bai giang gt1

GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN Nguyễn Văn KiênGiới hạn một phía Cho hàm số f x xác định trên tập D = a, x0... GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN Nguyễn Văn Kiên2... Từ các tính chất trên ta có các hàm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI

BỘ MÔN TOÁN GIẢI TÍCH

NGUYỄN VĂN KIÊN

BÀI GIẢNG

GIẢI TÍCH I

Hà Nội - Năm 2012

Mục lục

1.1 Hàm số 4

1.2 Giới hạn của hàm một biến 4

1.2.1 Định nghĩa 4

1.2.2 Tính chất 7

1.2.3 Vô cùng bé 8

1.2.4 Vô cùng lớn 12

1.3 Tính liên tục của hàm một biến 13

1.3.1 Định nghĩa 13

1.3.2 Tính chất của hàm liên tục 13

1.3.3 Phân loại điểm gián đoạn 15

2 Đạo hàm và vi phân hàm một biến 17 2.1 Đạo hàm và vi phân cấp 1 17

2.1.1 Đạo hàm cấp 1 17

2.1.2 Vi phân cấp 1 20

2.2 Đạo hàm và vi phân cấp cao 22

2.2.1 Đạo hàm cấp cao 22

2.2.2 Vi phân cấp cao 24

2.2.3 Hàm cho theo tham biến 24

2.3 Các định lý về hàm khả vi 25

2.3.1 Định lý Fermat 25

2.3.2 Định lý Rolle 26

2.3.3 Định lý Lagrange 26

2.3.4 Định lý Cauchy 27

2.4 Công thức Taylor 27

MỤC LỤC Nguyễn Văn Kiên

2.4.1 Công thức Taylor 27

2.4.2 Khai triển Maclaurin một số hàm quen thuộc 28

2.5 Ứng dụng của đạo hàm để tính giới hạn 29

2.5.1 Quy tắc L’Hospital 29

2.5.2 Một số dạng giới hạn và cách tính 30

3 Tích phân hàm một biến 33 3.1 Tích phân bất định 33

3.1.1 Nguyên hàm 33

3.1.2 Bảng các nguyên hàm cơ bản 34

3.1.3 Các phương pháp tính tích phân không xác định 35

3.1.4 Tích phân của một số lớp hàm 38

3.2 Tích phân xác định 43

3.2.1 Định nghĩa 43

3.2.2 Công thức Newton-Leibniz 44

3.2.3 Các phương pháp tính tích phân xác định 46

3.3 Ứng dụng của tích phân 48

3.3.1 Ứng dụng tính diện tích 48

3.3.2 Ứng dụng tính độ dài đường cong 49

3.3.3 Ứng dụng tính thể tích vật thể tròn xoay 51

3.4 Tích phân suy rộng 51

3.4.1 Tích phân suy rộng loại 1 51

3.4.2 Tích phân suy rộng loại 2 57

3.4.3 Tích phân suy rộng chứa cả loại 1 và loại 2 61

4 Lý thuyết chuỗi 63 4.1 Khái niệm chuỗi số 63

4.1.1 Định nghĩa 63

4.1.2 Điều kiện cần của chuỗi số hội tụ 65

4.1.3 Các tính chất của chuỗi số hội tụ 66

4.2 Chuỗi số dương 66

4.2.1 Khái niệm 66

4.2.2 Các tiêu chuẩn xét sự hội tụ của chuỗi số dương 67

4.3 Chuỗi đan dấu, chuỗi có dấu bất ký 71

MỤC LỤC Nguyễn Văn Kiên

4.3.1 Chuỗi đan dấu 71

4.3.2 Chuỗi có dấu bất kỳ 72

4.4 Chuỗi hàm 74

4.4.1 Chuỗi hàm và miền hội tụ của chuỗi hàm 74

4.4.2 Chuỗi lũy thừa 75

4.5 Chuỗi Taylor và chuỗi Maclaurin 80

4.5.1 Điều kiện để một hàm có thể khai triển thành chuỗi Lũy thừa 80 4.5.2 Khai triển Maclaurin của một số hàm quen thuộc 82

4.6 Chuỗi Fourier 85

4.6.1 Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn 85

4.6.2 Khai triển Fourier của hàm số bằng cách thác triển chẵn, lẻ 88

Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D = (a, x0) ∪ (x0, b).

