Tài liệu ôn thi toán rời rạc

Gọi Dn là số dân sau n năm.

Trang 1

SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254 1 BT Chương 2: PHÉP ĐẾM

Bài tập chương 2: PHÉP ĐẾM

Bài 1: CÁC NUYÊN LÝ

1 Chia 10 viên kẹo cho 3 bé sao cho:

a) Tuỳ ý có: 𝐾310 = 𝐶1210 = 66 (𝑐á𝑐ℎ)

b) Bé nào cũng có ít nhất 1 viên:𝐾37 = 𝐶97 = 36 (𝑐á𝑐ℎ)

2 𝑥1 + 𝑥2+ 𝑥3+ 𝑥4+ 𝑥5 = 21 (*)

a) Số nghiệm nguyên dương:𝐾521 = 𝐶2521 = 12650 (𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚)

b) Số nghiệm nguyên dương thoả 𝑥1 > 2, 𝑥5 < 4(1):

Ta có: x1 > 2 <=> x1 ≥ 3 , x5 < 4 => x5≥ 5

Ta xét các điều kiện:

.𝑥1 ≥ 3, 𝑥5 ≥ 0 (2)

.𝑥1 ≥ 3, 𝑥5 ≥ 5 (3)

Số nghiệm thoả (1) = (2) - (3)

- Tìm số nghiệm thoả (2):

Đặt a = x1- 3 ≥ 0 => x1 = a + 3 (4)

Thay (4) vào (*) ta đươc: a + x2 +x3 + x4 + x5 =18

=>Số nghiệm thoả (2) =𝐾518 = 𝐶2218 = 7315 (𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚)

- Tìm nghiệm thoả (3):

Đặt b = x5 – 5 ≥ 0 => x5=b+5 (5)

Thay (4), (5) vào (*) ta được: a + x2 + x3 + x4 + b = 13

=>Số nghiệm thoả (3) =𝐾513 = 𝐶1713 = 2380 (𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚)

+=> Số nghiệm thoả (1) = 7315 – 2380 = 4935 (nghiệm)

Trang 2

Bài 2: HỆ THỨC ĐỆ QUY

1 Giaỉ HTĐQ : {

𝑎𝑛 = 4 𝑎𝑛−1− 4𝑎𝑛−2+ 4 (∗)

𝑎0 = 1

𝑎1 = 2

Ta có (*)  𝑎𝑛− 4 𝑎𝑛−1 + 4𝑎𝑛−2 = 4

Bước 1: Đặt (K): 𝑎𝑛 − 4 𝑎𝑛−1+ 4𝑎𝑛−2 = 0

Ta thấy (*) có dạng 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1+ 𝑎𝑛−2 = 𝐶

Nên NTQ của (*) là an = ak+ C

=>Nghiệm của (*) = ak +4

- Tìm nghiệm của (K):

Bước 2: Giaỉ PTĐT của (K):

Ta có PTĐT là: 𝛿2− 4𝛿 + 4 = 0

PTĐT có 1 nghiệm kép: 𝛿 = 2

=>𝑎𝑘 = (𝐶1+ 𝑛𝐶2) 2𝑛

Bước 3: Công thức NTQ: 𝑎𝑛 = (𝐶1+ 𝑛𝐶2) 2𝑛 + 4 (5)

Bước 4: Tìm C1,C2 và KL nghiệm

Thay a0=1, a1=2 vào (5) ta được:

.{ (𝐶 𝐶1+ 4 = 1

1+ 𝐶2).2 + 4 = 2  { 𝐶 𝐶1 = −3

2 = 2 CTN cần tìm là :𝑎𝑛 = (−3 + 2𝑛) 2𝑛 + 4

10 Dân số VN năm 2018 là 96 triệu dân, giả sử tỷ lệ gia tăng dân số qua các năm là 0,2%/năm và không đổi Gọi Dn là số dân sau n năm

a) Xây dựng công thức cho Dn

b) Tính số dân của VN vào năm 2030

Giaỉ:

a)

Gọi

Trang 3

-D0 là số dân năm 2018

-D1 là số dân năm 2019, D1 = D0 ( 1 + 0,2%)

