Ứng dụng matlab trong mô phỏng và phân tích hệ thống động lực học phần mạch điện và cơ điện

Nguồn gốc thật sự của mô hình hệ thống không trình bày, trong chương này, mà chỉ nhấn mạnh những dạng phương trình tổng quát của hệ thống đã được chứng minh .và được áp dụng trong các b

CBHD: TS NGUYEN TIEN DUNG

SVTH: NGÔ NHẬT QUANG

MSSV : 99KC072

= P Hỗ CHÍ MINH, THANG 01 NAM 2004

BO GIAO DUC va BAO TAO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Trường ĐHDL Kỹ Thuật Công Nghệ Độc Lập - Tự Do —- Hạnh Phúc

NHIỆM VỤ ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP

(Chá ý : Sinh viên phải dán tờ này vào trang thứ nhất của bản thuyết mình)

2- Nhiệm v vụ (yêu cầu về nội dung và số liệu ban đâu): ^

„MWu.~ đa (se -“⁄6k at tegen MDE ke pe Mee CEES, can HEAL

3- Ngày giao nhiệm vụ Đề án : ST L0 c2 0È 2e

4- Ngày hoàn thành nhiệm vụ : .212/9./ 4Â, c2 2222

5- Họ tên cán bộ hướng dẫn : C Phần hướng dẫn

BO GIAO DUC va DAO TAO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIET NAM

Trường ĐHDL Kỹ Thuật Công Nghệ Độc Lập -Tự Do - Hạnh Phúc

Tp.HCM, Ngày thang nam 2004

PHIẾU NHẬN XÉT ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP

(Dành cho cán bộ hướng dẫn)

1.Họ và TênSV :.*¿ pi Mhet Lasse, {Gon MSSV : JI KEOF 2

Ngành sở CE “han nà được P: 2222

4- Téng quat vé ban thuyét minh :

- Tổng số bản vẽ : BanAl: O74 Ban A2: Khổ khác: Š #2

LUAN AN TOT NGHIEP i

L069 CAM ON

mè: tô càng cảm đu dự quan thm gtip dé thu tink eda tiây (duy dẫu “TIẾN

cs UGUYEN TIEN DUNG trong sudt thir gtan thie đáp ludu du

Chan than cdc on thay eb olde trating Dat Woe Din Lipp RG Thude Ciug Nghe thuse hhaa Co Ktd Te Ding Robst dé tae dééu btin eho em được

“tôm củi vé link vwe ing dung cing ughé tin hoe, trong phan tich ua tink

toda by thudt

UNG DUNG MATLAB TRONG MO PHONG, PHAN TICH MACH ĐIỆN VÀ CÁC HỆ THỐNG CƠ ĐIỆN

LUAN AN TOT NGHIEP ii

Mở Ð Oo»

NY nay, máy móc thiết bị có sự phát triển vô cùng lớn và rất đa dạng Nó có

mặt hầu như ở mọi ngành nghề, ta có thể nói rằng máy móc gắn liễn với cuộc sống chúng ta như thể tay chân gắn liên với thân thể Kể từ khi phát triển ra bánh

xe (đại điện cho vật thể quay), máy móc đã trở thành công cự đắc lực thúc đẩy sự tiến hóa và phát triển văn minh của nhân loại Vào thời điểm này, người ta bắt đâu chú ý đến quá trình chuyển động của các vật thể, tìm hiểu nguyên nhân, những tác động gây ra chuyển động của vật thể và ngành Động lực học ra đời Vì vậy, việc nghiên cứu các dạng mô hình toán học của hệ thống động lực học là vấn đề thiết yếu đối với người kỹ sư cũng như đối với người làm công tác khoa học Một trong những mấu chốt góp phần không nhỏ, trong quá trình phát triển các hệ thống động lực học, đó là sự ra đời của các thiết bị điện và điện tử Trong suốt nội dung của bắn Luận án này, ta chỉ tập trung nghiên cứu về các đạng mô hình toán học của hệ thống động iực học ứng dụng trong phân ứch mạch điện và các hệ thống cơ điện

Để phân tích mạch điện, ta ứng dụng phần mềm MATLAB YV6.5, trong quá tính

toán và hiển thị kết quả ở dạng đồ trả

MATLAB là một chương trình thuộc công ty "The MATHWORKS", được viết cho máy tính PC nhằm hỗ trợ cho các tính toán khoa học và Kĩ thuật với các phần tử

cơ bản là ma trận, trên máy tính cá nhân Thuật ngữ MATLAB có được là do hai từ MATRIX va LABORATORY ghép lại Chương trình này hiện đang được sử dụng

nhiễu trong nghiên cứu các vấn để tính toán của các bài toán kĩ thuật như: Lý

thuyết điểu khiển tự động, kĩ thuật thống kê xác suất, xử lý số các tín hiệu, phân tích dữ liệu, dự báo chuổi quan sát, v.v MATLAB duc điều khiển bởi các tập lệnh, tác động qua bàn phím Nó cũng cho phép một khả măng lập trình với CÚ pháp thông địch lệnh — còn gọi là Script file Các lệnh hay bộ lệnh của MATLAB

lên đến số hàng trăm và ngày càng được mở rộng bởi các phần TOOLS BOX( thư

viện trợ giúp) hay thông qua các hàm ứng dụng được xây dựng từ người sử dụng MATLAB có hơn 25 TOOLS BOX để trợ giúp cho việc khảo sát những vấn đề có liên quan trên TOOL BOX SIMULINK là phần mở rộng của MATLAB, sử dụng

để mô phỏng các hệ thống động học một cách nhanh chóng và tiện lợi Ngoài ra

MATLAB hỗ trợ công cụ xây dựng giao diện, giúp người sử dụng thiết kế chương

trình với giao điện trực quan và hiệu quả(Lập trình giao điện được tháo luận trong

chương 3) Chương trình Matiab có thể chạy liên kết với các chương trình ngôn ngữ cấp cao như C, C+, Fortran,

Sau đây, em sẽ trình bày về nội dung của phần luận án Do lần đầu tiên nghiên cứu về lĩnh vực này nên sai sót là điều không thể tránh khỏi Kính mong quý thầy

cô và các bạn quan tâm chỉ bảo thêm

(ING DUNG MATLAB TRONG MO PHONG, PHAN TICH MACH DIEN VA CAC HE THỐNG CƠ ĐIỆN

LUẬN ÁN TỐT NGHIỆP iii

MUC LUC

LỰC HỌC « "“— ` 1

1.1 Phương trình vi phân của hệ thống đông lực học : - -ss<s.e««7 1 IBg ¡5 6 n 1

L.L.2 Dang ma tn Ap Nai + à cong xugsie cay 3

1.2 KhOng gian trạng thai : .sssesscscssssnsssssesesssnsssssnscsscrscsenenensceseacarerssessresvensece 5 E27 Diirtle GHG : oe eeesecssessssssssssassesscssssseessenssasaeseasecanseasaeasscaeneseaeseacscusneensees 5 I8) s05 8n nh " 5 1.2.3 Phương trink tổng Quồ[ - -.eccekkoseetkrksksesekerrereeeeretersrsrrrreesee 7

13 Phương trình đáp ứng ngõ vào và ra của hệ thống : 12

I 8p nu 8 n7 13

1.4.1 Mối quan hệ giữa mô hình không gian trang thái và hàm truyền đạt: 13

L4.2 Những hệ thống ngõ vào đơn, ngõ ra đớn; s-e 13

11.4.1 Những phân tử liên quan đến hệ thống cơ điện - 36

H.4.2 Điều khiển động cơ DC kiểu phần Ứng - cceeeeeeeeeeeereer.ee 37

11.4.3 Điều khiển động cơ DC kiểu kích từ + cc-sccccceeeerisscsrecsre 42

L5 Phương pháp trở kháng(Phương pháp biến đổi Z) : 47

CHƯƠNG II : MÔ PHỎNG, PHÂN TÍCH MẠCH ĐIỆN VÀ HỆ THỐNG CƠ

2)im879ie577.i0.10077 51

5Í

„ 52 HHL.1.3 Lưu đề thuật toán mạch RLC hai nhánh : 55

HHI.1.4 Lưu đô thuật toán mạch RLC ba nhánh - 59 XHI.1.5Š Gọi hàm mạch cơ điỆN 2 scscssesssessevevesveaveacessascerssessencacuosseseeseasectenseenes 64

HL2 Hướng dẫn sif dung chuong trite: oo 0.0 ecccccceccccecssceseeeseeseceeeseesess 68

1H.3 Mô phông một số bài toán điển hình : 70

LUAN AN TOT NGHIEP —I

CHUONG I: CAC DANG MO HINH TOAN HOC CUA HE THONG ĐỘNG LỰC HỌC

Chương này trình bày về các dạng mô hình toán học của hệ thống động lực học

Nguồn gốc thật sự của mô hình hệ thống không trình bày, trong chương này, mà chỉ

nhấn mạnh những dạng phương trình tổng quát của hệ thống đã được chứng minh

.và được áp dụng trong các bài toán động lực học Phương trình tổng quát của hệ

thống được xây dựng từ những ứng dụng riêng biệt, từ những định luật căn bản như định luật Newton, Bảo toàn khối lượng, và định luật Kirchhoff vé điện thế và dòng

điện Mô hình toán học của hệ thống động lực học bao gồm bốn dạng sau :

> Phuong trình vi phân của hệ thống động lực học

> Khong gian trạng thái

> Phương trình đáp ứng ngõ vào và ra của hệ thống

kỳ sự thiết lập những hệ tọa độ nào đêu có thể được sử dụng để mô tả hoàn tất sự

chuyển động của nó, có lẽ được lựa chọn như những hệ tọa suy rộng Vì vậy, việc

tập hợp những hệ tọa độ này là không nhất quấn

Ghi chứ : qị(i= 1,2, n) là những hệ tọa độ suy rộng đối với một hệ thống với n

bậc tự do, trong đó, số bậc tự do bằng với số phần tử nhỏ nhất của những hệ tọa độ độc lập được yêu cầu để mô tả vị trí của tất cả các phần tử của một hệ thống

Về phương diện hình học, những hệ tọa độ suy rộng q¡( i= 1,2, n), định nghĩa một không gian Đê-các-tơ (cartesian) với n thứ nguyên, đó được ví như là không

gian cấu hình Xét một hệ thống n bậc tự do mà phương trình vi phân (cấp hai) tổng

quát được cho như sau :

LUÂN ÁN TỐT NGHIỆP 2

Trong đó q¡ và ¿,Ci= I,2, n) là những hệ tọa độ suy rộng và những vận tốc suy rộng tương ứng Hàm f,0=1,2, ,n) là những hàm phi tuyến, nghĩa là những lực suy

rộng và là những hàm đại số của q,, ¿,và thời gian t Hệ thống của những phương

trình vi phân được trình bầy bởi phương trình (1.1) là giả thuyết những điều kiện

đầu

Điều kiện đầu của những hệ tọa độ suy rộng : q;(0), q„(0) 2) Điều kiện đầu của những vận tốc suy rộng : ¿(0), ,¿,(0)

Phương trình (1.1) kết hợp với phương trình (1.2) mô tả dạng cấu hình của hệ

thống Một lần nữa, chúng liên quan đến những hệ thống trong bất kỳ những hàm fẰq = 1, 2, .n) là tuyến tính Xác định những hàm được chứng minh như sự kết hợp tuyến tính của gị và ¿,, được mình họa trong những ví dụ dưới đây

Ví dụ 1.1:

Xét một hệ thống cơ khí đơn giản :

Trong đó, xạ và š¿ là khoảng cách và vận tốc tương ứng Cho điều kiện đầu là

x(0) = xọ, #(0)=#¿ Tìm phương trình chuyển động của hệ thống trong mô hình cấu tạo như định nghĩa bởi phương trình (1 L)

Điều kiện đầu : x(0) = Xo, (0) =%

Chia hai vế phương trình chuyển động cho m, ta được :

=» Ob, &

f=-TX-— x

a m m

4:4)

Quan sát ta thấy phương trình chỉ có một tọa độ suy rộng q¡ = x, phương trình này

có dạng như phương trình (1.1) Hơn nữa, hàm suy rộng f¡ là một hàm tuyến tính VỚI X va x

ỨNG DỤNG MATLAB TRONG MÔ PHỎNG, PHÂN TÍCH MẠCH ĐIỆN VÀ CÁC HỆ THỐNG CƠ ĐIỆN

LUAN AN TOT NGHIEP 3

Vidu 1.2:

Điều kiện đầu : x¡(0) = Xịo, %(0) = 4), X2(0) = X29, #;(0)= $2

Trong đó, hai chỉ số được sử dụng Chỉ số biến thứ nhất dùng để chỉ khoảng cách

và vận tốc của hệ thống, chỉ số thứ hai 0 dùng để chỉ điều kiện đầu Xác định

phương trình tổng quát đối với mô hình hệ thống đã cho, được định nghĩa bởi

Ta thấy hệ phương trình vi phân chuyển động có dạng (1.1), có hai tọa độ suy

rộng q¡ = Xị, q; = Xa Lực suy rộng f¡, f; được xem là tuyến tính của hai tọa độ suy

rộng x1, x2 và hai vận tốc suy rộng %,,%,

1.1.2 Dang ma trận cấp bai :

Dạng chung nhất sử dụng thuận tiện của việc trình bày một hệ thốngcấp nx

n của những phương trình vi phân cấp hai là dạng ma trận chuẩn cấp hai, được định nghĩa như sau:

Trong đó, m là khối lượng ma trận (n x n), c là ma trận giảm chấn (n x n), k là

ma trận bến (n x n), x là vector cấu hình (n x 1) = vector những hệ tọa độ suy rộng,

và f là vector của ngoại lực (nx 1)

ỨNG DỤNG MATLAB TRONG MÔ PHỎNG, PHÂN TÍCH MẠCH ĐIỆN VÀ CÁC HỆ THỐNG CƠ ĐIỆN

LUAN AN TOT NGHIEP

Tìm dạng ma trận chuẩn cấp hai

ỨNG DỤNG MATLAB TRONG MÔ PHỎNG, PHÂN TÍCH MẠCH ĐIỆN VÀ CÁC HỆ THỐNG CƠ ĐIỆN

LUAN AN TOT NGHIEP : 5

Giai:

Điều kiện đầu : x(0) = Xịo, %(0) = %, X2(0) = X20

Ta thấy hệ phương trình vi phân chuyển động có hai tọa độ suy rộng q¡ = X¡ và

Qo = X2

Dang ma tran:

1a cac 00m |3; 0 0ll+ -k, &, ]{*%; 0

L2 Không gian trạng thái : Khái niệm về không gian trạng thái dựa vào sự hiểu

biết về biến trạng thái

L2.1 Định nghĩa :

Giá trị nhỏ nhất có thể tập hợp những biến độc lập để hoàn tất mô tả trạng thái

của hệ thống được xem là tập hợp những biến trạng thái Những biến trạng thái

này ở khoảng thời gian xác định (t=to) và các đầu vào của hệ thống với t > tạ sẽ mô

tả đầy đủ về phương thức hoạt động của hệ thống ở thời gian bất kỳ t > to Bởi vì

tính độc lập là cần thiết, những biến trạng thái không thể diễn đạt được như những hàm đại số Hơn nữa, việc thiết lập những biến trạng thái cho một hệ thống trung

tâm là không đồng nhất

Một cách khách quan, giới thiệu về những biến trạng thái phù hợp, được dùng

để viết lại một phương trình chuyển động của hệ thống như là một hệ thống lớn của

những phương trình vi phân cấp một Mỗi phương trình vi phân này bao gồm thời

gian phát sinh của một trong những biến trạng thái bên tay trái và một hàm đại số của những biến trạng thái được xem như là những đáp ứng ngõ vào của hệ thống bên tay phải Những phương trình vi phân này được xem là những phương trình biến trạng thái

L3.2 Phương pháp luận :

Cho một tập hợp những phương trình vi phân mô tả hệ thống động lực học trung tâm, có hai câu hỏi được đặt ra :

Có bao nhiêu biến trạng thái ?

Số phần tử của những biến trạng thái bằng với số phần tử của những điều kiện đầu yêu cầu để giải quyết những phương trình vi phân của chuyển

động Nếu như một phương trình vi phân cấp hai mô tả một hệ thống động

lực học, thì cần hai điều kiện đầu Ở đây có hai biến trạng thái

Những biến trạng thái là gì ?

Những biến này cho những điều kiện đầu số phân tử được để cập trong

câu hỏi một, được lựa chọn như là biến trạng thái

UNG DUNG MATLAB TRONG MO PHONG, PHAN TICH MẠCH ĐIỆN VÀ CÁC HỆ THỐNG CƠ ĐIỆN

LUẬN AN TOT NGHIỆP 6

Ví dụ 1.5 :

Từ ví dụ 1.3, xác định những biến trạng thái

Giải :

Phương trình vi phân chuyển động của hệ thống được cho như sau :

mã +c‡+ kx= ƒŒ) Điều kiện đầu tiên để giải phương trình vi phân cấp hai là cho hai điều kiện đầu bằng không x(0), z(0) Ở đây có hai biến trạng thái Bởi vì

những điều kiện đầu tương ứng với x, x, những biến trạng thái nên được lựa chọn

theo câu hỏi số hai như là x, š

Bởi vì cấp cao nhất của phương trình vi phân là hai cho xị và một cho xạ, những

điều kiện đầu tiên được yêu câu là x¡(0), x;(0), và 3(0) Bởi vậy có một tổng của

ba biến trạng thái, và chúng được lựa chọn là xị xạ, và + Những biến trạng thái

được định nghĩa bởi x¡ với một chỉ số thích hợp ¡ Đó là điều quan trọng để phân

biệt giữa những biến trạng thái và những biến vật lý như là khoảng cách và vận

tốc Những biến trạng thái là những ký hiệu toán học chung dùng để trình bày

phương trình tổng quát của hệ thống Đôi khi ký hiệu quy ước của x; dùng riêng cho

những biến trạng thái, có thế thực sự trùng khớp với một vài biến vật lý phức tạp

trong một mô hình hệ thống Ngay trong ví dụ này có ba trạng thái biến, ba trạng

thái biến này theo quy ước định nghĩa bởi xạ, xạ, xạ Tuy nhiên chúng ta chú ý rằng

xị và xạ là khoảng cách dịch chuyển của các khối

Xị, Xa, # (số liệu vật lý lựa chọn như những biến trạng thái) <==>xạ, Xạ, xz(những

số liệu toán học chỉ rõ những biến trạng thái)

x¡(rang thái đầu) = x,(vị trí dịch chuyển của vật m¡)

xa(rang thái hai) = x;(vị trí dịch chuyển của vật m;)

Xxa(trạng thái ba) = x:(vận tốc của vật mị)

UNG DUNG MATLAB TRONG MO PHONG, PHAN TÍCH MẠCH ĐIỆN VÀ CÁC Hộ THỐNG CƠ ĐIỆN

LUAN AN TOT NGHIEP 7

1.2.3 Phương trình tổng quát :

Những biến trạng thái được lựa chọn theo một cách riêng duy nhất, bước kế tiếp

là xây dựng những phương trình biến trạng thái Được để cập trước nhất đó là

những phương trình vi phân cấp một, mỗi một phương trình vi phân chứa đựng một

trong những nguồn gốc đầu tiên của biến trạng thái bên tay trái và một hàm đại số

của những biến trạng thái, những đầu vào, và thời gian bên tay phải Nhìn chung,

để chúng ta nhận xét một hệ thống nhiễu ngõ vào hoặc nhiều ngõ ra (MIMO) với n

biến trạng thái, Xị, X„,m vào, u, ưm, p ngõ ra, ÿ¡, yg Sau đây là những phương

trình của biến trạng thái :

Phương trình biến trạng thái :

X= /ŒI,X2 , Xa, TM, M2, , im, Ê)

Kn = fi (01, X25 Xn, Wl, M2, , mm , Ê)

bày dưới đây :

Phương trình đáp ứng ngõ ra của hệ thống :

?ị = h(XI,X2, Xn, 1H, U2, , Um, 0)

}ạ = hu(XI,X3, , Xu, ft, Ha „ , êm, f) (1.4)

Xn Inet Sn orl Ym Imoxt *; jpxl P Sxl

Phương trình biến trạng thái được chứng minh như là : š= ƒ(x,,£)

và những ngõ ra của hệ thống là : y = h(x,u,t)

Sự phức tạp liên quan đến công thức chung, làm giảm đáng kể đối với trường

hợp của những hệ thống tuyến tính Trong trường hợp tất cả các phần tử trong mô

hình của hệ thống động lực học là tuyến tính, hàm đại số (1.3) và (1.4) sẽ trổ thành

dạng đặc biệt sau :

UNG DUNG MATLAB TRONG MO PHONG, PHAN TÍCH MẠCH ĐIỆN VÀ CÁC HỆ THỐNG CƠ ĐIỆN

LUẬN ÁN TỐT NGHIỆP

Phương trình biến trạng thái tuyến tính :

Ky = hy Xt yy Xt +a, %, +O +b + +5,,u,,

Ny = Ay Xy + Agy Xt + Ay, X, + by Uy + by Uy + + 2mm Hy bạ (1.5) X= Ay N+ yy Xa 4 + Oy, X, +b) +8 Tu ĐH

Ngõ ra của hệ thống tuyến tính :

Vy Fy Mt Cy Xt FG, Ant Gy Mit dy uet + dU,

Va = Cy KIA Cy Ly + $C, Ant dy Mit dy 2m pm urt +dy,,U (1.6)

Vy = Cp, M+ Cpa Xq to + Gy Xn t dy Wit dy tat +d, Ue

Phương trình (1.5) và (1.6) được trình bày dưới đạng ma trận :

x= y=| 1—

Xn Ino 3 Tàu oe Net

x= Vector trạng thái kích thước nx1

y = Vector đầu ra của hệ thống kích thước px1

u= Vector đầu vào hệ thống có kích thước mxI

LUAN AN TOT NGHIEP 9

D là ma trận liên hệ trực tiếp đầu vào và đầu ra của hệ thống

Từ dạng (1.5) và (1.6), dạng đặc biệt của ma trận, ta có hệ phương trình tổng

quát như sau :

LUAN AN TOT NGHIEP 10 1.2.4 Những biến trang thái không đồng nhất :

Ä¿= sự kế thựp tyển tính của

*,, 3e -,#, YâUT,u2,-,ú„ ÍDạngma tận

——>r1= Á1+u

Phương tinh biến rạng trải

T= sy tếthợp wyén tinh olla

Phương trình (những blền nay địa

tổng quát những điều kiện đầu

đượ yêu cau)

yị = sử kết hợp tuyển fĩnh

nh hi, oye WAU, U2, bangma tan ce D

Ftương tính đáp từng lự„= sự kết hợp tryển toh

ngố ¡3 la Hệ tổng = (CUA we, „Ăn và U1,H2,

lạ

Phương trình vi phân tập hợp những biến trạng thái có thể được lựa chọn để mô

hình hóa hệ thống được minh họa bởi hệ phương trình (1.7), đây là đạng tổng quát của phương trình biến trạng thái Xét một hệ thống động lực học được cho với n biến trạng thái, xạ, x¿, , xạ được chọn lựa đối với đáp ứng không gian trạng thái là:

Nhân hai vế phương trình vi phân cho PÌ, ta được :

i= PO AP E+ PY BUMP APES BCC? R= 4ã +Bu (1.10)

Phương trình (1.10) là chính xác trong dạng tổng quát của phương trình (1.13) và

ở đây trình bày mô hình biến trạng thái đáp ứng đối với một thiết lập những biến

trạng thái mới, š;,*,, ,z,, những công cụ của trạng thái vector mới, š Những

vector mới này hỗ trợ nhanh chóng để tập hợp những biến trạng thái được cho là

không đồng nhất Hơn nữa, không gian trạng thái trình bày định nghĩa trong phương

trình (1.7) và (1.10) chứa đựng những thông tin tương tự về hệ thống động lực học

ỨNG DỤNG MATLAB TRONG MÔ PHỎNG, PHÂN TÍCH MẠCH ĐIỆN VÀ CÁC HỆ THỐNG CƠ ĐIỆN

LUẬN ÁN TỐT NGHIỆP 11 1.2.4 Sw rot rac

Trong hau hét cdc trường hợp, việc chon lựa những biến trạng thái, Xị, Xa».+Xu

được tách riêng trong suốt những phân tử của ma trận trạng thái, A là một ma trận

đây đủ, và ở đây đáp ứng những phương trình biến trạng thái không thể tác động

một cách độc lập Để giải quyết vấn để này chúng ta có thể sử dụng một dạng cụ

thể của ma trận chuyển vị, x= P#, trong đó, P là thuộc ma trận giao với A

A=P'AP=A

Trong đó, A la một ma trận chéo hóa Phương trình đáp ứng trạng thái đối với <:

#=P'LAPš+P` Bu= AX+PLBu (1.11

LUẬN ÁN TỐT NGHIỆP 12

1.3 Phương trình đáp ứng ngõ vào và ra của hệ thống :

Một dạng khác trong mô hình hệ thống có thể được trình bày là một phương trình đáp ứng ngõ vào và ngõ ra của hệ thống, Phương trình vi phân đơn, trong giới hạn

của ngõ vào hệ thống, ngõ ra hệ thống, và chúng bắt nguồn từ :

yr payee tan Pt any = bọt +bị.0 9D + +bmi.ø+ bạu, m<n (1.13) Trong phương trình (1.13), a;(i= 1,2, , n) và b„(k= 0, 1, , m ) là những đơn

vị hằng số cho một hệ thống tuyến tính, y là đáp ứng ngõ ra của hệ thống, và u đáp ứng ngõ vào của hệ thống Đối với một hệ thống động lực học bao gồm nhiều hệ

tọa độ suy rộng, thì việc tìm những phương trình đáp ứng ngõ vào và ngõ ra của hệ thống từ những phương trình vi phân tổng quát sẽ gặp rất nhiều khó khăn Bởi vì trong phần lớn các trường hợp, những hệ tọa độ suy rộng thường đi đôi với những

phương trình vi phân tổng quát Để giải quyết vấn để này, ta sử đụng phép biến đổi Laplace để tìm phương trình vi phân đơn của hệ thống

l.3.1 Phương pháp :

Ý trưởng là biến đổi Laplace của mỗi phương trình vi phân trong mô hình hệ

thống, cho tất cả các điều kiện đầu bằng không Một cách thông thường, tập hợp

những phương trình đại số trong giới hạn của những hàm truyền đạt của những hệ

tọa độ sẽ được tìm Sau đó những biến không mong muốn có thể được loại ra trong suốt phương pháp đại số như là sự thay thế hoặc sử dụng định luật Cramer để xác

định phương trình vi phân đơn trong giới hạn của phép biến đổi Laplace ngõ vào và

hệ tọa độ yêu cầu Sau cùng những phương trình vi phân được biến đổi theo miễn thời gian như phương trình (1.13)

Ghi chi:

Ngay bây giờ ta thấy rõ là một phương trình vào_ ra thể hiện một mối quan hệ

giữa một ngõ ra và một ngõ vào Vì vậy, khi liên quan với một hệ thống nhiều ngõ

vào hoặc nhiều ngõ ra, có sự tổn tại một phương trình đáp ứng ngõ vào và ra tương ứng đối với mỗi cặp của ngõ vào ra của hệ thống Thí dụ, cho một hệ thống với

một ngõ vào và hai ngõ ra, có sự tổn tại hai phương trình vào_ra

Một giải pháp đối với phương trình trạng thái

#=Ax+Bu

MP =X

C6 thé tim thay mdt lan nifa dé 1a su hiéu biét hoan toan vé diéu kién dau của

vector trạng thái, xọ, những giá trị điều kiện đầu của tất cả những biến trạng thái Mặt khác, để giải phương trình đáp ứng ngõ vào_ra hệ thống :

y?) +tai.yÖ + + am D +amy = bọn"? + bị.) + + bại ø + bạịu, má n (1.13)

cần phải có sự hiểu biết hoàn toàn về y(0), ?(0), y”(0),(giá trị điểu kiện đầu của đáp ứng ngõ ra) được xem như là nguồn gốc đầu tiên n-1 của ngõ ra Tuy

nhiên, từ quan điểm thực nghiệm, xác định về những giá trị điều kiện đầu tiên này

có thể đưa ra những hệ quả khác Bởi vậy đối với những hệ thống cấp cao, việc

UNG DUNG MATLAB TRONG MO PHONG, PHAN TÍCH MẠCH ĐIỆN VÀ CÁC HỆ THỐNG CƠ ĐIỆN

LUAN AN TOT NGHIEP 13

giải các phương trình trạng thái có thể trong cơ sở lập luận yêu cầu kết quả tính toán ít hơn đối với phương trình vào, ra

1.4 Hàm truyền đạt :

Một lần nữa, xét hê thống tuyến tính, thời gian hệ thống không đổi được mô tả

bởi :

yP) +an.v Ð + + an, ÿ + aạ.y = bọ 9 + bị.) + + bạ +bạu, m< n (1.13)

Điều kiện đầu : u (0) =0= = uf(0)

y(0)=0= = y (0)

Biến đổi Laplace hai vế :

(s0 + ai Ð + + an + an) -¥(8) =(bo.s™ + bys) + + bm) Uls)

Hàm truyền đạt :

Y() — Đụạs”+b,s”'+ +bụ

G(s)= U@) s"+a.s" + 44,).5 +4, Tag ấn An pa (1.14)

Ham truyén đạt có thể được sử dụng để xác định ngõ ra của hệ thống :

Y(s) = G(s).U(s)

y@ = L”.{Y()} =L!{G@).U(s)} (1.15)

1.4.1 Mối quan hệ giữa mô hình không gian trạng thái và hèm truyền đạt

Quan tâm về dạng trình bày đối với mô hình toán học của hệ thống động lực học, thông tin tương tự về hệ thống có thể được rút ra Cụ thể hơn, cho dạng không

gian trạng thái của một mô hình hệ thống là có thể thực hiện được, hàm truyền đạt

có thể được xác định bằng cách sử dụng trạng thái, ngõ vào, ngõ ra, và những ma

trận chuyển Chúng ta xét những trường hợp riêng biệt khác nhau: hệ thống ngõ

vào đơn, ngõ ra đơn (SISO) và những hệ thống đa ngõ vào, đa ngõ ra(MIMO)

1.4.2 Những hệ thống ngõ vào đơn, ngõ ra đơn

Xét một hệ thống động lực học với một ngõ vào đơn và một ngõ ra đơn với trình bay không gian trạng thái

và mot ham truyén dat G(s) = 2&2 Us) (117

Xem tất cả điều kiện đầu bằng không, biến đổi Laplace về trạng thái ngõ ra của

phương trình :

lên = A.X(s)+BU(s) - {er —A).X(s)= BU(s)

Y=CX(s)+ DU(s) Y(s)=C_X(s)+ DU(s)

LUAN AN TOT NGHIEP 14

thay X(s) từ phương trình (1.18) vào phương trình Y@), ta được :

Vì vậy hàm truyền đạt của hệ thống được định nghĩa bởi phương trình (1.17) có

thể được trình bày trong giới hạn trạng thái, vào, ra, và những ma trận chuyển tiếp

(sf-Ay = TJ=AI adj(sI — A)

đưa vào phương trình (1.20), ta được :

quyết các hệ thống trong không gian — trạng thái là thời gian rất lâu và rất khó hoàn

thành Để giải quyết hệ thống đó theo phương pháp số ta dùng phương pháp Runge —

Kutta bậc 4 Tuy nhiên, trong phần này thì lên quan tới việc lấy đạo hàm của hệ thống

tuyến tính thì giống như hệ thống phi tuyến

Mục đích của công việc này là đạt được các hệ thống tuyến tính, kết hợp với các đầu

vào và điểu kiện ban đầu Ý tưởng đó bắt nguồn từ việc khai triển chuỗi Taylor dưới đạng

phi tuyến tại một điểm biết trước hoặc trạng thái cân bằng tại một điểm Chúng ta thừa nhận rằng trạng thái cân bằng tại một điểm là biết trước

Trước tiên, ta xem sự tuyến tính hoá được thể hiện trên đồ thị

Aut < a

Gia stt ring A:(x, f) dudc dinh nghia là điểm đặc trưng(chuẩn) trên đồ thi cia ham f(x)

và lì là đường thẳng nối giữa P và A

Axf)=x()-x va Aƒ(Œ)= ƒW)— ƒ

Trong đó t là thời gian, Ax và Af là gia số biết trước kết hợp với x và f theo thứ tự định

sẵn Chú ý có thể thay đổi tọa độ tại điểm P Trong đó A nằm ở vị trí gần điểm P (Ax và

Af tương đối nhỏ) Khi đó độ dốc của l¡ thì gần giống với độ dốc của h, tiếp tuyến tại đường cong ở điểm P Độ đốc được biểu hiện là m

điểm Sự thực bắt nguồn từ sự tổn tại f(x) và được viết bởi:

/@)=/0)+/ 0Ì ,ứ=3+5, 7G), ;œ~3)+

Có thể (x— x) là nhỏ Đo đó, tuyến tính gần đúng của f(x) là:

Œ)= f(a) + fF) -%)

hoac: y= y+/0)| - Ax trong đó Ax= x—*

Ví du 1.7 : sự tuyến tính hóa của hàm phi tuyến được định nghĩa bới y=xŸ ở trạng thái cân bằng tại một điểm(1,1) Kiểm tra sự chính xác của mô hình tuyến tính hóa cho x=0,8 và

Đồ thị của y=x? là đường cong phẳng

Trường hợp: Nếu x=0,8 thì ta có phương trình

LUẬN ÁN TỐT NGHIÊP 16

15.3 Hàm hơi biến số:

Giả định rằng w=f(x,y) được cho là phi tuyến trong phương trình tổng quát của hệ thống

động lực và (xy) biểu thị cho trạng thái cân bằng tại một điểm Trong trường hợp phủ

định w= /(Œ, y) Khai triển chuỗi Taylor cia hệ thống phi tuyến ở trạng thái cân bằng tại một điểm

Ví du 1.8: Cho hàm phi tuyến 2 biến số w=f(x,y)=xy” và trạng thái cân bằng tại một điểm

(x,y,w) =(2,1,2) Định nghĩa hàm tuyến tính xấp xỉ của w ở trạng thái cân bằng tại một điểm

Một lần nữa, độ chính xác của hàm xấp xỉ thì hoàn toàn phụ thuộc vào x và y được chọn

là tương đối tại trạng thái cân bằng tại một điểm Cho là x=1,5 và y=0,7

* Trong phương trình x+ x+x|x|= ø) ta thay u()=u+ Au(t)=1+4 Au(t) với Au(/) =0

Ngoài ra thay thế giới hạn phi tuyến xấp xỉ tương đương tuyến tính, cho bởi phương trình

Z(z)=1+2Ax Kết quả

=" (1+ Ax)+ 2 (14 Ax) + [14 2Ar]=14 Au(s)

Rút gọn ta có: Ax+Ax+1+ 2Ax =]—> Ax+Ax+2Ax =0 (5%

Phương trình (5*) là phương trình vi phân bậc 2 trong đó Az là hằng số

Mô hình tuyến tính tương đương hệ thống gốc(ban đầu) Đầu ra của mô hình tuyến tính là

Cuối cùng, gọi lại Ax()= x()— x Ước lượng (=0 kết quả:

Ax(0) = x(0)—x=—1

và lấy vi phân ta được: Ax(/)= x(/)~x = x()=> Ax(0)= x(0) =1

Sau đây, mô hình tuyến tính được diễn tả bởi:

Ax+ Axt 2Ax = 0,Ax(0) = -1; Ax(0) =1

Chúng ta có thể sit dung x thay thé Ax trong mô hình tuyến tính thì được viết lại:

x+x+2#=0;1(0)= —1;#(0) =1

UNG DUNG MATLAB TRONG MO PHONG, PHAN TICH MACH ĐIỆN VA CAC HỆ THỐNG CƠ ĐIỆN

LUẬN ÁN TỐT NGHIÊP 17

1.5.4 Định nghĩa trạng thúi cân bằng tại một điểm

Ví du 1.9: Cho hệ thống như hình vẽ bao gồm lò xo phi tuyến , trong đó f.(x)=x|x| được

định nghĩa là lực lò xo phi tuyến được trình bày ở hình dưới đây U() là lực được chọn(đầu vào) Hệ thống này phụ thuộc vào điều kiện đầu x(0)=0 va x(0)=1

Phương trình chuyển động cho bởi x+x+ z3 =u(t) (*)

Định nghĩa trạng thái cân bằng tại một điểm

Bởi vì không tổn tại số thực nên trước đó trường hợp | chỉ giải khi x=l

Giới hạn phi tuyến ƒ (x) = x|x|

Cho nên phương trình (4*) hạ bậc thành f.(x)= 1+ 2Áx

Tiếp đến ta thu được mô hình phi tuyến bậc nhất xấp xỉ hệ thống tuyến tính

Bước tiếp theo ta nhận được:

se Gọi lại Ar=x—x<€>x=x+ Ax=1= Arx Thay thế x trong hệ thống phi tuyến

x+ x+ xÌx| =u(t), x JA không thay đổi x=x=0

UNG DUNG MATLAB TRONG MO PHONG, PHAN TICH MACH ĐIỆN VÀ CÁC HỆ THỐNG CƠ ĐIỆN

LUAN AN TOT NGHIEP 19

CHƯƠNG II : KỸ THUẬT ĐIỆN, ĐIỆN TỬ, VÀ CÁC HỆ THỐNG CƠ ĐIỆN

Kỹ thuật điện, điện tử, và những hệ thống cơ điện được đánh giá là những thành

phân của nhiễu hệ thống động lực học Hai định luật Kirchhoff mang tính quan trọng trong những hệ thống kỹ thuật điện : Định luật Kirchoff về áp thường sử dụng phương pháp vòng kín, trong khi đó, định luật Kirchoff về dòng thường sử dụng

phương pháp nút Khuếch đại thuật toán (opamp) là một khuếch đại điện tử với tín hiệu ra và hệ số khuếch đại điện thế cao 10” ->10' Sau cùng, nhưng có lẽ quan trọng nhất, những hệ thống cơ điện là sự kết hợp của hai thành phần kỹ thuật điện

và cơ khí Các động cơ và cảm biến là những điển hình của hệ thống

Ba phân tử cơ bản của mạch điện là : R_L_C

(a) Tìm phương trình vi phân, tần số tự nhiên, tỉ số giảm áp

(b) Tìm hàm truyền đạt V.(s)/V,(s), biểu hiện mối liên hệ điện áp vào vạ(Ð đối với điện thế qua cuộn cảm L„ vị (t)

mà vụ <+- fide vi vậy hàm truyền đạt thể hiện mối liên hệ giữa ngõ vào điện thế cm Efile y y &

UNG DUNG MATLAB TRONG MO PHONG, PHAN TÍCH MẠCH ĐIỆN VÀ CÁC HỆ THỐNG CƠ ĐIỆN

(a) Phương trình vi phân

(b) Tân số tự nhiên ø, và hệ số suy giảm £

(c) Hàm truyền đạt V„(s)/V,(s), thể hiện mối liên hệ ngõ vào điện dp v,(t) doi

với sụt ấp qua tụ điện v.(

Giải :

(a) Hệ thống chịu ảnh hưởng bởi một phương trình vi phân, bởi vì có một ngõ vào,

vạ(9, và một ngõ ra, 1t), xem như dong điện tự do Bởi vậy, chúng ta sẽ áp dụng KVL và phương pháp vòng kín

> Veep = 0

Trong đó, mối liên hệ giữa các phân tử là :

vy, = Pu = Rive =a fied

Thay các mối liên hệ này vào (*), ta được :

pi, Rite: fide =v,

Đây là phương trình vi phân của mạch điện

(b) Chia hai vế phương trình (*.1) cho L để đưa phương trình về dạng chuẩn :

LUAN AN TOT NGHIBP 23 (c) Tìm hàm truyền đạt Vg(s)/V;(), biểu hiện mối liên hé dién dp vao v,(t) đối với điện thế qua cuộn cảm R, vg(Ð

Giải :

(a) Hệ thống có một ngõ vào, v;(Ð, và chỉ một ngõ ra, v;(), như điện thế tự do Chúng ta chỉ cần một nút cho một phương trình vi phân Đặt tên nút này là 1, bao

gồm tất cả các phần tử của dòng điện Nút mạch và hướng của dòng điện được chỉ

ra trong hình đưới đây Nhìn chung chúng ta có thể áp dụng KCL (phương pháp

nút) hoặc KVL (phương pháp vòng kín) Để giải quyết vấn đề này chúng ta sẽ sử

LUẬN ÁN TỐT NGHIÊP 24 Biến đổi Laplace (*.1), ta được :

s”.V¡(S) + s.1/(R.C).V¡() + 1/L.C).V¡(s) = s.1/R.C).Va(s)

[s” +11/R.C)].s + 1/L.C)].V¿(s) = s.V;(S)

(b)Hàm truyền đạt được cho bởi :

Vis) VAs) Vs) RC[s' +L/ŒC)s+1/0.C)| = ies) © = § (*.2)

(a) Tim phương trình vi phân của hệ thống

(b) Tìm hàm truyền đạt: V;(sJ/V,(s), Ve(s)/V,(s), I(s)/V,()

Trong đó tính chất định thức được cho như sau :

A()=[i12s + R.( +1) IOSCs+100123+ Ry]— R R1

A(8) = Fy Loy Ry C8? +[Ly Ly + RL, + Ly).Ry Ch 8° +[R (Ly + Ly) + yb) ]s+R.R,

(b)Chúng ta có hàm truyền đạt :

UNG DUNG MATLAB TRONG MO PHONG, PHAN TÍCH MẠCH ĐIỆN VÀ CÁC HỆ THONG CƠ ĐIỆN

LUAN AN TOT NGHIEP 27

VCs) ~ L.L.RyCs* +[(L,.£,4+R.(L, +12).R,.C]+? +[R.(L, 4+ L,)+ RL )6+ RR,

Ghi chi :

Mẫu số của hàm truyền đạt, hoặc tính chất của định thức, thỏa mãn yêu cầu của

hệ thống cấp 3 Kết quả này được mở rộng bởi vì phương trình vi phân thứ nhất và thứ hai tương ứng của hệ thống là cấp một và cấp hai.Các phương trình vi phân của

hệ thống đi đôi với nhau, vì vậy, chúng phải được làm sáng tỏ đông thời như trình

bày Định luật Cramer là có tính hệ thống và ít gặp sai sót, nó là phương pháp thay

LUAN AN TOT NGHIEP 28

Vii + V~2 + Ve + Ve = Va

4 ths pt iRt fit =v, (do i= ip) = ip2 = ip = ig)

lấy vi phân hai vế :

(a) Tìm phương trình vi phân

(b) Trình bày phương trình vi phân ở dạng ma trận

(c) Tìm hàm truyền đạt Vị ,¡(s)/V,(s)

Giải :

(a) Tìm phương trình vi phân

Ap dụng phương pháp KVL cho mạch điện, theo chiêu quy ước như trong hình vẽ :

LUAN AN TOT NGHIEP