Định nghĩa 1 Hàm số y = f (x) được gọi là có giới hạn A khi x → x0 nếu với mọi

 > 0 bé tùy ý tồn tại số δ = δ() > 0 sao cho với mọi x thỏa mãn 0 < |x − x0| < δ thì

1 Cho  > 0 bé tùy ý Xét

|f (x) − 5| = |3x − 1 − 5| = 3|x − 2| <  ⇔ |x − 2| < 

3Chọn δ = 3 khi đó với mọi x thỏa mãn |x − 2| < δ thì

|3x − 1 − 5| < 

1.2 GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN Nguyễn Văn KiênNhư vậy

xn→ x0 khi n → ∞ ({xn} ⊂ D) thì f (xn) → L khi n → ∞

Nhận xét 1 Định lý trên cho thấy nếu tồn tại hai dãy xn và xm sao cho xn →

x0, n → ∞, và xm→ x0, m → ∞ nhưng hai dãy f (xn) và f (xm) lại tiến đến hai giớihạn khác nhau hoặc không tồn tại khi n → ∞ thì hàm số không tồn tại giới hạn

Ví dụ 2 Chứng minh rằng không tồn tại giới hạn của f (x) = sin1x khi x → 0

Giải Ta xét hai dãy

Định nghĩa 2 Hàm số y = f (x) được gọi là có giới hạn A khi x → +∞ nếu vớimọi  > 0 bé tùy ý tồn tại số M = M () > 0 sao cho với mọi x thỏa mãn x > M thì

|f (x) − A| <  Khi đó ta viết

lim

x→+∞f (x) = AĐịnh nghĩa 3 Hàm số y = f (x) được gọi là có giới hạn A khi x → −∞ nếu vớimọi  > 0 bé tùy ý tồn tại số M = M () < 0 sao cho với mọi x thỏa mãn x < M thì

|f (x) − A| <  Khi đó ta viết

lim

x→−∞f (x) = A

1.2 GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN Nguyễn Văn Kiên

2| = | 54x − 2| < | 5

2| < Vậy

lim

x→+∞

3x + 12x − 1 =

32Định nghĩa 4 Hàm số f (x) được gọi là có giới hạn +∞ khi x → x0 nếu với mọi

M > 0 (lớn tùy ý), tồn tại số δ = δ(M ) sao cho với mọi x thỏa mãn 0 < |x − x0| < δthì f (x) > M Ta viết

lim

x→x 0

f (x) = +∞

1.2 GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN Nguyễn Văn Kiên

Giới hạn một phía

Cho hàm số f (x) xác định trên tập D = (a, x0)

Định nghĩa 5 Hàm số f (x) được gọi là có giới hạn trái là A khi x → x0 nếu với mọi

 > 0 bé tùy ý tồn tại số δ = δ() > 0 sao cho với mọi x thỏa mãn 0 < x0− x < δ thì

Định nghĩa 6 Hàm số f (x) được gọi là có giới hạn phải là A khi x → x0 nếu với mọi

 > 0 bé tùy ý tồn tại số δ = δ() > 0 sao cho với mọi x thỏa mãn 0 < x − x0 < δ thì

−x nếu x ≤ 1Giải Ta có

lim

x→1 +f (x) = lim

x→1 +(2x + 1) = 3lim

1.2 GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN Nguyễn Văn Kiên

số δ > 0 sao cho f (x) ≤ g(x) với mọi x thỏa mãn 0 < |x − x0| < δ thì A ≤ B

Định lí 4 Giả sử tồn tại các giới hạn lim

x→x 0

g(x) = lim

x→x 0

h(x) = A và một số δ > 0 saocho g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) với mọi x thỏa mãn 0 < |x − x0| < δ khi đó

