Định nghĩa Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.. Vectơ còn được kí hiệu là , , , a b x yr r ur ur,…Các khái niệm có liên quan đến vectơ như giá của vectơ, độ dài của vectơ,
Trang 1VECTÔ TRONG KHOÂNG GIAN
I – ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN VỀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Cho đoạn thẳng AB trong không gian Nếu ta chọn điểm đầu là A , điểm cuối
là B ta có một vectơ, được kí hiệu là ABuuur
Định nghĩa
Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng Kí hiệu ABuuur chỉ vectơ
có điểm đầu là A , điểm cuối B Vectơ còn được kí hiệu là , , , a b x yr r ur ur,…Các khái niệm có liên quan đến vectơ như giá của vectơ, độ dài của vectơ, sựcùng phương, cùng hướng của hai vectơ, vectơ – không, sự bằng nhau của haivectơ, … được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng
II – ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ
1 Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian
Trong không gian cho ba vectơ ar, br, cr đều khác vectơ – không Nếu từ một
điểm O bất kì ta vẽ OA auur=r, OB buur=r, OC cuuur r= thì có thể xả ra hai trường hợp:
� Trường hợp các đường thẳng OA , OB , OC không cùng nằm trong một mặt phẳng, khi đó ta nói rằng vectơ ar, br, cr không đồng phẳng
� Trường hợp các đường thẳng OA , OB , OC cùng nằm trong một mặt phẳng thi ta nói ba vectơ ar, br, cr đồng phẳng
Trong trường hợp này giá của các vectơ , , a b cr r r luôn luôn song song với mộtmặt phẳng
a) Ba vectơ ar, br, cr không đồng phẳng b) Ba vectơ ar, br, cr đồngphẳng
Chú ý Việc xác định sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của ba vectơ nói
trên không phụ thuộc vào việc chọn điểm O
Từ đó ta có định nghĩa sau đây:
Trang 2Từ định nghĩa ba vectơ đồng phẳng và từ định lí về sự phân tích (hay biểu thị)một vectơ theo hai vectơ hai vectơ không cùng phương trong hình học phẳngchúng ta có thể chứng minh được định lí sau đây:
Định lí 1
Trong không gian cho hai vectơ ar, br không cùng phương và vectơ cr Khi
đó ba vectơ ar, br, cr đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số ,m n sao cho
c ma nb= +
r r r
Ngoài ra cặp số ,m n là duy nhất.
Định lí 2
Trong không gian cho ba vectơ không đồng phẳng ar, br, cr Khi đó với mọi
vectơ xur ta đều tìm được một bộ ba số , ,m n p sao cho x ma nb pcur= r+ r+ r.Ngoại ra bộ ba số , ,m n p là duy nhất.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1 BIỂU DIỄN VECTƠ
Câu 1 Cho hình lăng trụ ABC A B C ��� Đặt ar=AA buuur r�, =AB cuuur, r=ACuuur.
4 2 3 3
uuur r r r
4 2 3
uuur r r r
Trang 3C DKuuur=4ar- 2b cr+r. D DKuuur=4ar- 2br+3 cr
Câu 6 Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G Mệnh đề nào sau đây là sai ?
.3
OGuuur= OA OB OC ODuur uur uuur uuur+ + + D GA GB GC GDuuur uuur uuur uuur+ + + =0.r
Câu 7 Cho tứ diện ABCD Đặt AB a ACuuur=r,uuur=b ADr uuur, =cr. Gọi G là trọng tâm của
tam giác BCD. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sau đây đúng ?
A AGuuur= + +a b cr r r. B 1( )
.3
AG= a b c+ +uuur r r r
.2
AG= a b c+ +
uuur r r r
.4
AG= a b c+ +uuur r r r
Câu 8 Cho tứ diện ABCD Đặt ABuuur=a ACr,uuur=b ADr uuur, =cr. Gọi M là trung điểm
của đoạn thẳng BC Đẳng thức nào dưới đây là đúng ?
2 2
uuuur r r r
2 2
.2
MP= c b d+
-uuur r r r
.2
MP= c d b+ uuur r r r
AO= AB AD AA�+ +uuuruuur uuur uuur
Câu 12 Cho hình hộp ABCD A B C D ���� tâm O Khẳng định nào dưới đây là sai ?
A ACuuuur�=AB AD AAuuur uuur+ +uuur�. B AB BCuuur+uuur�+CD D Auuur+uuuur�=0.r
C AB AAuuur+uuur�=uuurAD DD+uuuur�. D AB BC CCuuur uuur+ +uuur�=ADuuuur uuuur uuur�+D O OC�+ �.
