XOẮN THUẦN TÚY THANH THẲNG.

Thanh chịu xoắn thuần túy khi trên các mặt cắt ngang chỉ có một thành phần nội lực là mômen xoắn Mz (H.9.1). Dấu của nội lực Mz : Mz  0 khi từ ngoài nhìn vào mặt cắt thấy Mz quay cùng kim đồng hồ và ngược lại. Ngoại lực: Gồm các ngẫu lực mômen xoắn tâp trung Mo (Nm) hay phân bố m(Nmm), nằm trong mặt phẳng vuông góc trục thanh. Thực tế thường gặp: các trục truyền động, thanh chịu lực không gian, dầm đỡ ô văng... 2 Biểu đồ nội lực mômenThanh chịu xoắn thuần túy khi trên các mặt cắt ngang chỉ có một thành phần nội lực là mômen xoắn Mz (H.9.1). Dấu của nội lực Mz : Mz  0 khi từ ngoài nhìn vào mặt cắt thấy Mz quay cùng kim đồng hồ và ngược lại. Ngoại lực: Gồm các ngẫu lực mômen xoắn tâp trung Mo (Nm) hay phân bố m(Nmm), nằm trong mặt phẳng vuông góc trục thanh. Thực tế thường gặp: các trục truyền động, thanh chịu lực không gian, dầm đỡ ô văng... 2 Biểu đồ nội lực mômenThanh chịu xoắn thuần túy khi trên các mặt cắt ngang chỉ có một thành phần nội lực là mômen xoắn Mz (H.9.1). Dấu của nội lực Mz : Mz  0 khi từ ngoài nhìn vào mặt cắt thấy Mz quay cùng kim đồng hồ và ngược lại. Ngoại lực: Gồm các ngẫu lực mômen xoắn tâp trung Mo (Nm) hay phân bố m(Nmm), nằm trong mặt phẳng vuông góc trục thanh. Thực tế thường gặp: các trục truyền động, thanh chịu lực không gian, dầm đỡ ô văng... 2 Biểu đồ nội lực mômen

Chương 9

1-Định nghĩa:

Thanh chịu xoắn thuần túy khi trên các mặt cắt ngang chỉ

có một thành phần nội lực là mômen xoắn M z (H.9.1)

Dấu của nội lực M z: Mz 0 khi từ ngoài nhìn vào mặt cắt

thấy Mz quay cùng kim đồng hồ và ngược lại

Ngoại lực: Gồm các ngẫu lực mômen xoắn tâp trung Mo

(Nm) hay phân bố m(Nm/m), nằm trong mặt phẳng vuông

góc trục thanh

Thực tế thường gặp: các trục truyền động, thanh chịu lực không gian, dầm đỡ ô

văng

2- Biểu đồ nội lực mômen xoắn Mz

Biểu đồ mômen xoắn được vẽ bằng phương pháp mặt cắt

Từ điều kiện cân bằng tĩnh học: M/OZ = 0 suy ra nội lực Mz trên mặt cắt

Thí dụ 1: Vẽ biểu đồ Mz

Thực hiện mặt cắt 1-1 trong đoạn AB, xét cân bằng phần bên trái của mặt cắt, ngoại lực

là ngẫu lực xoắn MA nội lực tại mặt cắt 1-1 là mômen xoắn Mz vẽ theo chiều dương Lập phương trình cân bằng tỉnh học:

M / z = 0  Mz = MA= 5Nm (Momen ngoại lực tập trung nội lực không phụ thuộc z) Tương tự cho các mặt cắt trong đoạn BK và KC và biểu đồ được vẽ như hình trên

(Chú ý tại mặt cắt có Mo tập trung trên biểu đồ Mz sẽ có bước nhảy và giá trị bằng

momen tập trung đó, biểu đồ hằng số trong từng đoạn không phụ thuộc z)

Thí dụ 2:

Cho trục có tiết diện thay đổi, đoạn AK có momen phân bố đều m hằng số và moment tập trung như hình vẽ Vẽ biểu đồ nội lực Mz

