Từ đó viết phương trình của D.. Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.. Từ đó viết phương trình của D.. Từ đó viết phương trình của D.. Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc... Từ đĩ viết phương trì
Trang 1Bài 1 Tìm m để các phương trình sau chỉ cĩ 1 nghiệm:
a) 2x3-3(m+1)x2+6mx- = 2 0 b) x3-3x2+3(1-m x) + +1 3m= 0 c) 2x3-3mx2+6(m-1)x-3m+12 0= d) x3-6x2-3(m-4)x+4m- = 8 0 e) 2x3+3(m-1)x2+6(m-2)x+ - = 2 m 0 f) x3-3mx+2m= 0
Bài 2 Tìm m để các phương trình sau chỉ cĩ 2 nghiệm:
a) x3-(m+1)x2-(2m2-3m+2)x+2 (2m m- = b) 1) 0 x3-3mx+2m= 0
c) x3-(2m+1)x2+(3m+1)x m-( + = 1) 0 d) x3-3x2+3(1-m x) + +1 3m= 0
Bài 3 Tìm m để các phương trình sau cĩ 3 nghiệm phân biệt:
a) x3-3mx2+3(m2-1)x m-( 2- = b) 1) 0 x3-6x2-3(m-4)x+4m- = 8 0
c) 2x3+3(m-1)x2+6(m-2)x+ - = 2 m 0 d) 1 3 0
3x - + = x m
Bài 4 Tìm m để các phương trình sau cĩ 3 nghiệm dương phân biệt:
a) x3-3mx2+3(m2-1)x m-( 2- = b) 1) 0 x3-6x2-3(m-4)x+4m- = 8 0
3x -2x + x m+ + = 6 d) x3-mx2+(2m+1)x m- - = 2 0
Bài 5 Tìm m để các phương trình sau cĩ 3 nghiệm âm phân biệt:
a) 2x3+3(m-1)x2+6(m-2)x+ - = 2 m 0 b) x3-3mx2+3(m2-1)x m-( 2- = 1) 0 c) x3+3x2-9x m+ = 0 d) x3-x2+18mx-2m= 0
Trang 23 SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG
1 Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M x f x0( 0; ( )0 )
Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M x f x0( 0; ( )0 ) là:
y – y0 = f ¢(x0).(x – x0) (y0 = f(x0))
2 Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau có nghiệm:
( ) ( ) '( ) '( )
f x g x
f x g x
Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó
3 Nếu (C1): y = px + q và (C2): y = ax2 + bx + c thì
(C1) và (C2) tiếp xúc nhau Û phương trình ax2+bx c px q+ = + có nghiệm kép
VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x)
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y =f(x) tại điểm M x y : 0( 0 0; )
· Nếu cho x 0 thì tìm y 0 = f(x 0 )
Nếu cho y 0 thì tìm x 0 là nghiệm của phương trình f(x) = y 0
· Tính y¢ = f¢ (x) Suy ra y¢(x 0 ) = f¢ (x 0 )
· Phương trình tiếp tuyến D là: y – y 0 = f¢ (x 0 ).(x – x 0 )
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y =f(x), biết D có hệ số góc k cho trước Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm
· Gọi M(x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm Tính f¢ (x 0 )
· D có hệ số góc k Þ f¢ (x 0 ) = k (1)
· Giải phương trình (1), tìm được x 0 và tính y 0 = f(x 0 ) Từ đó viết phương trình của D
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc
· Phương trình đường thẳng D có dạng: y = kx + m
· D tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
( ) '( )
f x kx m
· Giải hệ (*), tìm được m Từ đó viết phương trình của D
Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến D có thể được cho gián tiếp như sau:
+ D tạo với chiều dương trục hoành góc a thì k = tana
+ D song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a
+ D vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a ¹ 0) thì k = 1
a
-
+ D tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc a thì tan
1
k a ka
-=
Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y = f(x), biết D đi qua điểm ( ; ) A x y A A
