ĐH QUỐC GIA HN Đề thi môn: GIẢI TÍCH IThời gian: 150 phút không kể thời gian phát đề... Gợi ý: khai triển theo nguyên hàm của f x... Hàm đã thác triển có thỏa mãn các điều kiện của định
Trang 1ĐH QUỐC GIA HN Đề thi môn: GIẢI TÍCH I
Thời gian: 150 phút không kể thời gian phát đề.
(Đề số 1) Câu 1 (2 điểm) Chứng minh các bất đẳng thức:
a) | sin x − sin y| ≤ |x − y|;
b) pyp−1(x − y) ≤ xp− yp≤ pxp−1(x − y), nếu0 < y < x;
c) | arctg a − arctg b| ≤ |a − b|;
d) a − b
a < ln
a
b <
a − b
b , nếu 0 < b < a
Câu 2 (2 điểm) Tìm các giới hạn sau:
1. lim
x→±∞
√4
x4− 2x3+ 5x + 1 −√x2+ 3x + 5.
2. lim
x→0
ln1
x
x
Câu 3 (3 điểm).
1 Bằng cách chuyển sang tọa độ cực, tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi đường(x2+ y2)2 = 2a2xy (lemnixcat)
2 Tính độ dài đường cong axtroit x = a cos3t, y = a sin3t
Câu 4 (1 điểm) Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng:
+∞
Z
0
xm
1 + xndx (n ≥ 0, m có dấu tùy ý)
Câu 5 (2 điểm).
1 Khai triển hàm số sau thành chuỗi lũy thừa củaxvà tìm miền hội tụ của chuỗi đó:f (x) = ln(1 + 3x + 2x2) Hãy tínhf(100)(0)
2 Khai triển hàm số f (x) =
0, 3 khi 0 < x < 0, 5
−0, 3 khi 0, 5 < x < 1 thành chuỗi Fourier chỉ chứa các hàm cosin.
Trang 2Thời gian: 150 phút không kể thời gian phát đề.
(Đề số 2) Câu 1 (2 điểm).
1 Tìm f′
(a), nếuf (x) = (x − a)ϕ(x), trong đó hàmϕ(x) liên tục khix = a.
2 Chứng tỏ rằng hàm f (x) = |x − a|ϕ(x), trong đó ϕ(x) là hàm liên tục và ϕ(a) 6= 0, không có đạo hàm tại điểma.
Câu 2 (2 điểm) Tìm các giới hạn sau:
1. lim
x→0
sh2x ln(ch 3x)
2. lim
x→+0x
k 1+ln x Câu 3 (3 điểm).
1 Bằng cách đưa phương trình về dạng tham số, tính diện tích giới hạn bởi đường
x2/3+ y2/3= a2/3 (axtroit)
2 Tính độ dài đường congρ = a(1 + cos ϕ)
Câu 4 (1 điểm) Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng:
+∞
Z
0
arctg ax
xn dx (a 6= 0)
Câu 5 (2 điểm).
1 Khai triển hàm số sau thành chuỗi lũy thừa và tìm miền hội tụ của nó:
f (x) = 1
(1 − x)2 (Gợi ý: khai triển theo nguyên hàm của f (x)).
2 Khai triển hàm số f (x) =
0, 3 khi 0 < x < 0, 5
−0, 3 khi 0, 5 < x < 1 thành chuỗi Fourier chỉ chứa các hàm sin.
Trang 3Đáp án Đề số 1
Câu 1 (2 điểm) Theo công thức Lagrange:
a) sin x − sin y = (x − y) cos ξ ⇒ | sin x − sin y| = | cos ξ||x − y| ≤ |x − y|;
b) xp− yp= pξp−1(x − y), y < ξ < x, ⇒ (x − y)pyp−1≤ xp− yp ≤ (x − y)pxp−1; c) arctg a − arctg b = 1
1 + ξ2(a − b) ⇒ | arctg a − arctg b| ≤ |a − b|;
d) ln a − ln b = 1
ξ(a − b), b < ξ < a, ⇒ a − b
a < ln
a
b <
a − b
b . Câu 2 (2 điểm).
1 Đặt y = 1/x, ta có:
lim
x→±∞
p4
x4− 2x3+ 5x + 1 −px2+ 3x + 5
= lim
y→±0
4
r 1
y4 − y23 + 5
y + 1 −r 1y2 +3
y + 5
= lim
4
p1 − 2y + 5y3+ y4−p1 + 3y + 5y2
|y|
= lim
4
p1 + (y4+ 5y3− 2y) − 1
1 −p1 + (3y + 5y2)
|y|
= lim
1
4(y4+ 5y3− 2y)
−12(3y + 5y2)
|y| = L.
Khi x → +∞, y → 0 + 0, ⇒ L = −2
4 − 32 = −2 ; Khi x → −∞, y → 0 − 0, ⇒ L = 2
4 +
3
2 = 2
2 Dạng ∞0 lim
x→0
ln1 x
x
= elim x ln(ln1x)t=1/x
= et→∞lim
ln(ln t) t
= e0 = 1
(Có thể dùng L’Hospital).
Câu 3 (3 điểm).
1 Đặt x = r cos ϕ, y = r sin ϕ,ta được phương trình
lemnixcat dạng:r2= a2sin 2ϕ, đối xứng qua
đườngr sin ϕ = r cos ϕ và qua gốc tọa độ Do đó:
S = 4.a
2
2
Z π4
0
sin 2ϕdϕ = a2cos 2ϕ
0
π = a2
Trang 4L = 4
Z 2
0
p
x′ 2+ y′ 2dt = 4
Z 2
0
p 9a2cos4t sin2t + 9a2sin4t cos2tdt = 6a
Câu 4 (1 điểm) Khi x → +0, xm
1 + xn = o
1
x− m
, còn khi x → +∞, xm
1 + xn = o
1
xn−m
.Vì vậy tích phân sẽ hội tụ nếu−m < 1, n−m > 1,tức là m > −1, n − m > 1 Câu 5 (2 điểm).
