TH1 e3 ThangTN phuong phap to mau

PHƯƠNG PHÁP TÔ MÀU TRẦN NGỌC THẮNG - THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC Phương pháp tô màu thường được dùng để giải các bài tập liên quan đến bảng ô vuông bài toán phủ, cắt, ghép…, tùy theo giả thiết

PHƯƠNG PHÁP TÔ MÀU

TRẦN NGỌC THẮNG - THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC

Phương pháp tô màu thường được dùng để giải các bài tập liên quan đến bảng

ô vuông (bài toán phủ, cắt, ghép…), tùy theo giả thiết và yêu cầu của từng bài toán

mà ta chọn bao nhiêu màu và tô màu theo những cách phù hợp nhất để chứng minh bài toán Việc tô màu theo cách như thế nào là bước rất quan trọng để giải các bài toán theo phương pháp tô màu và để có thể trang bị phần nào đó cho học sinh trong qua trình học chuyên đề này chúng tôi chọn lọc một số bài tập liên quan đến phương pháp tô màu

1 Cho bảng 8 8× bị mất hai ô ở hai góc đối diện Hỏi có thể lát phần còn lại của bảng bởi các quân

a) 2 1× (cùng với các hình tạo bởi bằng cách quay đi một góc tùy ý)

b) Hình chữ L dưới đây (cùng với các hình tạo bởi bằng cách quay đi một góc tùy ý)

c) 2 1× và các quân hình chữ Hình chữ L dưới đây (cùng với các hình tạo bởi bằng cách quay đi

một góc tùy ý)

Lời giải

Tô màu bảng 8 8× như hình vẽ

a) Khi đó mỗi quân 2 1× sẽ chiếm một ô đen và một ô trắng Do đó nếu phần còn lại của bảng được phủ bởi các quân này thì số ô đen bằng số ô trắng vô lí vì số ô đen

là 32, số ô trắng là 30

b) Khi đó mỗi quân hình chữ L sẽ chiếm một 2 ô đen và 2 ô trắng Do đó nếu phần còn lại của bảng được phủ bởi các quân này thì số ô đen bằng số ô trắng vô lí vì số

ô đen là 32, số ô trắng là 30

c) Mỗi quân 2 1× hoặc quân hình chữ L sẽ có số ô trắng bằng số ô đên Do đó nếu phần còn lại của bảng được phủ bởi các quân này thì số ô đen bằng số ô trắng vô lí

vì số ô đen là 32, số ô trắng là 30

2 Xét bàn cờ vua 8 8× Chứng minh rằng nếu xuất phát từ một ô góc, con mã không thể

đi qua tất cả các ô của bàn cờ, mỗi ô một lần và kết thúc ở ô góc đối diện với ô góc nó xuất phát

Lời giải

Xét bàn cờ vua 8 8× như hình vẽ Mỗi nước đi của quân mã sẽ chuyển đến ô khác màu với ô nó đứng trước đó Do đó nếu xuất phát từ ô góc và đi qua tất cả các ô còn lại và đến ô góc đối diện thì con mã sẽ thực hiện 63 nước đi Do đó con mã sẽ đến

ô khác màu với ô xuất phát vô lí vì ô đối diện với ô xuất phát là cùng màu Vậy bài toán được chứng minh

3 Một hình tròn được chia thành 2014 hình quạt Trong mỗi hình quạt có một viên bi Thực hiện trò chơi sau: mỗi lần cho phép lấy ra hai viên bi trong hai hình quạt nào đó

và chuyển sang các ô bên cạnh nhưng theo hai chiều ngược nhau Hỏi sau một số lần

có thể chuyển hết các viên bi vào một hình quạt được không?