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm
· Gọi M(x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm Khi đó: y 0 = f(x 0 ), y¢ 0 = f¢ (x 0 )
· Phương trình tiếp tuyến D tại M: y – y 0 = f¢ (x 0 ).(x – x 0 )
· D đi qua ( ; ) A x y nên: y A A A – y 0 = f¢ (x 0 ).(x A – x 0 ) (2)
· Giải phương trình (2), tìm được x 0 Từ đó viết phương trình của D
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc
· Phương trình đường thẳng D đi qua ( ; ) A x y và có hệ số góc k: y – y A A A = k(x – x A )
Trang 3· D tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau cĩ nghiệm:
· Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k) Từ đĩ viết phương trình tiếp tuyến D
Bài 1 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:
a) (C):y=3x3-x2-7x+ tại A(0; 1) 1 b) (C):y x= 4-2x2+ tại B(1; 0) 1
x y
x
+
=
2 1
y x
x
= +
tại D(0; 3)
Bài 2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:
a) (C):
2 3 3 2
y
x
=
- tại điểm A cĩ xA = 4 b) (C): 3( 2)
1
x y
x
-=
- tại điểm B cĩ yB = 4
2
x y
x
+
=
- tại các giao điểm của (C) với trục hồnh, trục tung
d) (C):y=2x- 2x2+ tại các giao điểm của (C) với trục hồnh, trục tung 1
e) (C): y x= 3-3x+ tại điểm uốn của (C) 1
f) (C): 1 4 2 2 9
y= x - x - tại các giao điểm của (C) với trục hồnh
Bài 3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường được chỉ ra: a) (C):y=2x3-3x2+9x- và d: 4 y=7x+ 4
b) (C):y=2x3-3x2+9x- và (P): 4 y= -x2+8x- 3
c) (C):y=2x3-3x2+9x- và (C’): 4 y x= 3-4x2+6x- 7
Bài 4 Tính diện tích tam giác chắn hai trục toạ độ bởi tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được chỉ ra:
x y
x
+
=
- tại điểm A cĩ xA = 2 b) (C):y= x2-7x+26 tại điểm B cĩ xB = 2
Bài 5 Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được chỉ ra chắn hai trục toạ độ một tam giác cĩ diện tích bằng S cho trước:
a) (C): 2
1
x m y
x
+
=
- tại điểm A cĩ xA = 2 và S =
1
2
2
y
x
-=
+ tại điểm B cĩ xB = –1 và S =
9
2 c) (C):y x= 3+ -1 m x( + tại điểm C cĩ x1) C = 0 và S = 8
Bài 6 Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D cĩ hệ số gĩc k được chỉ ra:
a) (C):y=2x3-3x2+ ; k = 12 5 b) (C): 2 1
2
x y x
-=
- ; k = –3 c) (C):
2 3 4 1
y
x
=
2 4 3
y= x - x+ ; k = 2
Bài 7 Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D song song với đường thẳng d cho trước:
Trang 4a) (C):
3 2
3
x
y= - x + x+ ; d: y = 3x + 2 b) (C): 2 1
2
x y x
-=
- ; d:
4
y= - x+ c) (C):
2 2 3
y
x
-=
+ ; d: 2x y+ - = 5 0 d) (C): 1 4 3 2 3
y= x - x + ; d: y = –4x + 1
Bài 8 Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D vuơng gĩc với đường thẳng d cho trước: a) (C):
3 2
3
x
8
x
y = - + b) (C): 2 1
2
x y x
-=
- ; d: y x= c) (C):
2 3 1
x y
x
+
=
2
y x
+
-= + ; d: x – 2
Bài 9 Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D tạo với chiều dương trục Ox gĩc a:
3
x
3
x
y= - x + -x a = c) ( ) : 3 2; 450
1
x
C y
x
Bài 10 Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D tạo với đường thẳng d một gĩc a: a) (C):
3
3
x
y= - x + -x d y= x+ a =
b) (C):
3
x
y= - x + -x d y= - x+ a =
1
x
x
x
x
e)
2
0
3
2
x
- +
Bài 11 Tìm m để tiếp tuyến D của (C) tại điểm được chỉ ra vuơng gĩc với đường thẳng d cho trước:
a) (C):
2 (2 1) 2
1
y
x
=
+ tại điểm A cĩ xA = 0 và d là tiệm cận xiên của (C) b) (C):
2
3
y
x
-=
- ; tại điểm B cĩ xB = 4 và d: x – 12y + 1 = 0
Bài 12 Tìm m để tiếp tuyến D của (C) tại điểm được chỉ ra song song với đường thẳng d cho trước:
a) (C):
2
x m
+ tại điểm A cĩ yA = 0 và d: y x= -10
Bài 13 Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D đi qua điểm được chỉ ra:
a) (C):y= - +x3 3x- ; A(2; –4) 2 b) (C):y x= 3-3x+ ; B(1; –6) 1
c) (C): ( 2)2
2
y= x - x + ; 0;3
2
Dỉç ư÷
2
x y
x
+
=
1
x y x
+
=
- ; F(2; 3) g) (C):
2 3 3 2
y
x
=
1
y x
- +
=
- ; H(2; 2)
Trang 5VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc
1 Điều kiện cần và đủ để hai đường (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau cĩ nghiệm:
'( ) '( )
f x g x
f x g x
Nghiệm của hệ (*) là hồnh độ của tiếp điểm của hai đường đĩ
2 Nếu (C 1 ): y = px + q và (C 2 ): y = ax 2 + bx + c thì
(C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc nhau Û phương trình ax2+bx c px q+ = + cĩ nghiệm kép
Bài 1 Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau:
a) ( ) :C1 y x= 3+ +(3 m x) 2+mx+2; ( ) :C2 trục hoành
b) ( ) :C1 y x= 3-2x2-(m-1)x m C+ ; ( ) :2 trục hoành
c) ( ) :C1 y x= 3+m x( + +1) 1; ( ) :C2 y x= + 1
d) ( ) :C1 y x= 3+2x2+2x-1; ( ) :C2 y x m= +
Bài 2 Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau:
a) ( ) :C1 y x= 4+2x2+1; ( ) :C2 y=2mx2+ m
b) ( ) :C1 y= -x4+x2-1; ( ) :C2 y= -x2+ m
c) ( ) :1 1 4 2 2 9; ( ) :2 2
C y= - x + x + C y= -x + m
d) ( ) :C1 y=(x+1) (2 x-1) ; ( ) :2 C2 y=2x2+ m
e) ( ) :1 (2 1) 2; ( ) :2
1
x
-f)
2
2
1
x
- +
-VẤN ĐỀ 3: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị
(C1): y = f(x) và C2): y = g(x)
1 Gọi D: y = ax + b là tiếp tuyến chung của (C 1 ) và (C 2 )
u là hồnh độ tiếp điểm của D và (C 1 ), v là hồnh độ tiếp điểm của D và (C 2 )
· D tiếp xúc với (C 1 ) và (C 2 ) khi và chỉ khi hệ sau cĩ nghiệm:
f u au b
g v av b
ï
= ïỵ
· Từ (2) và (4) Þ f¢ (u) = g¢ (v) Þ u = h(v) (5)
· Thế a từ (2) vào (1) Þ b = j(u) (6)
· Thế (2), (5), (6) vào (3) Þ v Þ a Þ u Þ b Từ đĩ viết phương trình của D
2 Nếu (C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc nhau tại điểm cĩ hồnh độ x 0 thì một tiếp tuyến chung của (C 1 ) và (C 2 ) cũng là tiếp tuyến của (C 1 ) (và (C 2 )) tại điểm đĩ
Bài 1 Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị:
a) ( ) :C1 y x= 2-5x+6; ( ) :C2 y= -x2+5x- 11
b) ( ) :C1 y x= 2-5x+6; ( ) :C2 y= -x2- -x 14
Trang 6c) ( ) :C1 y x= 2-5x+6; ( ) :C2 y x= 3+3x-10
VẤN ĐỀ 4: Tìm những điểm trên đồ thị (C): y = f(x) sao cho tại đĩ
tiếp tuyến của (C) song song hoặc vuơng gĩc với một đường thẳng d cho trước
· Gọi M(x 0 ; y 0 ) Ỵ (C) D là tiếp tuyến của (C) tại M Tính f¢ (x 0 )
· Vì D // d nên f¢ (x 0 ) = k d (1)
hoặc D ^ d nên f¢ (x 0 ) = 1
d
k
· Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được x 0 Từ đĩ tìm được M(x 0 ; y 0 ) Ỵ (C)
Bài 1 Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đĩ vuơng gĩc với đường thẳng d cho trước:
a) (C):
2 3 6 1
y
x
=
1 3
y= x
b) (C):
1
y
x
+ +
=
+ ; d là tiệm cận xiên của (C)
1
y
x
+
-=
- ; d là đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của (C)