1.2 GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN Nguyễn Văn Kiên

• Nếu k = 0 ta nói f (x) là VCB bậc cao hơn g(x) khi x → x0 và ký hiệu f (x) =o(g(x)), x → x0

• Nếu k = 1 ta nói f (x) và g(x) là các VCB tương đương, ký hiệu f (x) ∼ g(x), x →

x0

• Nếu k 6= 0, 1 ta nói f (x) và g(x) là các VCB cùng bậc, ký hiệu f (x) = O(g(x)), x →

x0

• Nếu giới hạn không tồn tại f (x) và g(x) là các VCB không so sánh được

Các VCB tương đương khi x → 0

sin u(x) ∼ u(x) nếu u(x) → 0 khi x → x0

tương tự với các biểu thức còn lại trong công thức trên

Ví dụ 7 1 sin√

x ∼√

x khi x → 0 vì √

x → 0 khi x → 0

2 ln(1 + sin x2) ∼ sin x khi x → 0 vì sin x2 → 0 khi x → 0

3 arctan(x − 2)2 ∼ (x − 2)2 khi x → 2 vì (x − 2)2 → 0 khi x → 2

1.2 GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN Nguyễn Văn Kiên

Quy tắc ngắt bỏ VCB bậc cao

Nếu f (x) và g(x) là các VCB khi x → x0và f (x) = o(g(x)) thì g(x)+f (x) ∼ g(x), x →

x0

Quy tắc thay thế tương đương

Giả sử f (x), g(x), f (x), g(x) là các VCB khi x → x0 và f (x) ∼ f (x), g(x) ∼ g(x) khi

x → x0 Khi đó

lim

x→x 0

f (x)g(x) = limx→x 0

f (x)g(x)Chú ý: Nếu f (x), g(x), f (x), g(x) là các VCB khi x → x0 và f (x) ∼ f (x), g(x) ∼ g(x)khi x → x0 khi đó

1.2 GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN Nguyễn Văn Kiên

2 Xét giới hạn

lim

x→0

f (x)g(x) = limx→0

x sin xln(1 + sin x) = limx→0

x sin xsin x = limx→0x = 0Do

ln(1 + sin x) ∼ sin x; x → 0Vậy f (x) là VCB bậc cao hơn g(x) khi x → 0

3 Xét giới hạn

lim

x→2

f (x)g(x) = limx→2

arctan(x − 2)ln(5 − x2) = limx→2

arctan(x − 2)ln(1 + 4 − x2) = limx→2

x − 2

4 − x2 = −1

4Vì

k được gọi là cấp của vô cùng bé f (x)

Ví dụ 9 Tìm phần chính của các vô cùng bé sau

• f (x) = tan x − sin x khi x → 0

1.2 GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN Nguyễn Văn Kiên

= +∞ ta nói f (x) là vô cùng lớn bậc cao hơn g(x) khi x → x0

• Nếu lim

x→x 0

f (x) g(x) = l với 0 < |l| < +∞ ta nói f (x) và g(x) là các VCL cùngbậc Đặc biệt nếu l = 1 ta nói f (x) và g(x) là các VCL tương đương, ký hiệu

f (x) ∼ g(x), x → x0

• Nếu giới hạn lim

x→x 0

f (x) g(x) không tồn tại thì ta nói f (x) và g(x) là các VCL không sosánh được

Tương tự như đối với các VCB, để khử dạng vô định ∞∞ ta có thể thay thế các VCL ở

tử số và mẫu số bằng các VCL tương đương Nếu tử số hoặc mẫu số là tổng của cácVCL, ta có thể thay thế tương đương bằng cách bỏ đi các VCL bậc thấp hơn trong tử

số hoặc mẫu số

1.3 TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN Nguyễn Văn Kiên

1.3 Tính liên tục của hàm một biến

x→x 0 −f (x) =

f (x0)

