giao trinh ky thuat nhiet

Đối tượng nghiên cứu của TN Truyền nhiệt là một môn khoa học nghiên cứu luật phân bố nhiệt độ và các luật trao đổi nhiệtTĐN trong không gian và theo thời gian giữa các vật có nhiệt độ k

chương 1

các khái niệm cơ bản của truyền nhiệt

1.1 đối tượng và phương pháp nghiên cứu của truyền nhiệt(TN)

1.1.1 Đối tượng nghiên cứu của TN

Truyền nhiệt là một môn khoa học nghiên cứu luật phân bố nhiệt độ và các luật trao đổi nhiệt(TĐN) trong không gian và theo thời gian giữa các vật có nhiệt độ khác nhau

Các vật (hoặc hệ vật) đượng nghiên cứu có thể là vật rắn, chất lỏng hay chất khí Luật phân bố nhiệt độ là qui luật cho biết nhiệt độ trong vật thay đổi thế nào theo toạ độ (x, y, z) và thời gian (τ) Luật trao đổi nhiệt độ là quy luật cho biết phương chiều và độ lớn của dòng nhiệt q [W/m2] đi qua 1 điểm bất kỳ bên trong hoặc trên biên W của vật V

1.1.2 Mục đích nghiên cứu và ứng dụng của TN

Mục đích nghiên cứu của truyền nhiệt là lập ra các phương trình hoặc công thức cho phép tính được nhiệt độ và dòng nhiệt trong các mô hình TĐN khác nhau

Các qui luật truyền nhiệt có thể được ứng dụng để:

1) Tìm hiểu, giải thích, lợi dụng các hiện tượng trong tự nhiên;

2) Khảo sát, điều chỉnh, kiểm tra các quá trình trong công nghệ;

3) Tính toán, thiết kế, chế tạo các thiết bị TĐN

1.1.3 Phương pháp nghiên cứu của TN

Khi nghiên cứu TN nhiệt người ta có thể sử dụng mọi phương pháp của các ngành khoa học tự nhiên khác, bao gồm cả lý thuyết và thực nghiệm

Phương pháp lý thuyết dựa trên các định luật vật lý, lập hệ phương trình mô tả hiện tượng TĐN, giải nó bằng phương pháp giải tích(hoặc phương pháp toán tử, hoặc bằng các phương pháp số như sai phân hữu hạn hay phần tử hữu hạn) để tìm hàm phan bố nhiệt độ và các công thức tính nhiệt

Phương pháp thực nghiệm dựa vào lý thuyết đồng dạng, lập mô hình, thí nghiệm, đo và xử lý các số liệu, trình bày kết quả ở dạng bảng số, đồ thị hoặc công thức thực nghiệm

Phương pháp thực nghiệm cần nhiều thiết bị, công sức và thời gian, nhưng

có phạm vi áp dụng rộng và là công cụ không thể thiếu để kiểm định độ chính xác của lý thuyết

1.2 Các khái niệm cơ bản của truyền nhiệt

Theo thời gian τ, trường nhiệt độ được phân ra làm 2 loại: ổn định và không ổn định Trường t được gọi là ổn định nếu nó không đổi theo thời gian, hay có

Theo tính đối xứng trong không gian, người ta gọi số toạ độ mà trường t phụ thuộc là số chiều của trường Ví dụ, trường nhiệt độ 0, 1, 2, 3 chiều có thể

có phương trình tương ứng là t = t(τ), t = t(x, τ), t = t(r, z), t = t(x, y, z)

Trường nhiệt độ t là ẩn số chính trong mọi bài toán TN

1.2.2 Mặt đẳng nhiệt

Để định hướng dòng nhiệt, người ta dùng mặt đẳng nhiệt Mặt đẳng nhiệt

là quỹ tích các điểm có cùng một nhiệt độ nào đó tại thời điểm đang xét Mặt

đẳng nhiệt có dạng một mặt cong, hở hoặc kín, được mô tả bởi phương trình t (x,

y, z) = t0 = const

Do trường t đơn trị, nên các mặt đẳng nhiệt không cắt nhau Theo định nghĩa, nhiệt độ t chỉ có thể thay đổi theo hướng cắt mặt đẳng nhiệt Do đó, dòng nhiệt q luôn truyền theo hướng vuông góc với mặt đẳng nhiệt

