Chuong 1 dao dong co hoc

Nội dung như một cuốn sách:Tóm tắt lí thuyết Phân dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao Phương pháp giải chi tiết Bài tập tự luận ôn tập lấy từ đề thi Đại học đáp án;Kết hợp với chuyên đề trắc nghiệm Full (7chuong 19 chuyển đề 83 dạng bài tập) sẽ là một bộ tài liệu giảng dạy và học tập hay. Tôi đã dùng để luyện thi và bồi dưỡng HSG và đạt giải rất cao.

1

+ MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 3

Chuyên đề 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA 5

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 5

B MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN 11

Dạng 1 Xác định các đặc trưng trong dao động điều hòa 11

Dạng 2 Thành lập phương trình dao động dao động điều hoà 16

Dạng 3 Tổng hợp dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số Bài toán hai vật dao động 23

Dạng 4 Năng lượng trong dao động điều hoà 33

Dạng 5 Tìm thời gian ngắn nhất 37

Dạng 6 Tìm quãng đường đi được trong dao động điều hòa 42

Dạng 7 Tìm quãng đường lớn nhất, nhỏ nhât; thời gian lớn nhất, nhỏ nhất 46

Dạng 8 Xác định thời điểm vật qua vị trí bất kì 51

Dạng 9 Xác định số lần vật qua vị trí bất kì 54

Dạng 10 Xác định trạng thái dao động của vật sau (trước) thời điểm t một khoảng thời gian t 55

Chuyên đề 2 CON LẮC LÒ XO 58

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 58

B MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN 62

Dạng 1 Các đại lượng đặc trưng của con lắc lò xo 62

Dạng 2 Độ biến dạng của lò xo ở vị trí cân bằng 63

Dạng 3 Thành lập phương trình dao động của con lắc lò xo 65

Dạng 4 Lực đàn hồi, Lực hồi phục 68

Dạng 5 Hệ lò xo và vật nặng, cắt – ghép lò xo 73

Dạng 6 Các điều kiện biên độ 81

Dạng 7 Bài toán va chạm 90

Dạng 8* Con lắc lò xo có vật ép lên giá đỡ chuyển động với gia tốc a 97

Dạng 9* Dao động của hai vật xung quanh khối tâm 100

Dạng 10* Con lắc lò xo trong hệ qui chiếu phi quán tính 103

Dạng 11* Một số hệ dao động khác – Bài toán giả dao động 105

Dạng 12* Chứng minh dao động điều hòa bằng phương pháp năng lượng 108

Dạng 13* Dao động của con lắc chịu tác dụng của ngoại lực không đổi trong thời gian t 111

Chuyên đề 3 CON LẮC ĐƠN VÀ CON LẮC VẬT LÍ 114

2

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 114

B MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN 118

Dạng 1 Các đại lượng đặc trưng Cơ năng của con lắc đơn 118

Dạng 2 Vận tốc, gia tốc và sức căng của dây khi con lắc đơn dao động với biên độ góc lớn  > 10 0 123

Dạng 3 Sự thay đổi chu kì do nhiệt độ hoặc độ cao Ứng dụng khảo sát độ nhanh chậm của đồng hồ 127

Dạng 4 Con lắc đơn chịu thêm tác dụng của lực phụ không đổi 130

Dạng 5 Khảo sát dao động của con lắc vướng đinh 137

Dạng 6 Con lắc trùng phùng 140

Dạng 7 Bài toán va chạm 142

Dạng 8 Khảo sát chuyển động của vật sau khi con lắc đơn đứt dây 144

Dạng 9 Con lắc vật lí 146

CHUYÊN ĐỀ 4 DAO ĐỘNG TẮT DẦN, DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC – CỘNG HƯỞNG 149

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 149

B MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN 151

Dạng 1 Dao động tắt dần 151

Dạng 2 Dao động cưỡng bức – cộng hưởng 162

3

LỜI NÓI ĐẦU

Được học tập và nghiên cứu ở giảng đường đại học là nguyện vọng chính đáng của các

em học sinh, đặc biệt là các em học sinh lớp 12 Để làm được điều này các em phải hết sức

nỗ lực phấn đấu trong suốt quá trình ngồi trên ghế nhà trường và lớp 12 là giai đoạn nước rút trước khi về đích

Chính vì vậy, trong năm cuối cấp này các em cần tập trung tối đa thời gian và công sức của mình vào công việc học tập

Nhằm giúp các em học sinh lớp 12 có một tài liệu ôn thi vào Đại học, Cao đẳng tôi đã biên soạn cuốn Các chuyên đề luyện thi đại học với mục đích hệ thống lại các kiến thức cơ bản và nâng cao để làm hành trang cho các em bước vào cổng trường đại học Nội dung cuốn sách gồm:

- Tóm tắt lí thuyết cơ bản, có mở rộng và nâng cao

- Phân loại các dạng bài tập cơ bản thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ

và một số vấn đề nâng cao trong luyện thi học sinh giỏi

- Bài tập mẫu theo chủ đề

- Bài tập tự luyện theo dạng

- Bài tập trắc nghiệm theo dạng

- Bài tập trắc nghiệm ôn tập tổng hợp theo chương

Với mục đích hết sức đơn giản là giúp các em bước chân vào trường Đại học, hi vọng tập tài liệu này thực sự bổ ích đối với các em và là tài liệu tham khảo đối với các thầy cô giáo trong quá trình luyện thi

Trong quá trình biên soạn, chắc chắn không tránh khỏi các sơ suất và thiếu sót, mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các em

TÁC GIẢ

4

5

CHƯƠNG I: DAO ĐỘNG CƠ Chuyên đề 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I Dao động cơ, dao động điều hoà

1 Dao động cơ (Dao động) Dao động tuần hoàn

1.1 Dao động cơ

Ví dụ: Quan sát chiếc lá trên cành cây khi có gió, quan sát chuyển động của con lắc đồng

hồ, chuyển động của con lắc lò xo, chuyển động của con lắc đơn

Ta thấy, các các vật trên đều có những đặc điểm chung sau:

Thứ nhất, chúng có một vị trí cân bằng (vị trí mà hợp lực theo phương tiếp tuyến bằng 0) Thứ hai, các chuyển động trên đều lặp đi lặp lại xung quanh vị trí cân bằng trong một không gian hẹp

Khi đó, ta nói rằng các vật trên (chiếc lá, con lắc đồng hồ, con lắc lò xo, con lắc đơn…) thực hiện dao động cơ học (dao động)

Định nghĩa: Dao động là chuyển động lặp đi lặp lại trong một không gian hẹp, xung quanh một vị trí cân bằng

1.2 Dao động tuần hoàn

Quan sát chuyển động của con lắc đơn như hình vẽ: Nếu thả

vật từ vị trí A thì vật sẽ chuyển động sang trái qua M, O rồi đến

B thì dừng lại, sau đó vật lại về phía phải qua O, M rồi lại về A

Chuyển động được lặp lại như thế liên tiếp và mãi mãi Chuyển

động như vậy gọi là dao động tuần hoàn

Giai đoạn chuyển động AOBOA được lặp lại như trước Ta

gọi đó là một dao động toàn phần hay một chu trình

Thời gian thực hiện một dao động toàn phần gọi là chu kì (Kí

hiệu là T) của dao động tuần hoàn Đơn vị của T là giây (s)

