D10 c3 b1

Phép biến đổi tương đương Định lí Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điềukiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương a Cộng

BÀI 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH

I – LÝ THUYẾT

A– KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH

1 Phương trình một ẩn

Phương trình ẩnx là mệnh đề chứa biến có dạng f x( )=g x( ) ( )1

trong đó ( )f x và ( )g x là những biểu thức của x. Ta gọi ( )f x là vế trái, ( )g x là vế phải củaphương trình ( )1

Nếu có số thực x0 sao cho ( )f x0 =g x( )0 là mệnh đề đúng thì x0 được gọi là một nghiệm của phương trình( )1

Giải phương trình( )1 là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm)

Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập

nghiệm của nó là rỗng)

2 Điều kiện của một phương trình

Khi giải phương trình ( )1, ta cần lưu ý với điều kiện đối với ẩn số x để ( )f x và ( )g x cónghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được) Ta cũng nói đó là điều kiện xác định củaphương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương trình)

3 Phương trình nhiều ẩn

Ngoài các phương trình một ẩn, ta còn gặp những phương trình có nhiều ẩn số, chẳng hạn

( )( )

là một nghiệm của phương trình ( )2

Tương tự, bộ ba số (x y z = -; ; ) ( 1;1;2) là một nghiệm của phương trình ( )3

4 Phương trình chứa tham số

Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có

các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số.

B – PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ

1 Phương trình tương đương

Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm

2 Phép biến đổi tương đương

Định lí

Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điềukiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương

a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;

b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giátrị khác 0.

Chú ý: Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai vế

với biểu thức đó

3 Phương trình hệ quả

Nếu mọi nghiệm của phương trình ( )f x =g x( ) đều là nghiệm của phương trình ( )f x1 =g x1( )thì phương trình ( )f x1 =g x1( ) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình ( )f x =g x( ).

Ta viết

( ) ( ) 1( ) 1( ).

f x =g x Þ f x =g x

Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu

Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.

Khi giải phương trình, không phải lúc nào ta cũng áp dụng được phép biến đổi tương đương.trong nhiều trường hợp ta phải thực hiện các phép biến đổi đưa tới phương trình hệ quả, chẳnghạn bình phương hai vế, nhân hai vế của phương trình với một đa thức Lúc đó để loại nghiệmngoại lai, ta phải thử lại các nghiệm tìm được

II – DẠNG TOÁN

1 Dạng 1: ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Phương pháp giải

-Điều kiện xác định của phương trình bao gồm các điều kiện để giá trị của f x g x( ) ( ),

cùng được xác định và các điều kiện khác (nếu có yêu cầu trong đề bài)

- Điều kiện để biểu thức

- là:

A

22

x x

Cách 1: Điều kiện xác định của phương trình là

- ¹ Û ¹ Û íï ¹

-ïî

Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm

Cách 3: (Giải theo Casio nếu có).

Ví dụ 2: Điều kiện xác định của phương trình 1+ 3- x = x- 2 là:

A 2< < x 3 B 2£ x£ 3 C x < 3 D x >2

Lời giải Chọn B.

Cách 1: Điều kiện xác định của phương trình là

Cách 3: (Giải theo Casio nếu có).

Ví dụ 3: Điều kiện xác định của phương trình 1 2x 3 3x 2 là:

A 2< < x 3 B

23

x ³

32

x ³

Lời giải Chọn D.

Cách 1: Điều kiện xác định của phương trình là

x x

Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm

Cách 3: (Giải theo Casio nếu có).

Ví dụ 4: Điều kiện xác định của phương trình 3

1

4 2

3 2

x x

x x

x x

Cách 1: Điều kiện xác định của phương trình là 3    2 

Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm

Cách 3: (Giải theo Casio nếu có).

B BÀI TẬP TỰ LUYỆN(có chia mức độ)

x x

x x

D 

  B

4

;5

D   

  C

4

\5

A x 2 hoặc x  2. B x 2 hoặc x  2. C x ³ 2 hoặc x  2..D x  hoặc 2 x  2

Câu 14. Điều kiện xác định của phương trình 2

2 1

03

A

1.2

x 

12

x 

và x 3..C

12

x x

x 

B x  2 và x 0.

C x  2 và

3.2

x x

x x

x 

B

42

x x

x x x

x x

x x

 



A

01

x x

x x

x x

x x

x

  

Câu 23: Tìm điều kiện xác định của phương trình 2

D HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC CÂU KHÓ CỦA PHẦN TỰ LUYỆN

2 Dạng 2: PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG – PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ

Phương pháp giải

- Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm

- Nếu mọi nghiệm của phương trình ( )f x =g x( ) đều là nghiệm của phương trình ( )f x1 =g x1( )thì phương trình ( )f x1 =g x1( ) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình ( )f x =g x( ).

- Để giải phương trình ta thực hiện các phép biến đổi để đưa về phương trình tương đương vớiphương trình đã cho đơn giản hơn trong việc giải nó Một số phép biến đổi thường sử dụng Cộng (trừ) cả hai vế của phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình



ta thu được phương trình tương đương phương trình đã cho

Nhân (chia) vào hai vế với một biểu thức khác không và không làm thay đổi điều kiện xác định



của phương trình ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho

Bình phương hai vế của phương trình ta thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho

x

 B 4x3 x0

x x x

x x

Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm

Cách 3: (Giải theo Casio nếu có).

Ví dụ 2: Phương trình x2 3x tương đương với phương trình:

Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm

Cách 3: (Giải theo Casio nếu có).

Ví dụ 3: Khẳng định nào sau đây sai?

A x  2 1   x 2 1 B

 

 

111

x x x

x x x





 có điều kiện xác định là x  1

Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm

Cách 3: (Giải theo Casio nếu có).

Ví dụ 4: Tìm m để cặp phương trình sau tương đương 2 ( )

Do hai phương trình tương đương nên x =1 là nghiệm của phương trình (2)

Thay x =1 vào phương trình (2) ta được

ê =ê

ê = êSuy ra hai phương trình không tương đương

ê =ê

ê =êSuy ra hai phương trình tương đương

Vậy m =4 thì hai phương trình tương đương.

Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm

Cách 3: (Giải theo Casio nếu có).

Ví dụ 5: Tìm m để cặp phương trình sau tương đương 2x2+mx- 2= (1) và0

Thay x =- 2 vào phương trình (3) ta được ( )2 ( )

ê =ê

Phương trình (4) trở thành 3 2 ( ) (2 )

2x +7x +4x- 4= Û0 x+2 2x+ =1 0

212

x x

Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm

Cách 3: (Giải theo Casio nếu có).

B BÀI TẬP TỰ LUYỆN(có chia mức độ)

NHẬN BIẾT.

Câu 1. Cho phương trình x21 x–1 x1 0

Phương trình nào sau đây tương đương với phươngtrình đã cho ?

Câu 3. Khi giải phương trình x2 5 2  x  1 , một học sinh tiến hành theo các bước sau:

Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình  1 ta được:

x 

.Cách giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?

A Đúng B Sai ở bước1 C Sai ở bước 2 D Sai ở bước 3

Câu 4. Phương trình x2 3x tương đương với phương trình:

Câu 5. Cho hai phương trình: x x  2 3x 2  1

x x x





 Khẳng định nào sau đây

là đúng?

A Phương trình ( )1 và ( )2 là hai phương trình tương đương

B Phương trình ( )2 là hệ quả của phương trình ( )1

C Phương trình ( )1 là hệ quả của phương trình ( )2

Câu 7. Cho phương trình 2x2 x0 1 Trong các phương trình sau đây, phương trình nào không

phải là hệ quả của phương trình  1 ?

A 4x3 x0 B 2x2 x2 0

1

x x

x

x x

A Sai ở bước 2. B Sai ở bước 1. C Sai ở bước 4. D Sai ở bước 3

Câu 9. Khi giải phương trình

 5  4

03

x

x x

A Sai ở bước 3 B Sai ở bước 2. C Sai ở bước 1. D Sai ở bước 4.

Câu 10 Khẳng định nào sau đây sai?

x x x

Câu 12. Khi giải phương trình x 2 2x 3 1 , một học sinh tiến hành theo các bước sau:

Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình  1 ta được:

x 

.Cách giải trên sai từ bước nào?

A Sai ở bước 1 B Sai ở bước 2 C Sai ở bước 3 D Sai ở bước 4

Câu 13. Tậpnghiệm của phương trình

Bước 4:Vậy phương trình có tập nghiệm là:T   2 .

Cách giải trên sai từ bước nào?

A Sai ở bước 1 B Sai ở bước 2 C Sai ở bước 3 D Sai ở bước 4

Câu 15. Cho phương trình 2x2 x Trong các phương trình sau đây, phương trình nào không phải là0

hệ quả của phương trình đã cho?

A 2 1 0.

x x x

 

 B 2x2 x2x 52 0

C 2x3x2 x 0 D 4x3 x 0

Câu 16. Khi giải phương trình 3x2 1 2x1 1

, ta tiến hành theo các bước sau:

Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình  1 ta được:

Vậy tập nghiệm của phương trình là: 0; –4

.Cách giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?

A Sai ở bước1. B Đúng. C Sai ở bước 2. D Sai ở bước 3

VẬN DỤNG.

Câu 17. Phương trình nào sau đây không tương đương với phương trình

11

x x

A 2x x 3 1  x 3 và 2x 1 B

101

x x x

Phương pháp giải

- Để giải phương trình ta thực hiện các phép biến đổi để đưa về phương trình tương đương vớiphương trình đã cho đơn giản hơn trong việc giải nó Một số phép biến đổi thường sử dụng

Cộng (trừ) cả hai vế của phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình



ta thu được phương trình tương đương phương trình đã cho

Nhân (chia) vào hai vế với một biểu thức khác không và không làm thay đổi điều kiện xác định



của phương trình ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho

Bình phương hai vế của phương trình ta thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho

Thử x=3 vào phương trình ta thấy thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiệm x=3

Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm

Cách 3: (Giải theo Casio nếu có)

Ví dụ 2: Tập nghiệm của phương trìnhx x  x là1

Vậy phương trình vô nghiệm

Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm

Cách 3: (Giải theo Casio nếu có)

Ví dụ 3: Tập nghiệm của phương trình x 2x2 3x20

Vậy phương trình có nghiêmx=2

Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm

Cách 3: (Giải theo Casio nếu có)

Ví dụ 4: Phương trình 2x5  2x 5 có nghiệm là :

x 

C

25

x 

25

x

 

.Vậy phương trình có nghiêm x = 2

Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm

Cách 3: (Giải theo Casio nếu có)

Ta có: 2x5 2x 5  2x 5 0

52

S   

132

S   

213

S   

213

S   

 

Câu 10. Tập nghiệm của phương trình:

x 

83

x 

83

x 

38

S   

23 16

S   

 

Câu 19. Tập nghiệm của phương trình

3 32

1 1

x x

S   

  B Kết quả khác C S  1

31;2



  là:

A

1 2

x x

x x



7 6



Câu 25. Nghiệm của phương trình

2 2



D

9.2

Câu 33. Phương trình  x26x 9x3 27 có bao nhiêu nghiệm?

Câu 34. Số nghiệm của phương trình: x 4x2 3x20

là:

A Có nghiệm duy nhất B Có ba nghiệm

C Có hai nghiệm D Vô nghiệm

Câu 35. Nghiệm của phương trình 3x + =1 1 là:

A

10

x x

x x

x x

Câu 43: Cho phương trình x 2 x 1 4x 8

Tính tích tất cả các nghiệm của phương trình

B Phương trình có nghiệm duy nhất khi m ¹ 0.

C Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi m ¹ 0.

D Phương trình vô nghiệm "m.

Câu 45. Phương trình

10

1 1

x m x

D HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC CÂU KHÓ CỦA PHẦN TỰ LUYỆN

III – ĐỀ KIỂM TRA CUỐI BÀI

x

x x

Câu 8: -Để giải phương trình x 2 2x 3 (1) Một học sinh trình bày theo các bước sau:B1 : Bình phương hai vế.

(1)  x2 4x 4 4x212x9

B2 : (2)  3x2 8x 5 0

B3 : (3)  x =1hoặc

53

x 

B4 : Vậy (1) có hai nghiệm x  và 1 1 2

53

x x



A x  và 2 x  0 B

32

1 1

x m x

Câu 1:Điều kiện xác định của phương trình 2 2

x x

x x

x x

x x

x x

x 

C.x  2 và

3.2

x x x

x 

B4 :Vậy (1) có hai nghiệm x  và 1 1 2

53

Câu 14:Cho các phương trình: x1 3 (1) và  x12   32

(2) Chọn khẳng định đúng:

A Phương trình (1) và phương trình (2) là hai phương trình tương đương

B Phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1)

C Phương trình (2) vô nghiệm

D Phương trình (1) là phương trình hệ quả của phương trình (2)

Câu 15:Phương trình 3 x 5 5 x10 2 x 5 tương đương với phương trình nào sau đây?

Câu 18:Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?