đúng các tích phân trong Bài tập 31 bằng công

thức Simpson 1/3 (có đánh giá sai số)

Trang 8

Bài tập 34 Error function (hàm lỗi) E (x) = √2

π x

∫

0

e −t2dt có nhiều ứng dụng trong xác suất, thống kê và kỹ thuật Bằng cách sử dụng công

thức Simpson 1/3 với số đoạn chia n = 10, các bạn hãy tính gần đúng

E (2) (không đánh giá sai số)

Bài tập 35 Hàm Fresnel S (x) =

x

∫

0

sin

(

πt2

2

)

dtxuất hiện lần đầu trong

lý thuyết về nhiễu xạ ánh sáng của nhà toán học người Pháp Augustin Fresnel (1788-1827) Gần đây, hàm Fresnel xuất hiện trong các công trình thiết kế đường quốc lộ Bằng cách sử dụng công thức Simpson 1/3

với số đoạn chia n = 10, các bạn hãy tính gần đúng S (1) (không đánh

giá sai số)

Bài tập 36 Xét tích phân I =

2

∫

1

4x2+ 1

2x + 1 dx

1) Tính tích phân I bằng công thức hình thang với n = 10 và đánh

giá sai số kết quả trên

2) Phải chia [1; 2] thành bao nhiêu đoạn bằng nhau để khi áp dụng công thức hình thang trên số đoạn đó thì sai số không quá 10−10

Bài tập 37 Xét tích phân I =

3

∫

2

x3+ x

x + 1 dx

1) Tính tích phân I bằng công thức Simson 1/3 với n = 10 và đánh

giá sai số kết quả trên

2) Phải chia [2; 3] thành bao nhiêu đoạn bằng nhau để khi áp dụng công thức Simson 1/3 trên số đoạn đó thì sai số không quá 10−10

Bài tập 38 Giải các phương trình vi phân sau bằng phương pháp Euler

cải tiến:

1)

{

y ′ = x + y

y (0) = 1 với x ∈ [0; 0, 5]; h = 0, 25; ϵ = 10 −4

2)

{

y ′ = x2+ y2

y (0) = 1 với x ∈ [0; 0, 4]; h = 0, 2; ϵ = 10 −4

3)

{

y ′ = xy y2−1+1

y (0) = 1 với x ∈ [0; 0, 2]; h = 0, 1; ϵ = 10 −4

4)

{

y ′ = xy cos(x + y)

y (0, 2) = 1 với x ∈ [0, 2; 0, 4]; h = 0, 1; ϵ = 10 −4

Trang 9

{

y ′ =√

x + y + 1

y (0, 3) = 1 với x ∈ [0, 3; 0, 5]; h = 0, 1; ϵ = 10 −4

Bài tập 39 Giải các phương trình vi phân sau bằng phương pháp

Runge-Kutta bậc 4:

1)

{

y ′ = x + y

y (0) = 1 với x ∈ [0; 0, 5]; h = 0, 25.

2)

{

y ′ = x2+ y2

y (0) = 1 với x ∈ [0; 0, 4]; h = 0, 2.

3)

{

y ′ = xy y2−1+1

y (0) = 1 với x ∈ [0; 0, 2]; h = 0, 1.

4)

{

y ′ = xy cos(x + y)

y (0, 2) = 1 với x ∈ [0, 2; 0, 4]; h = 0, 1.

5)

{

y ′ =√

x + y + 1

y (0, 3) = 1 với x ∈ [0, 3; 0, 5]; h = 0, 1.

Bài tập 40 Cho phương trình vi phân

{

y ′ = 2x + y

y (0) = 1 với x ∈ [0; 0, 3].

Tính y(0, 15) bằng công thức Euler cải tiến với h = 0, 15, cải tiến 3 bước.

{

y ′ = 2x + cos y

y (0, 2) = 1 với x ∈ [0, 2; 0, 4].

Tính y(0, 3) bằng công thức Euler cải tiến với h = 0, 1, sai số ϵ = 10 −4

{

y ′ = xy + x + y2

[0; 0, 3] Tính y(0, 15) bằng công thức Runge-Kutta với h = 0, 15.

{

y ′ = x2y + y2x + 2

[0, 2; 0, 4] Tính y(0, 3) bằng công thức Runge-Kutta với h = 0, 1.

Định dạng
Số trang	9
Dung lượng	71,91 KB