Đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F.. 1 Chứng minh rằng các tam giác IDA đồng dạng với tam giác IJD.. 2 Chứng minh rằng KI vuông góc với AD..
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM 2008
TRƯỜNG PHỔ THÔNG Môn thi: TOÁN CHUYÊN
NĂNG KHIẾU Thời gian làm bài: 150 phút,không kề thời gian giao đề.
Câu I 1) Cho phương trình x2- mx+2m- 2=0 ( )1 .
a) Chứng minh rằng (1) không thể có 2 nghiệm đều âm
b) Giả sử x x là 2 nghiệm của pt (1) Chứng minh rằng biểu thức sau:1, 2
(x 2x 2)(x 2x 2)
A
=
+ không phụ thuộc vào giá trí của m
2) Giải hệ phương trình:
ìï = + ïï
ïï = + íï
ïï = + ïïî
Câu II Cho tam giác ABC không cân Đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần
lượt tại D, E, F Đường thẳng EF cắt AI tại J và cắt BC nối dài tại K
1) Chứng minh rằng các tam giác IDA đồng dạng với tam giác IJD
2) Chứng minh rằng KI vuông góc với AD
Câu III Cho góc xAy vuông và 2 điểm B và C lần lựot trên các tia Ax, Ay Hình vuông MNPQ có các
đỉnh M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC và các đỉnh P, Q thuộc cạnh BC
1) Tính cạnh hình vuông MNPQ theo cạnh BC = a và đường cao AH = h của tam giác ABC
2) Cho B và C thay đổi lần lượt trên các tia Ax, Ay sao cho tích AB.AC = k2= const Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình vuông MNPQ
Câu IV Một số nguyên dương n đựoc gọi là số bạch kim nếu n bằng tổng bình phuơng các chữ số của nó.
1) Chứng minh rằng không tồn tại số bạch kim có 3 chử số
2) Tìm tất cả các số nguyên dương n là số bạch kim
Câu V Trong một giải vô địch bóng đá có 6 đội tham gia Theo điều lệ của giải, hai đội bóng bất kỳ thi
đấu với nhau đúng một trận, đội thắng được 3 điểm, đội thua 0 điểm và đội hòa được 1 điểm Kết thúc giả, số điểm của mỗi đội lần lượt là D D D D D D1, 2, 3, 4, 5, 6(D1 ³ D2 ³ D3 ³ D4 ³ D5 ³ D6)
Biết rằng đội bóng với điểm D thua đúng một trận và 1 D1=D2+ D3 =D4 +D5+ D6 Hãy tìm 1
D và D6.
HẾT
( Giám thị coi thi không giải thích gì thêm )