DIỆN TÍCH bài TOÁN ĐỒNG QUY THẲNG HÀNG

Một trong những lớp bài toán thường gặp là bài toán về sự đồng quy của các đường thẳng, sự thẳng hàng của một họ điểm.. Trong bài viết này, chúng tôi xin trao đổi với các thầy cô giáo, c

Diện tích và phơng pháp diện tích với bài

toán đồng quy thẳng hàng.

Hạ Vũ Anh − THPT Chuyên Vĩnh Phúc

Ngày 24 tháng 11 năm 2011

Mở đầu

Trong các kỳ thi học sinh giỏi, các bài toán hình học cổ điển thường

là những bài toán khó Một trong những lớp bài toán thường gặp là bài toán về sự đồng quy của các đường thẳng, sự thẳng hàng của một họ điểm

Có rất nhiều cách thức để tiếp cận, giải quyết bài toán đó Nhưng, nhìn chung có bốn phương pháp chính để giải bài toán này Đó là

• Phương pháp quỹ tích

• Phương pháp vectơ

• Phương pháp toạ độ

• Phương pháp biến hình

Trong bài viết này, chúng tôi xin trao đổi với các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp và các em học sinh yêu toán về một khía cạnh của phương pháp quỹ tích: sử dụng công cụ diện tích phục vụ cho việc chứng minh đồng quy, thẳng hàng

Hạ Vũ Anh - Tổ Toán - Tin học

1 Định nghĩa diện tích.

Diện tích của một hình (H) là một số, ký hiệu S hay S(H), được

xác định bởi

(i) S ≥ 0

(ii) Hình vuông cạnh 1 có diện tích bằng 1

(iii) Hai hình bằng nhau có diện tích bằng nhau

(iv) Nếu một hình (H) được phân hoạch thành các hình (Hi) (tức là

(H) =

n

S

i=1

Hi và (Hi∩ Hj = ∅) thì

S(H) =

n

X

i=1

S(Hi)

2 Đa giác định hướng và diện tích đa giác định hướng.

Đa giác A1A2 An được gọi là được định hướng dương, nếu đi từ

A1 tới An dọc theo chu tuyến là ngược chiều kim đồng hồ Trong trường

hợp ngược lại, thì được gọi là được định hướng âm

Ký hiệu S(A1A2 An) hay SA1A2 An để chỉ diện tích (hình học) của

đa giác A1A2 An, còn ký hiệu S[A1A2 An] hay [A1A2 An] để chỉ diện

tích (đại số) của đa giác định hướng A1A2 An Khi đó

S [A1A2 An] =







S (A1A2 An) nếu đa giác A1A2 An định hướng dương

−S (A1A2 An) nếu đa giác A1A2 An định hướng dương

3 Một số kết quả đáng chú ý.

1 Diện tích tam giác

S(ABC) = S = 1

2a · ha =

1

2b · hb =

1

2c · hc

= 1

2ab sin C =

1

2bc sin A =

1

2ca sin B

= pr = (p − a)ra = (p − b)rb = (p − c)rc

= pp(p − a)(p − b)(p − c)

Từ đó

1

ha +

1

hb +

1

hc =

1

r =

1

ra +

1

ra +

1

ra

2 Nếu 4ABC v 4A1B1C1 thì S(ABC)

S(A1B1C1) = k

2 trong đó k = AB

A1B1

3 Cho góc ∠xOy, và lấy A, A0 ∈ Ox, B, B0 ∈ Oy Khi đó

[OAB]

[OA0B0] =

OA

OA0 · OB

OB0

O

x

y

A

B

A0

B0

Hình 1

4 Cho tam giác ABC Khi đó [ABC] = [M BC]+[M CA]+[M AB] ∀M

Mở rộng Cho đa giác A1A2 An Khi đó

[A1A2 An] =

n

X

i=1

[M AiAi+1] ∀M

(Quy ước An+k ≡ Ak , k = 1, n)

5 M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi [M N P ] = 0

6 Cho tam giác ABC và điểm M chia đoạn BC theo tỷ số k 6= 1 Khi đó

[M AB]

[M AC] = k

Một số bài toán.