Câu 13 Cho hình hộp ABCD A B C D Khẳng định nào dưới đây là sai ? 1 1 1 1
A BC BAuuur uuur+ =B Cuuuur uuuur1 1+B A1 1 B AD D Cuuur uuuur uuuur+ 1 1+D A1 1=DCuuur
C BC BA BBuuur uuur uuur+ + =BDuuur D BA DDuuur uuuur uuur+ +BD =BCuuur
Trang 4Câu 14 Cho hình hộp ABCD A B C D Gọi M là trung điểm của 1 1 1 1 AD Khẳng.định nào dưới đây là đúng ?
A B Muuuur1 =B B B Auuur uuuur uuuur1 + 1 1+BC1 1 B 1 1 1 1 1 1 1
2
C Muuuur=C C C Duuur uuuur+ + C Buuuur
C Muuuur=C Cuuur+ C Duuuur+ C Buuuur D BBuuur uuuur uuuur1+B A1 1+B C1 1=2B Duuuur1
Câu 15 Cho hình lập phương ABCD A B C D ���� có cạnh bằng a Gọi G là trọng
tâm của tam giác AB C� Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
A ACuuuur�=3uuurAG. B ACuuuur�=4AGuuur. C BDuuuur�=4BGuuur. D BDuuuur�=3BGuuur.
Câu 16 Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Đặt
SAuur=a SB br uur=r SCuur=c SDr,uur=dr Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
A a c b dr r+ = +r r B a b c dr+ + + =r r r 0.r C a dr+ = +r b cr r. D a b c dr+ = +r r r.Câu 17 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi G
là điểm thỏa mãn GS GA GB GC GDuur uuur uuur uuur uuur+ + + + =0.r Khẳng định nào dưới đây là đúng
?
A G S O, , không thẳng hàng. B GSuur=4uuurOG.
C GSuur=5uuurOG D GSuur=3uuurOG
Câu 18 Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa mãn GA GB GC GDuuur uuur uuur uuur+ + + =0r (G là
trọng tâm của tứ diện) Gọi G là giao điểm của GA và mặt phẳng 0 (BCD).Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
A GAuuur=- 2G Guuuur0 B GAuuur=4G Guuuur0 C GAuuur=3G Guuuur0 D GAuuur=2G Guuuur0
Câu 19 Cho tứ diện ABCD Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AB CD, và G
là trung điểm của MN Khẳng định nào dưới đây là sai ?
A MA MB MC MDuuur uuur uuur uuuur+ + + =4MGuuuur. B GA GB GCuuur uuur uuur+ + =GDuuur.
C GA GB GC GDuuur uuur uuur uuur+ + + =0.r D GMuuuur uuur+GN=0.r
Câu 20 Cho hình hộp ABCD A B C D Tìm giá trị thực của k thỏa mãn đẳng 1 1 1 1thức vectơ uuur uuuur uuuurAB B C+ 1 1+DD1=k ACuuuur1
ABCD Gọi I là trung điểm của đoạn MN Tìm giá trị thực của k thỏa mãn
đẳng thức vectơ IAuur+(2k- 1)IB kIC IDuur+ uur uur+ =0.r
Trang 5Câu 24 Cho tứ diện ABCD Gọi M N lần lượt là trung điểm của AB và , CD.
Tìm giá trị thực của k thỏa mãn đẳng thức vectơ MNuuuur=k AC BD(uuur uuur+ )
Câu 25 Cho ba vectơ , ,a b cr r r không đồng phẳng Xét các vectơ xr=2a br+r,
y a b cr= -r r- r, zr=- 3br- 2 cr Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
A Ba vectơ , ,x y zr r r
đồng phẳng
B Hai vectơ ,x ar r cùng phương
C Hai vectơ ,x br r cùng phương
C Tồn tại ba số thực , ,m n p sao cho ma nb pcr+ r+ r=0.r
D Giá của , ,a b cr r r đồng quy
Câu 28 Cho hình hộp ABCD A B C D Khẳng định nào dưới đây là đúng ? 1 1 1 1
A BD BD BCuuur uuur uuur, 1, 1 đồng phẳng B CD AD A Buuur uuur uuuur1, , 1 1 đồng phẳng
C CD AD A Cuuur uuur uuur1, , 1 đồng phẳng D AB AD C Auuur uuur uuur, , 1 đồng phẳng
Câu 29 Cho hình hộp ABCD EFGH Gọi I là tâm của hình bình hành ABEF và
K là tâm của hình bình hành BCGF Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
A BD AK GFuuur uuur uuur, , đồng phẳng B BD IK GFuuur uur uuur, , đồng phẳng
C BD EK GFuuur uuur uuur, , đồng phẳng D BD IK GCuuur uur uuur, , đồng phẳng
Câu 30 Cho hình hộp ABCD A B C D ���� Gọi , I K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB A�� và BCC B�� Khẳng định nào dưới đây là sai ?