2 Hàm số f (x) được gọi là liên tục phải tại x0 nếu lim

x→x 0 +f (x) = f (x0)Định nghĩa 11 Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục trong (a, b) nếu liên tục tại mọiđiểm (a, b) Hàm số f (x) được gọi là liên tục trên [a, b] nếu liên tục trên (a, b) và liêntục trái tại b, liên tục phải tại a

Định lí 5 Giả sử f (x) và g(x) là các hàm liên tục trên (a, b) khi đó f (x) + g(x),

kf (x), f (x)g(x), f (x)g(x) (g(x) 6= 0, ∀x ∈ (a, b)) liên tục trên (a, b)

Định lí 6 Giả sử u = f (x) liên tục tại điểm x0, g(u) liên tục tại điểm u0 = f (x0).Khi đó g(f (x)) liên tục tại điểm x0

Nhận xét 2 Từ các tính chất trên ta có các hàm sơ cấp liên tục trên miền xác địnhcủa nó

Định lí 7 Nếu f (x) liên tục trên [a, b] thì f (x) đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trênđó

Định lí 8 Nếu f (x) liên tục trên [a, b] và f (a)f (b) < 0 khi đó tồn tại c ∈ (a, b) saocho f (c) = 0

Ví dụ 10 Xét sự liên tục của hàm số sau:

f (x) =

(

x ln x nếu x > 0

a nếu x ≤ 0Giải:

1.3 TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN Nguyễn Văn Kiên

• Với x > 0, f (x) = x ln x là hàm sơ cấp, vậy f (x) liên tục với mọi x > 0

• Với x < 0, f (x) = a là hàm sơ cấp, vậy f (x) liên tục với mọi x < 0

• Với x = 0, ta có f (0) = a

lim

x→0 +f (x) = lim

x→0x ln x = 0 (xem chương 2)lim

x→0 +f (x) = lim

x→0 −a = aNếu a = 0 hàm số liên tục tại x = 0 ⇒ hàm số liên tục trên R

Nếu a 6= 0 hàm số gián đoạn tại x = 0

Nếu a 6= 0 hàm số gián đoạn tại x = 0

• Với x < 0, f (x) = a + x là hàm sơ cấp nên f (x) liên tục với ∀x < 0

• Với x > 0, f (x) =

√

9 + x − 32x là hàm sơ cấp nên f (x) liên tục với ∀x > 0

3(p1 + x

9 − 1)2x = limx→0+

3.12.x92x =

112( Vì

1.3 TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN Nguyễn Văn Kiên

Giả sử x0 là điểm gián đoạn của hàm số f (x) Khi đó

• x0 gọi là điểm gián đoạn loại 1 nếu f (x0+) và f (x0−) tồn tại hữu hạn.Hiệu

f (x0+) − f (x0−) gọi là bước nhảy Trong trường hợp f (x0+) = f (x0−) (tức làtồn tại lim

x→x 0

f (x)) thì x0 gọi là điểm gián đoạn khử được

• x0 gọi là điểm gián đoạn loại 2 nếu 1 trong 2 giới hạn f (x0+), f (x0−) không tồntại hoặc có giới hạn vô hạn

Ví dụ 13 Tìm và phân loại điểm gián đoạn f (x) = arctan 1

x − 1.Giải

• Hàm số là hàm sơ cấp xác định với mọi x 6= 1 do đó nó liên tục với mọi x 6= 1

Ví dụ 14 Tìm và phân loại điểm gián đoạn của f (x) = |x − 1|

(x − 1)(x − 2)Giải

• Hàm số là hàm sơ cấp xác định với mọi x 6= 1 và x 6= 2 do đó nó liên tục với mọi