1 Cho hình bình hành ABCD Trên BC, CD lần lượt lấy M, N sao cho CN : N D = 2 · BM : M D Gọi P, Q theo thứ tự là giao điểm của AM, AN với BD Chứng minh rằng [AM N ] = 2 · [AP Q]

Lời giải

Đặt BM : M C = k ⇒ CN :

N D = 2k Khi đó

[AP Q]

[AM N ] =

AP

Theo định lý Thalès, ta có

A

B

D

C M

N

P

Q

Hình 2 AP

AD

AP + P M =

AD

BC

BC + BM Mặt khác, do BM : M C = k nên

BC

k + 1

k + 1 2k + 1

k + 1

Tương tự

AQ

N D

AB

DC

2k + 1

Từ (1),(2),(3) suy ra điều phải chứng minh

2 Cho hình thang ABCD (AB k CD) Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm hai đáy AB, CD Chứng minh rằng

M ∈ (IJ ) ⇐⇒ [M AD] = [M BC]

Lời giải

Theo giả thiết ta có

Mà

[AIJ D] = [M AI] + [M IJ ] + [M J D] + [M DA] (5) [BCJ I] = [M BC] + [M CJ ] + [M J I] + [M IB] (6) [M AI] = [M IB] ; [M DJ ] = [M J C] (7)

B I

A

J M

Hình 3

Từ (4),(5),(6),(7) suy ra

M ∈ (IJ ) ⇔ [M IJ ] = [M J I] = 0 ⇔ [M DA] = [M BC] điều phải chứng minh

Nhận xét Cũng với cách giải trên, chúng ta còn chứng minh được

M ∈ (IJ ) ⇔ [M AC] = [M DB]

3 Cho tứ giác ABCD Các đường thẳng AB, CD cắt nhau tại E Gọi

F, G theo thứ tự là trung điểm các đường chéo AC, BD của tứ giác

Chứng minh rằng [EF G] = 1

4· [ABCD]

Lời giải

B

A

C

D

E G

F

Hình 4 Nối AG, CG Ta có

[EF G] = [AEG] − [AF G] − [AEF ]

= [ABG] + [EGB] − [AF G] − [AEF ]

= 1

2 · ([ABD] + [BDE] − [ACG] − [ACE])

= 1

2 · ([ADE] − [AGCE])

= 1

2 · ([ABCD] − [ABCG]) Mặt khác

[ABCG] = 1

2 · [ABG] + [BCG]

[ABG] = 1

2 · [ABD]

[BCG] = 1

2 · [BCD]

Từ đó suy ra điều phải chúng minh

4 Cho tứ giác ABCD Các đường thẳng AB, CD cắt nhau tại E, các đường thẳng BC, DA cắt nhau tại F Gọi I, J, K theo thứ tự là trung điểm các đoạn thẳng AC, BD, EF Chứng minh rằng I, J, K thẳng hàng

Lời giải

Theo kết quả bài toán 3, ta có

[EIJ ] = [IJ F ]



= 1

2 · [ABCD]



Kẻ EG, F H⊥IJ Khi đó

1

2 · IJ · EG = 1

2 · IJ · F H Suy ra EG = F H, và do đó

EGF H là hình bình hành Suy

ra GH, EF cắt nhau tại

A

E

F

D

I

K

J

H G

Hình 5

trung điểm mỗi đường, tức là GH đi qua K Từ đó suy ra điều phải chứng minh

5 Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm AC, BD Chứng minh rằng P ∈ (M N ) L[P AB] + [P CD] = [P BC] + [P DA] Lời giải Ta có

[M N P ] = 1

2([AN P ] + [CN P ])

= 1

4([ABP ] + [ADP ] + [CDP ] + [P CD])

= 1

4([P AB] + [P CD] − [P BC] − [P DA])

Do vậy

P ∈ (M N ) L[M N P ] = 0 L[P AB] + [P CD] = [P BC] + [P DA]

6 Cho tứ giác lồi ABCD với diện tích S Lấy P1 ∈ (CD) sao cho

P1, C nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ (AB) và [ABP1] = S

2. Tương tự lấy P2 ∈ (BC), P3 ∈ (AB), P4 ∈ (DA) Chứng minh rằng P1, P2, P3, P4 thẳng hàng

Lời giải

Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các đường chéo AC, BD và không mất tổng quát, coi tứ giác ABCD định hướng dương

Khi đó [P1AB] = S2 ; [P1CD] = 0 và S = [ABCD] = [P1AB] + [P1BC] + [P1CD] + [P1DA]

A B

M

N

P1

Hình 6

=⇒ [P1BC] + [P1DA] = S2 = [P1AB] + [P1CD]

Suy ra P1 ∈ (M N )

Hoàn toàn tương tự, chứng minh được P2, P3, P4 ∈ (M N ) Vậy,

P1, P2, P3, P4 thẳng hàng

7 Cho ngũ giác lồi ABCDE Gọi F = (BC) ∩ (DE), G = (CD) ∩ (EA), H = (DE) ∩ (AB), I = (EA) ∩ (BC), J = (AB) ∩ (CD) Giả sử rằng các tam giác AHI, BIJ, CJ F, DF G, EGH có diện tích bằng nhau, chứng minh rằng các đường thẳng AF, BG, CH, DI, EJ đồng quy

Lời giải Từ giả thiết suy ra

CF, CJ = DG, DF = EH Đặt

AH

AI

AE = y Áp dụng định

lý Ménélaus cho tam giác AGJ với

cát tuyến (CBI) ta có

BA

BJ · CJ

CG · IG

IA = 1 Suy ra

CJ

BJ

BA · IA

IG =

xy

1 + 2y (8)

C D

E

F

G H

P

Hình 7

Tương tự, áp dụng định lý Ménélaus cho tam giác GAJ với cát tuyến (DEH), cũng được

DG

xy

Từ (8) và (9), để ý rằng DG

DJ = CJ

CG, suy ra x = y Điều đó có nghĩa

là HI k EB Suy ra

F E

F H =

F B

F I ⇒ F E

F D =

F B

F C hay CD k EB

Chứng minh hoàn toàn tương tự, cũng được

IJ k AC k DE, J F k BD k EA, F G k CE k AB, GH k AD k BC Giả sử rằng (AF ) ∩ (BG) = {P } Khi đó, áp dụng kết quả bài toán

2 cho hình thang ABF G, đường thẳng IP là tập hợp những điểm

M mà S4M AG = S4M F B Ta có

S4DAG = S4BAG = S4ABF = S4DBF

Suy ra D ∈ (IP ), hay I, P, D thẳng hàng Tương tự, cũng được các

bộ ba điểm C, P, H và E, P, J thẳng hàng Điều phải chứng minh

Bài tập

1 Cho tứ giác lồi ABCD M, N theo thứ tự là trung điểm AB, CD

Gọi P = (AN )∩(M D) , Q = (BN )∩(CM ) Chứng minh rằng [P AD]+ [BQC] = [M P N Q]

2 Cho lục giác lồi ABCDEF Gọi M, N, P.Q, R, S theo thứ tự là

trung điểm của các đoạn thẳng AB, DE, BC, EF, CD, F A Chứng

minh rằng nếu mỗi đoạn M N, P Q, RS chia lục giác thành hai phần

tương đương thì chúng đồng quy

3 Tam giác A1A2A3 không cân, không vuông nội tiếp đường tròn (O)

Gọi Bi là trung điểm cạnh đối diện đỉnh Ai Trên tia [OBi) lấy điểm

Ci sao cho 4OAiBi v 4OCiAi Chứng minh rằng các đường thẳng

AiCi, i = 1, 2, 3 cùng đi qua một điểm

4 Cho tứ giác lồi ABCD có AC⊥BD, AB 6k CD Trung trực AB, CD

cắt nhau tại P ở trong tứ giác

(a) Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của P trên AC, BD Chứng

minh rằng

[ABP ] = [CDP ] LAM · BN = CM · DN

(b) Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi [ABP ] =

[CDP ]

5 Gọi F, G, H, I, J theo thứ tự là trung điểm các cạnh CD, DE, EA, AB, BC của ngũ giác lồi ABCDE Biết rằng AF, BG, CH, DI đồng quy,

chứng minh rằng P, E, J thẳng hàng

6 Lục giác lồi ABCDEF có các cặp cạnh đối diện song song Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua trung điểm các cặp cạnh đối diện đồng quy

7 Tứ giác lồi ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Gọi M, N theo thứ

tự là trung điểm của các đường chéo AC, BD, chứng minh rằng

M, N, O thẳng hàng

Đôi điều kết luận.

Do khuôn khổ của bài viết, trong báo cáo này chúng tôi chỉ trình bày một số bài toán cơ bản mang tính chất chìa khoá, có thể áp dụng cho nhiều bài toán khác cùng loại

Qua các bài toán trên, chúng ta có thể thấy rằng việc sử dụng khái niệm hướng và diện tích của đa giác định hướng đã làm cho bản thân các lời giải khá gọn gàng, quan trọng hơn, chúng không còn phụ thuộc vào hình vẽ nữa - điều đó thật tuyệt