Giai PT vo ti cho hoc sinh lop 9

Hoc360.net - Tài liệu học tập miễn phí+ Khi bình phương hai vế của phương trình * cần có điều kiện vậy không là nghiệm của 1 - Sau khi phân tích sai lầm mà học sinh thường gặp , từ đó tô

Hoc360.net - Tài liệu học tập miễn phí

Giải phương trình vô tỷ cho học sinh lớp 9

A- Hệ thống hoá các kiến thức cơ bản liên quan và bổ sung một số kiến thức

mở rộng

1 Các tính chất của luỹ thừa bậc 2, bậc 3, tổng quát hoá các tính chất của luỹ thừa bậc chẵn và luỹ thừa bậc lẻ.

2 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử , các hằng đẳng thức

3 Các bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski, bất đẳng thức có chứa giá trị tuỵêt đối.

4 Cách giải phương trình, bất phương trình bậc nhất , bậc 2 một ẩn, cách giải

B A B A

A B

x

Hoc360.net - Tài liệu học tập miễn phí

cần phân tích kỹ sai lầm mà học sinh có thể mắc phải tức cần khắc sâu cho họcsinh tính chất của luỹ thừa bậc 2:

a = b a2 = b2 ( Khi a, b cùng dấu )

Vì vậy khi bình phương hai vế được phương trình mới tương đương với phươngtrình ban đầu khi hai vế cùng dấu

ở phương trình (1), VP 0 , nhưng vế trái chưa chắc đã 0 vì vậy ta nên

chuyển vế đưa về phương trình có 2 vế cùng 0

Và trả lời phương trình (*) có 2 nghiệm :

Sai lầm của học sinh là gì? Tôi cho học sinh khác phát hiện ra những sai lầm :

+ Khi giải chưa chú ý đến điều kiện để các căn thức có nghĩa nên sau khi giải

không đó chiếu với điều kiện ở (1) : ĐK : vì vậy không phải là

11 2 − + =

0 ) 2 )(

2 11

Hoc360.net - Tài liệu học tập miễn phí

+ Khi bình phương hai vế của phương trình (*) cần có điều kiện

vậy không là nghiệm của (1)

- Sau khi phân tích sai lầm mà học sinh thường gặp , từ đó tôi cho học sinh tìm racách giải đúng không phạm sai lầm đã phân tích

C1: Sau khi tìm được và thử lại (1) không nghiệm đúng Vậy (1) vô

nghiệm

( cách thử lại này làm khi việc tìm TXĐ của phương trình đã cho là tương đốiphức tạp )

C2: Đặt điều kiện tồn tại của các căn thức của (1)

Sau khi giải đến (*) khi bình phương hai vế đặt thêm điều kiện vậy thoả

mãn : nên phương trình (1)vô nghiệm

C3: Có thể dựa vào điều kiện của ẩn để xét nghiệm của phương trình

Điều kiện của (1) : do đó

Vế trái <0 VP 0 nên phương trình (1) vô nghiệm

7

2 0

1 5

1 1

x

x x

Hoc360.net - Tài liệu học tập miễn phí

Sau đó tôi ra một số bài tập tương tự cho học sinh trình bày lời giải

Bài tập tương tự : Giải phương trình

Chú ý: + ở căn bậc lẻ: có nghĩa với nên không cần đặt điều kiện

+ ở luỹ thừa bậc lẻ: a=b a2n+1=b2n+1; (n N) nên không cần xét đến dấu

3 1

4x+ − x+ = x− x− 2 − x+ 1 = 2x− 1 − x+ 3

2 7

1 ( 3 7

1 + − + 3 + − 3 + + 3 − =

x

2 7

1 3

3 x+ + −x =

0 ) 7 )(

1 ( 8 2 ) 7 )(

1 (

3

8 + 3 x+ −x = ⇔ x+ −x =

4

Hoc360.net - Tài liệu học tập miễn phí

Giải ra: ; Thay lại vào PT đã cho ta thấy nghiệm đúng , nên đó là 2

nghiệm của PT ban đầu Vậy (2) có nghiệm

+ ở phương trình (2) ngoài việc lập phương hai vế cần sử dụng hằng đẳng thứcmột cách linh hoạt để đưa phương trình về dạng đơn giản a.b = 0 rồi giải

Chú ý: Do từ (I) suy ra (II) ta thực hiện phép biến đổi không tương đương , vì nó

chỉ tương đương khi x thoả mãn : Vì vậy việc thay lại nghiệm

của (II) vào phương trình đã cho là cần thiết Nếu không thử lại có thể sẽ cónghiệm ngoại lai

Bài tập tương tự : Giải phương trình :

a)

b)

Phương pháp 2: Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuỵêt đối.