Vậy x = 2 là điểm gián đoạn loại 2

1.3 TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN Nguyễn Văn Kiên

Ví dụ 15 Tìm và phân loại điểm gián đoạn f (x) = 1

1 − e3−x1

.Giải

• Hàm số là hàm sơ cấp xác định với mọi x 6= 3 do đó nó liên tục với mọi x 6= 3

f0(x0) Khi đó ta nói hàm f (x) khả vi tại điểm x0

Ví dụ 16 Tính đạo hàm bằng định nghĩa của các hàm số sau:

2.1 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP 1 Nguyễn Văn Kiên

Nhận xét 3 1 Nếu hàm f (x) khả vi tại điểm x0 thì

f (x0+ ∆x) − f (x0) = f0(x0)∆x + r(∆x).∆xtrong đó r(∆x) → 0 khi ∆x → 0

2 Điều kiện cần để hàm f (x) khả vi tại điểm x0 là f (x) liên tục tại x0 Nếu f (x)liên tục tại x0 chưa chắc đã khả vi tại x0

Ví dụ 17 Xét hàm f (x) = |x|, hàm này liên tục tại điểm x0 = 0 nhưng không tồn tạigiới hạn

Định nghĩa 13 Nếu hàm số y = f (x) xác định trong khoảng (a, x0] và giới hạn

lim

∆x→0−

f (x0+ ∆x) − f (x0)

∆xtồn tại hữu hạn thì được gọi là đạo hàm trái của f (x) tại x0 và ký hiệu f−0 (x0)

Nếu hàm số y = f (x) xác định trong khoảng [x0, b) và giới hạn

lim

∆x→0+

f (x0+ ∆x) − f (x0)

∆xtồn tại hữu hạn thì được gọi là đạo hàm phải của f (x) tại x0 và ký hiệu f+0(x0)

Như vậy hàm số có đạo hàm khi và chỉ khi đạo hàm trái và đạo hàm phải tồn tại

2.1 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP 1 Nguyễn Văn Kiên

Cho u = u(x) có đạo hàm tại x0, y = y(u) có đạo hàm tại điểm u0 = u(x0) khi đó

y = y(u(x)) có đạo hàm tại x0 và y(u(x))0|x0 = y0(u0)u0(x0)

2.1 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP 1 Nguyễn Văn Kiên

5 (loga|u(x)|)0 = u

0(x)u(x) ln a

6 (sin u(x))0 = u0(x) cos u(x)

7 (cos u(x))0 = −u0(x) sin u(x)

8 (tan u(x))0 = u

0(x)cos2u(x)

9 (cot u(x))0 = − u

0(x)sin2u(x)

10 (arcsin u(x))0 = u

0(x)p1 − u2(x)

11 (arccos u(x))0 = − u

0(x)p1 − u2(x)

df (x0) = f0(x0)∆x

2.1 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP 1 Nguyễn Văn Kiên

Như vậy ta nhận thấy nếu f (x) khả vi tại x0 thì

f (x0+ ∆x) − f (x0) ∼ f0(x0)∆x, ∆x → 0

Từ công thức vi phân ta có dx = (x)0∆x = ∆x và do đó công thức vi phân của f (x)

có thể được viết lại là

df = f0(x)dxCác phép toán của vi phân

Ví dụ 19 Tính gần đúng giá trị sau bằng vi phân cấp 1

x0 = 1, ∆x = 0, 02

2.2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO Nguyễn Văn Kiên

vi trong khoảng (a, b) khi đó ta nói f (x) khả vi đến cấp n trong khoảng (a, b) và đạohàm của f(n−1)(x) được gọi là đạo hàm cấp n của f (x) trong (a, b)

Đạo hàm cấp cao của một số hàm

2.2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO Nguyễn Văn Kiên

6 [(ax + b)α](n)= α(α − 1) (α − n + 1)an(ax + b)α−n

2 Áp dụng công thức Leibnitz với f (x) = x2 và g(x) = sin(3x) ta có

y(100) = C1000 x2(sin 3x)(100)+ C1001 (x2)0(sin 3x)(99)+ C1002 (x2)00(sin 3x)(98)