1.2.3 Vận tốc và gia tốc thay đổi nhiệt độ

Để đánh giá mức thay đổi nhiệt độ nhanh hay chậm theo thời gian τ , người ta định nghĩa vận tốc và gia tốc thay đổi nhiệt độ theo thời gian, là

l ) cho trước trong không gian, người ta định nghĩa vận tốc và gia tốc thay đổi theo hướng

n

t n t

1.2.5 Véctơ dòng nhiệt

Để mô tả luật trao đổi nhiệt người ta dùng véctơ dòng nhiệt Véctơ dòng nhiệt →q là véc tơ có độ dài q bằng công suất nhiệt truyền qua 1m2 mặt đẳng nhiệt [W/m2], phương vuông góc với mặt đẳng nhiệt, theo chiều giảm nhiệt độ

q n

kỳ bên trong hoặc trên biên vật V Đó chính là luật trao đổi nhiệt đô mà ta cần tìm

Theo lý thuyết trường véctơ, đại lượng vô hướng

z

q y

q x

q q div x y z

∂

∂ +

∂

∂ +

nhiệtbằngcanVật0

nhiệt

ảVậtVto0

V/)QQ(q

Divergent của véctơ dòng nhiệt divq(M)

→ đặc trưng cho độ “rò nhiệt” hoặc

độ phát tán nhiệt của điểm M trong vật

1.2.6 Công suất nguồn nhiệt

Khi trong vật có phản ứng hoá học hoặc có dòng điện chạy qua, thì mỗi

điểm của vật có thể phát sinh một công suất nhiệt khác nhau Để đặc trưng cho công suất phát nhiệt tại điểm M của vật V, người ta dùng công suất dòng nhiệt

Trong hệ toạ độ vuông góc (x, y ,z)

nếu trường nhiệt độ t = t(x, y, z, τ) thì có thể

tìm được theo công thức

t z

t k y

t j x

∂

∂ +

sẽ giới thiệu tại chương sau

Mz

x0

Đặc biệt, khi qv = const, ∀M∈V, thì vật V được gọi là có nguồn nhiệt phân bố đều, khi đó có Qv = V.qv

1.3 Các phương thức trao đổi nhiệt

Trao đổi nhiệt là hiện tượng tao đổi động năng giữa các phân tử và các vi hạt khác trong các vật tiếp xúc nhau

Theo các định luật nhiệt động học, hiện tượng trao đổi nhiệt chỉ xảy ra khi

có sự sai khác về nhiệt độ, ∆t ≠ 0, và nhiệt chỉ truyền từ vật nóng đến vật nguội hơn

Tuỳ theo đặc tính tương tác(trực tiếp hay gián tiếp ) và chuyển động(hỗn loạn hay định hướng) của các phân tử của các vật tương tác, người ta chia quá trình TĐN ra 3 phương thức sau

1.3.1 Dẫn nhiệt

Dẫn nhiệt là hiện tượng trao đổi động năng do va chạm trực tiết các phân

tử không tham gia chuyển động định hướng Ví dụ, dẫn nhiệt sẽ xảy ra khi có sự khác biệt nhiệt độ trong vật rắn, trong chất lỏng hay chất khí đứng yên, hoặc giữa các vật ấy

Điều kiện để dẫn nhiệt xảy ra là có sự tiếp xúc trực tiếp giữa các vật đứng yên, khác nhau về nhiệt độ Quá trình dẫn nhiệt xảy ra chậm , chỉ trong khoảng cách ngắn, và có cường độ q tỷ lệ với gradient nhiệt độ

1.3.2 Toả nhiệt(hay trao đổi nhiệt đối lưu)

Tỏa nhiệt là hiện tường trao đổi động năng do va chạm trực tiếp giữa các phân tử trên mặt vật rắn với các phân tử chuyển động định hướng của chất lỏng hay chất khí tiếp xúc với nó

