For internal use onlyHàm lẻ theo x đối xứng qua x=0, suy ra tích phân bằng 0.
Trang 1For internal use only
CÁC LỆNH MẪU MATLAB BTL CÁ NHÂN MÔN GT2-2016
Tính đạo hàm:
Ví dụ bài 6
>> syms x y z
>> f=log(exp(x)+exp(z))-log(exp(x)+exp(y));
>> A=5*diff(f,x,1)-2*diff(f,y,1)+diff(f,z,1);
>> subs(A,[x y z],[0 0 0])
ans =
1.5000
Tính vi phân:
Ví dụ bài 4
>> Syms x y dx dy
>> f=x*log(x*y+1);
>> fxx=diff(f,x,2);
>> fyy=diff(f,y,2);
>> fxy=diff(diff(f,x),y);
>> A=subs(fxx,[x y],[1 0]);
>> B=subs(fyy,[x y],[1 0]);
>> C=subs(fxy,[x y],[1 0]);
>> d2f = A*dx^2 + B*dy^2 + 2*C*dx*dy
d2f =
- dy^2 + 4*dx*dy
Tính đạo hàm theo hướng
Ví dụ bài 17
>> syms x y
>> f=atan(x/y);
Trang 2For internal use only
>> M=[1 -1];
>> l=u/norm(u); %norm là độ lớn
>> gradf=[diff(f,x) diff(f,y)];
>> diffu=dot(gradf,l); %dot là nhân 2 véc tơ
>> diffu=subs(diffu,[x y],M)
diffu =
-0.7071
Tính tích phân đường loại 1
Ví dụ bài 21
>> syms x y
>> y=exp(x);
>> f=y^2;
>> dl=sqrt(diff(x)^2+diff(y)^2);
>> int(f*dl,x,1,3)
ans =
(exp(6) + 1)^(3/2)/3 - (exp(2) + 1)^(3/2)/3
Ví dụ bài 43
(Ta có miền Doxy x2+y2=2x)
>> syms x y z t
>> x=1+cos(t);
>> y=sin(t);
>> z=x^2+y^2;
>> f=2*x-5*y+3*z;
>> dl=sqrt(diff(x,t)^2+diff(y,t)^2+diff(z,t)^2);
>> int(f*dl,t,0,2*pi)
Warning: Explicit integral could not be found
ans =
int((cos(t)^2 + sin(t)^2 + (2*cos(t)*sin(t) - 2*sin(t)*(cos(t) + 1))^2)^(1/2)*(2*cos(t) - 5*sin(t) + 3*sin(t)^2 + 3*(cos(t) + 1)^2 + 2), t == 0 2*pi)
Trang 3For internal use only
>> vpa(ans,9) %tính xấp xỉ 9 chữ số
ans =
84.3258746
Tính tích phân đường loại 2
Ví dụ bài 29
>> syms x y
>> A=[2 0];
>> B=[0 4];
>> y=4-x^2;
>> int(y*diff(x)+x^2*diff(y),x,2,0)
ans =
8/3
Ví dụ bài 28, dùng toạ độ cực, tâm (0,0), bán kính π
>> syms x y t
>> x=pi*cos(t);
>> y=pi*sin(t);
>> int(y^2*diff(x,t)-x^2*diff(y,t),t,0,-3*pi/4) %cùng chiều kđh ans =
-(2*pi^3)/3
Tính độ dài đường cong
Ví dụ bài 38
>> syms x y
>> y=x^2+abs(x^2-x);
>> dl=sqrt(diff(x)^2+diff(y)^2);
>> int(dl,x,-1,1)
ans =
log(26^(1/2) + 5)/8 - log(2^(1/2) + 1)/8 + (7*2^(1/2))/8 + (5*26^(1/2))/8
>> vpa(ans,5) %tính xấp xỉ 5 chữ số
ans =
Trang 4For internal use only 4.6032
Tìm cực trị
Ví dụ bài 55, cực trị tự do
>> syms x y
>> f=(x+y^2)*exp(x/2);
>> diff(f,x)
ans =
exp(x/2) + (exp(x/2)*(y^2 + x))/2
>> diff(f,y)
ans =
2*y*exp(x/2)
>> A=diff(f,x,2);
>> B=diff(diff(f,x),y);
>> C=diff(f,y,2);
>> edit
% trong cửa sổ edit ta gõ lệnh như sau
F(1)=exp(x(1)/2) + (exp(x(1)/2)*((x(2))^2 + x(1)))/2; F(2)=2*x(2)*exp(x(1)/2);
end
% với F(1) F(2) là các phương trình của hệ phi tuyến
% chuyển ẩn x thành x(1), ẩn y thành x(2)
% lưu file trong cửa sổ edit dưới dạng m
>> fun=@ctr1;
>> x0=[5 5]; %chọn khoảng nghiệm dương ban đầu giải hpt
>> x=fsolve(fun,x0)
x =
>> diemdung1=x;
>> x1=[-5 -5]; %chọn khoảng nghiệm âm ban đầu giải hpt
>> x=fsolve(fun,x1)
Trang 5For internal use only
x =
>> diemdung2=x;
>> syms x %trả x về 1x1sym để tính
>> A1=subs(A,[x y],[diemdung1])
A1 =
0.1839 %A1 >0: cực tiểu
>> B1=subs(B,[x y],[diemdung1]);
>> C1=subs(C,[x y],[diemdung1]);
>> delta1 = A1*C1-(B1)^2
delta1 =
0.1353 %delta1 >0: có cực trị
>> A2=subs(A,[x y],[diemdung2])
A2 =
-7.1064e-05 % A2 <0
>> B2=subs(B,[x y],[diemdung2]);
>> C2=subs(C,[x y],[diemdung2]);
>> delta2 = A2*C2-(B2)^2
delta2 =
-1.6959e-07 %delta2 <0: không có cực trị
Tính tích phân kép
Ví dụ bài 75
>> syms x y
>> y1=2*x^2-3*x;
>> y2=x^2+2*x-6;
>> solve(2*x^2-3*x-x^2-2*x+6)
ans =
2
3
>> A=ezplot(y1);
Trang 6For internal use only
>> set(A,'color','r'); %đồ thị y1 là màu đỏ
>> hold on
>> ezplot(y2);
>> hold off
>> int(2*x*int(1,y1,y2),2,3)
ans =
5/6
Ví dụ bài 77
>> clear
>> syms x y
>> y=x/sqrt(3);
>> ezplot(y)
>> y=-x/sqrt(3);
>> hold on
>> ezplot(y)
>> x1=sqrt(4*y-y^2);
>> x2=-sqrt(4*y-y^2);
>> y=linspace(0,4,100);
>> x=sqrt(4*y-y.^2);
>> x(2,:)=-sqrt(4*y-y.^2);
>> plot(x,y)
>> x3=sqrt(2*y-y.^2);
>> x4=-sqrt(2*y-y.^2);
>> x=sqrt(2*y-y.^2);
>> x(2,:)=-sqrt(2*y-y.^2);
>> plot(x,y)
Trang 7For internal use only
Hàm lẻ theo x đối xứng qua x=0, suy ra tích phân bằng 0
Tính diện tích miền D
Ví dụ bài 78
>> syms x y
>> y=2-x^2;
>> ezplot(y);
>> hold on
>> ezplot(x^2);
>> solve(2-2*x^2)
ans =
1
-1
>> int(int(1,(x^2),(2-x^2)),-1,1)
ans =
8/3
Tính diện tích mặt S
Ví dụ bài 88*
>> syms x y
>> z=linspace(0,2,50); %vẽ hình minh hoạ để tính tích phân
>> theta=linspace(0,2*pi,50);
>> [z,theta]=meshgrid(z,theta);
Trang 8For internal use only
>> r=1;
>> x=r*cos(theta);
>> y=r*sin(theta);
>> h=surf(x,y,z);
>> set(h,'facecolor','blue','facealpha',0.2);
>> y1=sqrt(2-z.^2-x.^2);
>> y2=real(y5);
>> hold on
>> y3=-sqrt(2-z.^2-x.^2);
>> y4=real(y7);
>> surf(x,y2,z,'facecolor','blue')
>> surf(x,y4,z,'facecolor','blue')
>> xlabel('Truc x')
>> ylabel('Truc y')
>> zlabel('Truc z')
>> axis([-2 2 -2 2]) %Giới hạn trục x y
>> daspect([2 2 2]) %Làm méo dạng đồ thị
>> rotate3d on
Tính diện tích mặt chiếu xuống Oxy
Tính tích phân bội 3
Ví dụ bài 97*
>> syms x y
>> z=linspace(0,5,50); %vẽ hình minh hoạ để tính tích phân
>> theta=linspace(0,2*pi,50);
>> [z,theta]=meshgrid(z,theta);
>> r=1;
>> x=r*cos(theta);
>> y=r*sin(theta);
>> h=surf(x,y,z);
>> set(h,'facecolor','blue','facealpha',0.2);
Trang 9For internal use only
>> hold on
>> x=linspace(-2,2,100);
>> y=linspace(-2,2,100);
>> [x y]=meshgrid(x,y);
>> z=sqrt(x.^2+y.^2);
>> surf(x,y,z,'edgecolor','non','facecolor','red','facealpha',0.5)
>> syms x y z
>> int(int(int(z,0,r),r,0,1),0,2*pi)
ans =
pi/3
Tính tích phân mặt
Ví dụ bài