-D2 là số dân năm 2020, D2 = D1( 1 + 0,2%)=D0 ( 1 + 0,2%)2

…

Với n>2, số dân sau n năm là: Dn = D0 ( 1 + 02%)n

b) Số dân năm 2030: D12 = D0 (1+0,2%)12 = 96.(1,002)12 = 98,33 triệu dân

Trang 4

SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254 1 BT Chương 3: QUAN HỆ

CHƯƠNG 3 QUAN HỆ

BÀI 1: Quan hệ - Tính chất quan hệ - Quan hệ tương đương

1, Xác định quan hệ, xác định miền và vùng kiểm tra tính chất, tìm ma trận

a)

-Xác định quan hệ:

R={(1,2);(2,2);(2,4);(3,2);(3,4);(4,1);(4,3)}

-kiểm tra tính chất: ta thấy:

+(1,1)∈R=>R không phản xạ

+(1,2)∈R, nhưng (2,1)∈R=>R không đối xứng

+(1,2),(2,4) ∈R, nhưng (1,4)∈R=> không bắc cầu

-Xác định miền và vùng:

DomR={1,2,3,4}

RangeR={1,2,3,4}

-Ma trận:

1 2 3 4

1 0 1 0 0

2 0 1 0 1

3 0 1 0 1

4 1 0 1 0

b)

-Xác định quan hệ:

R={(1,1);(1,4);(1,2);(2,2);(2,6);(2,4);(3,3);(3,6);(4,4)}

-Kiểm tra tính chất:

+ ∀𝑎 ∈ 𝐴, 𝑡ℎì (𝑎, 𝑎) ∈ 𝑅 => R có tính phản xạ

Trang 5

+ (1,2)∈R, nhưng (2,1)∈R => R không có tính đối xứng

+(1,2)∈R, (2,6)∈R, nhưng (1,6)∈R => R không bắc cầu

-Xác định vùng và miền:

+DomR={1,2,3,4,6}

+RangeR={1,2,3,4,6}

-Xây dựng ma trận:

1 2 3 4 6

1 1 1 0 1 0

2 0 1 0 1 1

3 0 0 1 0 1

4 0 0 0 1 0

6 0 0 0 0 1

2, Cho A={-2,-1,0,1,2,3,4,5,7,9} , xRy  x-y chia hết cho 3

a) Chứng minh R là QHTĐ

b) Tìm lớp tương đương [3]

c) Trong các lớp [-2];[-1];[2] có bao nhiêu lớp đôi một phân biệt?

Giải

-2 -1 0 1 2 3 4 5 7 9

-2 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0

-1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1

1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0

2 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

3 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1

4 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0

5 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

7 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0

9 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1

Trang 6

R={(-2,-2); (-2,1); (-2,4); (-2,7); (-1,-1); (-1,2); (-1,5); (0,0); (0,3); (0,9); (1,-2); (1,1); (1,4); (1,7); (2,-1); (2,2); (2,5); (3,0); (3,3); (3,9); (4,-2); (4,1); (4,4); (4,7); (5,-1); (5,2); (5,5); (7,-2); (7,1); (7,4); (7,7); (9,0); (9,3); (9,9)}

Nhận xét:

+ R phản xạ, ∀𝑖 ∈ 𝐴 → (𝑖, 𝑖) ∈ 𝑅

+ R đối xứng, ∀𝑖, 𝑗 ∈ 𝐴, (𝑖, 𝑗) ∈ 𝑅 => (𝑗, 𝑖) ∈ 𝑅

+ R bắc cầu, ∀𝑖, 𝑗, 𝑙 ∈ 𝐴, (𝑖, 𝑗) ∈ 𝑅 𝑣à (𝑗, 𝑙) ∈ 𝑅 => (𝑖, 𝑙) ∈ 𝑅

 R là QHTĐ

Lớp tương đương [3]={0,3,9}

Lớp tương đương:

[-2]={2,1,4,7}

[-1]={-1,2,5}

[2]={-1,2,5}

Các lớp đôi 1 phân biệt: [-2] và [-1]; [-2] và [2]

Trang 7

Bài 2: QUAN HỆ THỨ TỰ

1) Vẽ biểu đồ Hasse, tìm tập tối thiểu tối đại

a) U={n∈N|n là ước số của 40}

Ta có 40 = 23.5=2k.5l

Các ước :

Biểu đồ hasse:

-Tập tối thiểu: m={1}

-Tập tối đại: M={40}

Trang 8

2) Cho hasse: tìm tối thiểu Inf và tối đại Sup

a) Inf(b,c) = a

b) Inf(b,t) = a

c) Inf(e,x) = c

d) Sup(c,b) = e

e) Sup(d,v) = z

f) Sup(c,e) = z

g) Sup(a,v) = y

Trang 9

SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254 1 BT Chương 4: ĐẠI SỐ BOLL