Ví dụ, nước nóng toả nhiệt vào mặt trong ống, còn mặt ngoài ống sẽ toả nhiệt ra không khí đối lưu xung quanh

Điều kiện để toả nhiệt xảy ra, là có dòng chất lỏng chảy qua mặt vật rắn khác biệt về nhiệt độ

Dòng nhiệt toả qua 1m2 mặt tiếp xúc được tính theo công thức Newton

q = α(tW - tf), [W/m2] trong đó tW và tf là nhiệt độ mặt vách và nhiệt độ chất lỏng

ở ngoài vách,

f

W tt

q

ư

=

α , [W/m2K] là hệ số toả nhiệt

1.3.3 Trao đổi nhiệt bức xạ

Trao đổi nhiệt bức xạ là hiện tượng trao đổi động năng giữa các phân tử vật phát ra và vật thu bức xạ, thông qua môi trường trung gian là sóng điện từ

Ví dụ, mặt trời phát bức xạ, truyền trong không gian dưới dạng sóng điện

từ, va đập và biến thành nhiệt nung nóng trái đất và các hành tinh khác

Điều kiện để TĐN bức xạ xảy ra là có môi trường ít hấp thu sóng điện từ (như chân không hoặc khí loãng ) giữa 2 vật có nhiệt độ khác nhau

TĐN bức xạ không cần sự tiếp xúc các vật, có thể xảy ra trên khoảng cách lớn, luôn có sự biến dạng năng lượng, cường độ tăng mạnh theo nhiệt độ vật phát bức xạ

Phần minh hoạ và tóm tắt đặc điểm các phương thức trao đổi nhiệt cơ bản

được giới thiệu tại bảng số 1

TĐN giữa vật phát với vật hấp thu sóng điện

1.3.4 Trao đổi nhiệt phức hợp

Các vật hữu hạn trong thực tế thường tiếp xúc với nhiều môi trường khác nhau, nên có thể đồng thời thực hiện nhiều phương thức TĐN khác nhau

Hiện tượng TĐN trong đó có hơn 1 phương thức TĐN xảy ra được gọi là TĐN phức hợp

Ví dụ, vỏ ấm nhận nhiệt bằng đối lưu và bức xạ từ ngọn lửa, và toả nhiệt cho nước bên trong

Cường độ TĐN phức hợp trên mỗi mặt sẽ được xác định như là tổng cường

2 1

CHƯƠNG 2

DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH 2.1 ĐỊNH LUẬT FOURIER VÀ HỆ SỐ DẪN NHIỆT

2.1.1 Thiết lập định luật Fourier về dẫn nhiệt

Định luật Fourier là định luật cơ bản của dẫn

nhiệt, nó xác lập quan hệ giữa 2 vectơ q và gr a dt

Để thiết lập định luật này ta sẽ tính nhiệt

lượng δ2Q dẫn qua mặt dS nằm giữa 2 lớp phân tử

khí có nhiệt độ T1 > T2, cách dS một đoạn x bằng

quảng đường tự do trung bình các phân tử, trong

thời gian d τ, như hình H2

Vì T1 và T2 sai khác bé, nên coi mật độ phân tử n0 và vận tốc trung bình ω

của các phân tử trong 2 lớp là như nhau , và bằng:

τω

6

in

Lượng năng lượng qua dS từ T1 đến T2 là

τω

=

6

1kT2

indEE

1 1

τω

=

6

1kT2

1ndEE

2 2

trong đó 1,3806.10 J/K

02217,6

8314N

phân tử trong 1 kmol chất khí (số Avogadro), I là số bậc tự do cảu phân tử chất khí

Trừ 2 đẳng thức cho nhau, sẽ thu được lượng nhiệt trao đổi qua dS, bằng:

τω

ind)EE(

2 1 2

x

TT

v A

0 A

0

3

1 R 2

i N

n 3

1 N

R n 6

i k

=

x

Tq

−

=

=τδ

δ

Đây là dòng nhiệt theo phương x Khi dS có vị trí bất kỳ, thì véctơ dòng nhiệt qua

z

Tky

Tjx

Ti

∂

∂+

∂

∂λ

−

=

2.1.2 Phát biểu và hệ quả của định luật Fourier

Định luật Fourier phát biểu, rằng vectơ dòng nhiệt q tỷ lệ thuận với véc tơ gradien nhiệt độ

Biểu thức dạng vectơ là q = − λ gr a dt, dạng vô hướng là

) M ( t gradt

q = − λ = − λ n Dấu (-) vì 2 vectơ ngược chiều nhau

Nhờ định luật Fourier, khi biết trường nhiệt độ t(x, y, z,τ), có thể tính được công suất nhiệt Q[W] dẫn qua mặt S [m2] theo công thức Q gradt.dS

q gradt

Vì λ tỷ lệ với q nên λ đặc trưng cho cường độ dẫn nhiệt của vật liệu

Với chất khí, theo chứng minh trên, có

m

TkRd3

C2pd2

kTm

kT8CRT

p3

1xC3

1

3

2 2

v 2

=

λ

Hệ số dẫn nhiệt λ của khí lý tưởng không phụ thuộc vào áp suất p, λ tăng khi tăng nhiệt độ hoặc tăng CV, và λ giảm khi tăng hằng số chất khí,

µ

= R µ

R , tăng đường kính d hoặc tăng khối lượng m của phân tử chất khí

Với các vật liệu khác λ tăng theo nhiệt độ, được xác định bằng thực nghiệm

và cho ở bảng hoặc công thức thực nghiệm trong các tài liệu tham khảo Ví dụ, trị trung bình của hệ số λ của một số vật liệu thường gặp được nêu tại bảng 2

0,74 0,70 0,13 0,055 0,035 0,026

Bảng 2 Hệ số dẫn nhiệt trung bình của các vật liệu thường dùng

2.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẪN NHIỆT

2.2.1 Nội dung và ý nghĩa của PTVPDN

PTVPDN là phương trình cân bằng nhiệt

cho 1 vi phân thể tích dV nằm hoàn toàn bên

Xét cân bằng nhiệt cho vi phân thể tích dV

bao quanh điểm M(x,y,z) bất kỳ bên trong vật V,

có khối lượng riêng ρ, nhiệt dung riêng Cp, hệ số dẫn nhiệt λ, công suất sinh nhiệt qv, dòng nhiệt qua M là q

Hình 3 Cân bằng nhiệt cho dV

Định luật bảo toăn năng lượng cho dV phât biểu rằng:

[Độ tăng enthalpy của dV] = [hiệu số nhiệt lượng (văo - ra)dV]+[lượng nhiệt sinh ra trong dV]

Trong thời gian 1 giđy, phương trình năy có dạng :

dVqdV.qdiv

1 t

v p

− ρ

= τ

∂

∂

Theo định luật Fourier q = − λ gr a dt, khi λ = const ta có

t z

t z y

t y x

t x )

dt a gr ( div q

−

= λ

−

=

),(r,cầuđộ toạ trong,

z),(r, trụđộ toạTrong

(xyz)góc vuôngđộ tạo

∂

∂+θ

∂θ

θ+θ

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

2 2

2 2

2 2

2

2 2 2

2 2

2

2

2 2

2 2 2

2

sinr

tt

sinr

cosr

tr

tr

2rt

z

tr

tr

tr

1rt

)Trong

(z

ty

tx

tt

gọi lă toân tử Laplace của hăm t(M)

PTVPDN lă phương trình kết hợp 2 định luật nói trín, có dạng:

qC

λ

= [m2/s] gọi lă hệ số khuếch tân nhiệt, đặc trưng cho mức độ tiíu tân nhiệt trong vật

2.2.3 Câc dạng đặc biệt của PTVPDN

Phuơng trình VPDN tổng quât [q div( gradt)]

c

1T

V P

λ

−

−ρ

=τ

∂

∂

sẽ có dạng đơn giản hơn, khi cần đâp ứng đủ câc điều kiện đặc biệt sau đđy:

