Câu 46 [2H3-1.1-3] (SGD THANH HÓA-2018-LẦN 1) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho bốn điểm
(7;2;3 ,)
A B(1;4;3 ,) C(1; 2;6)
,
(1; 2;3)
D
và điểm M tùy ý Tính độ dài đoạn OM khi biểu thức 3
P MA MB MC= + + + MD
đạt giá trị nhỏ nhất
B. OM = 26.
C.
5 17 4
OM =
D.
3 21 4
OM =
Lời giải.
Đáp án A
Ta có
(6;0;0), (0; 2;0), (0;0;3)
nên tứ diện ABCD là tứ diện vuông đỉnh D. Giải sử
M x+ y+ z+
Ta có
,
( )2
,
( )2
,
( 2 2 2) ( )2
3MD= 3 x +y +z ≥ x y z+ + ≥ + +x y z
Do đó
P≥ − + − + − + + + =x y z x y z
Các đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
0
0
x y z
x y z
x y z x y z
= = =
− ≥ − ≥ − ≥ + + ≥
Khi đó
(1;2;3) 12 22 32 14
M ⇒OM = + + =