2.2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO Nguyễn Văn Kiên

Định nghĩa 17 Giả sử f (x) khả vi đến cấp 2 trong khoảng (a, b) Khi đó biểu thứcd(df ) gọi là vi phân cấp 2 của f (x), ký hiệu là d2f Như vậy

d2f = d(df )Một cách tổng quát, giả sử f (x) khả vi đến cấp 2 trong khoảng (a, b) Khi đó vi phâncấp n của f (x) được định nghĩa d(dn−1f ), ký hiệu dnf :

dnf = d(dn−1f )Nếu x là biến độc lập thì ta có

dnf = f(n)(x)dxnCác quy tắc tính vi phân cấp cao

Định lí 9 Giả sử f (x) và g(x) là các hàm khả vi đến cấp n trong (a, b) Khi đó

y = y(t(x)) = f (x)hàm này xác định trên (a, b) và được gọi là hàm cho theo tham biến t xác định bởi hệthức trên

2.3 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ HÀM KHẢ VI Nguyễn Văn Kiên

Đạo hàm của hàm cho theo tham biến

Cho hàm y = y(x) dưới dạng tham biến

(

x = x(t)

y = y(t)Khi đó các đạo hàm của nó được tính như sau

và như vậy ta tính được đạo hàm cấp cao

Ví dụ 23 Tính y0(x), y00(x) của các hàm cho dưới dạng tham biến sau:

y00(x) = (cot

t

2)0a(t − sin t)0 = − 1

2a(1 − cos t) sin2 t2 = −

14a sin4 t2

2.3 Các định lý về hàm khả vi

Định lí 10 Giả sử f (x) đạt cực trị tại điểm x0 và f (x) khả vi tại x0 Khi đó f0(x0) = 0

2.3 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ HÀM KHẢ VI Nguyễn Văn Kiên

Định lí 11 Giả sử f (x) xác định [a, b] và thỏa mãn các điều kiện sau

• f (x) liên tục trên [a, b]

• f (x) khả vi trên (a, b)

• f (a) = f (b)

khi đó ∃ c ∈ (a, b) sao cho f0(c) = 0

Định lí 12 Giả sử f (x) xác định [a, b] và thỏa mãn các điều kiện sau

• f (x) liên tục trên [a, b]

• f (x) khả vi trên (a, b)

khi đó ∃ c ∈ (a, b) sao cho f0(c) = f (b)−f (a)b−a ⇔ f (b) − f (a) = f0(c)(b − a)

Nhận xét 4 • Định lý Rolle là trường hợp riêng của định lý Lagrange

• Nếu f0(x) là hàm bị chặn trên đoạn [a, b], tức là tồn tại một số M > 0 sao cho

1 Ta có f (x) = sinx là hàm xác định và liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b), tức

là nó thỏa mãn điều kiện của định lý Lagrange, do đó tồn tại số c ∈ (a, b) saocho

f (b) − f (a) = f0(c)(b − a)

⇔ | sin b − sin a| = | cos c||b − a| ≤ |b − a|

2.4 CÔNG THỨC TAYLOR Nguyễn Văn Kiên

2 Ta có f (x) = ln x xác định và liên tục trên [a, b], và trên (a, b) có đạo hàm là

f0(x) = x1 như vậy nó thỏa mãn các điều kiện của định lý Lagrange, do đó tồntại c ∈ (a, b) sao cho

Định lí 13 Giả sử f (x), g(x) xác định [a, b] và thỏa mãn các điều kiện sau

• f (x), g(x) liên tục trên [a, b]

• f (x), g(x) khả vi trên (a, b)