d) (C):y x2 x 1
x
- +
Bài 2 Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đĩ song song với đường thẳng d cho trước:
a) (C):y x= 3+x2+ +x 10; d: y=2x b) (C):
y
x
- +
VẤN ĐỀ 5: Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đĩ cĩ thể vẽ được
1, 2, 3, … tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x)
Giả sử d: ax + by +c = 0 M(x M ; y M ) Ỵ d
· Phương trình đường thẳng D qua M cĩ hệ số gĩc k: y = k(x – x M ) + y M
· D tiếp xúc với (C) khi hệ sau cĩ nghiệm:
ỵ
· Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – x M ).f¢ (x) + y M (3)
· Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)
Bài 1 Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà từ đĩ vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C):
a) ( ) :C y= - +x3 3x2- 2 b) ( ) :C y x= 3-3x+ 1
Bài 2 Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đĩ vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C):
1
x
C y
x
+
=
( ) :
1
C y
x
+ +
=
- ; d là trục hồnh c) ( ) : 2 2
1
C y
x
+
=
2 3 3 ( ) :
2
C y
x
= + ; d: x = 1
1
x
C y
x
+
=
- ; d: y = 2x + 1
Trang 7Bài 3 Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đĩ vẽ được ít nhất một tiếp tuyến với (C):
a)
2 6 9 ( ) :
2
C y
x
=
- + ; d là trục tung b)
2 3 3 ( ) :
1
C y
x
=
+ ; d là trục tung c) ( ) : 2 1
2
x
C y
x
+
=
( ) :
x
C y
x
+
=
- ; d: y = 2
Bài 4 Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đĩ vẽ được hai tiếp tuyến với (C):
2
C y
x
+
-= + ; d là trục hồnh b)
( ) :
1
C y
x
-= + ; d là trục tung c)
2 3 3 ( ) :
2
C y
x
= + ; d: y = –5
Bài 5 Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đĩ vẽ được ba tiếp tuyến với (C):
a) ( ) :C y= - +x3 3x2- ; d: y = 2 2 b) ( ) :C y x= 3-3x; d: x = 2
c) ( ) :C y= - +x3 3x+ ; d là trục hồnh d) 2 ( ) :C y x= 3-12x+12; d: y = –4
e) ( ) :C y x= 4-x2- ; d là trục tung 2 e) ( ) :C y= -x4+2x2- ; d là trục tung 1
Bài 6 Từ điểm A cĩ thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C):
a) ( ) :C y x= 3-9x2+17x+ ; A(–2; 5) 2 b) ( ) : 1 3 2 2 3 4; 4 4;
C y= x - x + x+ Aỉç ư÷
c) ( ) :C y=2x3+3x2-5; (1; 4)A -
Bài 7 Từ một điểm bất kì trên đường thẳng d cĩ thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C): a) ( ) :C y x= 3-6x2+9x- ; d: x = 2 1 b) ( ) :C y x= 3-3x; d: x = 2
VẤN ĐỀ 6: Tìm những điểm mà từ đĩ cĩ thể vẽ được
2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) và 2 tiếp tuyến đĩ vuơng gĩc với nhau
Gọi M(x M ; y M )
· Phương trình đường thẳng D qua M cĩ hệ số gĩc k: y = k(x – x M ) + y M
· D tiếp xúc với (C) khi hệ sau cĩ nghiệm:
ỵ
· Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – x M ).f¢ (x) + y M (3)
· Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) Û (3) cĩ 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2
· Hai tiếp tuyến đĩ vuơng gĩc với nhau Û f¢ (x 1 ).f¢ (x 2 ) = –1
Từ đĩ tìm được M
Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục
hồnh thì
1 2
( ) ( ) 0có nghiệm phân biệt
f x f x
ì
ỵ
Bài 1 Chứng minh rằng từ điểm A luơn kẻ được hai tiếp tuyến với (C) vuơng gĩc với nhau Viết phương trình các tiếp tuyến đĩ:
4
C y= x - x+ Aỉç - ư÷
1
x
+ +
-+ c)
2 2 2
1
x
=