Câu 50 [2D2-4.4-3] (THPTQG - ĐỀ CHUẨN NÂNG CAO-SO7-2018) Cho
x, y
là các số thực thỏa mãn điều kiện
2 2
x y 2
1
2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
13 2
C.
17 2
D. 3
Lời giải
Đáp án B
Ta có
1
2
3 + + − + log x y log 2 2xy 3 − log x y 3 − log 2 2xy
Xét hàm số
2
f t =3 log t
trên khoảng
(0;+∞)
, có
2
3
f ' t 3 ln 3.log t 0; t 0
t.ln 2
Suy ra
( )
f t
là hàm số đồng biến trên
(0;+∞)
mà
f x y − =f 2 2xy− ⇒x +y =2
Khi đó
( 3 3) ( ) ( )2
M 2 x= +y −3xy 2 x y= + x y+ −3xy−3xy
2
2 x y 6 x y 3 x y 6 2a 3a 12a 6,
với
( )
a x y= + ∈ 0; 4
Xét hàm số
f a = −2a −3a +12a 6+
trên
( )0;4 , suy ra
( )0;4 ( )
max f a =13
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức M là
13 2