Thực hiện mặt cắt trong đoạn AK như hình dưới, ta thấy biểu đồ Mz bậc 1trong đoạn

AK và các đoạn khác giống như thí dụ đã vẽ trên

y

z

Mz

x

O

H 9.1

_ +

5Nm

15N-m

L

MA=5N-m

L

MB=20N-m

MC=10N-m

B

MK=25N-m

L

MA=10Nm

Mz

z 1

1

1

+

MC=10N-m

Đoạn AK

3 Công thức chuyển đổi công suất động cơ W(N-m/s) ra ngẫu lực xoắn (mômen xoắn ngoại lực M 0 (N.m) trên trục

Khi tính toán các trục truyền động, thường ta biết công suất truyền của môtơ tính bằng mã lực (CV) hay kilôóat(kW) và tốc độ trục quay bằng n (vòng/phút), do đó cần chuyển đổi công suất truyền ra ngẫu lực xoắn tác dụng lên trục

Giả sử có một ngẫu lực xoắn Mo (N.m) tác dụng làm trục quay một góc  (radian) trong thời gian t (giây), công sinh ra là:

A = Mo.

Công suất là:   o  o   M o

t

M t

M t

A W

trong đó:  - là vận tốc góc (rad/s), đơn vị của công suất là N.m/s

Gọi n là số vòng quay của trục trong một phút (vòng/phút), ta có:

30 60

2 n n

a) Nếu W tính bằng mã lực (CV, HP); 1mã lực = 750Nm/s = 0,736 kW:

30 30.750. 7162 ( Nm )

n

W n

W n

W











b) Nếu W tính bằng kilôwat (KW), 1 KW  1020 N.m/s:

) Nm ( 9740

1020 30

30

n

W n

W n

W









 XOẮN THUẦN TUÝ THANH THẲNG TIẾT DIỆN TRÒN

dz

Mz

H.9.2

Mz

K

40Nm

m=20Nm/m

B

d2=10cm d1=6cm

a 10Nm

30Nm

+

-

z

m

Mz

0 < z < a

Mz-mz=0 M z = mz

A

1- Thí nghiệm - Nhận xét

Xét một thanh thẳng tiết diện tròn, trên mặt ngoài vạch những đường song song và

những đường tròn thẳng góc với trục, tạo thành lưới ô vuông (H.9.2.a)

Tác dụng lên hai đầu thanh ngẫu lực xoắn Mz ngược chiều, ta thấy trục thanh vẫn thẳng, chiều dài thanh không đổi, những đường tròn thẳng góc với trục vẫn tròn và thẳng góc với trục, những đường song song với trục thành những đường xoắn ốc, lưới ô

vuông thành lưới bình hành (H.9.2.b)

2- Các giả thiết : Trong quá trình biến dạng :

a) Mặt cắt ngang vẫn phẳng, thẳng góc với trục thanh và khoảng cách không đổi b) Các bán kính vẫn thẳng và chiều dài không đổi

c) Các thớ dọc không ép và đẩy lẩn nhau

3- Ưng suất trên mặt cắt ngang

Tính ứng suất tại một điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang có

bán kính  đến tâm 0 (H.9.3).Theo thí nghiệm trên ta nhận

thấy, biến dạng của thanh chịu xoắn thuần túy chỉ là sự

xoay tương đối giữa các mặt cắt ngang quanh trục z

Theo giả thiết a) không có biến dạng dài theo phương

dọc trục, theo giả thiết c) các thớ dọc không tác dụng với

nhau nên không có ứng suất pháp tác dụng lên các mặt của

phân tố

Do giả thiết b), mọi bán kính vẫn thẳng nên không có ứng suất tiếp hướng tâm

Như vậy, trên mặt cắt ngang của thanh chịu xoắn thuần túy chỉ tồn tại ứng suất tiếp theo phương vuông góc bán kính và cùng chiều với Mz gọi là  và phân tố đang xét ở

trạng thái ứng suất trượt thuần túy (H.9.4)