CHƯƠNG 4: ĐẠI SỐ BOOL BÀI 1: ĐỊNH NGHĨA – PHƯƠNG PHÁP BIỂU ĐỒ KARNAUGH

1) Vẽ Karnaugh

a) f=𝑧̅𝑡̅ 𝑣 𝑥𝑦𝑡̅ 𝑣 𝑥̅𝑦𝑧̅ 𝑣 𝑥̅𝑦̅𝑧𝑡̅ 𝑣 𝑥𝑦̅𝑧̅𝑡 𝑣 𝑦̅ 𝑧𝑡

2) Vẽ Karnaugh

a) f=𝑥̅𝑧 𝑉 𝑦̅𝑧̅𝑡 𝑉 𝑥𝑦𝑡̅ 𝑉 𝑦̅𝑧̅𝑡̅ 𝑉 𝑥̅𝑦𝑧 𝑉 𝑥̅𝑦̅

Trang 10

e) f= 𝑥𝑦𝑧𝑡 𝑉 𝑥̅𝑦̅ 𝑉 𝑥𝑧̅𝑡 𝑉 𝑦𝑧̅𝑡

Trang 11

Bài 2: PHƯƠNG PHÁP BIỄU ĐỐ KARNOUGH

Xác định công thức đa thức tồi thiểu, tối đại:

1,

Bước 1: Tím các tế bào lớn của f

-Tế bào 4 ô: 7,8,9,10 → 𝑧̅𝑡̅

- Tế bào 2 ô: 1,8 → 𝑥𝑦𝑡̅

2,4 →𝑥̅𝑦̅𝑧 2,10 → 𝑥̅𝑦̅𝑡̅

3,4 → 𝑦̅𝑧𝑡 3,5 → 𝑥𝑦̅𝑡 5,7 →𝑥𝑦̅𝑧̅

6,9 →𝑥̅𝑦𝑧̅

Bước 2: Biều diễn trên cây:

-L={7,8,9,10}

1,8

Trang 12

Bước 3: Xác định các công thức đa thức

f1 = 𝑧̅𝑡̅ v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑥̅𝑦̅𝑧 v 𝑦̅𝑧𝑡 v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑥̅𝑦𝑧̅

f2 = 𝑧̅𝑡̅ v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑥̅𝑦̅𝑧 v 𝑦̅𝑧𝑡 v 𝑥𝑦̅𝑧̅ v 𝑥̅𝑦𝑧̅

f3 = 𝑧̅𝑡̅ v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑥̅𝑦̅𝑧 v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑥̅𝑦𝑧̅

f4 = 𝑧̅𝑡̅ v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑥̅𝑦̅𝑡̅ v 𝑦̅𝑧𝑡 v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑥̅𝑦𝑧̅

f5 = 𝑧̅𝑡̅ v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑥̅𝑦̅𝑡̅ v 𝑦̅𝑧𝑡 v 𝑥𝑦̅𝑧̅v 𝑥̅𝑦𝑧̅

f6 = 𝑧̅𝑡̅ v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑥̅𝑦̅𝑡̅ v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑥̅𝑦̅𝑧 v 𝑥̅𝑦𝑧̅

f7 = 𝑧̅𝑡̅ v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑥̅𝑦̅𝑡̅ v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑦̅𝑧𝑡 v 𝑥̅𝑦𝑧̅

Bước 4: Xác định công thức đa thức tối tiểu

f3 = 𝑧̅𝑡̅ v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑥̅𝑦̅𝑧 v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑥̅𝑦𝑧̅

Trang 13

Bước 1 Tím các tế bào lớn của f

-Tế bào 4 ô: 5,6,7,8→ 𝑧̅𝑡

- Tế bào 2 ô: 1,2 → 𝑦𝑧𝑡̅

1,9 → 𝑥𝑦𝑡̅

2,4 → 𝑥̅𝑦𝑧 3,5 → 𝑥𝑦̅𝑡 4,7 → 𝑥̅𝑦𝑡 6,9 → 𝑥𝑦𝑧̅

8,10 →𝑥𝑦𝑡̅

L={5,6,7,8}

3,5 1,2 2,4

8,10 8,10 8,10 8,10 8,10 8,10

f1 = 𝑧̅𝑡 v 𝑦𝑧𝑡̅ v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑥̅𝑦𝑧 v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑥𝑦𝑡̅