Tần số dao động f, là số dao động toàn phần thực hiện trong một giây: 𝑓 = Đơn vị của

f là Héc (Hz)

Định nghĩa: Dao động tuần hoàn là dao động mà sau mỗi khoảng thời gian bằng nhau, gọi là chu kì, vật trở lại vị trí cũ và đi theo hướng cũ (trạng thái dao động lặp lại như cũ) Dao động tuần hoàn đơn giản nhất là dao động điều hoà

6

1.3 Dao động điều hòa

Dao động điều hòa là dao động cơ có li độ phụ thuộc và thời gian theo định luật dạng sin hoặc cos

2 Phương trình của dao động điều hòa

Giả sử có một điểm M chuyển động tròn đều theo chiều

dương (ngược chiều kim đồng hồ) trên đường tròn tâm O,

bán kính R với tốc độ góc ω (hình vẽ)

Gọi P là hình chiếu của điểm M lên trục Ox trùng với

một đường kính của đường tròn và có gốc trùng với tâm

O của đường tròn

Ta thấy, khi điểm M chuyển động tròn đều trên đường

tròn thì hình chiếu của nó (tức là điểm P) dao động trên trục Ox xung quanh gốc tọa độ O, đóng vai trò là vị trí cân bằng

Vị trí của P so với vị trí cân bằng O gọi là li độ của điểm P

Tại thời điểm ban đầu (t = 0), điểm M ở vị trí M0, được xác định bởi góc POM1 0 (rad) Sau t (s) nó chuyển động đến vị trí M được xác định bởi góc POM1  t (rad)

Khi đó tọa độ của điểm P được xác định bởi OP x

Phương trình x A cos t  được gọi là phương trình dao động của điểm P

Nếu một vật nhỏ chịu tác dụng của các lực và chuyển động giống hệt điểm P Khi ấy, ta nói vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng O

Dạng khác của phương trình dao động điều hoà

Bằng các phép biến đổi toán học, ta có các phương trình dạng khác của dao động điều hoà như sau :

𝑥 = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑)

7

𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) + 𝐵𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑)

𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑 ) + 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑 )

𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) + 𝑎

3 Các đại lượng đặc trưng của dao động điều hoà

Xét phương trình dao động điều hoà có dạng 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑)

|𝑥 | = 𝐴: Vị trí biên 𝑥 = +𝐴 ∶ 𝐿𝑖 độ 𝑐ự𝑐 đạ𝑖 𝑑ươ𝑛𝑔 (𝐵𝑖ê𝑛 𝑑ươ𝑛𝑔)

𝑥 = −𝐴 ∶ 𝐿𝑖 độ 𝑐ự𝑐 đạ𝑖 â𝑚 (𝐵𝑖ê𝑛 â𝑚)

𝐴 là biên độ, đó là li độ cực đại của li độ x ứng với lúc 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) = ±1 Biên độ luôn luôn dương

Chiều dài quĩ đạo: L = MN = 2A

(𝑡 + ) là pha của dao động tại thời điểm t Pha của dao động có thể dương, âm hoặc bằng 0 Nó cho phép ta xác định trạng thái dao động tại thời điểm t nào đó

 là pha ban đầu của dao động, tức là pha (𝑡 + ) vào thời điểm t = 0

𝜔 là tần số góc của dao động (rad/s), là hằng số dương Đặc trưng cho sự biến thiên nhanh hay chậm của các trạng thái dao động điều hoà Biết ta có thể tính được chu kì T và tần

5 Vận tốc và gia tốc trong dao động điều hoà

Xét phương trình dao động điều hoà có dạng 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑)

5.1 Vận tốc

Vận tốc bằng đạo hàm của li độ theo thời gian:

𝑣 = 𝑥 = −𝜔𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) = 𝜔𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑 +𝜋

2) Như vậy, vận tốc cũng là một hàm điều hoà theo thời gian và có cùng chu kì với li độ Chú ý:

Tại biên 𝑥 = ±𝐴 thì vận tốc có giá trị cực tiểu: 𝑣 = 0

Ax

x

8

Tại vị trí cân bằng 𝑥 = 0 thì vận tốc có giá trị cực đại: |𝑣 | = 𝜔𝐴 (𝑣 = 𝜔𝐴 khi vật qua O theo chiều dương; 𝑣 = −𝜔𝐴 khi vật qua O theo chiều âm của trục toạ độ)

Nếu xét về pha, pha của vận tốc v lớn hơn pha của li độ x một lượng Ta nói rằng v và

x vuông pha hay v sớm pha hơn x một lượng

5.2 Gia tốc

Gia tốc a bằng đạo hàm của vận tốc theo thời gian:

𝑎 = 𝑣 = 𝑥 = −𝜔 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) = 𝜔 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑 + 𝜋)

= −𝜔 𝑥 Như vậy, gia tốc cũng là một hàm điều hoà theo thời gian và có cùng chu kì với li độ và vận tốc

Chú ý:

Tại biên 𝑥 = ±𝐴 thì gia tốc có giá trị cực đại:|𝑎 | = 𝜔 𝐴

Tại vị trí cân bằng 𝑥 = 0 thì gia tốc có giá trị cực tiểu: 𝑣 = 0

Từ phương trình 𝑎 = −𝜔 𝑥 cho thấy gia tốc a và li độ x luôn trái dấu và gia tốc 𝑎⃗ luôn hướng về vị trí cân bằng

Nếu xét về pha, pha của gia tốc a khác pha của li độ x một lượng 𝜋 Ta nói rằng a và x ngược pha

Dễ dàng nhận ra gia tốc a và vận tốc v vuông pha

Hệ thức độc lập thời gian: + = 1

9

6 Các loại đồ thị

Đồ thị của li độ theo vận tốc: + = 1: Đường Elip

Đồ thị của li độ theo gia tốc: 𝑎 = −𝜔 𝑥: Đoạn thẳng

Đồ thị của vận tốc theo gia tốc: + = 1: Đường Elip

Đồ thị theo thời gian:

𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑)

𝑣 = 𝜔𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜑 +

𝑎 = 𝜔 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑)

đều có dạng hình sin

7 Liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều

Từ phần phương trình của dao động điều hòa ta thấy, giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều có mối liên hệ với nhau, điểm P dao động điều hòa trên một đoạn thẳng luôn luôn có thể được coi là hình chiếu của một điểm M chuyển động tròn đều lên đường kính là đoạn thẳng đó

Từ mối liên hệ đó ta thấy, thời gian để chất điểm dao động điều

hoà đi từ P đến Q bằng thời gian vật chuyển động tròn đều trên cung

P0Q0

Ta có:

.2

𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) bằng một vectơ 𝑂𝑀⃗ có độ dài là A (biên độ) quay

đều quanh điểm O trong mặt phẳng chứa trục Ox với tốc độ góc ω Ở

thời điểm ban đầu t = 0, góc giữa trục Ox và 𝑂𝑀⃗ là φ (pha ban đầu)