Để xét biến dạng xoắn ta tách phân tố hình trụ tròn có bán kính  qua điểm muốn tính

và đoạn AB bằng dz Giã sữ mặt cắt tại B đứng yên, mặt cắt tại A xoay một góc d từ A đến A/

theo chiều Mz như sau : Gọi  là góc trượt

Từ (H.9.3), ta có:

Tan    =

dz

d

 



 AB

A A

(a)

Áp dụng định luật Hooke về trượt cho phân tố này, ta có:

dz

d G G

p







   (b)

Gọi dA là một diện tích vô cùng bé bao quanh điểm đang xét, thì .dA là lực tiếp

H 9.4

Phân tố trượt thuần túy

 

H 9.3

z

M z

O

z

z

0 d  A 



dz

H 9.3

z

M z

O

z

tuyến tác dụng trên diện tích đó và .dA. là mômen của lực dA đối với tâm O Tổng các mômen này phải bằng M z, nên ta có thể viết:



A p

(b) vào (c)   

A

dz

d G

Vì :

dz

d

là hằng số đối với mọi điểm thuộc mặt cắt A, nên ta có thể đưa ra ngoài dấu

tích phân, khi đó tích phân 

A

dA

.

2

 chính là mômen quán tính cực (đối với một điểm) I p

A

dz

d G dA dz

d G

(e)

từ (e) ta có :





GI

M dz

d  z (f)

Có thể thấy rằng :

dz

d

chính là góc xoắn trên một đơn vị chiều dài (còn gọi là góc xoắn tỉ đối) đơn vị (rad/m)

Đặt : dz

d



 , ta có:





GI

M z



từ (b) và (f) ta suy được công thức tính ứng suất tiếp :  



M z



Trong đó Mz là nội lực trên mặt cắt,  là khoảng cách từ điểm muốn tính ứng suất đến tâm 0, và IP là momen quán tính đối với tâm 0 của mặt căt ngang

Nhận xét :

-Ứng suất tiếp  thay đổi theo quy luật bậc nhất, bằng không tại tâm 0 và cực đại tại những điểm trên chu vi ( =R), và cùng chiều với Mz

- Biểu đồ phân bố ứng suất tiếp tại mọi điểm trên mặt cắt ngang

Trên H.9.7.b, thể hiện ứng suất tiếp đối ứng trên các mặt cắt chứa trục

Ứng suất tiếp cực đại ở các điểm trên chu vi ( = bán kính R) R

I

M z



đặt:

R

I

  ; W p :gọi là mômen chống xoắn của mặt cắt ngang 





W



max

max



0

max



max



0

* Với tiết diện tròn đặc và D là đường kính: 3

3 3

2 0 16

R R

I



* Với tiết diện tròn rỗng: ( ) ( 4) , 3( 4)

3 4

4

1 2 0 1

16

1 32





R

D R

I W

trong đó:  là tỷ số giữa đường kính trong và đường kính ngoài ( = d/D)

4- Công thức tính biến dạng khi xoắn

Góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt cách nhau dz là : dz

GI

M



   Góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt cách nhau một đoạn dài L là:

 L  

o

L

o

z dz GI

M d





* Khi đoạn thanh có

p

z

GI

M

là hằng số 

p

z

GI

L M





* Khi thanh gồm nhiều đoạn, mỗi đoạn có

p

z

GI

M

là hằng số: 

z GI

L M )

(





Góc xoắn  được quy ước dương theo chiều dương của Mz và thứ nguyên Radian 5- Tính toán thanh tròn chịu xoắn thuần tuý:

 Điều kiện bền:  

n W

M

P

max





với: o - là ứng suất tiếp nguy hiểm của vật liệu, xác định từ thí nghiệm

n : là hệ số an toàn

+ Nếu tính theo thuyết bền ứng suất tiếp (TB3):

2

] [

m ax



 

+ Nếu tính theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng(TB4):

3

] [ max



 Điều kiện cứng: max  [ ]

[ ]: Góc xoắn tỷ đối cho phép, được cho từ các sổ tay kỹ thuật,

đơn vị của [ ] là (radian/ đơn vị chiều dài, hay độ/ đơn vị chiều dài)