• g(x) là hàm đơn điệu trên [a, b]

khi đó ∃ c ∈ (a, b) sao cho f (b)−f (a)g(b)−g(a) = fg00(c)(c)

1+ + f

(n)(x0)n! (x − x0)

n+f

(n+1)(c)(n + 1)! (x − x0)

n+1

c nằm giữa x và x0, x, x0 ∈ [a, b]

Công thức trên gọi là khai triển Taylor đến cấp n của hàm f (x) trong lân cận x0với phần dư dạng Lagrange Trong trường hợp x0 = 0 ta gọi là khai triển Maclaurin.Như vậy

f (x) = f (0) + f

0(0)1! x

1

+ + f

(n)(0)n! x

n

+f

(n+1)(c)(n + 1)!x

n+1

trong đó c nằm giữa 0 và x

2.4 CÔNG THỨC TAYLOR Nguyễn Văn Kiên

Định lí 15 Cho hàm số y = f (x) xác định trên [a, b] có đạo hàm cấp n − 1 liên tụctrên [a, b] và khả vi đến cấp n trong khoảng (a, b) và f(n)(x) liên tục tại x0 ∈ (a, b) Khi

đó ta có công thức khai triển

f (x) = f (x0) + f

0(x0)1! (x − x0)

1

+ + f

(n)(x0)n! (x − x0)

n

+ o((x − x0)n)

Các hàm số cho dưới đây thỏa mãn định lý trên do đó ta có

1−(2x)

1

1 + x3 =

13

1 − x = 1 + x + x

2+ x3+ + xn+ o(xn)Rút gọn ta được khai triển của hàm cần tìm

2.5 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÍNH GIỚI HẠN Nguyễn Văn Kiên

x2

22 + 13

2 f (x) = 1

2x + 3, x0 = −2Đặt x + 2 = t ⇒ x = t − 2 khi đó

2.5 Ứng dụng của đạo hàm để tính giới hạn

lim

x→x 0

f (x)g(x) = limx→x 0

f0(x)

g0(x) = KQuy tắc L’Hospital vẫn đúng trong trường hợp giới hạn một phía, giới hạn khi

x → ∞

2.5 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÍNH GIỚI HẠN Nguyễn Văn Kiên

6 Tính chất kẹp

(g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)lim

2.5 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÍNH GIỚI HẠN Nguyễn Văn Kiên

2 Đây là dạng 0

0 Trước hết thay thế tương đương

arctan x2 ∼ x2, x → 0Khi đó

Do

√

1 + tan x +√

1 + sin x → 2, x → 0Thay thế tương đương

tan x ∼ x, 1 − cos x ∼ x

2

2 , x → 0Khi đó

I3 = lim

x→0

x32x3 = 1

2.5 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÍNH GIỚI HẠN Nguyễn Văn Kiên

x

= ex→∞lim x 2x+12x−3−1

= ex→∞lim

4x 2x−3 = e2

2 Giới hạn trên có dạng 1∞ Ta có

lim

x→0

 sin xx

x21

= ex→0lim

1 x2 sin x

x −1

= ex→0lim

sin x−x x3 = e−16

(Dùng quy tắc Lôpitan)

3 Đây là giới hạn dạng 00 Đặt

K = lim

x→0+(sin x)xLấy logarit 2 vế ta được

áp dụng quy tắc Lôpitan ta được

ln K = − lim

x→0+

x2cos xsin x = 0Vậy K = 1 Chú ý các giới hạn sau được tính tương tự và cho kết quả là 1

Ta ký hiệu tập tất cả các nguyên hàm của hàm f (x) là

Z

f (x)dx và gọi là tíchphân không xác định của hàm f (x) Như vậy ta có

3.1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Nguyễn Văn Kiên

Zsin2x + cos2xsin2x cos2x dx =

Zdxcos2x+

Zdxsin2x = tan x − cot x + C

3.1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Nguyễn Văn Kiên

x2− a2 = 1

2aln

x − a

x + a