10

𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) ⇒ 𝑂𝑀⃗

𝐺ố𝑐 𝑡ạ𝑖 𝑂 𝑂𝑀⃗ ~ 𝐴 (𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑡ỉ 𝑙ệ 𝑡ℎí𝑐ℎ ℎợ𝑝)𝑂𝑀⃗, 𝑂𝑥 = 𝜑

Ở thời điểm t, góc giữa trục Ox và 𝑂𝑀⃗ sẽ là 𝜔𝑡 + 𝜑, góc đó chính là pha của dao động Ứng dụng: Phương pháp vectơ quay

II Năng lượng trong dao động điều hòa

Trong các con lắc mà ta đã xét thì vật nặng chịu tác dụng của lực đàn hồi hoặc trọng lực Các lực này là lực thế Ở chương trình vật lí 10, ta đã biết rằng cơ năng (động năng + thế năng) của một vật được bảo toàn

Như vậy, cơ năng của một vật dao động được bảo toàn

Xét một chất điểm có khối lượng m dao động điều hòa theo phương trình:

III Tổng hợp dao động điều hòa

Một vật tham gia vào hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số cho bởi hai phương trình sau:

𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑 ) 𝑐𝑚

𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑 ) 𝑐𝑚 Tìm dao động tổng hợp của hai dao động trên

Dao động tổng hợp của hai dao động trên có dạng: 𝑥 = 𝑥 + 𝑥

 Trường hợp 1: 𝐴 = 𝐴 Ta dùng phương pháp lượng giác

𝑥 = 𝑥 + 𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑 ) + 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑 )

11

Hay 𝑥 = 2𝐴 cos cos (ωt + )

Với Δφ = φ − φ (hay Δφ = φ − φ ) là độ lệch pha giữa x1 và x2

Đặt 𝐴 = 2𝐴 𝑐𝑜𝑠 là biên độ của dao động tổng hợp

Nếu Δ𝜑 = 𝑘2𝜋 (𝐻𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑜 độ𝑛𝑔 𝑐ù𝑛𝑔 𝑝ℎ𝑎): thì 𝐴 = 2𝐴

Nếu Δ𝜑 = (2𝑘 + 1)𝜋 (𝐻𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑜 độ𝑛𝑔 𝑛𝑔ượ𝑐 𝑝ℎ𝑎): thì 𝐴 = 0

 Trường hợp 2: 𝐴 ≠ 𝐴 Ta dùng phương pháp giản đồ vectơ

𝑥 = 𝑥 + 𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑 ) + 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑 ) Phương trình dao động tổng hợp có dạng: 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) 𝑐𝑚

Biểu diễn các phương trình dao động bằng vectơ quay:

Với chú ý là biên độ A và tần số góc ω luôn dương, nếu bài toán có dấu “ – “ phía trước

ta phải biến đổi lại phương trình để làm cho A và ω là những số dương

Về độ lớn:

Tại vị trí biên: v  0

Tại vị trí cân bằng: vmax A

Về giá trị: vCĐA : Khi vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương

CT

v  A: Khi vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm

Về pha: vận tốc v sớm pha hơn li độ x một lượng

2

 (v và x vuông pha):

2 2 2

1

2 3

(2) Cho thấy ứng với 1 giá trị của x luôn có 2 giá trị của vận tốc v Hay qua mỗi điểm

có li độ x bất kì, trong một chu kì, vật đi qua đó 2 lần, một lần theo chiều dương (ứng với

𝑣 > 0) và một lần theo chiều âm (ứng với 𝑣 < 0)

(3) Cần chú ý, hai đại lượng 𝑥 và 𝑣 phải cùng một thời điểm, A luôn dương

3 Gia tốc

𝑎 = 𝑣 = 𝑥 = −𝜔 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) = 𝜔 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑 + 𝜋)

Từ những hệ quả trên đây, ta cũng có một số nhận xét như trên

Chú ý: Với hai thời điểm t1, t2 vật có các cặp giá trị x1, v1 và x2, v2 thì ta có hệ thức tính

14

A & T như sau:

2 2

2 2

2 1

x A

v

A

2 2 2

2 2

2 1

x x

→

2 1

2 2

2 1

2 2

2 2

2 1

2 1 2 1

2 1

2 2

2 2

2 1 2

2

2 1

2 1

2

v v

v x v x v

x A

v v

x x T

x x

v v

1 𝑥 = 5𝑐𝑜𝑠𝜋𝑡 + 1 (𝑐𝑚);

2 𝑥 = 2𝑠𝑖𝑛 2𝜋𝑡 + (𝑐𝑚);

3 𝑥 = 3𝑠𝑖𝑛4𝜋𝑡 + 3𝑐𝑜𝑠4𝜋𝑡 (𝑐𝑚)

5 cos 2𝜋𝑡 + (𝑐𝑚) Lấy 𝜋 = 10 Xác định li độ, vận tốc, gia tốc, lực hồi phục trong các trường hợp sau :

Đáp số: f = 2 Hz x = 4 cm v = 0 Bài 5 Một vật dao động điều hoà theo phương trình: 𝑥 = 4 cos 10𝜋𝑡 + (𝑐𝑚)

1 Tìm chiều dài của quỹ đạo, chu kỳ, tần số

2 Vào thời điểm t = 0, vật đang ở đâu và đang đi theo chiều nào? Vận tốc bằng bao nhiêu?

Đáp số: 1 s = 8 cm T = 0,2 s f = 5 Hz

2 𝑥 = 2√2 𝑐𝑚 𝑣 = −20√2𝜋 𝑐𝑚/𝑠 Bài 6 Một dao động điều hòa có phương trình 𝑥 = −4 cos 5𝜋𝑡 − 𝑐𝑚 Hãy xác định:

1 Biên độ dao động

2 Tần số f và chu kì T

1 Biểu thức vận tốc và gia tốc của vật theo thời gian?

2 Giá trị cực đại và cực tiểu của vận tốc và độ lớn của vận tốc (tốc độ)?

3 Giá trị cực đại và cực tiểu của gia tốc và độ lớn của gia tốc?

4 Vận tốc v tại thời điểm t = 1 s và vận tốc khi vật có li độ x = 4 cm?

2.1 Gốc toạ độ O trùng vị trí cân bằng của vật – phương trình li độ

Thành lập phương trình dao động từ những điều kiện đã biết

Chọn hệ qui chiếu: Gốc O trùng với vị trí cân bằng, mốc thời gian t = 0 nên chọn lúc vật bắt đầu dao động

Viết phương trình dạng tổng quát: 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑)

𝑣 = −𝜔𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) Tính , và A

Tìm :  = 2𝑓 =  =| |= =

Nếu trong khoảng thời gian t vật thực hiện được n dao động thì chu kì dao động là:

17

𝑇 = 𝑡𝑛Tìm A : 𝐴 = 𝑥 + ( ) = | |=| |= ề à ĩ đạ =

Tìm φ dựa vào điều kiện đầu: lúc t = t0 (thường t0 = 0): 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑)

𝑣 = −𝜔𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑)Lưu ý: v0 chỉ cần xác định dấu:

- Vật chuyển động theo chiều dương thì v > 0

- Vật chuyển động ngược chiều dương v < 0

- Vật đổi chiểu tại biên (tại biên): v0 = 0

Ngoài ra trong các bài toán ta còn gặp các từ như “li độ đang tăng” (bản chất là đạo hàm của nó dương, tức là x’ = v > 0) hay “li độ đang giảm” (bản chất là đạo hàm của nó

âm, tức là x’ = v < 0) Tuy nhiên cần xác định rõ ràng là ban đầu li độ x > 0 hay x < 0 Trước khi tính  cần xác định rõ  thuộc góc phần tư thứ mấy của đường tròn lượng giác Trong các bài tập trắc nghiệm ta nên dựa vào vòng tròn để tìm pha ban đầu φ được nhanh nhất

Chẳng hạn, tại t = 0 vật qua vị trí có li độ 𝑥 = theo

chiều dương, ta dùng đường tròn và dễ dàng tìm được khi đó

pha ban đầu 𝜑 = −

Hoặc tại t = 0 vật qua vị trí có li độ 𝑥 = − √ theo chiều

âm, ta cũng dễ dàng tìm được 𝜑 =

Ta nhớ qui tắc sau:

Nếu tại t = 0 vật qua vị trí nào đó theo chiều dương thì φ luôn âm (v dương, φ âm) Nếu tại t = 0 vật qua vị trí nào đó theo chiều âm thì φ luôn dương (v âm, φ dương Phương pháp viết phương trình bằng máy tính cầm tay Fx-570 ES Plus

Áp dụng khi biết trạng thái ban đầu của vật (biết x0 và v0)

Một dao động điều hòa có phương trình dạng x Acos  t  có thể được biểu diễn bằng một số phức:

18

0 0

Bước 1 Chuyển máy tính sang dạng phức: Bấm Mode_2 màn hình hiện: CMPLX

Bước 2 Chọn chế độ nhập góc: Bấm Shift_Mode_3 màn hình hiện: D

Hoặc Shift_Mode_4 màn hình hiện: R Bước 3 Nhập: 0

- Quan sát đồ thị để xác định biên độ A, chu kì T của dao động

- Dựa vào đồ thị, xác định thời điểm ban đầu, giải hệ phương trình 𝑥 = 𝑥𝑣 = 𝑣 để tìm φ 2.2 Gốc toạ độ O cách vị trí cân bằng của vật một đoạn a (Phương trình dao động dạng đặc biệt) – phương trình tọa độ

Nếu bài toán yêu cầu lập phương trình dao động mà gốc toạ độ O cách vị trí cân bằng một đoạn a thì ta sử dụng phương pháp đổi trục toạ độ

Trước hết ta viết phương trình dao động với gốc O1 trùng vị trí cân bằng, phương trình có dạng 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) (phương trình li độ)

Sau đó, ta xét điểm P bất kì trên quĩ đạo, ta luôn

có 𝑂𝑃 = 𝑂𝑂 + 𝑂 𝑃

Với chú ý

𝑂𝑃 = 𝑥 là toạ độ của điểm P so với gốc O

𝑂𝑂 = 𝑎 là toạ độ của vị trí cân bằng O1 đối với gốc O

𝑂 𝑃 = 𝑥 là li độ của vật so với vị trí cân bằng O1

Như vậy, ta được phương trình dao động dạng đặc biệt như sau:

𝑥 = 𝑥 + 𝑎

Qui tắc: Tọa độ = li độ + tọa độ của vị trí cân bằng

Như vậy, dao động điều hòa có gốc tọa độ O không phải là vị trí cân bằng của vật, khi thành lập phương trình dao động thì phương trình có dạng 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑡 + ) + 𝑎 với

𝑎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

Trong phương trình dao động đó thì biên độ là A, tần số góc là , pha ban đầu 

x là toạ độ, 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑡 + ) là li độ

Vì −1 ≤ cos(𝜔𝑡 + 𝜑) ≤ 1 nên 𝑎 − 𝐴 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 + 𝐴

19

Suy ra : - Tọa độ các biên N và M của dao động là 𝑥 = 𝑎 − 𝐴 và 𝑥 = 𝑎 + 𝐴 ;

- Tọa độ của VTCB là : 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = 𝑎 Vận tốc 𝑣 = 𝑥′ = 𝑥 , gia tốc 𝑎 = 𝑣′ = 𝑥′′ = 𝑥

Hệ thức độc lập: 𝑎 = − 𝜔 𝑥

Nếu phương trình có dạng 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 (𝑡 + ) hoặc 𝑥 = 𝐴𝑠𝑖𝑛 (𝑡 + )….ta dùng phương pháp hạ bậc thì cũng thu được phương trình dao động dạng đặc biệt như trên Khi đó, biên độ dao động là A/2; tần số góc 2

BÀI TẬP

Bài 1 Một vật dao động điều hoà với tần số 4 Hz và biên độ 5 cm Lập phương trình dao động nếu:

1 Tại thời điểm gốc thời gian vật có li độ 2,5 cm và li độ đang giảm

2 Tại thời điểm gốc thời gian vật có li độ - 2,5 cm và li độ đang tăng

 Biết rằng tại thời điểm ban đầu 𝑡 = 0 vật có li độ 𝑥 = 1 𝑐𝑚 và tại thời điểm 𝑡 =

𝑠 vật có li độ 𝑥 = √3 𝑐𝑚

Đáp số: 𝑥 = 2 cos 4𝜋𝑡 − 𝑐𝑚

Bài 4 Một vật dao động điều hòa với tần số f = 2 Hz và biên độ A = 20 cm Lập phương trình dao động của vật trong mỗi trường hợp sau:

1 Chọn gốc thời gian lúc vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương

2 Chọn gốc thời gian lúc vật có li độ + 10 cm ngược chiều dương

3 Chọn gốc thời gian lúc vật ở vị trí biên dương

20

Đáp số: 1 𝑥 = 20 cos 4𝜋𝑡 − 𝑐𝑚

2 𝑥 = 20 cos 4𝜋𝑡 + 𝑐𝑚

3 𝑥 = 20 cos(4𝜋𝑡) 𝑐𝑚

Bài 5 Một vật chuyển động được mô tả bởi phương trình : 𝑥 = 5𝑐𝑜𝑠𝑡 + 1 (cm)

1 Chứng tỏ vật dao động điều hoà

2 Tìm vị trí cân bằng, biên độ, pha ban đầu và chu kỳ của dao động

3 Biểu thức vận tốc, gia tốc của vật? Xác định giá trị cực đại, cực tiểu của vận tốc và gia tốc?

4 Vẽ đồ thị tọa độ - thời gian của dao động?

𝑣 = −5𝜋𝑠𝑖𝑛𝜋𝑡 𝑐𝑚/𝑠 |𝑣 | = 5𝜋 𝑐𝑚/𝑠 𝑣 = 0

𝑎 = −5𝜋 𝑐𝑜𝑠𝜋𝑡 𝑐𝑚/𝑠 |𝑎 | = 5𝜋 𝑐𝑚/𝑠 𝑎 = 0 Bài 6 Một vật dao động điều hoà với biên độ 4 cm, tần số 20 Hz Chọn gốc thời gian là lúc vật có li độ 2√3 cm và chuyển động ngược chiều với chiều dương đã chọn Viết phương trình dao động của vật nếu chọn gốc tọa độ O cách vị trí cân bằng 1cm theo chiều dương

Đáp số: 𝑥 = 4𝑐𝑜𝑠 40𝑡 + − 1 (𝑐𝑚) Bài 7 Một chất điểm dao động điều hoà trên một đoạn thẳng Chọn trục Ox có phương trùng với đoạn thẳng đó Toạ độ x của chất điểm nhỏ nhất bằng 15 cm và lớn nhất bằng 25

cm Thời gian ngắn nhất để chất điểm đi từ vị trí cân bằng đến qua vị trí có toạ độ nhỏ nhất

là 0,125 s Tại thời điểm ban đầu chất điểm ở vị trí cân bằng và chuyển động theo chiều âm của trục toạ độ Viết phương trình dao động điều hòa của chất điểm?