Công thức qui đổi:

360 2

/ 0



Từ điều kiện bền và cứng ta có ba bài toán cơ bản:

- Kiểm tra điều kiện bền, cứng

- Xác định tải trọng cho phép

- Xác định đường kính

Thí du 3:

Cho thanh có tiết diện tròn đường kính thay đổi Đoạn BC có d1=8cm, đoạn CD có

d2 = 6 cm

a) Vẽ biêu đồ momen xoắn Mz

b) Tính góc xoắn ở đầu D

c) Kiểm tra điều kiện bền và điều kiên cứng

Cho : G =8000kN/cm2, M0 =1kNm,

[ ] = 0,560/m, [ ] =3,0kN/cm2

Giải :

CD

CD CD BC

BC BC

i

i p

z BD

I G

L M I

G

l M GI

L M































rad 10 2 , 0 6

32 10 8

40 100 8

32 10 8

60 100

4 3

4 3



















































i

i p

z BD

GI

L M

 

48

,

100

200

cm kN

39 , 42

100

cm kN

CD  

GI M

p

z CD

/ 10

645 , 9 6 32 10 8

100 ]

4 3

max























cm radian GI

M

p

z BC

/ 10

104 , 6 8 32 10 8

200 ]

4 3

max

























Với : 9 , 769 10 radian / cm

10 180

14 , 3 56 , 0 ] [ 2   5









Có thể tính BD bằng cộng tác dụng như sau :

rad

M M

M

BD

3 4

3 4

3 4

3

0 0

0

10 2 , 0 8 32 10 8

60 100 6

32 10 8

40 100 8

32

10

8

60

300

) ( )

3 ( )

,

3

(

















































Thí dụ 4 :

Cho thanh tròn chịu xoắn như hình vẽ, đoạn AB hình tròn đặc đường kính D đoạn BCK

hình tròn rỗng đường kính d

a Vẽ biễu đồ MZ

b Tìm d và D theo điều kiện bền

Cho   0 , 8

D

d

 , [ ] =2,0kN/cm2, M0 = 4kNm Điều kiện bền:

 





5904 , 0 16

400 3 max

max

x D W

M

P

o CK

0115866

2

400

D W

M

P

o

AB

68 , 12 2

16

400 2 2

3



-

0

M 0 40cm

B

d1=8cm d2=6cm

z

M0

60cm

3M 0

Thí du 5 :

Thanh ABCD chịu xoắn như hình vẽ.Tìm M0 để thanh thỏa điều kiện bền

Cho [ ] =4,0kN/cm2, a = 60cm.Tính D với M0 tìm được.G = 8000kN/cm2

W

M

AB

o AB

67 , 261 4

16 10

3 3

0 3

0



M   M kNcm

W

M

CD

o CD

56 , 169 4

16

0



Chọn [M0]min = 169,56kNcm = 1,69kNm

rad 10 2 , 3 10

32 10 8

60 169 3 10 32 10 8

60 169 6

32 10 8

60

4 3

4 3

4 3

























































i

i p

z BD

GI

L M

6- Thế năng biến dạng đàn hồi

Thế năng riêng tích lũy trong một đơn vị thể tích là:

M0

K

B

A

a=60cm

D

C

2M 0 3M0

d

M 0 2M0

+ +

- M0

B A

D=10cm

M o D

d=6cm 4M o

z

M o 3Mo

+

-

C

[ 2 ( )]

2

1

1 3 3 2 2 1 2

3 2 2 2



E u

Thanh chịu xoắn thuần tuý, TTƯS trượt thuần tuý với ứng suất tiếp  , nên

1 =  ; 2 = 0 và 3 = –  , ta được: 1 2







E

(a)

với: E = 2 G/(1 + ), thay vào (a), ta được:

G u

2 2

1  

 (b)

Thế năng tích lũy trong một đoạn dz là:  

A V

udAdz udV

dU (c) thay (b) vào (c)