Trang 14

f2 = 𝑧̅𝑡 v 𝑦𝑧𝑡̅ v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑥̅𝑦𝑧 v 𝑥𝑦𝑧̅ v 𝑥𝑦𝑡̅

f3 = 𝑧̅𝑡 v 𝑦𝑧𝑡̅ v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑥̅𝑦𝑡 v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑥𝑦𝑡̅

f4 = 𝑧̅𝑡 v 𝑦𝑧𝑡̅ v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑥̅𝑦𝑡 v 𝑥𝑦𝑧̅ v 𝑥𝑦𝑡̅

f5 = 𝑧̅𝑡 v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑦𝑧𝑡̅ v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑥̅𝑦𝑧 v 𝑥𝑦𝑡̅

f6 = 𝑧̅𝑡 v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑦𝑧𝑡̅ v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑥̅𝑦𝑡 v 𝑥𝑦𝑡̅

f7 = 𝑧̅𝑡 v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑥̅𝑦𝑧 v 𝑥𝑦𝑡̅

Trang 15

2,

-Tế bào 4 ô: 2,3,4,5 → 𝑥̅𝑧

3,5,7,10 → 𝑥̅𝑦̅

6,7,8,10 → 𝑦̅𝑧̅

- Tế bào 2 ô: 1,2 → 𝑦𝑧𝑡̅

1,9 → 𝑥𝑦𝑡̅

8,9 → 𝑥𝑧̅𝑡̅

L={2,3,4,5 ; 3,5,7,10 ; 6,7,8,10}

f1 = 𝑥̅𝑧 v 𝑥̅𝑦̅ v 𝑦̅𝑧̅ v 𝑦𝑧𝑡̅ v 𝑥𝑦𝑡̅

f2 = 𝑥̅𝑧 v 𝑥̅𝑦̅ v 𝑦̅𝑧̅ v 𝑦𝑧𝑡̅ v 𝑥𝑧̅𝑡̅

f3 = 𝑥̅𝑧 v 𝑥̅𝑦̅ v 𝑦̅𝑧̅ v 𝑥𝑦𝑡̅

Trang 16

-Tế bào 4 ô: 1,3,7,8 →𝑥̅𝑦̅

4,5,6,7 → 𝑧̅𝑡

- Tế bào 2 ô: 2,5 → 𝑥𝑦𝑡

L={1,3,7,8 ; 4,5,6,7,8}

2,5 Bước 3: Xác định các công thức đa thức

f = 𝑥̅𝑦̅ v 𝑧̅𝑡 v 𝑥𝑦𝑡

Trang 17

SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254 1 BT Chương 5: ĐỒ THỊ

CHƯƠNG 5: ĐỒ THỊ BÀI 1: ĐỒ THỊ - MA TRẬN KỀ

Tìm bậc của đỉnh, xác định ma trận kề, ma trận trọng số của các đồ thị sau

-Tìm bậc của đỉnh:

+deg+(x1) = 2 ; deg-(x1) = 0 → deg(x1) = 2

+deg+(x2) = 1 ; deg-(x2) = 1 → deg(x2) = 2

+deg+(x3) = 1 ; deg-(x3) = 2 → deg(x3) = 3

+deg+(x4) = 0 ; deg-(x4) = 2 → deg(x4) = 2

+deg+(x5) = 0 ; deg-(x5) = 0 → deg(x5) = 0

+deg+(x6) = 1 ; deg-(x6) = 0 → deg(x6) = 1

-Ma trận kề:

c)

Trang 18

- Tìm bậc của đỉnh:

+deg(1) = 2

+deg(2) = 4

+deg(3) = 4

+deg(4) = 4

+deg(5) = 4

+deg(6) = 3

+deg(7) = 3

- Ma trận kề:

f)

Bậc của đỉnh:

Trang 19

+deg(a)=3

+deg(b)=3

+deg(c)=3

+deg(d)=3

+deg(e)=4

+deg(f)=4

+deg(g)=4

+deg(h)=3

+deg(k)=3

+deg(l)=3

+deg(m)=3

Ma trận trọng số

Trang 20

Bài 2: BÀI TOÁN TÌM ĐUÒNG ĐI NGẮN NHẤT

Tìm đường đi ngắn nhất từ a đến các điểm còn lại:

1 - 5,a ∞ − ∞ − (4,a)* ∞ − ∞ − ∞ − 6,a ∞ − ∞ −

2 - (5,a)* ∞ − ∞ − - 14,e ∞ − ∞ − 6,a ∞ − ∞ −

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	864,23 KB