Câu 31 Cho tứ diện ABCD Gọi M N lần lượt là trung điểm của , AD BC, Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai ?
A Ba vectơ AB DC MNuuur uuur uuuur, , đồng phẳng
B Ba vectơ AB AC MNuuur uuur uuuur, , không đồng phẳng
Trang 6C Ba vectơ AN CM MNuuur uuur uuuur, , đồng phẳng
D Ba vectơ BD AC MNuuur uuur uuuur, , đồng phẳng
Câu 32 Cho tứ diện ABCD Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy điểm M N,sao cho AM =3MD BN, =3NC Gọi ,P Q lần lượt là trung điểm của AD và BC.Khẳng định nào dưới đây là sai ?
A Ba vectơ BD AC MNuuur uuur uuuur, , đồng phẳng
B Ba vectơ MN DC PQuuuur uuur uuur, , đồng phẳng
C Ba vectơ AB DC PQuuur uuur uuur, , đồng phẳng
D Ba vectơ AB DC MNuuur uuur uuuur, , đồng phẳng
Câu 33 Cho tứ diện ABCD và các điểm M , N xác định bởi
( )
2 3 1
uuuur uuur uuur
; DNuuur=DB xDCuuur+ uuur 2( ) Tìm x để các đường thẳng
SA�= SB�= SC�= trong đó , ,a b c là các số thay đổi.
Để mặt phẳng (A B C ��� đi qua trọng tâm của tam giác ABC thì )
A a b c+ + =3 B a b c+ + =4 C a b c+ + =2 D a b c+ + =1
Vấn đề 4 TÌM ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ
Câu 36 Cho tứ diện ABCD Gọi G là trọng tâm tam giác BCD Điểm M xác
định bởi đẳng thức vectơ AMuuuur=AB AC ADuuur uuur uuur+ + . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A M trùng G B M thuộc tia AG và AM =3AG
C G là trung điểm AM D M là trung điểm AG
Câu 37 Cho tứ diện ABCD Điểm N xác định bởi ANuuur=AB AC ADuuur uuur uuur+ - . Mệnh
đề nào sau đây đúng?
A N là trung điểm BD
B N là đỉnh thứ tư của hình bình hành BCDN
C N là đỉnh thứ tư của hình bình hành CDBN
C N trùng với A
Câu 38 Cho tứ diệnABCD Ta định nghĩa ''G là trọng tâm tứ diện ABCD khi
và chỉ khi GA GB GC GDuuur uuur uuur uuur+ + + =0''.r Khẳng định nào sau đây sai?
A G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AB và CD
B G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AC và BD
C G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AD và BC
D Cả A, B, C đều đúng.
Trang 7Câu 39 Cho hình hộp ABCD A B C D ���� Điểm M được xác định bởi đẳng thức.vectơ MA MB MC MD MAuuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur+ + + + '+MB'+MC'+MD' 0.=r Mệnh đề nào sau đâyđúng?
A M là tâm của mặt đáy ABCD
B M là tâm của mặt đáy ' ' ' '. A B C D
C M là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt đáy.
D Tập hợp điểm M là đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt đáy.
Câu 40 Cho hình hộp ABCD A B C D ���� cĩ tâm O Đặt AB auuur=r, BC buuur=r Điểm M
xác định bởi đẳng thức vectơ 1( )
2
OMuuur= a br r- Khẳng định nào sau đây đúng?
A M là trung điểm BB� B M là tâm hình bình hành BCC B��
C M là trung điểm CC� D M là tâm hình bình hành ABB A��
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
I – TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
1 Gĩc giữa hai vectơ trong khơng gian
Định nghĩa
Trong khơng gian, cho ur và vr là hai vectơ khác 0r Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho AB uuuur=r, ACuuur=vr Khi đĩ ta gọi gĩc BAC� (0��BAC� �180�) là gĩc giữa hai vectơ ur và
r
v trong khơng gian, kí hiệu là ( )u vr r, .
2 Tích vơ hướng của hai vectơ trong khơng gian
Định nghĩa
Trong khơng gian, cho hai vectơ ur và vr đều khác 0r Tích vơ hướng của hai vectơ ur và rv là một số, kí hiệu là uvr r , được xác định bởi cơng thức:
( )
.cos ,
uv r r = u v r r u v r r .
Trong trường hợp ur=0r hoặc vr=0r, ta quy ước uvr r =0.
II – VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG
1 Định nghĩa
Vectơ ra khác 0r được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng
d nếu giá của vectơ ra song song hoặc trùng với đường thẳng
d.
C
Trang 82 Nhận xét
a) Nếu ar là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ kar
với k�0 cũng là vectơ chỉ phương của d.
b) Một đường thẳng trong không gian hoàn toàn xác định nếu biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương ar của nó c) Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai vectơ chỉ phương cùng phương.
III – GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1 Định nghĩa
Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a� và b� cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b.
2 Nhận xét
a) Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.
b) Nếu ur là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và rv là vectơ chỉ phương của đường thẳng b và ( )u vr r, =a thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng a nếu 0�� � �a 90 và bằng 180�-a nếu
b a
Trang 9b) Cho hai đường thẳng song song Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
c) Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và
c khi b song song với c (hoặc b trùng với c).
B Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và
c thì b song song với c.
C Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn.
D Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai véctơ chỉ phương của hai
đường thẳng đó
Câu 2 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song
với nhau
B Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc
với nhau thì song song với đường thẳng còn lại
C Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc
với nhau
D Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song
thì vuông góc với đường thẳng kia
Câu 3 Cho hai đường thẳng phân biệt , a b và mặt phẳng ( )P , trong đó
Câu 7 Cho hình hộp AB C D A B' ' ' 'C D Giả sử tam giác AB C và '' A DC đều có'
ba góc nhọn Góc giữa hai đường thẳng AC và ' A D là góc nào sau đây?
Câu 10 Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a Gọi O là tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác BCD Góc giữa AO và CD bằng bao nhiêu?
Trang 10Câu 11 Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC Khi đó
1.
2
Câu 12 Cho tứ diện ABCD có AB=AC=AD và �BAC=BAD� =60� Hãy xác
định góc giữa cặp vectơ ABuuur và CDuuur?
Câu 13 Cho hình chóp S ABC có SA SB SC= = và �ASB=BSC� =CSA� Hãy xác
định góc giữa cặp vectơ SCuur và ABuuur?
Câu 14 Cho hình chóp S ABC có SA SB= và CA CB= Tính số đo của góc giữa
hai đường thẳng chéo nhau SC và AB
A 30 0 A 45 0 A 60 0 A 90 0
Câu 15 Cho hình chóp S ABC có AB=AC và �SAC=SAB� Tính số đo của góc
giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và BC
4os�
c j =1
Câu 17 Cho tứ diện ABCD có AB=AC=AD và �BAC=BAD� =60�, �CAD =90�.
Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD Hãy xác định góc giữa cặp vectơ ABuuur và IJuur?
Câu 23 Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh a Gọi M là trung điểm 1 1 1 1
AD Giá trị B M BDuuuur uuur1 1 là:
Trang 11Câu 24 Cho tứ diện ABCD cĩ AC=a BD, =3a Gọi M N lần lượt là trung,
điểm của AD và BC Biết AC vuơng gĩc với BD Tính MN
Câu 26 Trong khơng gian cho hai tam giác đều ABC và ABC� cĩ chung cạnh
AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau Gọi M N P Q lần lượt là trung, , , điểm của các cạnh AC CB BC� và C A, , � Tứ giác MNPQ là hình gì?
Câu 27 Cho tứ diện ABCD trong đĩ AB=6, CD = , gĩc giữa AB và CD là3
60� và điểm M trên BC sao cho BM =2MC Mặt phẳng ( )P qua M song song với AB và CD cắt BD AD AC lần lượt tại , , M N Q Diện tích MNPQ, ,bằng:
2
Câu 28 Cho tứ diện ABCD cĩ AB vuơng gĩc với CD , AB=4, CD = M là6
điểm thuộc cạnh BC sao cho MC=2BM Mặt phẳng ( )P đi qua M song song với AB và CD Diện tích thiết diện của ( )P với tứ diện là:
16.3
Câu 29 Cho tứ diện ABCD cĩ AB vuơng gĩc với CD , AB CD= = M là điểm6
thuộc cạnh BC sao cho MC=x BC 0( < < Mặt phẳngx 1) ( )P song song với
AB và CD lần lượt cắt BC DB AD AC tại , , ,, , , M N P Q Diện tích lớn nhất của tứ
giác bằng bao nhiêu?
Câu 30 Trong khơng gian cho tam giác ABC Tìm M sao cho giá trị của biểu
thứcP=MA2+MB2+MC2 đạt giá trị nhỏ nhất
A M là trọng tâm tam giác ABC
B M là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
C M là trực tâm tam giác ABC
D M là tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC
ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
1 Định nghĩa