Gọi Sn là khoảng thời gian giữa 2 lần đến liên tiếp thứ n... Đúng mạch tại thời điểm t=0.. Hãy tìm cường độ của dòng điện qua tụ điện C tại thời điểm t >0... Đúng mạch tại thời điểm t=0.
Trang 1C LOẠI CÂU HỎI 3 ĐIỂM
Câu 1:
Tính tích phân phức dz
izz
zisinI
C
31
4 , trong hai trường hợp sau:
! 1 m
1 a
; z f s
1 m a
zisins
Re.i2
dlim
!1
1i
3
i Z
3
i
zisinz81z4
zicosilimi2
1 9
i 4
3
sin 3
i 8
1 9
i 4 3 cos i i
1 9
i 4 2
3 3
i 8
1 9
i 4 2
1 i i 2
25
3 216 45
9
5 3
3 8 9
zisins
Re2
i
;iz31z4
zisins
2 2
i 25 1 2
i 5 i 2
2 sin i
z 3 i z 2
z i sin
Trang 2Re2
i
;iz31z4
zisins
2 2 i 1 2
i i 2 2 sin i
z 3 i z 2
z i sin
i
2 i 25
2 i 2 I
I
Câu 2:
Bằng cách đưa về tích phân phức hãy tính tích phân dx
x sin
x sin
2
z z x sin
izi3z3
1z4iz
dziz103z3
1z4iz
dz5i2
zz3
i2
zz4dx
5xsin3
xsin4
C
2
C 2 2
C
1
1 2
i 3 z 3
1 z 4 lim 3
i iz 3
i z i 3 z 3
1 z 4 s
3 i Z
i z i 3 z 3
1 z 4 lim 0
; iz 3
i z i 3 z 3
1 z 4 s
2 0
13 3
1 i 2
3
2 i 12
Trang 3Xét hàm:
z 1 3 z 1 2
z i e
z i e lim 1
; 2 1 z 3 1 z
z i e s Re
1 Z
lim 1
lim
! 1
1 3
1
; 2 1 3 1
Re
3 1 3
1
z z
i z i e z
z i e dz
d z
z
z i e s
Z Z
16 1 3 4
b) Khi C là đường tròn z = 3/2 thì trong C đã cho có 2 cực điểm z = 1và
z i e I
4 s 2 L
Q
sP
Q
s P
1 s
; QP ss 12
i 2 s
2
1 e 2
1 e 2
1 t
Câu 5:
Trang 4Tìm biến đổi Laplace ngược
1 L
1s
1s
Q
sP
2 3
; 2
3 i 3
3 i 3 s s
1 s
Q
s P
0 s
3 i 3 t
2 3 i 3
e 3 3 3 i
2 e
3 3 i 3
2 3
1 t
s6816s9
s433s2
6Lt
s6816s9
s433s2
6Lt
s68L16s9
s43L3s2
6
2 1 1
3 1
2 3 s
1 L
2
6 3 s
9
s43
ta có hàm ảnh
3s 43s 4
s434
s3
s4316s9
s43sQ
sP
2 2 2
4
QP ss 2425
3 s
t 3
4 t
3 4 2
24
7e24
2516
s
9
s4
16
s68
ta có hàm ảnh
4s 3i4s 3i
s68i
3s4
s689
s16
s68sQ
sP
2 2 2
Trang 5Có các cực điểm đơn là: ; 34i
4
i 3
i 9 16 s
Q
s P
4 i 3 s
4 i 3 t
4 i 3 t
4 i 3 2
12
9i16e
12
9i16e
i12
i916e
i12
i9169s
16
s6
4 i 3 t
3
4 t
3
4 t
2
3
e12
9i16e
12
9i16e
24
7e24
25e
3t
1 L
Suy ra phương trình ảnh:
1 s
1 s Y s Y
s 1 s
1 s
Y 1 s
1 s Y 1
s1
s
11s
s1s
t
e 2
t 3 cos 2
t 3 sin 3 3
e sht t
y
Câu 8:
Trang 6Tìm nghiệm của phương trình vi phân y’’(t) – 4y’(t) +5y(t) = 25(t2 + 1),
thoả mãn điều kiện đầu: y(0) = y’(0) = 0
Bài giải:
Ta có : 2 2 2 503 252 50 325
25250252525
s
s s
s t
t t t t
2 {
25 50 )
5 4 (
25 50 )
(
25 50 ) ( 5 ) ( 4
)
(
.
3 2
3
3 2
s s
s s s
s s
Y
s
s s
Y s sY
842
25)
54(
)413
)(
42(2)54)(
42(lim2
25
54
2lim
2
250
;)2(
2
2550Re
3 2
2 2
0
2 2 2 0 3
s s s
s s s
s s
s ds
d i
s i s s
s s
s
s
22 4
25 ) 4 ( 22 4
4 25
2 (
2 lim 25
2
; ) 2 (
2
25 50 Re
) 2 ( )
2 (
3 ) 2 ( ) 2 ( 3
i e
i s s
s e
i i
s i s s
s s
t t
i s t
22 4
25 ) 4 ( 22 4
4 25
2 (
2 lim 25
2
; ) 2 (
2
25 50 Re
) 2 ( )
2 (
3 ) 2 ( ) 2 ( 3
i e
i s s
s e
i i
s i s s
s s
t t
i s t
Vậy nghiệm của phương trình vi phân đã cho :
224
)4(2522
4
)4(255
42)(
) 2 ( 2
e i t
y
t t
i
6
Trang 7Câu 9:
Tìm biến đổi Z ngược của hàm giải tích:
3 12 1
1 4
z z
z z
1 1
z 3 3
5 z
1 1
z 2 1 z 3 z
1 z
X
4 4
11
z5
1z
3
11z5
11
z22
5z
11
z33
5
z
1
5 5
4 4
n z 5 n
1 5 1 5
n
n z 5 n
1 5 1 0
n
n z
1 5
5
1 0
n
n z
1 5
2 cos(
3 2 2 3 )
(
2 1
3 1
df ft f
e df ft i e f e t
x
df ft i e f X f
X F f e F t
21
3)
2cos(
3 3
ft t
v
df e du df
ft dv
0 3
0
3
) 2 sin(
3 )
2 sin(
2
3 2 2
) 2 sin(
2
)
t df ft e
t t
ft e
21
3)
2sin(
3 3
ft t
v
df e du df
ft dv
Trang 8
9 4
3 )
(
) 2 cos(
2
3 2
1 3 )
2 cos(
2
) 2 cos(
2
3 2
1 3 )
2 sin(
3
2 2
0 3
0
3
0 3
x
df ft e
t t t df ft e
df ft e
t t t df ft e
t
f f
f f
Bài giải:
Biến đổi Fourier của hàm số x(t) là dt
4 2 t
ft 2 i e t x F f
ft 2 cos 2
2 dt
ft 2 cos
f 4 cos d
2 f 2 cos 2
2 f
C n b n a r r
u
n
n n
n r
n
n n
0
sin cos
2
sin cos
Trang 92 cos 2 cos 4 sin 2 2 4 cos 2 8 cos sin 2 2
;
2 2
2 3
2 2
3 2 2
r r
2
254
x
ut
0
0 0
, x u
; x sin ,
x u
t u t u
2
2 2 2 2
2 2 2 2
254
100
16
10016
5085252,
x
u t
u t
u x u
t t u
x x u
t x t x t x t x u
2
254
x
ut
2
254
x
ut
u
x x x
u
0 0 ,
2 sin 0 ,
Trang 10
x t x t x t x t u
dv v a vi
dv v a
at x at x t
x u
at x
at x
at x
at x
5cos.2sin2
52sin52sin,
02
1:
2
12
X(t) là quá trình Poisson tham số =3.Theo công thức ta có :X(t)~P(t) thì E[X(t)]=t
+ X(2) là biến ngẫu nhiên có phân bố Poisson tham số 6 do đó E[X(2)]=6
+ X(1) là biến ngẫu nhiên có phân bố Poisson tham số =3
E[X(1).X(2)] = E[X(1){X(3)-X(1)}] = E[X(1).E[X(3)-X(1)]
Vậy xác suất để trong giờ đầu tiên có 8 người vào cửa hàng trong đó có 3 người có nhu cầu phục
vụ và 5 người không có nhu cầu phục vụ là:
2
2 1
1 2
!5
!
3
4.6
!5
4
!3
6
!
!5
1,3
X
P
k k
10
Trang 11Câu 16:
Số cuộc gọi đến một tổng đài là một quá trình Poisson {X(t),t ≥ 0} với tham số = 5 (trung bình
có 5 cuộc gọi trong 1 phút) Gọi Sn là khoảng thời gian giữa 2 lần đến liên tiếp thứ n Hãy tính
2 4
.
146 , 0 20
1 096 , 0 2
1 4
345 , 1 096 , 0 14 255
343 4
.
096 , 0 255
343 14
1 4
2 3 2 3
2 3 2 3
L W
W L
W
q q
Trang 12D LOẠI CÂU HỎI 4 ĐIỂM
Câu 1: Cho mạch điện như hình vẽ:
Biết điện trở R1 = 10, R2 = 30, tụ điện C có điện dung 0,01F, cuộn dây L có độ từ cảm 1H và suất điện động E = 8sin 20t(Volt)
Đúng mạch tại thời điểm t=0
Hãy tìm cường độ của dòng điện qua tụ điện C tại thời điểm t >0
Câu 2:
a) Chứng tỏ rằng biến đổi Laplace của
f(t) = cos10t + 2sin10t – e-10t(cos10t + 3sin10t)
là F(s) = L {f(t)} = 100 20 200
500 2
Trang 13Biết điện trở R1 = R2 = 10, tụ điện C có điện dung 0,01F, cuộn dây L có độ từ cảm 1H và suất điện động E = 50sin10t(Volt)
Đúng mạch tại thời điểm t=0
Hãy tìm cường độ của dòng điện qua tụ điện C tại thời điểm t >0
Câu 3: Cho mạch điện như hình vẽ:
Biết điện trở R1 = R2 = 10, R = 30, cuộn dây L có độ từ cảm 3,5H, suất điện động E = 203sin2t(Volt) Đúng mạch tại thời điểm t=0 Hãy tìm cường độ i1(t), i2(t) của dòng điện tại thời điểm t
z x z y
z y y x
thoả mãn điều kiện đầu
x(0) = 2, y(0) = -3, z(0) = 1 Tìm nghiệm x(t), y(t), z(t)
'
2 '
'
1 '
'
y x z x
z x z y
z y y x
z y
y x
' '
Z sY
Y sX
1 3 2
Trang 14Giải hệ phương trình ảnh ta có nghiệm:
Câu 5:
Tìm nghiệm của phương trình truyền sóng utt = 4(uxx + uyy + uzz )
thoả mãn điều kiện
,z,y,xu
zyx,
z,y,xu
x y
0
4 3
2
t , u
e ,
x u
x sin ,
x u
u u
2
0
3 0
y x ,
y , x u
0 2
f , klà các nghiệm dương của phương trình J(x) = 0
2
dx x J x xf J
3 1
2 3
x J x
k k
Giải:
a- Ta có: x J x x J x
xdx
d 1
1 n 1 n n
n
(1) Nhân hai vế của (1) cho x ta được:
x J x x J x
dx
d x
J x x x J x xdx
d x
1 n
n n
n 1
n 1 n n
Trang 15b-Ta có với mọi cặp số tự nhiên m, n thuộc Z, n < m thì :
0
m z
n
m n
x
x J x I x
J x dx x J x I
I x J x I x
J x dx x J x
4 1
4
3 3 1 , 2 3
3 2
3 2 , 3
2 , 3 2
4 2 , 3 2
4 1
4
1 2 3
2 1
1 4
c- Áp dụng khai triển Fourier-Bessel của hàm f(x),0 x 1 theo hàm J(x) theo công thức
2
dx x J x xf J
1
2 3
x J x
k k
Ta áp dụng các công thức truy toán sau:
J z J z
z z
J
z zJ z J z
zJ
1 1
1 '
x
f
J J
J
A
J J
J J
x J x x J x dx
x
J
x
dx x J x J
x d x J x J
dx x J x J
k k
k k
k k
k
k k k k k k k k
k k k
k k
k k
k k
k
k k
2 3
2 2
2 2
5
2 2
2
2 2
4 3
3 2
4 0 3
3 2
4 0
1
4
0 1
4 2
2 5 1
0
1 4 4 2
2 5 1
0 1
4 2
'
1
42
4242
4
22
Trang 16c) Áp dụng khai triển Fourier-Bessel của hàm f(x),0 x 1 theo hàm J(x) theo công thức
2 xf x J x dxJ
0
2 2
x J x
k k
; trong đó k là nghiệm thực dương của phươngtrình J0() = 0
Giải:
a Ta có: x J x x J x
xdx
d 1
1 n 1 n n
n
(1) Nhân hai vế của (1) cho x ta được:
x J x x J x
dx
d x
J x x x J x
n n
n 1
n 1 n n
Đây là điều phải chứng minh
b Ta có với mọi cặp số tự nhiên m, n thuộc Z, n < m thì :
x
x J x I x
J x dx x J x I
I x J x I x
J x dx x J x
3 0
3
2 2 2 , 1 2
2 1
2 1 , 2
1 , 2 1
3 1 , 2 1
3 0
3
1 1 2
2 1
1 3
c- Triển khai Fourier-Bessel của hàm f(x),0 x 1 theo hàm J(x) theo công thức
2 xf x J x dxJ
0
2 2
x J x
k k
; trong đó k là nghiệm thực dương của phươngtrình J0() = 0
Ta áp dụng các công thức truy toán sau:
J z J z
z z
J
z zJ z J z
zJ
1 1
1 '
Trang 17f
J J
J
A
J J
J J
x J x x J x dx
x
J
x
dx x J x J
x d x J x J
dx x J x J
k k
k k
k k
k
k k k
k k k k k
k k k
k k
k k
k k
k
k k
1 3
2 2
3 2
2 1
3 0 2
2 1
3 0
0
3
0 0
3 2
2 4 1
0
0 3 3 2
1 4 1
0 0
3 2
'
0
22
2222
2
22
4 9
1
.Tìm mật độphổ
b) Tìm biến đổi Z của các dãy tín hiệu x(n) = n3-2nu(n)
e e
e e
n K e f
f i
f i
f i n
n
f in
n
x f in
1 4
5
4 4
5
4 1 9
1 5
4 9
1
2 2
2
2 2
'
0 2
0 0
2
3 1
9
9 1
9
9 3
1 9
9 9
1 3
z z
z z z
n z
n x z
X
z
z z
z
n
n n n
n n
n
n
n n
r r
f
r R
0
2 2
2 2
Giả sử và R độc lập
a) Chứng minh rằng x(t) = Rcos(5t + )là một quá trình dừng
b) Tìm hàm trung bình Tìm hàm tự tương quan
c) Quá trình x(t) có phải là quá trình ergodic không?
nếu 0 r nếu 0
Trang 182 0 2
3 2
2 2
2
0 2
1 2
0 2 2
2222
2
5cos2
5cos2
25cos
5cos5
cos
5cos5
cos)
cos
2
22
322
5cos5
cos
)
(
2 2
2 2
e
r R E
R E
t E
R E
t t
E R E
t R t
R E t x
dt e t dr
e
r R
matkhacE
t E R E t
t r
Vậy {x(t)} là quá trình dừng có hàm tự tương quan 2 cos 5
x K
Hàm trung bình : m(t)=E[x(t)]=0 (Đã tính được kết quả ở phần trên)
Ta có :
05cos2
112
1lim
05cos
05cos
5cos2
5cos2
1lim5
cos2
12
1lim
01
1
lim
2 2
2 2
0 0
tdt
tdt t
tdt tdt
t
godic quatrinher dt
t K T
t T
n
n T
T
x T
ng îc nÕu
nÕu
,
f ),
f ( )
f
x
0
5 5
e e d
K
x i
2
2 5
2 2 2
4 25
Trang 192 2
a) Cho dãy tín hiệu rời rạc x(n) = a-nu(n), a 0
i) Tìm biến đổi Z của x(n)ii) Tìm biến đổi Fourier của x(n)iii) Tìm biến đổi Fourier của y(n) = nx(n) b) Tìm biến đổi Fourier ngược của
ng îc nÕu nÕu
,
f ,
e ) (
0
4 1
z n u a z
n x z
n x z
X
+ Biến đổi Fourier của tín hiệu x(n)=a-nu(n) ,a>0 là :
i f z e f
f i
f i
n f i nf
ae ae ae
ae e
n x f
1
1)
2
2 0
2 2
2
1
12
2
1)
(
)(2
f i
f i
f i n
fn i n
nf i
ae
ae f
Y
ae
ae df
d i f X df
d f i e
n nx
e n x n i f
X df d
ng îc nÕu nÕu
,
f ,
e ) f
0
4 1
8
Trang 2042
1
42
4
24sin
21
42
cos2)
(
4 1
0
4 1
4 1
4 2 4
1
4 1
2 8 2
n c n
n n
n n
x
df f n df
e df e e df e f X n
b) Tìm hàm trung bình Tìm hàm tự tương quan
c) Quá trình x(t) có phải là quá trình ergodic không?
1 2
Z
Vậy {x(t)} là quá trình dừng
b- Tìm hàm trung bình, hàm tự tương quan:
+ hàm tự tương quan : K x cos 5
+ Hàm trung bình:
m(t)=Ex(t)EZ1cos5tZ2sin5t cos5tE Z1 sin5tE Z2
Câu 15:
Giả sử hệ thống sắp hàng có tốc độ đến = 12, tốc độ phục vụ = 14
a) Tìm trễ phục vụ trung bình của hệ thống và độ dài trung bình của hàng ở trạng thái cân
bằng trong các trường hợp sau: M / M /1, M / D /1, M / E5/1
b) Tìm k nhỏ nhất để độ dài trung bình của hàng LM / Ek/ 1 không vượt quá 3.
Giải:
a- Tìm trễ phục vụ trung bình của hệ thống và độ dài trung bình của hàng ở trạng thái cân
bằng:
20
Trang 21+ hàng M/M/1:Quá trình đến Poisson với tốc độ đến , thời gian phục vụ có phân
1 4286 , 0 1
4286 , 0 7
3 12 14 14 12
q q
W L
W W W
+ hàng M/D/1:Quá trình đến Poisson với tốc độ đến , thời gian phục vụ không đổi tốc độ
1 2143 , 0 2
2 1
2143 , 0 14
3 12 14 14 2
12 2
q q
W L
W W W
+ hàng M/E5/1:Quá trình đến Poisson với tốc độ đến , thời gian phục vụ ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố Erlang-k với tốc độ
328 , 0 14
1 257 , 0 1
257 , 0 35
9 12 14 14 5 2
6 12 2
L
W W
k
k W
q q
q q
b-Tìm k nhỏ nhất để độ dài trung bình của hàng LM / Ek/ 1 không vượt quá 3
Độ dài trung bình của hàng M/Ek/1 là :
1 18 56
1 144 12
14 14 2
12 2
k k
k k