Các nút còn lại vẫn ở vị trí cũ, hãy xác định các hàm nội suy của phần tử tứ giác mới này... 3/ Ứng suất trung bình trong đoạn thanh I và trong đoạn thanh II... - Phương pháp phần tử hữu
Trang 1Trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM
Khoa Cơ khí
Bộ môn Thiết kế máy
-
KIỂM TRA HỌC KỲ Môn học: Tính toán số các cấu trúc Được phép tham khảo tài liệu
Thời gian: 90 phút
Câu 1 (4 đ)
Xét phần tử tứ giác 4 nút (hình 1.1) với giá trị các biến nút liên kết theo thứ tự với các nút 1, 2, 3, 4 có giá trị lần lượt là t1 = 40 0C , t2 = 42 0C, t3 = 40,5 0C, t4 = 41 0C
Hình 1.1
Nút 1: x1 = 1, y1 = 2; nút 2: x2 = 6, y2 =2; nút 3: x3 = 6, y3 = 6; nút 4: x4 = 1,
y4 = 6
1/ Hãy nội suy nhiệt độ tại điểm M(3, 3) bằng hai phương pháp:
a- Dùng phần tử tham chiếu
b- Dùng phần tử thực
2/ Tính nhiệt độ trung bình trên phần tử thực
4/ Nút 3 tịnh tiến theo chiều trục tung 1 đơn vị Các nút còn lại vẫn ở vị trí cũ, hãy xác định các hàm nội suy của phần tử tứ giác mới này
Câu 2 (4 đ)
Xét thanh chịu lực dọc trục F= 100 kN gồm 2 đoạn thanh (Hình 2.1) Đoạn thanh I có mô đun đàn hồi vật liệu E1=70.000 MPa, diện tích mặt cắt ngang A1= 300
mm2 Đoạn thanh II có mô đun đàn hồi vật liệu E2= 200.000 MPa, diện tích mặt cắt
k=25.000N/mm
Trang 2
Hình 2.1
Bằng phương pháp phần tử hữu hạn, hãy xác định:
1/ Chuyển vị nút
2/ Phản lực gối tựa
3/ Ứng suất trung bình trong đoạn thanh I và trong đoạn thanh II.
Câu 3 (2 đ)
lãnh vực cơ học vật rắn biến dạng (bản chất, ưu nhược điểm, phạm vi ứng dụng)
GV ra đề……… PGS-TS Phan Đình Huấn
Bộ môn ………PGS-TS Phạm Huy Hoàng
Trang 3Bài giải
1/
- Dùng phần tử thực:
Các hàm nội suy có dạng:
(x-6) (y-6 0
1 y) (x,
( ) (x-1 y-6)
0
1 y) (x,
2 =− Ν
( ) (x-1 y-2)
0
1 y) (x,
Ν
(x-6) (y-2)
0
1 y) (x,
4 =− Ν
tM = N1 (x,y).t1 + N2 (x,y).t2+ N3 (x,y).t3+ N4 (x,y).t4
0
t 40,8 CΜ
- Dùng phần tử tham chiếu:
Biểu thức nội suy hình học:
4 4
3 3
2 2
1
1( , ).x ( , ).x ( , ).x ( , ).x
xΜ =Ν ξ η +Ν ξ η +Ν ξ η +Ν ξ η
4 4
3 3
2 2
1
1( , ).y ( , ).y ( , ).y ( , ).y
yΜ =Ν ξ η +Ν ξ η +Ν ξ η +Ν ξ η
( ) ( )ξ η η
-4
1 ) , (
Ν
( ξ) ( η η
-4
1 ) , (
( ξ) ( η) η
4
1 ) , (
Ν
( ξ) ( η η
4
1 ) , (
Với x1 = 1, x2 = 6, x3= 6, x4 = 1
y1 = 2, y2 = 2, y3= 6, y4 = 6
ta có hệ phương trình:
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⋅ +
− +
⋅ + + +
⋅
− + +
⋅
−
−
=
⋅ +
− +
⋅ + + +
⋅
− + +
⋅
−
−
=
) 2 ( 6 1 1 4
1 6 1 1 4
1 2 1 1 4
1 2 1 1 4
1
3
) 1 ( 1 1 1 4
1 6 1 1 4
1 6 1 1 4
1 1 1 1 4
1
3
η ξ η
ξ η
ξ η
ξ
η ξ η
ξ η
ξ η
ξ
Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được tọa độ của điểm ảnh M’:
⎩
⎨
⎧
−
=
−
= Μ
Μ
5 , 0
2 , 0
,
,
η
ξ
Trang 4Nhiệt độ tại M’ được nội suy qua biểu thức:
với t1 = 400C, t2 = 420C, t3 = 40,50C, t4 = 410C
4
1
t ,
=
Μ =∑Ν ξ η
i
⇒ tM’ = (0,45 x 40) + (0,30 x 42)+ (0,10 x 40,5) + (0,15 x 41)
⇒ tM’ = 40,80C
2/ Nhiệt độ trung bình trên phần tử thực là:
ttb =
( ) 4
v 1
x,y t dV
817,5 20
i=
Ν
= Α
∑
∫
= 40,8750C
3/ Tải nút tương đương
Phương trình đường tải:
q(y) = qy q
4 − 2 Tải nút tương đương được xác định theo biểu thức:
( )
6
3x 2 3 x 6
2 q
q 3
y
=
Ν
∫
4/ Hàm nội suy của phần tử tứ giác mới:
Biểu thức tổng quát của hàm nội suy có dạng:
u = A + Bx + Cy + Dxy (1) thay tọa độ các nút 1(1,2);
nút 26,2) nút 3(6,7) nút 4(1,6) vào u ta có hệ phương trình sau:
(2)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+ + +
=
+ + +
=
+ + +
=
+ + +
=
6D 6C B
A u
42D 7C 6B
A u
12D 2C 6B
A u
2D 2C B
A u
4
3
2
1
Giải hệ phương trình (2), ta có:
5
3 u 25
2 u 25
7 u 5
10
1 u 25
2 u 25
7 u 10
−
10
3 u 25
1 u 25
1 u 10
3
+
− +
−
20
1 u 25
1 u 25
1 u 20
Trang 5Viết (1) dưới dạng u = N1u1 + N2u2+ N3u3+ N4u4, ta có:
xy 20
1 y 10
3 x 10
1 5 3
xy 25
1 y 25
1 x 25
2 25 2
xy 25
1 y 25
1 x 25
7 25 7
xy 20
1 y 10
3 x 10
3 -5 9
4 3 2 1
− + +
−
= Ν
+
−
−
= Ν
− + +
−
= Ν
+
−
= Ν
1/ Chuyển vị nút:
Mô hình tính có dạng như sau:
Ma trận độ cứng phần tử 1:
1 1 1
1
A E
L
Ma trận độ cứng phần tử 2:
2 2 2
2
A E
L
mm
25000 25000
F
280mm 200mm
u4
u3
u2
u1
Trang 6Ma trận độ cứng kết cấu:
105000 176428.571 71428.571 0
−
=
mm
Đưa điều kiện biên u1 =u4 =0 vào hệ phương trình [K] { }u =[ ]F , ta được:
2
3
176428.571 71428.571 100000 71428.571 96428.571 0
u u
=⎧ ⎫
m m
( 1)
Giải hệ phương trình (1), ta có:
2 3
0.81 0.60
2/ Phản lực gối tựa
Phản lực gối tựa được suy ra từ biểu thức:
1
4
1
105000 176428.571 71428.571 0 0,81 99999.99998
0 71428.571 96428.571 25000 0,6 0
F
F
R
−
⎩ ⎭
1 1
85007,5 N 14992,50 N
F
= ≈ −
= ≈ −
3/ Tính ứng suất trung bình trong các đoạn thanh I và II
Áp dụng công thức
1
2
1 1 u E
u
σ = ⎡⎢− ⎤⎥⎡ ⎤⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ta có:
1
2
283,36 149,93
MPa MPa
σ
σ
=
= −
Cần nêu được hai ý chính sau: ( tối thiểu)
* Về mặt bản chất:
Cả 2 phương pháp đều là phương pháp số và bản chất của 2 phương pháp là biến đổi PTVP ( hệ PTVP) thành hệ phương trình đại số và giải hệ phương trình đại số này
- Phương pháp phần tử hữu hạn dùng “con đường” tích phân
- Phương pháp sai phân hữu hạn dùng “ con dường” sai phân
* Về mặt ứng dụng:
Trang 7- Phương pháp phần tử hữu hạn thích hợp cho các miền tính phức tạp -> chi tiết cơ khí
- Phương pháp sai phân hữu hạn thích hợp cho các miền tính đơn giản