Lời giải

Ta tô màu các hình quạt như hình vẽ, sao cho hai hình quạt cạnh nhau thì khác màu Gọi S n T n( ) ( ), lần lượt là tổng số bi ở bước thứ n của các các hình quạt màu đen, hình quạt màu trắng Do S( ) ( )0 =T 0 =1005 và S n T n( ) ( ), bất biến theo mod 2 nên không thể xảy ra trường hợp S n( )=0 hoặc T n( )=0 Vậy bài toán được chứng minh

Nhận xét Bài toàn có thể tổng quát nhứ sau: Cho *

n∈ , một hình tròn được chia thành n hình quạt Trong mỗi hình quạt có một viên bi Thực hiện trò chơi sau: mỗi lần cho phép lấy ra hai viên bi trong hai hình quạt nào đó và chuyển sang các ô bên cạnh nhưng theo hai chiều ngược nhau Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho sau một số lần có thể chuyển hết các viên bi vào một hình quạt

4 (Romania TST 2000) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( )m n, sao cho bảng m n ×

có thể lát được bởi các quân hình chữ L dưới đây (cùng với các hình tạo bởi bằng cách quay đi một góc tùy ý)

Lời giải

Phân tích: Giả sử bảng được lát bởi x quân hình chữ L suy ra mn=4a, ta sẽ thử một vài giá trị của a Giả sử m n≤

Nếu a = dễ thấy không thỏa mãn 1

Nếu a = ta có 3 mn=12 ta có các khả năng ( ) ( ) ( )m n, = 2,6 , 3,4 cả hai bảng này không thể lát bởi các quân hình chữ L

Nếu a= ta có 2 mn= ta có các khả năng 8 ( ) ( )m n, = 2,4 bảng này có thể lát bởi các quân hình chữ L như hình vẽ

Như vậy ta dự đoán để lát được bảng m n × thì a phải là số chẵn

Trở lại bài toán: Ta sẽ chứng minh a chẵn và chỉ ra cách lát trong trường hợp đó

Ta tô bảng m n × theo cách sau:

Với cách tô như vậy thì mỗi quân hình chữ L sẽ chiếm 3 ô đen và 1 ô trắng hoặc 3 ô trắng 1 ô đen Giả sử trong a quân hình chữ L có u quân gồm 3 ô đen và 1 ô trắng,

v quân gồm 1 ô đen và 3 ô trắng Khi đó ta có:

⇔

Suy ra a2mn8

Ta sẽ chứng minh với mn8 thì luôn lát được bảng m n × bởi các quân hình chữ L

Ta xét các trường hợp sau:

TH1 Nếu cả hai số m n, đều chẵn: do mn8 một trong hai số phải chia hết cho 4 , giả sử n4.Khi đó ta chia bảng m n × thành các bảng 2 4× và các bảng con này lát được như hình vẽ

TH2 Nếu trong hai số m n, có một số lẻ, giả sử m lẻ Khi đó ta viết

m = k + n = l suy ra m n× =(2k+ ×3) ( )8l =2lk(2 4× +) ( )l 3 8×

Ta nhận thấy các bảng con 2 4× lát được bởi các quân hình chữ L , ta chỉ ra cách lát cho bảng 3 8× là xong Thật vậy ta lát như hình vẽ:

Vậy các số nguyên dương m n, thỏa mãn mn chia hết cho 8

Bài toán đề xuất Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( )m n, sao cho bảng m n× có thể lát được bởi các quân hình chữ L dưới đây (cùng với các hình tạo bởi bằng cách quay đi một góc tùy ý)

5 (VMO 2006) Xét bảng ô vuông m n× (m n, là các số nguyên dương lớn hơn 3) Thực hiện trò chơi sau: mỗi lần đặt 4 viên bi vào 4 ô của bảng (mỗi ô 1 viên bi) mà 4 ô đó tạo thành một trong các hình dưới đây

Hỏi sau một số lần ta có thể nhận được bảng mà số bi trong các ô bằng nhau được không nếu

a) m=2004 và n=2006?

b) m=2005 và n=2006?