A p

z p

z A

p

dA dz

I

M G G

dz dA I

M G

2 2

2 2

A

2

2

1

2

1 2

GI

M dU

p

z2

2

1

Vậy thế năng trên đoạn thanh có chiều dài L là:  L

o p

z dz GI

M

2 1

+ Khi đoạn thanh có M z/GIp là hằng số 

p

z

GI

L M

2

1



+ Khi thanh gồm nhiều đoạn, mỗi đoạn có Mz/GJp là hằng số  

z

GI

L M

2 2

1

Hay có thể tính TNBDĐH như sau :

p

z

dz M d

M dU

2

1 2



GI

M

d

p

z



 ,   L

o p

z

dz GI

M A

U

2 2 1

7- Dạng phá hỏng của các vật liệu

Nghiên cứu trạng thái ứng suất của trục tròn chịu xoắn, ta thấy tại một điểm trên mặt ngoài, phân

tố ở trạng thái trượt thuần túy chịu ứng suất tiếp cực đại max (H.9.a), ở trạng thái này, theo hai phương nghiêng 45 o so với trục có ứng suất kéo chính và ứng suất nén chính 1 = –3 =

(H.9.8.b)

 max





1

 P

3

3

b 

a)





3

3

1

1

1

H 9.8 Trang thai ? ng su?t t?i m?t đi?m trên m?t ngoài

c?a thanh ch?u xo?n

Mặt khác, qua thí nghiệm, ta cũng biết rằng vật liệu dẻo(như thép)chịu kéo, chịu nén tốt như nhau, còn chịu cắt thì kém hơn, do đó, khi một trục thép bị xoắn sẽ bị gãy theo mặt cắt ngang, do ứng suất tiếp

 max trên mặt cắt ngang (H.9.9)

M z

dz

L GI=hangso

M z

Với vật liệu dòn như gang, chịu nén và chịu cắt rất tốt, còn chịu kéo rất kém nên khi xoắn sẽ bị gãy theo mặt nghiêng 45 o so với trục do ứng suất kéo chính 1 (H.9.10)

Với vật liệu có cấu tạo thớ như gỗ, chịu cắt dọc thớ rất kém nên khi xoắn sẽ bị nứt dọc theo đường sinh do ứng suất ứng suất tiếp đối ứng với ứng suất tiếp trên mặt

cắt ngang (H.9.11)

Thí dụ 4

Một động cơ có công suất 50kW, truyền một mômen xoắn lên một trục tròn hình vành

khăn có d = 0,85D tại tiết diện K, vận tốc quay của trục n=3000vg/phút.Giả sử hiệu suất

truyền là100%.Khi đó tại tiết diện B,C nhận được công suất truyền 30kW và 20kW

(H.9.12.a) Định đường kính D, sau đó tính góc xoắn BK

Biết: [ ] =16kN/cm2; [ ] = 0,250/m; a =50cm; G =8.103kN/cm2

 Gọi ngẫu lực xoắn tác dụng tại K, B, C lần lượt là M1, M2, M3 Áp dụng công thức

chuyển đổi, ta được:

M1 = 9740 x 50 / 3000 =162,33N.m =16,23kNcm

M2 = 9740 x 30 / 3000 = 97,4N.m = 9,74kNcm

M3 = 9740 x 20/ 3000 = 64,9N.m

= 6,49kNcm

Sơ đồ tính của trục và biểu đồ

mômen vẽ ở hình dưới)

 Định đường kính D:

+ Theo điều kiện bền:

 

2

]

[

max





p

z

W M

3

4 ] [ ) 85 , 0 ( 1 2

,



D

với: [ ] = 8 / 2

2

] [

cm kN





;

+ Theo điều kiện cứng:

max  [  ]    [  ]

p

z

GI

M

G

M

) 85 , 0 ( 1 1 , 0

4







với: [ ]=0,250/m = 4 , 36 10 rad / cm

180

25 ,

;

Để thỏa cả hai yêu cầu (a), (b), ta chọn D =10 cm, d=8,5cm

 Tính góc xoắn KC : Áp dụng công thức biến dạng ta được:

1 ( 0 , 85 )  1,02.10 rad

32

10 10

8

60 49 ,

4 4

3

































i

i p

z BK

GI

L M

6,49kN-cm

9,74kN-cm

+ _

9,74kN-cm 16,23kN-cm 6,49kN-cm

C

K

B

20kW

D

d

Bài toán siêu tĩnh

Một thanh AB tiết diện tròn đường kính d ngàm tại A và C và chịu lực như hình vẽ

Vẽ biểu đồ Mz và tính ứng suất tiếp lớn nhất

Cho M0 =10Nm, d=10cm, a = 0,5m, b = 1,5m

Giải

Ngoại lực là mômen xoắn M0 tác dụng trong mặt phẳng thẳng góc với trục thanh thì phản lực phát sinh tại các liên kết ngàm A và C là MA, Mc phải thuộc mặt phẳng thẳng góc với trục thanh Giả sử MA, Mc có chiều như trên hình vẽ

Với IP = 981,25cm4 ,WP =196,25cm3

Để xác định các mômen phản lực, viết phương trình cân bằng tỉnh học

M/z = 0, ta có: MA – M0 + Mc =0 (a)

Phương trình (a) không đủ để định được phản lực MA, MC : Bài toán siêu tĩnh

Cần bổ sung một (hay nhiều) phương trình thiết lập từ điều kiện biến dạng của bài toán

(phương trình điều kiện biến dạng)

Thường cách giải như sau:

+Tưởng tượng bỏ ngàm C, thay bằng phản lực tương ứng MC

+Viết phương trình điều kiện biến dạng: AC = 0

(Tại A,C liên kết ngàm do đó góc xoắn AC = 0 )

+Tính AC : Thường áp dụng nguyên lý cộng tác dụng

0 0

.

) ( )

b a

a M

GI

a M I

G

b a M GI

L M

C P

P

C

z









b a

b M

kNm

2

5 , 1 ,

5 , 2 10 2

5 , 0

0   











25 , 196

750

cm kN

AB  



+

-_

M c

M 0 –M c

b

MA

C

d

M0

III TÍNH LÒ XO HÌNH TRỤ BƯỚC NGẮN CHỊU LỰC DỌC TRỤC

Lò xo là một bộ phận được dùng rộng rãi trong kỹ thuật, được lắp đặt tại những chỗ cần giảm chấn do tải trọng động như đế móng,thang máy, hệ thống nhún trong ôtô, đế mô tơ công suất lớn

Lò xo hình trụ được cấu tạo bằng cách quấn một sợi dây thép tiết diện vuông, chữ nhật hoặc tròn quanh một lõi hình trụ, ta chỉ tính lò xo chịu lực theo phương trục của hình trụ này; trục của hình trụ cũng là trục của lò xo, ngoài ra chỉ xét lò xo có các vòng

gần nhau gọi là lò xo hình trụ bước ngắn (H.9.18.a)

1.Các đặc trưng của lòxo

+ d: Đường kính dây lò xo

+ D: Đường kính trung bình của lò xo

+ n: Số vòng làm việc của lò xo

+ G: Môđun đàn hồi trượt của vật liệu làm lò xo

2- Ứng suất trong dây lò xo:

Dùng một mặt cắt cắt qua một sợi dây lò xo, tách lò xo làm hai phần, xét điều kiện cân bằng của một phần lò xo như trên H.9.18.b, ta được:

2 0

0 / ,



Trên mặt cắt đang xét (xem như mặt cắt ngang của dây lò xo) có lực cắt Q y và

mômen xoắn M z, chúng đều gây ứng suất tiếp:

 = M + Q

Tại một điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang, các thành phần ứng suất được biểu diễn

như (H.9.19)

Bỏ qua độ nghiêng của dây lò xo, coi tiết diện đang xét là tròn, có thể thấy rằng, tại mép

Q y =P

dF

1

 max

M z

o

d/2

a)

b)

H 9.19 Nội lực và ứng suất trên

mặt cắt dây lò xo

A

d

P

P

P

M z

P = Q y

h

D

D