Đáp số: 𝑥 = 5 cos 4𝜋𝑡 + + 20 𝑐𝑚 Bài 8 Một vật dao động theo phương trình 𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠(5𝑡 + ) + 1 (𝑐𝑚)

Trong giây đầu tiên kể từ lúc vật bắt đầu dao động vật đi qua vị trí có li độ x = 2 cm theo chiều dương được mấy lần?

Đáp số: 5 lần (3 lần theo chiều âm, 2 lần theo chiều dương)

Đáp số: 𝑥 = 2,4 cos 5𝜋

6 −

𝜋

6 𝑚 Bài 12 Một vật dao động điều hòa có quĩ đạo là một đoạn thẳng dài 10 cm Thời gian để vật đi từ đầu đến cuối quĩ đạo là 2 s Chọn gốc thời gian là lúc vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm của trục Ox

1 Viết phương trình dao động? Vẽ đồ thị (𝑥, 𝑡)?

2 Xác định li độ của vật tại thời điểm t1 = 2,5 s và quãng đường s1 vật đi được tính từ thời điểm ban đầu đến lúc đó?

Bài 13 Một vật dao động với biên độ A = 5 cm, chu kỳ T = 0,5 s Viết phương trình dao động của vật trong các trường hợp sau:

1 t = 0, vật qua VTCB theo chiều dương

2 t = 0, vật cách VTCB 5 cm, theo chiều dương

3 t = 0, vật cách VTCB 2,5 cm, đang chuyển động theo chiều dương

4 cm thì vận tốc cuả vật bằng 6π cm/s Viết phương trình dao động của vật

Đáp số: 𝑥 = 5𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑡 − 𝑐𝑚 Bài 15 Một vật dao động điều hòa, gia tốc của vật có phương trình 𝑎 =

5 cos 10𝑡 − 𝑚/𝑠 Tìm phương trình dao động của vật?

Đáp số: 𝑥 = 5𝑐𝑜𝑠 10𝑡 − 𝑐𝑚

Là một dao động điều hòa có dạng: 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) (𝑐𝑚)

Phương pháp 1 Phương pháp lượng giác

Phương pháp số phức tỏ ra rất hiệu quả khi ta tìm phương trình dao động tổng hợp của

2 hay nhiều dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số Hoặc giải bài toán ngược khi biết

2 Chọn chế độ nhập góc pha

SHIFT _ MODE _ 3

Hoặc SHIFT _ MODE _ 4

D

R

3 Nhập 𝐴 ∠𝜑 + 𝐴 ∠𝜑 AA1_SHIFT_(-)_φ1 +

2_SHIFT_(-)_φ2 = 𝒂 + 𝒃𝒊

24

Nếu bài toán cho x và x1, tìm x2 ta sử dụng phương trình: x2 = x – x1

Số phức sẽ là: 𝐴∠𝜑 − 𝐴 ∠𝜑 = 𝐴 ∠𝜑

Thao tác máy như trên, thay dấu “ + “ bởi dấu “ – “

Phương pháp 3 Phương pháp dùng giản đồ vectơ

Phương pháp dùng giản đồ tỏ ra rất hiệu quả đối với các bài toán liên quan đến các cực trị (min hay max)

𝑥 = 𝑥 + 𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑 ) + 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑 ) Phương trình dao động tổng hợp có dạng: 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) (𝑐𝑚)

Biểu diễn các phương trình dao động bằng vectơ quay:

Nếu một vật tham gia đồng thời nhiều dao động điều hoà cùng phương cùng tần số 𝑥 =

𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝑡 + 𝜑 ); 𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝑡 + 𝜑 ) … thì dao động tổng hợp cũng là dao động điều hoà cùng phương cùng tần số 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑡 +)

Chiếu lên trục Ox và trục Oy  Ox

Ta được: 𝐴 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜑 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝐴 𝑐𝑜𝑠𝜑 + ⋯

𝐴 = 𝐴𝑠𝑖𝑛𝜑 = 𝐴 𝑠𝑖𝑛𝜑 + 𝐴 𝑠𝑖𝑛𝜑 + ⋯ Khi đó ta được:

𝐴 = 𝐴 + 𝐴

25

𝑡𝑎𝑛 𝜑 = 𝑣ớ𝑖 𝜑𝜖[𝜑 , 𝜑 ]Một số trường hợp khác:

1 Ba con lắc lò xo 1, 2, 3 đặt thẳng đứng cách đều nhau, biết phương trình dao động của con lắc 1 và 2, tìm phương trình dao động của con lắc thứ 3 để trong quá trình dao động cả

ba vật luôn thẳng hàng Điều kiện: 2 1 3 3 2 2 1

x

Nhập máy: 2(A2  2) – A1  1 SHIFT 2 3 = hiển thị A3  3

2 Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa có phương trình là x1, x2, x3 Biết phương trình của x12, x23, x13 Tìm phương trình của x1, x2, x3 và x

22

2

23 13 12 3 2 3 1 2 1 1 1

1

xxx)xx(xxxxxx

* Tương tự: 12 223 13

2

xxx

2

12 23 13 3

xxx

2

13 23

1 1 2

Nếu cho A2, thay đổi A1 để Amin: Amin = A2|sin(φ2-φ1)| = A1|tan(φ2-φ1)|

Các dạng toán khác ta vẽ giản đồ vectơ kết hợp định lý hàm số sin hoặc hàm số cosin

2 Bài toán 2 vật dao động điều hoà

Bài toán: Hai vật dao động điều hoà trên hai đường thẳng SONG SONG (mở rộng cho

2 đường thẳng không song song), CẠNH NHAU (mở rộng cho 2 đường thẳng cách nhau khoảng d), có gốc O TRÙNG NHAU (mở rộng cho gốc tọa độ không trùng nhau) với phương trình dao động lần lượt là:

Khảo sát dao động của hai vật trong quá trình chuyển động

Trường hợp 1: Hai vật dao động cùng tần số góc:  1  2 

a Khi biết rõ phương trình dao động của hai vật (Biết rõ A, φ): Dùng phương pháp số phức

- Khoảng cách hai vật:

1 2 Caculator 1

Các câu hỏi liên quan:

- Khoảng cách cực đại giữa hai vật:

- Xác định thời điểm hai vật cách xa nhau nhất:

26

- Khoảng cách hai vật tại t:

- Bài toán gặp nhau:

Câu hỏi liên quan:

- Thời điểm hai vật gặp nhau:

- Số lần găp nhau từ t1 đến t2:

b Khi không biết rõ phương trình

Trường hợp 2: Hai vật dao động khác tần số góc:  1 2

a Cùng biên độ

b Khác biên độ

Để giải bài toán này ta có thể sử dụng phương pháp số phức nếu biết rõ phương trình của hai dao động hoặc sử dụng phương pháp giản đồ vectơ khi không biết phương trình của 2 vật

Giả sử có 2 chất điểm dao động điều hoà trên 2 đường thẳng song song Có gốc toạ độ trùng nhau, phương trình lần lượt là:

𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔 𝑡 + 𝜑 ) 𝑐𝑚

𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔 𝑡 + 𝜑 ) 𝑐𝑚 Các câu hỏi dạng này như:

Bài toán gặp nhau: Thời gian ngắn nhất? Tỉ số độ lớn vận tốc? Số lần gặp nhau từ thời điểm t1 đến t2?

Phương pháp giải: Giải phương trình lượng giác 𝑥 = 𝑥 Từ đó tìm được thời gian t theo

số nguyên k

Bài toán khoảng cách: Tìm khoảng cách lớn nhất? Nhỏ nhất? Hiệu vận tốc?

Phương pháp giải: Khoảng cách 2 vật là Δ𝑥 = 𝑥 − 𝑥 đến đây ta có thể dùng phương pháp số phức nêu trên hoặc phương pháp giản đồ vecto tuỳ theo từng loại

Trường hợp 2 vật dao động điều hòa cùng phương, cùng tấn sô, chưa biết phương trình dao động Khi đó, ta giả sử phương trình dao động của chúng có dạng:

𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑 ) 𝑐𝑚

𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑 ) 𝑐𝑚

Ta dùng phương pháp vectơ quay, biểu diễn 2 dao động trên cùng một giản đồ

Khi đó, khoảng cách 2 vật theo phương Ox là Δ𝑥 = 𝑥 − 𝑥 , tương ứng trên giản đổ vectơ thì Δ𝑥 chính là hình chiếu của 𝑀 𝑀⃗ xuống trục Ox

27

Nhìn trên giản đồ, ta thấy, vì hai dao động cùng tần số

nên hai vectơ 𝑂𝑀⃗ và 𝑂𝑀⃗ quay xung quanh O với cùng

tốc độ góc, hay ΔOM1M2 không bị biến dạng

Khoảng cách lớn nhất: Khoảng cách giữa 2 vật đạt

cực đại (Δxmax) khi 𝑀 𝑀⃗ song song với Ox Khoảng

thời gian ngắn nhất giữa 2 lần Δxmax là

Bài toán hai vật dao động thường đề cập đến một trong hai trường hợp sau:

Thứ nhất, hai vật dao động cùng tần số góc: Để giải loại bài tập này ta thường dùng phương pháp số phức hoặc phương pháp giản đồ vecto

Thứ hai, hai vật dao động khác tần số: Ta dùng phương pháp lượng giác

Cụ thể như sau:

Bài toán 1: Bài toán hai vật gặp nhau

- Trường hợp 1: Sự gặp nhau của hai vật dao động cùng biên độ, khác tần số Tình huống: Hai vật dao động điều hoà với cùng biên độ A, có vị trí cân bằng trùng nhau, nhưng với tần số f1 ≠ f2 (giả sử f2 > f1) Tại t = 0, chất điểm thứ nhất có li độ x1 và chuyển động theo chiều dương, chất điểm thứ hai có li độ x2 chuyển động

ngược chiều dương Hỏi sau bao lâu thì chúng gặp nhau lần đầu

tiên? Có thể xảy ra hai khả năng sau:

+ Khi gặp nhau hai chất điểm chuyển động cùng chiều nhau

Tại t = 0, trạng thái chuyển động của các chất điểm sẽ

tương ứng với các bán kính của đường tròn như hình vẽ Góc

tạo bởi hai bán kính khi đó là ε

Trong đó: a, b là các góc quét của các bán kính từ t = 0

cho đến thời điểm đầu tiên các vật tương ứng của chúng đi

qua vị trí cân bằng

Đặc biệt: nếu lúc đầu hai vật cùng xuất phát từ vị trí x0 theo

cùng chiều chuyển động Do ω2 > ω1 nên vật 2 đi nhanh hơn vật

1, chúng gặp nhau tại x1, suy ra thời điểm hai vật gặp nhau:

+ Với φ < 0 (Hình 1):

1+ω2

- Trường hợp 2: Sự gặp nhau của hai vật dao động cùng tần số, khác biên độ Tình huống: Có hai vật dao động điều hòa

trên hai đường thẳng song song, sát nhau, với cùng

một chu kì Vị trí cân bằng của chúng sát nhau Biên

độ dao động tương ứng của chúng là A1 và A2 (giả

sử A1 > A2) Tại thời điểm t = 0, chất điểm thứ nhất có li độ x1 chuyển động theo chiều dương, chất điểm thứ hai có li độ x2 chuyển động theo chiều dương

1 Hỏi sau bao lâu thì hai chất điểm gặp nhau? Chúng gặp nhau tại li độ nào?

2 Với điều kiện nào thì khi gặp nhau, hai vật chuyển động cùng chiều? ngược chiều? Tại biên?

Có thể xảy ra các khả năng sau (với Δφ = MON , C là độ dài của cạnh MN):

Hình

vẽ

2 1 2 2 1

A x h C

A x h

2 2 2 2

A h x

A h x

Bài toán 2: Hai vật dao động cùng tần số, vuông pha nhau (Δφ = (2k + 1)π

2)

- Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc giữa chúng có dạng elip nên ta có: 1

2 1

1

2 2

2 2

1

A

A v

; x A

2 1

2 2

2

2

x     (lấy dấu + khi k lẻ và dấu – khi k chẵn)

3 Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của tần số góc 𝛚

Bài toán tổng quát: Hai vật dao động điều hòa cùng tần số góc ω (rad/s), biên độ dao động

là A1 và A2 thỏa mãn A1 +A2 = A12 (A12 là hằng số) Tại một thời điểm t (s) , vật 1 có li

độ x1 và vận tốc v1, vật 2 có li độ x2 và vận tốc v2 thỏa mãn x1v2 +x2v1 = k (hằng số) (hoặc dạng x1x2 = k.t (t là thời gian)) Tìm giá trị nhỏ nhất của ω?

𝑥 = 4 cos 𝜔𝑡 + (𝑐𝑚) và x2 được 𝑥 = 4√3 cos 𝜔𝑡 + (𝑐𝑚)

Tìm phương trình của x2 ?

Đáp số: √3 𝑣à − Bài 4 (ĐH Cần Thơ - 2001) Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số: 𝑥 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝑐𝑚 và 𝑥 = 3 cos 𝜔𝑡 + 𝑐𝑚 với ω = 20 rad/s Biết rằng vận tốc cực đại của vật bằng 140 𝑐𝑚/𝑠 Hãy xác định biên độ 𝐴 ?