1) Vật V không có nguồn nhiệt, qv = 0, thì div( gr a dt)

C

1 t

p

λ ρ

= τ

3) Nếu nhiệt độ ổn định trong V, t =0

τ

∂

∂ ∀M∈V, thì ∇2t=04) Khi trường t(M) là ổn định 1 chiều thì :

t(x) trong toạ độ vuông góc tìm theo 0

dx

td

1dr

td

2

2

=+

t(r) trong tạo độ cầu tìm theo 0

dr

dtr

2dr

td

2

2

=+

2.3 CÁC ĐIỀU KIỆN ĐƠN TRỊ

Phương trình vi phân dẫn nhiệt là phương trình đạo hàm riêng cấp 2, chứa ẩn

là hàm phân bố nhiệt độ t(x,y,z,τ) Nghiệm tổng quát thu được bằng cách tích phân phương trình này luôn chứa một số hằng số tuỳ ý chọn Để xác định duy nhất nghiệm riêng của PTVPDN, cần cho trước một số điều kiện, được gọi chung là các điều kiện đơn trị Điều kiện đơn trị là tập hợp các điều kiện cho trước , đủ để xác định duy nhất nghiệm của một hệ phương trình

2.3.1 Phân loại các điều kiện đơn trị

Theo nội dung, các điều kiện đơn trị được phân ra 4 loại sau

1) Điều kiện hình học: Cho biết mọi thông số hình học đủ để xác định hình dạng, kích thước vị trí của hệ vật V

2) Điều kiện vật lý: Cho biết luật xác định các thông số vật lý tại mọi điểm M

−

=

các điều kiện biên có dạng:

= λ

) , M ( t t

n

Điều kiện hình học, điều kiện vật lý và điều kiện biên cần phải cho trước trong mọi bài toán Riêng điều kiện đầu chỉ cần cho trong bài toán không ổn định, có chứa biến thời gian τ

2.3.2 Các loại điều kiện biên

Trên các biên Wi của vật V, tuỳ theo phương thức trao đổi nhiệt với các môi trường mà V tiếp xúc, người ta có thể cho trước 7 loại điều kiện biên khác nhau Bảng 3 sau đây sẽ tóm tắt ý nghĩa vật lý và toán học, minh hoạ hình học và các trường hợp đặc biệt của 7 loại điều kiện biên quanh vật V bất kỳ

Bảng 3 Các loại điều kiện biên

mô tả hình học hay

đồ thị (t-x)

Trường hợp đặc biệt

α = ∞ ↔t(M3)

=tf W3 biến thành W1 Khi(λ,α,tf) = const

− tn( M4)

-λ2t2n(M4)

t2 = const↔W4biến thành W1(λ1, λ2)=const↔gó c γ=const

− tn(M5)

) M ( t

W5 di động vớitốc độ hoá rắnbằng

độ Tc –

λTn(M6) =

εδ0[T2(M6

)-Tc2]

εδ0[T4(M7) - T4k ]

Quy ra trao đổi nhiệt phức hợp-λTn(M7)=αph[t(M7)- Tk]

Mô tẳ toân học cho mỗi loại điều kiện biín lă phương trình cđn bằng câc dòng nhiệt

ra văo điểm M bất kỳ trín biín Phương trình mô tả câc điều kiện biín loại 2, 3, 4, 5

lă câc phương trình vi phđn tuyến tính cấp 1 đối với t vă tn Phương trình mô tả điều kiện biín loại 6 vă 7 lă những phương trình phi tuyến, chứa T4 chưa biết

2.3.3 Mô hình băi toân dẫn nhiệt

Ở dạng tổng quât, băi toân dẫn nhiệt có thể

được mô tả bởi hệ phương trình vi phđn (t) gồm

phương trình vi phđn dẫn nhiệt vă câc phương trình

mô tả câc điều kiện đơn trị như đê níu tại mục 2.3.,

+

−α

4 k 7

4 0 k 7 7

n

6 6 6

4 0 6

n

5 5

5 c 5 n n 5

n

4 4 4

2 2 4

n

3 3 f

3 3

n

2 2 2

2

n

1 1 1

v 2

WM],T)M(T[]t)M(t[)