Lời giải

a) Bảng ô vuông 4 2× được ghép bởi hai quân

Do đó với bảng 2004 2006 × ta chia nó thành các bảng 4 2× Khi đó với cách đặt

bi như yêu cầu ta sẽ đặt được mỗi ô vuông đơn vị của bảng 4 2× một viên bi Do

vậy bảng 2004 2006 × sẽ được đặt mỗi ô vuông đơn vị một viên bi

b) Giả sử ta có thể nhận được bảng mà số bi các ô bằng nhau và mỗi ô có q viên bi

Khi đó bảng 2005 2006 × sẽ được lát bởi các quân

Ta tô màu bảng 2005 2006 × như hình vẽ (các ô vuông đơn vị trên cùng hàng thì cùng

màu và hai hàng cạnh nhau thì khác màu)

Gọi D n T n ( ) ( ) , lần lượt là tổng số bi trong các ô đen, ô trắng ở bước cuối cùng Do

( ) 2006.1003 , ( ) 2006.1002

D n = q T n = q  D n ( ) ( ) − T n = 2006 q Mỗi quân được lát đều

chiếm 2 ô đen và 2 ô trắng nên D n ( ) ( ) ( ) ( ) − T n = D 0 − T 0 0 = vô lý (D ( ) ( ) 0 , 0 T là

tổng số bi ở các ô đen, ô trắng lúc ban đầu) Vậy với m=2005 và n=2006 không

thỏa mãn yêu cầu bài toán

Nhận xét Với cách làm của phần b thì ta có thể chứng minh được: nếu bảng m n× (

m n > )thỏa mãn yêu cầu bài toán thì m n, đều là số chẵn Khi một trong hai số m n, chia hết cho 4 thì bảng này sẽ thỏa mãn yêu cầu Khi m n, đều chẵn và không chia hết cho 4 thì bảng có thỏa mãn không?

6 Cho k n , là các số nguyên dương Xét một bảng ô vuông vô hạn, đặt 3 k n quân cờ trong hình chữ nhật 3k n × Thực hiện trò chơi sau: mỗi quân cờ sẽ nhảy ngang hoặc dọc qua một ô kề với nó và có chứa quân cờ, để đến ô kề với ô này (ô mà quân cờ nhảy đến phải là ô trống) Sau khi làm như trên ta loại bỏ quân cờ ở ô bị nhảy qua ra khỏi bàn cờ Chứng minh rằng, với cách chơi đó trên bảng ô vuông sẽ không bao giờ còn lại đúng một quân cờ

Lời giải

Ta tô bảng ô vuông vô hạn bởi ba màu 1, 2, 3 và được tô như hình vẽ Gọi

( )

n

S i là tổng số quân cờ trong ô vuông đơn vị có màu i i ( = 1,2,3 ) ở bước chơi thứ n, trong đó n = 0 chỉ lúc ban đầu Ta có S0( ) ( ) ( ) 1 = S0 2 = S0 3 = kn Trong mỗi lần chơi thì tổng số bi của mỗi màu đều tăng hoặc giảm đúng một đơn vị nên tính chẵn lẻ của tổng số bi trong mỗi màu không đổi Do đó không có trạng thái mà trên bảng còn lại đúng một quân cờ

7 Xét bảng ô vuông n n × (n là số nguyên dương lớn hơn 4) và xóa bỏ 4 ô vuông đơn vị

ở bốn góc của bảng Tìm tất cả các giá trị có thể có của n sao cho bảng trên được lát bởi các quân hình chữ L như hình dưới đây (cùng với các hình tạo bởi bằng cách quay đi một góc tùy ý)

1 1 1 1

1 1

1

3 3 3 3 3 3

2 2 2 2 2

1 1 1 1

3 3 2

3 2 1

Lời giải

Giả sử bảng n n × và xóa bỏ đi bốn ô vuông đơn vị ở bốn góc của bảng được lát bởi các quân hình chữ L và giả sử cần a quân hình chữ L Khi đó ta có:

2 4 4

Từ đẳng thức này ta suy ra n phải là số chẵn

Khi đó ta tô màu bảng n n × như hình vẽ dưới đây:

Khi đó mỗi quân hình chữ L sẽ phủ 1 ô đen và 3 ô trắng hoặc 1 ô trắng và 3 ô đen Giả sử trong a quân hình chữ L có u quân gồm 3 ô đen và 1 ô trắng, v quân gồm 1 ô đen và 3 ô trắng Khi đó ta có:

⇔

Suy ra a 2 n2 − 4 8   ≡n 2 mod 4( )

Với n≡ 2 mod 4( ) ta có thể chỉ ra cách lát theo cách giống như bài 4

8 Một bảng 7 7 × được phủ kín bởi 16 quân 3 1 × và 1 quân 1 1 × Hỏi quân 1 1 × phải được đặt ở vị trí nào?

Lời giải

Đầu tiên ta dự đoán vị trí của quân 1 1 × ta được vị trí tại bốn góc của bảng, tâm của bảng và tại trung điểm của dòng 1, 7 và các cột 1, 7 Ta sẽ chỉ ra 3 cách giải

cho bài toán này

Cách 1 Ta tô màu mỗi ô vuông đơn vị bằng 1 trong 3 màu 0,1,2 như hình A dưới

đây:

Nếu quân 1 1 × không được phủ bởi màu 0 thì ô chứa màu 0 phải được phủ bởi quân

3 1 × Do mỗi quân 3 1 × gồm hai loại: loại 1 là quân chứa một ô màu 0 và hai ô màu 1, loại 2 là quân chứa 1 ô màu 1 và hai ô màu 2 Do có tất cả 9 ô có màu 0 nên có 9 quân

3 1 × loại 1 và 7 quân 3 1 × loại 2 Do đó 16 quân 3 1 × sẽ phủ được 9 2 7 25 × + = ô vuông có màu 1 và 7 2 14 × = ô vuông có màu 2 Với cách tô màu bảng như trên thì có

16 ô vuông được tô màu 2 và 24 ô vuông có màu 1 vô lí Vậy quân 1 1 × phải được đặt

ở ô vuông tô màu 0 Ta nêu ra cách phủ trong các trường hợp đặt quân 1 1 × như sau: Đặt quân 1 1 × vào ô tô màu đen Khi đó ta phủ các quân 3 1 × như hình B dưới đây:

Các trường hợp đặt quân 1 1 × được làm tương tự

Cách 2 Đầu tiên ta tô màu mỗi ô vuông đơn vị bằng 1 trong 3 màu 0,1,2 như hình C

dưới đây:

Hình A

1

0

1 1

1 2 1

0 2 2 0

1 1 2 1 1

1 2 1

2 1

0 2 2 0 2 2 0

1 2 1 1 2 1

1 1 2 1 1

1 2 1

1 1

0 2 2 0 0

Hình B

Theo cách tô màu này thì có 17 ô vuông đơn vị được tô màu 0, 16 ô vuông đơn vị được tô màu 1 và 16 ô vuông đơn vị được tô màu 2 Mặt khác mỗi quân 3 1 × sẽ chiếm

3 ô vuông đơn vị có màu 0,1,2 suy ra quân 1 1 × phải được đặt ở ô vuông đơn vị có màu 0

Tiếp theo ta tô màu mỗi ô vuông đơn vị bằng 1 trong 3 màu 0,1,2 theo hình D dưới đây

Theo cách tô màu này thì có 17 ô vuông đơn vị được tô màu 0, 16 ô vuông đơn vị được tô màu 1 và 16 ô vuông đơn vị được tô màu 2 Mặt khác mỗi quân 3 1 × sẽ chiếm

3 ô vuông đơn vị có màu 0,1,2 suy ra quân 1 1 × phải được đặt ở ô vuông đơn vị có màu 0

Do đó để quân 1 1 × giữ nguyên vị trí theo hai cách tô hình C và hình D thì nó phải nằm ở ô vuông đơn vị có màu 0 tại tâm của bảng, tại 4 góc của bảng và tại trung điểm mỗi cạnh của bảng

Tương tự như cách 1 ta sẽ phủ được bảng khi đặt quân 1 1 × vào các vị trí đó

Hình C

2

0

1 2

2 0 1

0 1 2 0

1 2 0 1 2

2 0 1

0 1

0 1 2 0 1 2 0

2 0 1 2 0 1

1 2 0 1 2

2 0 1

1 2

0 1 2 0 0

Hình D

1

0 1

2

2 0 1

0 2 1

0 1 2 0 1 1

2 0 2

0

2 0 1 2 0 1 1

0 2

0 2 1 0 2

1 1 0 2 1

2 0

1 0

0 1 2

0

1 2

Cách 3 (sử dụng số phức) Giả sử ô ở vị trí (m n, ) không được phủ, đặt

ε = + Khi đó ta đặt vào mỗi ô ( )j k, bởi một trong 2 cách sau: 1) Đặt vào ô ( )j k, số j k

ε ε Khi đó tổng các số trong mỗi ô của hình chữ nhật kích thước 3 1× và 1 3× đều bằng 0 Khi đó theo giả thiết ta được

j k

2

m n

ε

+

3m n 1

 + + (1) 2) Đặt vào ô ( )j k số , j 2k

ε ε Khi đó tổng các số trong mỗi ô của hình chữ nhật kích thước 3 1× và 1 3× đều bằng 0 Khi đó theo giả thiết ta được

j k

=   

2

2

2

m n

ε

+

3m 2n

Từ (1) và (2) ta được

, 1, 4,7

m n

Kiểm tra lại ta thấy nếu bỏ đi ô (m n , trong đó , ) m n, ∈{1, 4,7} thì bảng hình vuông kích thước 7 7× được lát bởi 16 hình chữ nhật kích thước 3 1× hoặc 1 3×

9 (Belarus 1999) Cho bảng 7 7 × và các quân cờ có một trong ba loại sau sau: 3 1, 1 1 × ×

và quân hình chữ L gồm 3 ô Người thứ nhất có vô hạn quân 3 1 × và một quân hình chữ L, trong khi người thứ hai chỉ có duy nhất một quân 1 1×

a) Chứng minh: nếu cho người thứ hai đi trước, anh ta có thể đặt quân cờ của mình vào một ô nào đó sao cho người thứ nhất không thể phủ kín phần còn lại của bảng b) Chứng minh rằng nếu cho người thứ nhất thêm một quân hình chữ L thì bất kể người thứ nhất đặt quân cờ của mình ở đâu thì người thứ hai cũng vẫn có thể phủ kín phần còn lại của bảng

Lời giải

a)

Đầu tiên ta tô màu bảng 7 7 × bởi ba màu 1, 2, 3 như hình A và đặt quân 1 1 ×

như trên hình A Khi đó ô vuông đơn vị tô màu 1 là 17, tô màu 2 là 15 và tô màu 3

là 16 Mỗi quân 3 1 × được phủ bởi đủ ba màu 1, 2, 3 Do đó nếu phần còn lại được phủ kín thì quân hình chữ L phải gồm 2 ô màu 1 và 1 ô màu 3

Tiếp theo giữ nguyên vị trí quân 1 1 × và tô màu bảng 7 7 × như hình B Khi đó ô vuông đơn vị tô màu 1 là 17, tô màu 2 là 15 và tô màu 3 là 16 Mỗi quân 3 1 × được phủ bởi đủ ba màu 1, 2, 3 Do đó nếu phần còn lại được phủ kín thì quân hình chữ

L phải gồm 2 ô màu 1 và 1 ô màu 3

Nhưng ta nhận thấy quân cờ hình chữ L có hai dạng khác nhau vô lí vì chỉ có duy nhất một quân hình chữ L Vậy bài toán được chứng minh

b)

Hình B Hình A

1x1 1x1

3

2 2 2

1 1 1

3 3 3 3

2 2 2

2

1 1 1 1 1

3 3 3 3 3

2 2 2 2 2

3 3 3

1

3 3

2 2 2

1 1 1 1

3 3 3 3 3

2 2 2

2 2

1 1 1 1 1 1 1

3 3 3 3 3 3

2 2 2 2 2

3 3 3

1

1 1 1

1

2

2 2

2

1 1 1 1 1

Xét 4 bảng ô vuông 4 4 × như hình C và bốn hình vuông này phủ kín bảng

7 7 × suy ra quân cờ 1 1 × sẽ thuộc ít nhất một bảng 4 4 × Bảng 4 4 × lại chia thành bốn bảng 2 2 × không có phần chung trong suy ra quân cờ 1 1 × sẽ nằm trong một bảng 2 2 × Khi đó một quân hình chữ L và quân cờ 1 1 × sẽ phủ bảng 2 2 × và ba bảng 2 2 × còn lại sẽ được phủ bởi 1 quân hình chữ L và 3 quân 3 1 × , như hình vẽ (màu vàng chỉ quân 1 1 × )

10 Cho a b n , , là các số nguyên dương Khi đó bảng ô vuông a b × được lát bởi các quân

1 n × (và các quân nhận được khi quay đi một góc) khi và chỉ khi n a hoặc n b

Lời giải

Cách 1 Ta xét hai trường hợp:

Th1 Nếu n b thì dễ thấy bảng lát được bởi các quân 1 n ×

Th2 Nếu b không chia hết cho n, giả sử b qn r = + ,0 < < r n

Ta tô màu bảng ô vuông a b × như hình vẽ:

Hình C

Kí hiệu quân R là quân dạng 1 r × chứa đủ r màu 1,2, ,r; quân N là quân dạng 1 n ×

chứa đủ n màu 1,2, ,n và quân N R − là quân dạng 1 n r × − ( ) và chứa đủ n r − màu

1, 2, ,

r + + r n

Ta nhận thấy trong bảng a b × sẽ có aq a + quân R và sẽ có aq quân N Giả sử để phủ được bảng a b × ta cần k quân N suy ra phần còn lại trên bảng sẽ còn aq a k + − quân

R và aq k − quân N R − Phần còn lại này chỉ được lát bởi các quân 1 n × dạng thẳng đứng nên suy ra

,

n aq a k n aq k + − −  n aq a k + − − aq k −  n a

Vậy bảng ô vuông a b × được lát bởi các quân 1 n × khi và chỉ khi n a hoặc n b

Cách 2 (Sử dụng số phức) Ta sẽ giải bài toán tổng quát sau:

Giả sử một bảng hình chữ nhật có thể lát bởi hữu hạn các bảng hình chữ nhật

có kích thước m × hoặc 1 n1 × , trong đó m, n là các số nguyên dương cho trước

Chứng minh rằng có thể lát bảng hình chữ nhật đã cho hoặc chỉ bằng các hình chữ nhật kích thước m × hoặc chỉ bằng các hình chữ nhật có kích thước 1 n1 ×

Lời giải

Giả sử bảng hình chữ nhật đã cho có kích thước a b× , trong đó a b, là các số nguyên dương Đặt 1 cos2 isin2 , 2 cos2 isin2

Tại mỗi ô ( )j k, ta đặt số ε ε Khi đó tổng các số trên mỗi bảng hình chữ nhật kích 1j 2k

thước m × và 1 n1 × đều bằng 0

Theo giải thiết bảng hình chữ nhật a b× có thể được lát bởi các hình chữ nhật kích thước m × hoặc 1 n1 × nên ta có

a

r qn

r r r r r r r

n

1

1

1

n

1

n

1

2

1

n

2 1

1

n

2 1

n

2 1

2 1

2 1

n

2 1 1