Đáp số: 𝐴 = 8 𝑐𝑚 Bài 5 (ĐH Ngoại thương TP.HCM - 2001) Cho bốn dao động cùng phương cùng tần số:

Tìm dao động tổng hợp?

Đáp số: 𝑥 = 6√6 cos 20𝜋𝑡 + 𝑐𝑚 Bài 6 (ĐH Xây dựng Hà Nội - 2000) Cho ba dao động điều hòa cùng phương, cùng tần

số góc ω = 100π (rad/s) với các biên độ 𝐴 = 1,5𝑐𝑚; 𝐴 =√ 𝑐𝑚; 𝐴 = √3𝑐𝑚 và các pha ban đầu tương ứng 𝜑 = 0; 𝜑 = ; 𝜑 = Viết phương trình dao động tổng hợp của ba dao động trên

Đáp số: 𝑥 = √3 cos 100𝜋𝑡 + 𝑐𝑚 Bài 7 Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số 𝑥 =

𝐴 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝑐𝑚 và 𝑥 = 𝐴 cos (𝜔𝑡 − ) 𝑐𝑚 được 𝑥 = 6cos (𝜔𝑡 +) 𝑐𝑚 Tìm giá trị cực đại của biên độ A1 và A2

Đáp số: A1max = 12 cm khi 𝜑 = − ; 𝐴 = 6√3 𝑐𝑚

A2max = 12 cm khi 𝜑 = − ; 𝐴 = 6√3 𝑐𝑚

31

Bài 8 Hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình 𝑥 =

𝐴 cos 𝜔𝑡 − 𝑐𝑚 và 𝑥 = 𝐴 cos(𝜔𝑡 − 𝜋) 𝑐𝑚 Dao động tổng hợp có phương trình 𝑥 =9𝑐𝑜𝑠(𝑡 +) 𝑐𝑚 Tìm A1 để biên độ A2 có giá trị cực đại

Đáp số: 9√3 𝑐𝑚 Bài 9 (Học viện KTQS - 2000) Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, có phương trình lần lượt là 𝑥 = 2 sin 100𝜋𝑡 − 𝑐𝑚 và 𝑥 =cos(100𝜋𝑡 + ) 𝑐𝑚 Tìm phương trình dao động tổng hợp?

Đáp số: 𝑥 = 1 cos 100𝜋𝑡 − 𝑐𝑚

Bài 10 Hai vật cùng xuất phát từ gốc tọa độ O và bắt đầu dao động điều hòa cùng chiều

và cùng biên độ theo trục Ox, nhưng tỉ số chu kỳ dao động bằng n Tìm tỉ số độ lớn vận tốc của hai vật khi chúng gặp nhau

Đáp số:

Bài 11 Hai chất điểm dao động điều hòa trên hai đường thẳng song song rất gần nhau, coi như chung gốc O, cùng chiều dương Ox, cùng tần số f, có biên độ bằng nhau là A Tại thời điểm ban đầu chất điểm thứ nhất đi qua vị trí cân bằng, chất điểm thứ hai ở biên Khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm theo phương Ox

√3 cos 5𝜋𝑡 − 𝑐𝑚 thì sau 1s kể từ thời điểm t = 0 số lần 2 vật đi ngang qua nhau là?

Đáp số: 6

32

Bài 14 Hai vật dao động trên trục Ox có phương trình 𝑥 = 𝐴 cos 2,5𝜋𝑡 − 𝑐𝑚; 𝑥 =

𝐴 cos 2,5𝜋𝑡 − 𝑐𝑚 Sau 0,1s kể từ thời điểm t = 0 thì 2 vật đi ngang qua nhau lần thứ nhất Tìm tỉ số A1/A2

Đáp số: 1 Bài 15 Hai vật nhỏ M và N, dao động điều hòa trên hai đường thẳng song song gần nhau, gốc O ngang nhau, cùng chiều dương Ox và cùng biên độ A, nhưng chu kỳ dao động lần lượt

là 𝑇 = 0,6 𝑠 và 𝑇 = 1,2 𝑠 Tại thời điểm t 0 hai vật cùng đi qua tọa độ 𝑥 = (M đi về

vị trí cân bằng, N đi ra biên) Hỏi sau thời gian ngắn nhất bao nhiêu, hai vật lại ngang nhau

?

Đáp số: 0,4 s Bài 16 Có hai vật dao động điều hoà cùng biên độ A, với tần số 2 Hz và 1 Hz Lúc đầu

2 vật đồng thời xuất phát từ vị trí cân bằng theo chiều dương Tìm khoảng thời gian ngắn nhất để 2 vật có cùng một li độ

2 Tìm thời gian ngắn nhất hai chất điểm đi ngang nhau

3 Trong 1 s kể từ thời điểm ban đầu chúng đi ngang nhau mấy lần?

33

lần lượt là A1 = 3 cm và A2 = 5 cm Biết rằng tại thời điểm ban đầu t = 0, vật 1 ở biên âm còn vật 2 đi qua vị trí theo chiều dương, chu kì dao động là T1 = T2 = 1 s

1 Viết phương trình tọa độ của hai vật

2 Tìm khoảng cách lớn nhất của hai chất điểm trong quá trình dao động?

3 Tìm thời điểm đầu tiên chúng gặp nhau?

3 Giải phương trình: xmax0; t = 0,41s

Bài 19 (ĐH – 2012) Hai chất điểm M và N có cùng khối lượng, dao động điều hòa cùng tần số dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox Vị trí cân bằng của M và của N đều ở trên một đường thẳng qua góc tọa độ và vuông góc với Ox Biên độ của M là 6 cm, của N là 8 cm Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất giữa

M và N theo phương Ox là 10 cm Mốc thế năng tại vị trí cân bằng Ở thời điểm mà M có động năng bằng thế năng, tìm tỉ số động năng của M và động năng của N ?

Đáp số: 9/16 Bài 20 Hai chất điểm dao động điều hòa với cùng tần số f = 0,25 Hz dọc theo hai đường thẳng song song cạnh nhau và song song với trục Ox Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm theo phương Ox là 16 cm Tại thời điểm t, hai chất điểm đi ngang qua nhau Tìm thời gian ngắn nhất sau đó để khoảng cách giữa hai chất điểm bằng 8

cm theo phương Ox?

Đáp số: 1/3 s Bài 21 Cho 2 dao động điều hòa có cùng tần số, biết biên độ A1 + A2 = 8 cm Tại một thời điểm nào đó dao động thứ nhất có li độ và vận tốc tương ứng là x1, v1 dao động thứ hai

có li độ và vận tốc là x2, v2 Biết x1v2 + x2v1 = 8 cm2/s Hỏi tần số góc nhỏ nhất của 2 dao động bằng bao nhiêu?