M

(

t

WM),M(T)

M

(

t

WM,d

dxr)M(t)

M

(

t

WM),M(t)

M

(

t

WM],t)M(t[)

M

(

t

WM),,M(q)

M

(

t

WM),,

M

(

t

VM,

qt

xác

Miền

Giải băi toân dẫn nhiệt lă tìm hăm phđn bố nhiệt độ t(M(x,y,z),τ) thoả mên mọi phương trình của hệ (t) nói trín Việc năy gồm có 2 bước chính lă tích phđn phương trình vi phđn dẫn nhiệt để tìm nghiệm tổng quât, sau đó xâc định câc hằng

số theo câc phương trình mô tả câc điều kiện đơn trị

Hình 4 Mô hình tổng quât băi toân dẫn nhiệt t(x,y,z,τ)

2.4 DẪN NHIỆT QUA VÁCH PHẲNG

Dẫn nhiệt ổn định qua vách phẳng là bài toán đơn giản nhất của truyền nhiệt Tuỳ theo kết cấu vách và điều kiện biên, bài toán dãn nhiệt sẽ được phân ra các loại sau đây

2.4.1 Vách phẳng 1 lớp có 2 biên loại 3

2.4.1.1 Phát biểu bài toán

Cho 1 vách phẳng dày δ rộng vô hạn,

làm bằng vật liệu đồng chất có hệ số dẫn nhiệt

λ không đổi, 2 mặt bên tiếp xúc với 2 chất

lỏng có nhiệt độ khác nhau tf1 > tf2 , với hệ số

toả nhiệt vào ra vách là α1, α2

Tìm phân bố nhiệt độ t(x) trong vách

= δ λ

=

) 3 ( ] t ) ( t [ ) ( t

) 2 ( ) 0 ( t )]

0 ( t t [

) 1 ( 0

dx

t d

2 f 2

x

x 1

f 1 2 2

x(

=

α

λ+δ+αλ

=λ

]K[,Ct

C

]m/K[,)tt(C]

tCC[C

C]

Ct[

1 2 1 f 2

2 1

2 f 1 f 1

2 f 2 1 2 1

1 2

1 f 1

Hình 6 Trường t(x) trong vách

phẳng có 2W3

Phân bố nhiệt độ trong vách là t(x)= tf1 - t t ( x )

1 2

1

2 f 1 f

α

λ + α

λ + δ + α λ

−

Bằng cách thay x bằng 0 hoặc δ, ta dễ dàng tìm được nhiệt độ tại 2 mặt vách

Đồ thị t(x) là mmột đoạn thẳng đi qua 2 điểm định hướng R1(-λ/α1, tf1) và R1(δ + λ/α2, tf2) như hình H

2.4.1.3 Tìm dòng nhiệt q(x): theo định luật Fourier có

q(x) = -λgradt(x) = -λC1 = const, ∀x hay

2 1

2 f 1 f

1 1

t t q

α

+ λ

δ + α

−

Nếu gọi

2 1

11

R

α

+λ

δ+α

= , [m2K/W], là nhiệt trở dẫn nhiệt của vách phẳng, thì có

R

VV

Ví dụ: bài toán biên hỗn hợp (W1 + W3) và bài toán 2 biên W1 có lời giải như sau:

−

=

α

λ+δ

2

2 f 1 W

2

2 f 1 W

1

1

ttq

tt

W1

tt(x)

=

2 f 1 W

2

q

xtt

W1

tt(x)

2.4.3 Vách có λ thay đổi theo nhiệt độ

Phương trình cân bằng nhiệt trong vách có λ(t) phụ thuộc t sẽ có dạng

−

=

1 t 1 2

dt ) t ( t t

2 1 1

t t b a dt ) bt a ( t t

1

3

t t t t c 2

t t b a dt ) ct bt a ( t t

2 2 1

2 1 2 1 2

t 1 t

2 1

2

+ + +

+ +

= +

α1 và chất lỏng lạnh có tf2, α2 không đổi Tìm dòng nhiệt q qua vách, nhiệt độ các mặt tiếp xúc ti và phân

bố nhiệt độ ti(x) trong mỗi lớp

2 f n 1

i

λδ

− +

Hình 7 Vách phẳng n lớp

Đây là hệ (n+2) phương trình bậc 1 của ấnố q và (n+1) ẩn số ti,

δ+α

δ+

=α+

,1i1

ttq

0)1n(i,qt

t

qt

t

i 1 i i i i

n 1

1

2 f 1 f

i

i 1 i i 2 2 f n

λ = const vào các công thức trên

2.5 DẨN NHIỆT QUA VÁCH TRỤ VÀ VÁCH CẦU

2.5.1 Vách trụ 1 lớp có 2 biên w3

2.5.1.1 Phát biểu bài toán

Cho một ống trụ đồng chất dài vô cùng,

bán kính r2/r1, hệ số dẫn nhiệt λ không đổi, mặt

r1 tiếp xúc chất lỏng nóng có tf1, α1 , mặt r2

tiếp xúc chất lỏng nguội hơn có tf2, α2 Tìm

phân bố nhiệt độ t(r) trong vách và lượng

= λ

= +

) 3 ( ] t ) r t [ ) r t

) 2 ( ) r t )]

r t t [

) 1 ( 0

dr

dt r

1 dr

t d

)

t

(

2 f 2 2 2 r

1 r 1

1 f 1

2 2

rdr

)ur(drdr

dt r

C u

λ+

=

α

λ++αλ

=λ

]K[),rlnr(CtC

]K[,rr

rlnr

)tt(C

]tCrlnC[r

C

r

C]

CrlnCt

[

1 1 1 1 1 f 2

2 2 1

2 1 1

2 f 1 f 1

2 f 2 2 1 2 2

1

1

1 2

1 1 1

λ + +

α λ

−

−

=

1 1 1 2 2 1

2 1 1

2 f 1 f 1

f

r r

r ln r r

r ln r

t t t

q(r) là hàm giảm khi r tăng, không đặc trưng cho vách trụ

2) Lượng nhiệt truyền qua 1 m dài ống trụ, ký hiệu ql , định nghĩa là:

ql = lượng nhiệt qua mặt trụ bán kính r dài l / chiều dài l, [W/m]

r , const C

2 r 2 r

C r

2 ).

r q

l l

l

2 2 1

2 1

1

2 f 1 f

r2

1r

rln2

1r

2

1

ttq

απ

+πλ

+απ

dln2

1d

1R

2 2 1

2 1

+πλ

−

=

α

λ+

−

−

=

2 2 1

2

2 f 1 w

1 2 2 1 2

2 f 1 w 1

w

r2

1r

rln21

ttq

r

rlnrr

rln

ttt

)(t

2 f 1 w

1 1

2

2 W 1 w 1 w

r

rln21

ttq

r

rlnr

rln

ttt)(t

l

2.5.3 Vách trụ n lớp

2.5.3.1 Phát biểu bài toán

Cho ống trụ n lớp, mỗi lớp i có ri / ri+1 và λi

không đổi, mặt r0 tiếp xúc với chất lỏng nóng

có tf1, α1, mặt rn tiếp xức với chất lỏng lạnh có

tf2, α2 không đổi

Tìm lượng nhiệt ql, nhiệt độ ti tại các

mặt và phân bố ti(n) trong mỗi lớp i,∀i=1÷n

1 i

r

rln21

Đây là hệ (n+2) phương trình bậc 1 của 1 ẩn ql và (n+1) ẩn ti

Bằng cách khử các ti để tính ql, sau đó tìm ti theo ql và xác định ti(r) như vách có 2W1, sẽ thu được:

−

=απ

−

=

απ

+πλ

+απ

−

=

+ +

rlnr

rln

ttt)(t

n1i,r

rln2

qt

t

;r2

qt

t

r2

1r

rln2

1r

21

ttq

i i

1 i

1 i i i i

1 i

i i 1

i i 1 1 1

f 0

2 n

n 1

1 i i 1

1

2 f 1 f

l l

l

2.5.4 Dẫn nhiệt qua vách cầu

2.5.4.1 Phát biểu bài toán

Trong toạ độ cầu, trường t(r) được xác định

bởi hệ phương trình (t) sau:

Hình 10 Phân bố t(r) trong vách cầu

= λ

= +

) 3 ( )]

t r t [ t

) 2 ( ) r t )]

r t t [

) 1 ( 0

dr

dt r

2 dr

t d

)

t

(

2 f 2 r

1 r 1

1 f 1

2 2

2

2 ) (r

du0r

u2

−α

=λ

]K[r

1rCtC

]Km[r

1r

1r

1r

1

ttC

tCr

Cr

C

r

CC

r

Ct

1

2 1 1 1 1 f 2

2 1

2 2 2

2 1 1

2 f 1 f 1

2 f 2 1

1 2 2

2

1

2 1

1 2

1

1 1 f 1

λ+α

1

2 2 2

2 1 1

2 f 1 f 1

f

r

1r

1r1

r

1r

1r

r1

ttt

λ

1 1

R

và ⎜⎜⎝⎛ +αλ f 2⎟⎟⎠⎞

2 2

1r

14

1r

1r

14

1

ttQ

2 1

2 2 2

2 1 1

2 f 1 f

141

ttQ

=

÷

=

∀ +

πλ

−

= π

− α

4 ) t t ( r 4 ) t t (

1 i i

i 1 i i 2 0 0 f 1 f

sẽ tìm được:

]w[,r

1r

14

1r

1r

14

1

ttQ

n 1

2 2 2

2 1 1

2 f 1 f

−

=

Nhiệt độ các mặt ti và trường ti(r) trong các lớp được xác định như trên

2.6.DẪN NHIỆT QUA THANH HOẶC CÁNH CÓ TIẾT DIỆN KHÔNG ĐỔI

Để tăng cường truyền nhiệt, người ta thường gẵn các cánh lên mặt tỏa nhiệt Nhiệt qua gốc cánh được dẫn qua chiều dài x của cánh, rồi toả ra mặt xung quanh, làm tăng lượng nhiệt truyền qua gốc Nhiệt độ trong cánh t(x) giảm dần theo chiều dài x, còn tại mỗi tiết diện nhiệt độ được coi là phân bố đều

2.6.1 Phát biểu bài toán

Chô một thanh trụ hoặc cánh dài l, tiết

diện f = const có chu vi la U, mặt xung quanh

tỏa nhiệt ra chất lỏng nhiệt độ tf với hệ số tỏa

nhiệt α; nhiệt độ trên mỗi tiết diện được coi là

phân bố đều, tại gốc là t0 > tf , mặt x = l tỏa

nhiệt ra cùng chất lỏng nhiệt độ tf với hệ số

tỏa nhiệt α2

Tìm phân bố nhiệt độ t(x) trong cánh

và lượng nhiệt Q0 qua gốc cánh

2.6.2 Lập phương trình cân bằng nhiệt tìm t(x)

2.6.2.1 Lập phương trình cân bằng nhiệt tìm t(x)

Vì nhiệt độ bên trong thanh đồng nhất với nhiệt độ biên W3 tức không có điểm trong, nên phương trình 2

t

a

tτ = ∇ cần được thay bằng phương trình cân bằng nhiệt cho phân tố thay dV = fdx, khi ổn định có dạng:

Hiệu các lượng nhiệt dẫn (vào – ra) dV = nhiệt tỏa ra mặt Udx

Nếu gọi θ(x) t(x) t= − thì phương trình trên có dạng: f

Udxf

dx

ddx

df

2.6.2.2 Tìm (x)θ và Q 0 cho thanh dài hữu hạn

1)Các hằng số C1, C2 sẽ được tìm theo các điều kiện biên W1 tại x=0 và W3tại x=l