Phương pháp này là: Khi gặp phương trình mà biểu thức trong căn có thể viết

được dưới dạng bình phương của một biểu thức thì sử dụng hằng đẳng thức :

để làm mất dấu căn đưa về phương trình đơn giản

1 3

3 x+ + −x =

3 3

3 −x+ 1 + x− 1 = 5x

4 2 3 1

3 x+ + − x =

3 3

3 2x− 1 + 2x+ 1 = 10x

A

A2 =

5 3 2 8 13 2 3 2 2 2

2x− + x− + x+ + x− =

Hoc360.net - Tài liệu học tập miễn phí

Nhận xét: + ở phương trình (3) học sinh có thể nhận xét vế trái có cùng căn bậchai nên có thể bình phương hai vế Nhưng ở phương trình này sau khi bìnhphương (lần 1) vẫn còn chứa căn nên rất phức tạp

+ biểu thức trong căn có thể viết được dưới dạng bình phương của một biểuthức

6

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

6

Giải : ĐK: ;

*)

* (*

; 5 4 3 2 1 3 2

5 4 3 2 1

3 2

5 16 4 3 2 2 ) 3 2 ( 1 3 2 2 ) 3 2 (

2 2

=

−

− +

+

−

⇔

= +

−

−

− +

+

− +

−

⇔

x x

x x

x x

x x

C1: Đến đây để giải (***) ta có thể phá dấu giá trị tuyệt đối, trước khi phá dấu thì

3

2x− ≥ ⇔x≥ 2x−2+2 2x−3 + 2x+13+8 2x−3 =5

A

0 1 3

2x− + > 2x− 3 − 4

2

19 2

3

16 3 2 0 4 3

4 3 2 8 3 2 2 5 4 3 2 1 3

3 4 3

2x− < ⇔ ≤x≤

0 0 5 4 3 2 1 3

2x− + − x− + = ⇔ x=

2

19 2

3 ≤x≤

2

19 2

3 ≤x≤

C2: ( Để giải (***) cũng có thể sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối .

dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A.B 0)

Phương pháp đặt ẩn phụ là phương pháp hay mà tôi rất tâm đắc , phương pháp này

có thể dùng để giải được rất nhiều phương trình

ở phương pháp này dùng cách đặt ẩn phụ để đưa về dạng phương trình vô tỷ đơngiản

Cách đặt ẩn phụ: + Đặt 1 ẩn phụ

+ Đặt 2 ẩn phụ + Đặt nhiều ẩn phụ

8

.

B A

B

5 3 2 4 1 3

2

5 4 3 2 1

+

−

x x

x x

5 3 2 4 1 3 2 3 2 4 1 3

2x− + + − x− ≥ x− + + − x− =

5 3 2 4 1 3

0 3 2 4

x

x

2

19 2

3 ≤x≤

1 2 6 7 2

8

+ Chú ý: Đối với ĐK: x2+3x+2 có thể giải được nhưng với những

bài toán mà biểu thức trong căn phức tạp thì có thể tìm giá trị của x rồi thử lạixem có thoả mãn ĐK hay không

2 3

2 + x+

HD: ở bài này ta tìm mối liên hệ các biểu thức bằng cách đặt : ;

Rút x theo u thay vào các biểu thức còn lại trong phương trình để đưa về phươngtrình ẩn u

2x−x2 + x2 − x+ =

x x

x − 12 + 7 ≥ 0 ; ∀

6 2

0 7 ) 2 (

6

2x−x2 + x2 − x + =

a x

2

2

+

− +

u u

u u

− +

0 1

u u

( 1 0

1 = ⇒ =

0 1 4 5 ) 1 2 ( 2

0 1 2

) 1 ( 2 1 2

2 2

2

2

=

− +

⇔

+

= +

−

u u u

u u

u u

( 1

1 = −

u

25

24 1 5

1 5

b

a

b a b

0 2

2

x x

Đặt: ;Ta có hệ:

Đây là hệ phương trình đối xứng

+ Nếu x=y ta có phương trình: giải ra (thoả mãn điều kiện)

+ Nếu1-x=y ta có phương trình: giải ra: ( Thoả mãn điều

từ đó sử dụng phương pháp 1 để giải tiếp

Chú ý : Cách này thường sử dụng khi quan hệ ẩn chính và ẩn phụ đưa được về hệ

y x

2

2 2 2

x

y

1

0 ) 1 )(

;

1 21

−

= +

2006

x x

y x

y x

12

Đến đây tiếp tục giải theo phương pháp 1

Bài tập tương tự : Giải phương trình

VD 1 : Giải phương trình: (7)

Nhận xét: ở vế trái có căn bậc 2 và căn bậc 3 nên việc nâng luỹ thừa 2 vế để làm mấtdấu căn là rất khó

+ Hai biểu thức trong căn có mối quan hệ: (hằng số)