Đáp số: 0,5 rad/s

34

Bài 22 Hai vật dao động điều hòa cùng tần số góc ω (rad/s) , biên độ A1 + A2 = 12 cm Tại một thời điểm t (s) , vật 1 có li độ x1 và vận tốc v1, vật 2 có li độ x2 và vận tốc v2 thỏa mãn: 3x1x2 = 1350t + 500 Tìm giá trị nhỏ nhất của ω?

Đáp số: 12,5 rad/s Dạng 4 Năng lượng trong dao động điều hoà

Xét chất điểm khối lượng m dao động điều hoà với phương trình 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑)

𝑊đ = 𝑚𝜔 𝐴 + 𝑚𝜔 𝐴 cos(2𝜔𝑡 + 2𝜑 + 𝜋)

2 Thế năng

𝑊 = 𝑘𝑥 = 𝑚𝜔 𝑥 = 𝑚𝜔 𝐴 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 + 𝜑) = 𝑚𝜔 𝐴 + 𝑚𝜔 𝐴 cos(2𝜔𝑡 + 2𝜑)

3 Cơ năng

𝑊 = 𝑊đ + 𝑊 = 𝑚𝜔 𝐴 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝑊đ = 𝑊

35

𝑇 =

𝑓 = 2𝑓 Trong đó 𝜔; 𝑇; 𝑓 là tần số góc, tần số và chu kì của dao động (của li độ x, vận tốc v, gia tốc a)

Động năng và thế năng luôn biến thiên ngược pha nhau (có pha hơn kém nhau lượng 𝜋)

Đồ thị động năng và thế năng theo thời gian t: dạng hình sin (hình vẽ)

Từ đồ thị theo thời gian, ta rút ra nhận xét sau:

Khoảng thời gian giữa 2 lần liên tiếp 𝑊đ (𝑊 )

1 Biết biên độ dao động là A = 3 cm Tìm cơ năng dao động

2 Biết cơ năng dao động là W = 1 J Xác định biên độ dao động

Đáp số: 1 0,09 J

2 10 cm Bài 4 Một vật khối lượng 100 g dao động điều hòa với vận tốc và gia tốc cực đại lần lượt

là 16𝜋 𝑐𝑚/𝑠 và 64𝜋 𝑐𝑚/𝑠 Xác định:

1 Chu kì, tần số dao động của động năng và thế năng?

2 Vận tốc, động năng, thế năng tại li độ 𝑥 = 2 𝑐𝑚

3 Vị trí và vận tốc lúc vật có 𝑊đ = 3𝑊 ?

Đáp số: 1 T’ = 0,25s; f’ = 4Hz

2 v = 8 3cm s/ ; Wđ =9,6.10-3 J; Wt =3,2.10-3 J

3 x = ± 2 cm; v = 8 3cm s/ Bài 5 (ĐH Cần Thơ - 2000) Cho con lắc lò xo như hình vẽ Vật nặng có khối lượng m,

lò xo có độ cứng k Bỏ qua khối lượng của lò xo Chọn gốc tọa độ O là vị trí cân bằng của vật nặng Một đầu lò xo được gắn chặt vào một giá đỡ nằm ngang Vật nặng có thể dao động dọc theo trục của lò xo

1 Đưa vật về vị trí mà lò xo không biến dạng rồi thả ra không vận tốc ban đầu

cho vật dao động điều hòa với tần số góc ω = 10 rad/s

37

Chọn chiều dương Ox hướng xuống dưới (hình vẽ) Viết phương trình dao động của vật, gốc thời gian là lúc thả vật? Suy ra phương trình dao động vật nếu chọn gốc tọa

độ tại vị trí O’ cách O một khoảng OO’ = 2 cm

2 Tính vận tốc của vật tại vị trí mà thế năng bằng 1,25 lần động năng

3 Để vận tốc của vật tại vị trí cân bằng là 2 m/s thì biên độ dao động của vật bằng bao nhiêu?

Cho gia tốc trọng trường g = 10 m/s2

- Vẽ đường tròn tâm O, bán kính A, trục Ox nằm ngang, hướng

sang phải, trục  thẳng đứng vuông góc với Ox

- Xác định vị trí điểm P và Q trên Ox

- Xác định hai điểm P1 và Q1 thích hợp trên đường tròn có hình

chiếu là P và Q

Theo liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn

đều thì thời gian chất điểm đi từ P đến Q bằng thời gian vật chuyển động tròn đều từ trên cung P1Q1

Với α là góc mà bán kính quét được trong thời gian t

Phương pháp trên còn có thể xác định thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí vật có vận tốc 𝑣 đến vị trí có vận tốc 𝑣 hay xác định thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí vật có gia tốc 𝑎 đến

vị trí có gia tốc 𝑎 hay xác định thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí vật có lực hồi phục 𝐹đến vị trí có lực hồi phục 𝐹 và cũng có thể xác định thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí vật

có động năng 𝑊đ đến vị trí có động năng 𝑊đ hoặc xác định thời gian ngắn nhất vật đi từ

vị trí vật có thế năng 𝑊 đến vị trí có thế năng 𝑊 Khi đó, ta vẽ đường tròn theo vận tốc

𝑣, theo gia tốc 𝑎, theo lực hồi phục 𝐹 , theo động năng 𝑊đ hoặc theo thế năng 𝑊 Cụ thể như sau:

𝑇2Đường tròn theo động năng

𝜔 =

𝛼2𝜋𝑇 =

𝛼2𝜋.

𝑇2Đường tròn theo thế năng Như vậy, trong phương pháp vẽ đường tròn theo đại lượng nào thì trong công thưc tính thời gian 𝑡 = 𝑇∗ thì cần lưu ý 𝑇∗ là chu kì của đại lượng đó

2 Phương pháp đường tròn hỗn hợp

Trong các bài toán, khi tìm thời gian vật đi từ P đến Q mà liên quan đến 1 biến (x hoặc v hoặc a…) ta dùng phương pháp đường tròn độc lập như trên Tuy nhiên, một số bài toán yêu cầu tìm thời gian liên quan đến 2 vị trí là hai biến khác nhau (ví dụ tìm thời gian từ lúc vật

có li độ x1 đến lúc vật có vận tốc v1 chẳng hạn) ta vẫn có thể quy về bài toán đường tròn độc lập, nhưng làm như vậy bài toán trở nên dài dòng, phức tạp, có khi dẫn đến nhầm lẫn trong biến đổi

Vì vậy, khi gặp trường hợp như vậy ta nên dùng phương pháp đường tròn hỗn hợp, như sau:

- Vẽ đường tròn hỗn hợp (hình vẽ)

39

- Xác định điểm P, Q trên các trục tương ứng

- Xác định các điểm P1, Q1 thích hợp trên đường tròn

- Áp dụng công thức tính thời gian:

40

7 𝑡 = 5T/24 8 𝑡 = T/24 9 𝑡 = T/8 Bài 2 Một vật dao động điều hòa có biên độ 4 cm và chu kì 0,1 s

1 Viết phương trình dao động của vật, chọn t = 0 lúc vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương

2 Tính khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ 2 cm đến vị trí có li độ 4

3 Vận tốc có độ lớn không vượt quá √

4 Gia tốc có độ lớn không lớn hơn √

5 Lực hồi phục có độ lớn không lớn hơn √

đi từ: