T ẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 130.2009 2-NHÓM H ỮU HẠN LỚP HAI, SINH BỞI HAI PHẦN TỬ V ỚI NHÓM CON GIAO HOÁN TỬ LÀ CYCLIC THE FINITE CLASS TWO 2-GROUPS GENERATED
Trang 1T ẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 1(30).2009
2-NHÓM H ỮU HẠN LỚP HAI, SINH BỞI HAI PHẦN TỬ
V ỚI NHÓM CON GIAO HOÁN TỬ LÀ CYCLIC
THE FINITE CLASS TWO 2-GROUPS GENERATED BY TWO ELEMENTS
WITH A CYCLIC COMMUTATOR SUBGROUP
Nguy ễn Viết Đức
Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
TÓM T ẮT
Bài toán phân lo ại theo quan hệ đẳng cấu các p -nhóm hữu hạn với nhóm con giao hoán t ử là cyclic đã được nghiên cứu bởi Ying Cheng [1], [2] và R.J.Miech [4]… Mục đich của bài báo là phân lo ại các 2-nhóm G lớp hai được sinh bởi hai phần tử và nhóm con giao hoán tử [G,G] là tuần hoàn thành các lớp không đẳng cấu với nhau
ABSTRACT
The isomorphism problem for finite p-groups with cyclic commutator subgroup has been researched by Ying Cheng [1], [2] and R.J.Miech [4] This paper presents the complete classification of the finite nilpotent 2-groups G of class two, where G is generated by two elements and the commutator subgroup of G is cyclic
1 Giới thiệu và kết quả chính
Trong bài báo này, chúng tôi phân loại các 2-nhóm có lớp luỹ linh bằng 2, được sinh bởi 2 phần tử và có nhóm con giao hoán tử là cyclic theo quan hệ đẳng cấu Các khái niệm cơ bản và công thức về giao hoán tử chúng tôi sử dụng trong các tài liệu [3], [5] Chúng sẽ ta bắt đầu bởi việc mô tả các nhóm ta đang xét theo phần tử sinh và quan
hệ cơ bản
Định lý 1 Cho G là một 2-nhóm không aben hữu hạn được sinh bởi hai phần tử và giả
s ử G có nhóm con giao hoán tử [G,G] là cyclic lớp 2 ([G,G] Z(G)) Khi đó G có cặp
ph ần tử sinh {x,y} sao cho các quan hệ định nghĩa của nhóm là:
trong đó R, S là các số nguy ên , nguyên tố cùng nhau với 2 và a, b, c, r, s là các số nguyên tho ả mãn điều kiện a ≥ b ≥ c > 0 , 0 ≤ r, s ≤ c
Đảo lại cho trước một tập hợp các tham số {a, b, c, r, s, R, S } thoả các điều kiện này thì có m ột nhóm G với nhóm con giao hoán tử [G,G] là cyclic, lớp hai được định nghĩa
b ởi các quan hệ trên
Các số a, b, c là các bất biến của nhóm G trong suốt bài báo ta luôn cố định các
số này và như vậy nhóm G đang xét có cấp là 2a+b+c
Từ đay về sau chung ta sẽ ký hiệu nhóm được định nghĩa trong Định lý 1 bởi [R2r
, S2s ] Như vậy
Trang 2T ẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 1(30).2009
Chúng ta có kết quả chính như sau:
Định lý 2 Giả sử G là một 2-nhóm hữu hạn lớp 2, với nhóm con giao hoán tử là cyclic
như trong Định lý 1 Lúc đó
a) N ếu s+a-b ≤ r ≤ c thì G đẳng cấu với [0, 2 s
b) Nếu s < r < s+a-b thì G đẳng cấu với [2
]
r
, 2 s c) N ếu r ≤ s thì G đẳng cấu với [2
]
r
2 Chứng minh Định lý 1 và phương pháp phân loại
, 0]
Ch ứng minh Định lý 1.Chúng ta sẽ bắt đầu bằng việc chứng minh Bổ đề sau:
Bổ đề 1 Nếu G là một nhóm luỹ linh lớp 2 thì với bất kỳ x, y G, ta có:
Ch ứng minh:
a) Ta có: [x 2 ,y] =[x, y] [x, y, x] [x, y] =[x, y]2 , suy ra [x 3 , y] =[x 2 , y] [x 2 , y, x] [x, y]= [x, y] 3
Qui nạp ta có [x
α , y]= [x, y]α , suy ra [x α , y 2
]= [x α , y] [x α , y] [x α , y, y] = [x, y]2α Tương tự quy nạp ta có: [x α , y β ]= [x, y] αβ
b) [
= [
= [
Bây giờ giả sử G là một nhóm có nhóm con giao hoán tử G2 = [G,G] là cyclic
Do G sinh bởi 2 phần tử , nên ta có thể giả sử G/G2 = <G2x> < G× 2y> , với <G2x> cấp
2a , < G2y> cấp 2b
Đặt z = [x, y] Giả sử G
và a ≥ b
2 = <z> có cấp 2c
Ta có G2 , G2 , nên tồn
tại R, S, r, s sao cho Do G2 Z(G), nên [z, x] = [z,y] =
Do đó a Đảo lại với một nhóm G được xác định bởi phần tử sinh và quan hệ ở trên ta dể dàng kiểm chứng được [G,G] là cyclic và [G,G] Z(G).Vậy Định lý 1 đã được chứng minh
Định lý sau đây cho chúng ta phương pháp để chứng minh Định lý chính
Trang 3T ẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 1(30).2009
Định lý phân loại Cho G = <x , y> được định nghĩa bởi [R2 r,
S2 s ] và G’ = < x’ , y’ > được định nghĩa bởi [R’ ] Gi ả sử là một ánh xạ từ G’ lên G được xác định bởi:
Ký hi ệu = Khi đó là đẳng cấu nếu và chỉ nếu
(
Để chứng minh Định lý này ta cần Bổ đề sau:
Bổ đề 2 Cho G là một nhóm như trong Định lý 1 Khi đó với bất kỳ số nguyên ,
ta có
Tương tự bằng qui nạp ta chứng minh được
minh
Ch ứng minh định lý phân loại Với s, t Z(G), ta có [At, Bs] = [A,B] với mọi A, B G
Do đó áp dụng Bổ đề 1 Ta có [ x’ , y’ = [(x , (y ] =
((x = ([ x’, y’ ] = ([ x’ , y’ = (1)
((x = (
Từ (1) và (2) ta có đẳng thức
Tương tự ta chứng minh được đẳng thức còn lại
được chứng minh
Trang 4T ẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 1(30).2009
3 Ch ứng minh định lý chính
Chúng ta sẽ áp dụng Định lý phân loại để chứng minh Định lý chính Trước hết
do (R,2) = 1, suy ra (R, 2a) = 1, nên tồn tại Z, sao cho R+ 2a=1 R = 1- 2a
Cũng vậy, do (S, 2) = 1, suy ra (S, 2b
) = 1, nên tồn tại Z, sao cho S+ 2b=1 S
= 1- 2b
x’=
Đặt
, y’ = ,
ta có = , do R = 1- 2a, S = 1- 2b và (R, 2) = 1, (S, 2) = 1, nên ( , 2) = 1 và G’= [2r, 2s] Do đó G [2r
, 2s Bây giờ xét trường hợp s+a-b ≤ r ≤ c Đặt x’=
]
, y’ = y , với =
Cuối cùng xét trường hợp r ≤ s Đặt x’ = x, y’ =
]
, với và
, 0] Kết thúc chứng minh Định lý chính
TÀI LI ỆU THAM KHẢO
[1] Ying Cheng On finite p-groups wwith cyclic commutator subgroup Arch.Math.Soc
Noitice 79T A229 ISS A509-196(1979)
[2] Ying Cheng On finite p-groups wwith cyclic commutator subgroup Arch.Math
295-298 (1982)
[3] D.Gorenstein Finite group, New York-London, 1968
[4] R.J.Miech On p-group with a cyclic commuutator subgroup J.Austral.Math.Soc
(Ser A)20, 178-198(1975)
[5] M.Suzuki Group Theory II, Springer-Verlag, New York, 1986