1. ln(1 + 3x + 2x2) = ln(1 + x) + ln(1 + 2x) =
+∞
P
n=1(−1)n−1x
n
n +
+∞
P
n=1(−1)n−12
nxn
=
+∞
X
n=1
(−1)n−1(1 + 2n)x
n
n ; −12 < x ≤ 12
f(100)(x) =
+∞
X
n=100
(−1)n−1(1 + 2
n)
n · n!x
n−100
(n − 100)! ⇒ f
(100)
(0) = −(1 + 2100).99!
2 Thác triển chẵn trên đoạn (−1, 0) Hàm đã thác triển có thỏa mãn các điều kiện của định lí Dirichlet Khi đóbn = 0,
ao = 2
1
0,5
Z
0
0, 3dx −
1
Z
0,5
0, 3dx
= 0
an = 2
1
1
Z
0
f (x) cos nπxdx = 2
0,5
Z
0
0, 3 cos nπxdx −
1
Z
0,5
0, 3 cos nπxdx
=
= 0, 6.sin nπx
nπ
0,5
0 − 0, 6.sin nπxnπ
1 0,5= 1, 2
nπ sin
nπ 2 chon 6= 0và n lẻ, với nchẵn, an = 0 Từ đó:
f (x) = 1, 2
π
cos πx
1 − cos 3πx
cos 5πx
5 − · · · + (−1)k−1cos(2k − 1)πx
2k − 1 + · · ·
Khai triển đúng trên toàn khoảng xác định của hàm số Riêng tại x = 0, 5 chuỗi hội tụ đến 0, tại x = 0chuỗi hội tụ đến 0, 3, tạix = 1 đến−0, 3.
Trang 5Đáp án Đề số 2
Câu 1 (2 điểm).
1 Theo đn. f′(a) = lim
∆x→0
(a + ∆x − a)ϕ(a + ∆x)
∆x = lim∆x→0ϕ(a + ∆x) = ϕ(a), do ϕ(x) liên tục tạix = a.
2 Ta tính các đạo hàm từng phía tạia:
f±′(a) = lim
∆x→0±0
1
∆x[|a + ∆x − a| ϕ(a + ∆x)] = ±ϕ(a) Nhưng vì ϕ(a) 6= 0, nên hàmf (x) không có đạo hàm tại điểma.
Câu 2 (2 điểm).
1. lim
x→0
sh2x ln(1 + ch 3x − 1) = lim
x2
ch 3x − 1 = lim
x2 9x2/2 =
2
9 .
2. lim
x→+0x1+ln xk = ex→lim+0
k ln x 1+ln x
= ek Câu 3 (3 điểm).
1 Đặt x = a cos3t, y = a sin3t (0 ≤ t ≤ 2π) Đường axtroit đối xứng qua trục tọa
độ, do đó:
S = 4.1
2
Z π2
0
(xy′− yx′)dx = 2
Z π2
0
(3a2sin2t cos4t + 3a2cos2t sin4t)dt = 3πa
2
8 .
2 Đường cong đối xứng qua đường thẳngρ sin ϕ = 0 (0 ≤ ϕ ≤ 2π);
L = 2
Z π 0
p
ρ2+ ρ′ 2dϕ = 2a
Z π 0
q (1 + cos ϕ)2+ sin2ϕdϕ = 4a
Z π 0
cosϕ
2dϕ = 8a
Câu 4 (1 điểm) Khi x → +0, f(x) = arctg ax
xn = o
1
xn−1
, còn khi x → +∞, f(x) = o 1
xn
Vì vậy tích phân hội tụ nếu n − 1 < 1 và n > 1, tức là
1 < n < 2
Câu 5 (2 điểm).
(1 − x)2 =
1
1 − x
′
=
∞
P
n=0
xn
′
=
∞
X
n=1
nxn−1; (−1 < x < 1)
Trang 6bn = 2
1
1
Z
0
f (x) sin nπxdx = 2
0,5
Z
0
0, 3 sin nπxdx −
1
Z
0,5
0, 3 sin nπxdx
=
= 0, 6.cos nπx
nπ
1 0,5− 0, 6.cos nπxnπ
0,5
0 = 0, 6 nπ
cos nπ − 2 cosnπ2 + 1 chon chẵn, còn khin lẻ bn = 0 Từ đó:
f (x) = 1, 2
π
sin 2πx
sin 6πx
sin 10πx
5 + · · · + sin 2(2m − 1)πx
2m − 1 + · · ·
Khai triển đúng trên toàn khoảng xác định của hàm f (x) Riêng tại x =
0, 1/2, 1, chuỗi hội tụ đễn0.
... Câu (2 điểm).1. ln (1 + 3x + 2x2) = ln (1 + x) + ln (1 + 2x) =
+∞
P
n =1< /small>(? ?1) n? ?1< /sup>x
n...
n =1< /small>(? ?1) n? ?1< /sup>2
nxn
=
+∞
X
n =1< /small>
(? ?1) n? ?1< /sup> (1 + 2n)x... −1< /sup>2 < x ≤ 1< /sup>2
f (10 0)(x) =
+∞
X
n =10 0
(? ?1) n? ?1< /sup> (1 + 2