+ Đặt 2 ẩn phụ: Sẽ đưa về hệ 2 phương trình không chứa căn và giải

− +

− +

= + +

2006 2

1 2 1

2

1 2006 2

1

2

1 2006 2

1

4

1 2006 2006

4 1

2 2

2

x x

x x

x x

x x

x x

= +

x y

y x

2 1

2 1 3 3

1 4 1 2

2x2 + x+ = x+ y= x2 +x

15 9 3 2 7 6

4x2 + x+ + x2 + x+ =

1 1 2

3 −x + x− =

1 1

Ta có hệ phương trình:

giải ra

Từ đó: ( thoả mãn điều kiện)

Vậy phương trình (7) có 3 nghiệm:

VD2: Giải phương trình:

( Đề thi vào Phan Bội Châu 2005)

Giải ra:a=1; b=1 ; từ đó giải ra tìm x=3

Tổng quát: Đối với phương trình có dạng:

= +

1

1 3

3 x− + x+ =

b x

3

3 2

3 b a

b a

c x f b x f

= +

b a v u

c v u

m n

b a v u

c v u

m n

3 x+ 2 + x− + x − =

) 1 3 )(

1 3 ( 1

9x2 − = x+ x−

14

= + +

2

1 3

3

2 2

v u

uv v u

0 1

1 3

1 1 3 3

x x

x

1 2

1 2

1

3 +x + −x =

1 3

3 x+a− x+b =

1 5

a

( Thoả mãn điều kiện)

+ Với b=2a Ta có: Từ đó giải ra tìm x

( ở dạng này việc tìm mối quan hệ giữa các biểu thức ở hai vế là rất quan trọng

Vì vậy trước khi giải phải quan sát nhận xét để tìm ra phương pháp giải phù hợp)

VD5:Giải phương trình:

( Đề thi vào Phan Bội Châu 2004-2005)

HD : Hãy biểu diễn để thấy mối quan hệ các biểu thức:

1 ( 5

a

0 ) 2 )(

2 (

5 ) (

b a b a

ab b

b a

2 2

1 2

37 5

0 3 5

2 1 2

x x

x x

1 2 1

2 −x+ = x+

x

30 2 3 9 )

x+ 3 = ; + 9 =

0 ) )(

1 3 ( 3

) 1 3

= +

⇔

9 3

2

3

1 9 2

2

x x

x

);

8 ( 2 16 2

5 x3 + = x2 +

) 8 ( 2 ) 4 2 )(

2 ( 2

5 x+ x2 − x+ = x2 +

) 4 2 ( ) 4 2 (

2 + = x − x+ + x+

x

b x

x a

x+ 2 ) = ; − 2 + 4 =

(

0 ) 2 )(

2 ( ) (

2

5ab= a2 +b2 ⇔ a−b a− b =

8 3

) 2 3

(

2 x2 − x+ = x3 +

16 3 5 2 3 3 1 3

2x+ + x+ = x+ x2 + x+ −

3 5 2 ) 1 )(

3 2 ( x+ x+ = x3 + x+

4 3

4 3

0 1

; 0 3 2

2 2 2 2

⇒

≥ +

=

≥ +

=

v u x x

v u

x v x

u

Thay vào thoả mãn phương trình đã cho , Vậy phương trình có nghiệm x=-2

( Phương pháp này tôi thấy hay và độc đáo , từ đó GV có thể đặt nhiều đề toán đẹp)

Bài tập tương tự: Giải phương trình

Phương pháp 4 : Đưa về dạng : A2 + B2 = 0 hoặc A.B=0

ở phương pháp này ta sử dụng A2 + B2 = 0 <=> A = B = 0 ; A.B =0

Khi A=0 hoặc B=0

18

0 20 ) ( ) ( 2

5

loai t

2 3

2 2 2 3 1

2x2 − + x2 − x− = x2 + x+ + x2 −x+

) 2 (

) 3 2 2 ( ) 2 3 (

x z x

x v x

x u

2 2 2

u

t z v

2002 2005

2003 2

2006 2004

2005 2005

2006x2 − + x2 −x− = x2 + x− + x2 +x−

18

Ví dụ: Giải phương trình:

Nhận xét: + Sử dụng các phương pháp 1, 2, 3 đều khó giải

+ Biến đổi đưa về dạng A2 + B2 = 0

Từ đó suy ra: rồi giải tìm x

+ Ta cũng có thể nhân 2 vế của phương trình với 2 rồi đưa về dạng:

giải ra x=0 ( cách giải này đơn giản hơn)

Bài tập tương tự: Giải phương trình

3 2 2 5 4

=

+

=

− + +

+

⇔

= + +

− + + +

−

⇔

= +

− +

+

0 1 3

2

0

1

0 ) 1 3 2 ( ) 1

(

0 ) 1 3 2 2 3 2 ( ) 1 2 (

0 3 2 2 5 4

2 2

x x

x x

x x

x

1 4 1 2

x x y

2 2

y x

2

0 ) 1 1 4

(

4x2 + x+ − 2 =

1 2 6 26 6

2 − x+ = x+

x x+ y+z+ 4 = 2 x− 2 + 4 y− 3 + 6 z− 5

VD: Giải phương trình:

HD: Tìm mối quan hệ giữa các biểu thức: ; PT trở thành:

Giải ra: x=-24/25 ( TMĐK)

Ngoài ra ta có thể đặt: ; ta có hê:

; Từ đó giải ra tìm a;b và tìm được x

Bài tập tương tự : Giải phương trình

Do đó (11) Giải ra: thoả mãn điều kiện

Vậy (11) có hai nghiệm

20

3 1

1 2

5x+ x+ − −x = −

) 1 ( ) 1 ( 4 3

5x+ = x+ − −x

0 ) 1 1 5 ( 1 (

0 1 1

) 1 2 ( 0 1

1 2 ) 1 ( ) 1 2

=

− + +

⇔

= +

−

− +

⇔

=

− + + +

−

− +

x x

x x

x x

x x

b x a

−

= +

0 4

2

2 2 2

2 2

b a b

1 4 (

x

2 1 4 1

x x

2 1 4 1

x x

VD 2 : Giải phương trình:

(12)

Nhận xét:+ở phương trình này ta không nên bình phương hai vế

+ Xét các biểu thức trong căn và ngoài căn

3x2+6x+7 = 3(x+1)2 +4; 5x2+10x + 14 = 5(x+1)2 + 9; 4-2x-x2=-(x+1)2+5 từ đó cólời giải:

3x + x+ + x + x+ = − x−x

5 9 4 2

4 14 10 5

7 6

3x2 + x+ + x2 + x+ = − x−x2 ≥ + =

5 ) 1 ( 5 2

4 − x−x2 = − x+ 2 ≤

1 0

1 = ⇒ = −

x

2 2

3x + x+ + x + x+ = − x−x

18 6 11

−

+

−

x x x

x

x x

27 10 6

2 − x+ = x− + ≥

x

Vậy ta suy ra: x2-10x+27=2 (1)

4

4 2 2 6

4 1

1 6

1 4

≤

− +

− +

≤

− +

−

x x

x x

x x

2 6

4 + − =

x

3 1

−

x

x x

−

x x x

x

a x g a x

f( ) ≥ ; ( ) ≤

1 2 3

5 −x6 − 3 x4 − =

22

Hướng dẫn: + Thử nhẩm tìm nghiệm của pt

+ Chứng minh nghiệm duy nhấtGiải: Nhận thấy là một nghiiệm của pt

+ Xét thì

nên pt vô nghiệm

Vậy VP <1; VT>1 nên phương trình vô nghiệm

+ Nếu x>0 thì VP<1; VT>1 nên phươnhg trình vô nghiệm

Vậy x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình

BT tương tự: Giải phương trình

Hướng dẫn: TXĐ: x 1

Nhận thấy x=2 là nghiệm

Chứng tỏ: 1 x<2 thì phương trình vô nghiệm

x>2 phương trình vô nghiệm

1 2 3

2 5

1 2 3

4

4

6 4

x

x x

1 2 3

x x

1 8

5 x− + x+ = −x +

1 1

; 2 8

; 1

5 x− < − x+ < −x + >

9 2 1

23 2

28 3 2

3 x2 + + x + + x− + x = +

≥

≤

(ở những phương trình phức tạp mà việc sử dụng các phương pháp 1 đến phươngpháp 4 đều không giải được thì ta nghĩ đến phương pháp 5).

Bài học kinh nghiệm

Trên đây tôi đã trình bày cách nhận dạng và các phương pháp giải phương trình

vô tỷ Trước khi giải học sinh nhận xét và thử các biện pháp từ đễ đến khó để tìm raphương pháp phù hợp để giải Sau đó học sinh sẽ giải các bài tập tương tự cùngdạng, và tự đặt thêm một số bài tập để khắc sâu thêm phương pháp giải

Tôi nghĩ rằng với mỗi vấn đề , mỗi chuyên đề toán học chúng ta đều dạy theo từng

dạng , đi sâu mỗi dạng và tìm ra hướng tư duy ,hướng giải và phát triển bài toán.Sau đó ra bài tập tổng hợp để học sinh biệt phân dạngvà tìm ra cách giải thích hợpcho mỗi bài thì chắc chắn học sinh sẽ nắm vững vấn đề Và tôi tin chắc rằng toánhọc sẽ là niềm say mê với tất cả học sinh

Với kinh nghiệm nho nhỏ như vậy tôi xin được trao đổi cùng các đồngnghiệp.Tôi rất mong được sự góp ý chân thành của các đồng nghiệp và các thầy cô

đã có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy