Ứng dụng Matlab trong mô phỏng và phân tích hệ thống động lực học cơ khí

Tóm lại, bốn dạng phương trình vi phân sẽ được giới thiệu và áp dụng đối với hệ thống : > Phương trình vi phân > Khong gian - trạng thái > Phương trình đáp ứng ngõ vào và ra của hệ thốn

LUẬN ÁN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

CHUYEN NGANH CG TIN KY THUAT

UNG DUNG PHAN MEM MATLAB

TRONG MO PHONG VA PHAN TICH

ĐỘNG LỰC HỌC PHẦN CƠ KHÍ

CBHD : TS NGUYEN TIEN DUNG SVTH : PHAN CHIEN THANG MSSV :99KC075

Trường ĐHDL Kỹ Thuật Công Nghệ

3- Ngày giao nhiệm vụ Đồ án

4- Ngày hoàn thành nhiệm vụ : Le a

5- Họ tên cán bộ hướng dẫn: _„ Phần hướng dẫn _ _

3)

CHU NHIEM KHOA CAN BO HUGNG DAN CHINH

(Ký và ghi rõ họ tên) (Ký và ghỉ rõ họ tên)

le — pnt

BO GIAO DUC va DAO TAO CONG HOA XA HOI CHU NGHIA VIET NAM

Trường ĐHDL Kỹ Thuật Công Nghệ Độc Lập -Tự Do — Hạnh Phúc

Tp.HCM, Ngày tháng năm 2004

PHIẾU NHẬN XÉT ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP

(Dành cho cán bộ hướng dẫn)

- ⁄ Ne a - -

1-Họ và Tên§V : hes 4⁄4 Che in 7 The {oom MSSY : PIKC OVS

Mok one LỚP : FIL CL

Ngành

2 Dé tai: lay hom AM id-h adhr.ut

3- Họ tên cán bộ hướng dẫn: T5 2 ng Km Dre "1 semitones

4- Tổng quát về bản thuyết minh :

Số bảng số liệu « -ố — Số hình vẽ vere enema

Số tài liệu tham khảo “0Á Phần mềm tính toán NheAlahs

LOI CAM ON

Qua qué teinh thie tap od nghién cứu để thực tiệm luận căn tốt

nghiệp, em xin chan thành cảm ơn tự gùíp đỡ ahiét tink eta cde thay cb

odn phang khoa Co khi ty doug - Robot, triuting DHODL Ky Thudt Ging

t4(ghệ

Oa die bigt em xin chan thanh cam đứt thầu (2(guyến Ciến (Đăng

đã tin tinh hướng dén trugén dat cho em nhitng kién tite cing nhiing

kink aghiém Hưực tế _ giún cưt hoàn thành luận vdn t6t nghiệp màu

Quối càng cm xin chain thanh cảm on toàn thể Cuẩu Óô trường

DPUDL Ki Thudt Cing Ughé dé gidng day, gido hudn em trong suốt

qua tinh tham gia học tập tại trường

Xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên

Phan Chiến Thắng

GVHD:TS.Nguyễn Tiến Dãng Trang ii

LOI MO DAU

Hiện nay ngành cơ khí của nước ta còn lạc hậu so với các nước trong

khu vực Do đó, ta phái ứng dụng các thành quả kỹ thuật của thế giới vào điều

kiện thực tiễn nước ta, để ngành cơ khí có thể phát triển một cách nhanh

chóng và theo kịp trình độ phát triển của khu vực và thế giới Với sự phát triển nhanh chóng của công nghệ thông tin hầu như mọi vấn để của động lực

học cơ khí ngày nay đều có một phần mềm tính toán riêng Một trong những

phần mềm đó là Matlab

Matlab (Matrix Laborataty) theo tên gọi của nó, là một công cụ phần

mém cia Math Work, ban đầu nó được phát triển nhằm phục vụ chủ yếu cho

việc mô tả các nghiên cứu kỹ thuật bằng toán học với những phần tử cơ bản là

ma trận Trong lĩnh vực chuyên ngành như cơ khí, điều khiển tự động, điện

thường là dữ liệu rời rạc ta có thể lưu trữ dưới dạng ma trận Quá trình đó có

thể xử lý bằng các hàm toán học của Matlab

Matlab là chương trình phần mềm việc trợ giúp cho việc tính toán và

hiển thị Các lệnh của Matlab rất mạnh và rất hiệu quả, nó cho phép giải các

loại hình toán học khác nhau và đặc biệt cho các phương trình tuyến tính hay các bài toán ma trận Cùng với 25 Toolbox (thư viện trợ giúp) khác nhau

Matlab cho bạn một sự lựa chọn hoàn chỉnh và phong phú các công cụ trợ

giúp đắc lực cho những lĩnh vực nghiên cứu chuyên môn khác nhau

SVTH: Phan Chiến Thắng

TI.6) Phương trình LagTanE€”§ so TS TT TH HH HH key 33

] Tạo giao diện hệ hai bậc tự dO co nh ng nh tr 76 1) Xây dựng giao điỆn - ác TT nành TH TH TH HH nhe 76

II) Code của chương trình hệ hai bậc tự do cv vn nHhệ, 81

Tài liệu tham khảo - -s Q22 1n 1 2310 K1 1300111 K S411 1 ng vn key re 89

GVHD:TS.Nguyễn Tiến Dũng Trang]

thống động lực học bao gồm số phần tử của những biến (tự do) chưa biết, như những

phương trình, và những phương trình này nên được chứng minh ở một dạng để thuận tiện trong quá trình làm việc Tóm lại, bốn dạng phương trình vi phân sẽ được giới thiệu và áp

dụng đối với hệ thống :

> Phương trình vi phân

> Khong gian - trạng thái

> Phương trình đáp ứng ngõ vào và ra của hệ thống

những hệ tọa độ nào đều có thể được sử dụng để mô tả hoàn tất sự chuyển động của nó,

có lẽ được lựa chọn như những hệ tọa suy rộng Vì vậy, việc tập hợp những hệ tọa độ này

là không nhất quán

Ghỉ chú : qi(i= 1,2, n) là những hệ tọa độ suy rộng đối với một hệ thống với n

bậc tự do, trong đó, số bậc tự do bằng với số phần tử nhỏ nhất của những hệ tọa độ

độc lập được yêu cầu để mô tả vị trí của tất cả các phần tử của một hệ thống

Về phương diện hình học, những hệ tọa độ suy rộng q¡( i= 1,2,.,n), định nghĩa

một không gian Đê-các-tơ (cartesian) với n thứ nguyên, đó được ví như là không gian cấu hình Xét một hệ thống n bậc tự do mà phương trình vi phân (cấp hai) tổng quát được cho như sau :

Gi Ida Uns Meda Inf)

Gy = (G92 99 Fn M Gar Fnst) (1.1)

Gn = Fy Gis Fass Ino Vidas Fast)

Trong đó q¡ và đ,( i= 1,2, n) là hệ tọa độ suy rộng và vận tốc suy rộng tương

ứng Hàm f(i=1,2, ,n) là những hàm phi tuyến, nghĩa là những lực suy rộng và là

những hàm đại số của q¡, 4, và thời gian t Hệ thống của những phương trình vi phân được trình bày bởi phương trình (1.1) là giả thuyết những điều kiện đầu

SVTH: Phan Chiến Thắng

Điều kiện đầu của những hệ tọa độ suy rộng : q;(0), q„(0) (12)

Điều kiện đầu của những vận tốc suy rộng : ¿(0), ¿„(0)

Phương trình (1.1) kết hợp với phương trình (1.2) mô tả dạng cấu hình của hệ

thống Một lần nữa, chúng liên quan đến những hệ thống trong bất kỳ những hàm

f = 1, 2, .n) là tuyến tính Xác định những hàm được chứng minh như sự kết hợp

tuyến tính của qg¡ và ¿,, được minh họa trong những ví dụ dưới đây

Ví dụ 1 :

Xét một hệ thống cơ khí đơn giản :

là x(0) = xạ, #(0)=#„ Tìm phương trình chuyển động của hệ thống trong mô hình cấu tạo như định nghĩa bởi phương trình (1.1)

Giải :

Phương trình chuyển động : m#+b.#+kx=0

Điều kiện đầu : x(0) = xo, x(0)=%,

Chia hai vế phương trình chuyển động cho m, ta được :

„5 &

#=-—#-—*

a mm AG) Quan sát ta thấy phương trình chỉ có một tọa độ suy rộng q¡ = x, phương trình nầy

có dạng như phương trình (1.1) Hơn nữa, hàm suy rộng f là một hàm tuyến tính

VỚI X Và x

Điều kiện đầu : x¡(0) = xịo, ¥,(0) = Xo, X2(0) = X20, % (0) = Xq

Trong đó, hai chỉ số được sử dụng Chỉ số biến thứ nhất dùng để chỉ khoảng cách

và vận tốc của hệ thống, chỉ số thứ hai không dùng để chỉ điều kiện đầu Xác định

GVHD:TS.Nguyễn Tiến Dũng Trang3

Ta thấy hệ phương trình vi phân chuyển động có dạng (1.1), có hai tọa độ suy

rộng q¡ = Xị, qạ = X; Lực suy rộng f\, f, được xem là tuyến tính của hai tọa độ suy rộng x1, x2 và hai vận tốc suy rộng %,,%,

Đang ma trên cấp hai :

Dạng chung nhất sử dụng thuận tiện của việc trình bày một hệ thống cấp n xn

của những phương trình vi phân cấp hai là đạng ma trận chuẩn cấp hai, được định nghĩa như sau:

mš+cx+x= f(t) (1.2*)

Trong đó, m là khối lượng ma trận (n x n), c là ma trận giảm chấn (n x n), k là

ma tran bén (n x n), x là vector cấu hình (n x 1) = vector những hệ tọa độ suy rộng,

và f là vector của ngoại lực (n x 1)

Ví dụ 3 :

Từ mô hình cấu tạo trong ví dụ 2, tìm phương trình vi phân chuyển động ở dạng

ma trận cấp hai

uf

Điều kiện đầu : x¡(0) = Xịo, ‡,(0) = X49, X2(0) = X29

Ta thấy hệ phương trình vi phân chuyển động có hai tọa độ suy rộng qị = xị và q2 = X2

Dang ma tran :

Sees eee tee 0 m|lxf" lo ollef7L -& & Jlzƒ {0

L2) Không gian trạng thái : Khái niệm về không gian trạng thái dựa vào sự hiểu

biết về biến trạng thái

1.2.1)Định nghĩa :

Giá trị nhỏ nhất có thể tập hợp những biến độc lập để hoàn tất mô tả trạng thái của hệ thống được ví như là tập hợp những biến trạng thái Những biến trạng thái

này ở khoảng thời gian xác định (t=ts) và các đầu vào của hệ thống để tất cả t > tọ

sẽ cung cấp một mô tả đầy đủ về cách thức hoạt động của hệ thống ở bất cứ thời gian t > tạ Bởi vì tính độc lập là cần thiết, những biến trạng thái không thể diễn đạt được như những hàm đại số Hơn nữa, việc thiết lập những biến trạng thái cho

một hệ thống trung tâm là không đồng nhất

Một cách khách quan, giới thiệu về những biến trạng thái phù hợp, được dùng

để viết lại một phương trình chuyển động của hệ thống như là một hệ thống lớn của những phương trình vi phân cấp một Mỗi phương trình vi phân này bao gồm thời gian phát sinh của một trong những biến trạng thái bên tay trái và một hàm đại số của những biến trạng thái, được xem như là những đầu vào của hệ thống, bên tay

phải Những phương trình vi phân này được xem như là những phương trình biến trạng thái

GVHD: TS.Nguyén Tién Diing Trang5

Có bao nhiêu biến trạng thái ?

Số phần tử của những biến trạng thái bằng với số phần tử của những điều

kiện đầu yêu cầu để giải quyết những phương trình vi phân của chuyển

động Ví dụ chẳn hạn, nếu như một phương trình vi phân cấp hai mô tả một hệ thống động lực học, thì cân hai điều kiện đầu Ở đây có hai biến

trang thai

Những biến trạng thái là gì ?

Những biến này cho những điều kiện đầu số phần tử được để cập trong

câu hỏi một, được lựa chọn như là biến trạng thái

Ví dụ 4 :

Từ ví dụ 3, xác định những biến trạng thái

Giải :

Phương trình chuyển động được cho như sau : ø#+c£+x= /(f) Điều kiện đầu

tiên để giải phương trình vi phân cấp hai là hai điều kiện đâu bằng không x(0),

#(0) Ở đây có hai biến trạng thái Xa hơn nữa, bởi vì những điều kiện đầu tương ứng với x, š, những biến trạng thái nên được lựa chọn theo câu hỏi số hai như là x,

ba biến trạng thái, và chúng được lựa chọn là xạ, x;, và š, Từ đầu đến cuối giáo

trình này, những biến trạng thái được định nghĩa bởi x¡ với một chỉ số thích hợp ¡

Đó là điểu quan trọng để phân biệt giữa những biến trạng thái và những biến vật lý

như là khoảng cách và vận tốc Những biến trạng thái là những số lượng toán học

chung dùng để trình bày phương trình tổng quát của hệ thống trong một đạng thuận

tiện Đôi khi ký hiệu quy ước của x¡ dùng riêng cho những biến trạng thái, có thế

thực sự trùng khớp với một vài biến vật lý phức tạp trong một mô hình hệ thống

Ngay trong ví dụ này có ba biến trạng thái, ba biến trạng thái này theo quy ước định nghĩa bởi xạ, xạ, xạ Tuy nhiên chúng ta chú ý rằng x¡ và x ; là khoảng cách

dịch chuyển của các khối

SVTH: Phan Chiến Thắng

Xxị, X;, # (Số liệu vật lý lựa chọn như những biến trạng thái) <==>xÌl, x2,

x3(những số liệu toán học chỉ rõ những biến trạng thái)

x¡(rang thái đầu) = x;(khoảng cách dịch chuyển của vật mị)

x;(trạng thái hai) = x;(khoảng cách dịch chuyển của vật mạ)

xa(trạng thái ba) = x:(vận tốc của vật mị)

1.2.3) Công thúc tổng quát :

Những biến trạng thái được lựa chọn theo một cách riêng duy nhất, tác vụ kế

tiếp là xây dựng những phương trình biến trạng thái Được để cập trước nhất đó là

những phương trình vi phân cấp một, mỗi một phương trình vi phân chứa đựng một trong những nguồn gốc đâu tiên của biến trạng thái bên tay trái và một hàm đại số

của những biến trạng thái, những đầu vào, và thời gian bên tay phải Nhìn chung,

để chúng ta nhận xét một hệ thống đa ngõ vào hoặc nhiều ngõ ra (MIMO) với n bién trang thdi, x), X, , mM VAO, Uj, ,Um, Pp ngd ra, y¡, yp Sau đây là những phương

trình của biến trạng thái :

Phương trình biến trạng thái :

*I = /,(XU,X3, Xn, th, H2, , Mầm P)

#2 = /(XI,X2, , Xu, HH, 2 Um) (1.3)

Xa = „XI,X3; , Xa, TÀI ,2, , Bìa „ F)

Trong đó, f¡, f;_f, là phi tuyến Tương tự, hệ thống những ngõ ra được trình

bày dưới đây :

Phương trình đáp ứng ngõ ra của hệ thống :

?ị = h,ŒXI,X2, Xn, 1,2 Hơn „ P)

Yq = Ay (1, %25.1.5Xn, U1, U2, 5Umf) (1.4)

Vy = My, (KA, X25 100 Xn U1 WI, 005 Hm st)

tuyến được trình bầy trong hệ thống, những hàm đại số f¡(i = 1, 2, , n) và hự(k = 1,

2, , p) lần lượt trở nên phi tuyến và hoàn toàn phức tạp trong tự nhiên, làm phức

tạp sự phân tích

GVHD:TS.Nguyén Tiến Dũng Trang7

Sự phức tạp liên quan đến công thức chung, làm giảm đáng kể đối với trường

hợp của những hệ thống tuyến tính Trong trường hợp tất cả các phần tử trong mô hình của hệ thống động lực học là tuyến tính, hàm đại số (1.3) và (1.4) sẽ trở thành

dạng đặc biệt sau :

Phương trình biến trạng thái tuyến tính :

Ÿị = đi 3i +2.X; + + đu Xự + Bán + Ba dy + BỊ

Ky = Ay Ky + Ogg Xy tee yy Xp, + Dy Uy + Ogg ty ++ By, Uy (1.5)

Ky yp Hy F Dyy Ky oF Gy X, + By ty + By man Uy Ht Diy Uy

Ngõ ra của hệ thống tuyến tính :

Vy =H Cy HFC yp ty, Xn tA Wit Gy Ha + + Ay,

Vo = Cy Mt yy Ky toe Cy, Kat Ay Ut doy U24 et dy U,, (1.6)

„ = Gại XI +2 X; + + đu Xa + Ay Ut yy U2t + pg

Phương trình (3.5) và (3.6) được trình bày dưới dạng ma trận :

dy, dy a An

_ dy dy dy, _ bt 2 ar: A

D=| : : : = hướng chuyển đổi ma trận

a, dy Lom pxm

Từ dạng (1.5) và (1.6), dạng đặc biệt của ma trận, ta có hệ phương trình tổng

quất như sau :

y=Cx+Dw l

Hệ phương trình (1.7) thường được biết đến như là sự trình bày không gian trạng thái hoặc hình thức cấu hình của mô hình hệ thống Dạng tiện lợi của việc trình bày

một mô hình hệ thống phân lớn được sử dụng trong phân tích và điểu khiển của

những hệ thống động lực học Sau đây là biểu đổ về tìm kiếm mô hình không gian trạng thái từ phương trình tổng quát của một hệ thống động lực học

Tổng quát Innững điều kiện đấu

đượn yeu cu)

on cedinan tydntan 7 P7 £CxtDụ

Phung tinh dap ung ¥,= su kéthop wyeén tinh

ngéracdahé néng = [8 4, Xe, te VAT, U2, ,

Ln

1.2.4) Những biến trạng thái không đồng nhất :

Nó được để cập sớm hơn để lựa chọn tập hợp những biến trạng thái không đồng

nhất Đó là, một phương trình vi phân tập hợp những biến trạng thái có thể được

lựa chọn thể mô hình hóa hệ thếng được minh họa bởi hệ phương trình (1.7), được

biết đến như dạng không gian trạng thái Kết quả là những dạng sau này sẽ khác

nhau từ một đáp ứng đối với nguồn gốc tập hợp những biến trạng thái Tuy nhiên

cả hai việc trình bày sẽ chứa đựng thông in tương tự đáng chú ý và cách thức hoạt

GVHD:TS.Nguyễn Tiến Dũng Trang9

Nhân hai vế phương trình vi phân cho P”, ta được :

y= pl x 1 AoP AP BoP cece (¥ = A& B

x=P APY P Bu > x + i (1.10)

yeCP.x+Du y=Cx+Du

Phương trình (1.10) là chính xác trong đạng tổng quát của phương trình (1.13) và

ở đây trình bày mô hình biến trạng thái đáp ứng đối với một thiết lập những biến

trạng thái mới, š,5;, #,, những công cụ của trạng thái vector mới, £ Những

vector mới này hỗ trợ nhanh chóng để tập hợp những biến trạng thái được cho là

không đổng nhất Xa hơn nữa, không gian trạng thái trình bày định nghĩa trong

phương trình (1.7) và (1.10) chứa đựng những thông tin tương tự về hệ thống động

lực học

1.2.5) Su réi rac

Trong phần lớn những trường hợp, việc chọn lựa những biến trạng thái, xị, Xa,.„xạ được tách riêng trong suốt những phân tử của ma trận trạng thái, A là một

ma trận đây đủ, và ở đây đáp ứng những phương trình biến trạng thái không thể tác

động một cách độc lập Để giải quyết vấn để này chúng ta có thể sử dụng một

dạng cụ thể của ma trận chuyển vi, x= P#£, trong đó, P là thuộc ma trận giao vdi A

A=P'AP=A

Trong đó, A la một ma trận chéo hóa Phương trình đáp ứng trạng thái đối với £:

hoặc :

x) [A i,

et) OP Blu] (1.12)

Trong đó â,4,, 4, là những giá trị của ma trận A Mỗi hàng của phương trình

(1.12) là một phương trình vi phân cấp một trong một biến trạng thái

SVTH: Phan Chiến Thắng

1.3) Phương trình đáp ứng ngõ vào và ra của hệ thống :

Một dạng khác trong mô hình hệ thống có thể được trình bày là một phương trình đáp ứng ngõ vào và ngõ ra của hệ thống, Phương trình vi phân đơn, trong giới hạn

của ngõ vào hệ thống, ngõ ra hệ thống, và chúng bắt nguồn từ :

yO apy + + an ý +any = bạ.” + bịt!) + „+ bmị ở + bạ.u, m< n (1,13)

Trong phương trình (1.13), a¡(i= 1,2, n ) và b„(k= 0, 1, , m ) là những đơn

vị hằng số cho một hệ thống tuyến tính, y là đáp ứng ngõ ra của hệ thống, và u đáp ứng ngõ vào của hệ thống Đối với một hệ thống động lực học bao gồm nhiều hệ

tọa độ suy rộng, thì việc tìm những phương trình đáp ứng ngõ vào và ngõ ra của hệ

thống từ những phương trình vi phân tổng quát sẽ gặp rất nhiều khó khăn Đây là

nguyên nhân chính bởi vì trong phần lớn trường hợp, những hệ tọa độ suy rộng

thường đi đôi với những phương trình vi phân tổng quát Điều này nghĩa là nguồn

gốc của những hệ tọa độ suy rộng này có thể xuất hiện một cách đồng thời trong

một số những phương trình vi phân, vì vậy đó nguyên nhân khó khăn nhất định để

tìm kiếm một phương trình vi phân đơn, trong một hệ tọa độ theo sự rút ra của

những biến không mong muốn Để giải quyết vấn để này, một sự lựa chọn khác

bằng cách sử dụng phép biến đổi Laplace được để cập

1.3.1) Phương pháp :

Ý tưởng là biến đổi Laplace của mỗi phương trình vi phân trong mô hình hệ thống, cho những điểu kiện đầu bằng không Một cách thông thường, tập hợp

những phương trình đại số trong giới hạn của những hàm truyễển đạt của những hệ

tọa độ sẽ được tìm Sau đó những biến không mong muốn có thể được loại ratrong

suốt phương pháp đại số như là sự thay thế hoặc sử dụng định luật Cramer để xác

định phương trình vi phân đơn trong giới hạn của phép biến đổi Laplace ngõ vào và

hệ tọa độ yêu cầu Sau cùng những phương trình vi phân được biến đổi theo miễn

thời gian và sáng tỏ như phương trình vi phân trong phương trình (1.13)

1.3.2) Nhấn mạnh :

Ngay bây giờ ta thấy rõ là một phương trình vào_ra thể hiện một mối quan hệ giữa một ngõ ra và một ngõ vào Vì vậy, khi liên quan với một hệ thống đa ngõ vào hoặc đa ngõ ra, có sự tổn tại một phương trình đáp ứng ngõ vào và ra tương

ứng đối với mỗi cặp của ngõ vào ra của hệ thống Thí dụ, cho một hệ thống với

một ngõ vào và hai ngõ ra, có sự tổn tại hai phương trình vào _ra

Một giải pháp đối với phương trình trạng thái

x=Áx+Bu

GVHD:TS.Nguyén Tién Ding TranglI

yg aye? tt any DV tay = bọ.0? + bị.0Đ + + bại.ð+ bạu, msn (*) cân phải có sự hiểu biết hoàn toàn về y(0), ÿ(0), y”"(0),(giá trị điều kiện đầu

của đáp ứng ngõ ra) được xem như là nguồn gốc đầu tiên n-I của ngõ ra Tuy nhiên, từ quan điểm thực nghiệm, xác định về những giá trị điểu kiện đầu tiên này

có thể đưa ra những hệ quả khác Bởi vậy đối với những hệ thống cấp cao, việc giải quyết các phương trình trạng thái có thể trong cơ sở lập luận yêu cầu kết quả tính toán ít hơn đối với phương trình vào _ ra

Trong đó lực được chọn là f(t) là đại lượng đặc trưng cho đầu ra hệ thống Đầu vào

~— ra của hệ thống thu được kết quả khả quan đó là đẫu ra của hệ thống thay thé x(t)

và trạng thái ban đầu =0

Giải: Bởi vì là khả quan, đầu ra là y=x và đầu vào là u=f

PT chuyển động cho ra kết quả: my+by+ky=u

Ở PT (*) thì n=2, a,=b, az=k, m=0, bạ=1

m là bậc ở phía tay phải của PT

Ví dụ 2: Cho đầu vào — ra của hệ thống cơ khí vơi f(t) và x¡(Ð và đạo hàm thới gian

Đầu vào ~ ra của hệ thống phải khác với PT trong giới hạn f() và x¡() và đạo ham thời gian

Biến đổi Laplace 2 vế của PT(**) thu được:

Thao tác bằng tay với PT (3.29) thu được:

Biến đổi Laplace hai vế :

(s® + ai + + an é + an) LÝ (6) =(bọ.s 9) + bys? + + bg) U(s)

Ham truyén dat:

GVHD:TS.Nguyễn Tiến Dũng Trang13

m wr~Ì

Gs) = Y(s) _ bạ.s +b,s + 4+b,

U(s) stax" + 4a,5 ta,

Hàm truyền đạt có thể được sử dụng để xác định ngõ ra của hệ thống :

Trong đó x(Ð là đầu ra, f() là đầu vào Hàm truyền đạt được xác định

Giải: Biến đổi Laplace của chuyển động, cho rằng trạng thái ban đầu =0

Kết quả thu được: (ms”+bs+k)X()=F()

X(s) 1 F(s) ms? +bs+k

Ví dụ 2: Cho hệ thống như hình vẽ Với x() và y() biểu thị đầu ra hệ thống

T

tẾ che

Được cho bởi PT chuyển động của hệ thống Trạng thái ban đầu =0

Biến đổi Laplace của 2 vế PT và của chuyển động thu được kết quả:

Ví dụ 3: Cho hệ thống 2 vật như hình vẽ Cho bởi PT chuyển động

Chuyển đổi hàm thu được: G(s) =

Giải: Bởi vì đó là 2 đầu vào — ra của hệ thống, là 4 hàm chuyển đổi

Biểu thị bởi G,(s),G;(s),G,(s),G„(s) Do đó ma trận dịch chuyển có dạng như sau:

G(s) |e oe

G(s) G(s) Một cách cụ thể, hàm truyền đạt được định nghĩa bởi:

Biến đổi Laplace 2 vế của PT (*) Sau đó đặt trạng thái ban đầu =0, được kết quả

ms* testk -(es+k) X69) | E(s) (*)

-(estk) ms? +est+k | (46) ~ £(s)

Tiếp tục sử dụng phương pháp Cramer's để giải quyết X¡@)

Phụ thuộc vào sự thay thế cột thứ nhất của hệ số ma trận bởi các vectơ bên tay

Trong đó As biểu thị định thức của hệ số ma trận 2x2 trong PT (*)

Và được định nghĩa bởi:

ms +estk —-(es+k)

-(es+k) ms +Œs+#

= (ms? +os+k)[ ms? +est kÌ -(es+k)”

F(s) bu) - ẤS - =mjg +(m +m,)es” +(m, + m,)&s

X,(s) ms’ t+es+k mịs? +es + k

Gy(s)= = = 7 5 5

AM ayo AS = mm,s' +(m, +m, )cs* +{m, +m, ) ks

1.4.1) Mối quan hệ giữa mô hình không gian trang thái và hàm truyền đạt

Quan tâm về dạng trình bày đối với mô hình toán học của hệ thống động lực

học, thông tin tương tự về hệ thống có thể được rút ra Cụ thể hơn, cho dạng không

gian trạng thái của một mô hình hệ thống là có thể thực hiện được, hàm truyền đạt

có thể được xác định bằng cách sử dụng trạng thái, ngõ vào, ngõ ra, và những ma trận chuyển Chúng ta xét những trường hợp riêng biệt khác nhau: hệ thống ngõ

vào đơn, ngõ ra đơn (SISO) và những hệ thống đa ngõ vào, đa ngõ ra(MIMO)

L4.2) Những hệ thống ngõ vào đơn, ngõ ra đơn

Xét một hệ thống động lực học với một ngõ vào đơn và một ngõ ra đơn với trình bày không gian trạng thái

x=Ax+Bu (1.16)

va mot ham truyén dat G(s) =7 UQ) (1.17)

Xem tất cả điều kiện đâu bằng không, biến đổi Laplace về trạng thái ngõ ra của

thay X(s) từ phương trình (3.18) vào phuong trinh Y(s), ta duge :

¥(s)= CAs — A)".BU(s) =[C.(s.1— AY'.B + DỊ.UG@) (1.19)

SVTH: Phan Chiến Thắng

Vì vậy hàm truyễển đạt của hệ thống được định nghĩa bởi phương trình (1.17) có

thể được trình bày trong giới hạn trạng thái, vào, ra, và những ma trận chuyển tiếp như :

Thường trong phân tích hệ thống cơ khí, một trong những yếu tố mà ta

thường gặp là phi tuyến trong phương trình vi phân, được mô tả trong mô hình hệ

thống Để tìm cách giải quyết các hệ thống trong không gian — trạng thái là thời gian rất lâu và rất khó hoàn thành Để giải quyết hệ thống đó theo phương pháp số

ta dùng phương pháp Runge — Kutta bậc 4 Tuy nhiên, trong phần này thì liên quan

tới việc lấy đạo hàm của hệ thống tuyến tính thì giống như hệ thống phi tuyến

Mục đích của công việc này là đạt được các hệ thống tuyến tính, kết hợp với các

đầu vào và điều kiện ban đầu Y tưởng đó bắt nguồn từ việc khai triển chuỗi

Taylor dưới dạng phi tuyến tại một điểm biết trước hoặc trạng thái cân bằng tại

một điểm Chúng ta thừa nhận rằng trạng thái cân bằng tại một điểm là biết trước

Trước tiên, ta xem sự tuyến tính hoá được thể hiện trên đồ thị

GVHD:TS.Nguyén Tién Diing Trangl7

Gia st ring A:(x, f) được định nghĩa là điểm đặc trưng(chuẩn) trên đồ thi

của hàm f(x) va 1, la đường thang nối giữa P và A Định nghĩa:

Ta có m 2 có nghĩa là đạo hàm díf/dx và được định tại một điểm Khi có kết

quá ta viết phương trình tiếp tuyến l; được cho bởi ƒ — ƒ = m(x—x) — Af =mAx

L5.2) Hàm gồm có một biến số:

Giả định rằng y=f(x) và được cho là phi tuyến trong phương trình tổng quát

của hệ thống động lực và (x- ƒ) biểu thị cho trạng thái cân bằng tại một điểm y=ƒŒ)= ƒ Khai triển chuỗi Taylor của hệ thống phi tuyến hàm f(x) sau trạng thái cân bằng tại một điểm Sự thực bắt nguồn từ sự tổn tại f(x) và được viết bởi:

Đồ thị của y=x? là đường cong phẳng

Trường hợp: Nếu x=0,8 thì ta có phương trình

y„ =1+2Áx =1+2(0,8~D) =0,6 Trong đó yụ, = (0,83=0,64

Trường hợp: Nếu x=0,9 thì ta có phương trình

y,, =1+2Ax =14+2(0,9-1) = 0,8

Trong d6 yy, = (0,9)*=0,81

1.5.3) Hàm hai biến số:

Giả định rằng w=f(x,y) được cho là phi tuyến trong phương trình tổng quát

của hệ thống động lực và (z,y, ƒ) biểu thị cho trạng thái cân bằng tại một điểm

SVTH: Phan Chiến Thắng

Trong trường hợp phủ định w= ƒ Œ,y) Khai triển chuỗi Taylor của hệ thống phi

tuyến ở trạng thái cân bằng tại một điểm

Trường hợp (x—x) và (y-y) cả hai là tương đối nhỏ, tất cả các bật cao hơn giới

bạn giải quyết (x—x) và (y— y) thì được coi là tương đương

Trong đó Ax=x—x;Ay= y—y

Vi du: Cho ham phi tuyến 2 biến số w=f(x,y)=xy” va trạng thái cân bằng tại một

Một lần nữa, độ chính xác của hàm xấp xỉ thì hoàn toàn phụ thuộc vào x và y được

chọn là tương đối tại trạng thái cân bằng tại một điểm Cho là x=1,5 và y=0,7

Ta c6: W,, = Ax+4Ay +2 =(1,5-2)+4(0,7-142=0,3

Trong đó W,=1,5(0,7)7 =0,735

Néu x=1,5 va y=0,9 thi: W,,=1,10 va Wi=l,5(0,9) =1,215

Lã.4) Đinh nghĩa trang thái cân bằng tại một điểm

Ví dụ: Cho hệ thống như hình vẽ bao gồm lò xo phi tuyến , trong đó f,(x)=x|x| được

định nghĩa là lực lồ xo phi tuyến được trình bày ở hình dưới đây U@) là lực được

chọn(đầu vào) Hệ thống này phụ thuộc vào điều kiện đầu x(0)=0 và x(0)=1

Phương trình chuyển động cho bởi x+x+x|x|=z) Œ9

Định nghĩa trạng thái cân bằng tại một điểm

GVHD:TS.Nguyén Tién Ding Trang19

Bởi vì không tổn tại số thực nên trước đó trường hợp I chỉ giải khi x =1

Giới hạn phi tuyến #,(>) = x|x|

Cho nên phương trình (4*) hạ bậc thanh f,(x)=1+ 2Ax

Tiếp đến ta thu được mô hình phi tuyến bậc nhất xấp xỉ hệ thống tuyến tính

Bước tiếp theo ta nhận được:

e©_ Gọi lại Ar=x—x€>ex=x+Ax=l=Arx Thay thế x trong hệ thống phi tuyến

x+x+x>|=w), x là không thay đổi x=x=0

© Trong phương trình x+x+x|x|=z(/) ta thay u()=z+ A0) =1+ Au() với

Mô hình tuyến tính tương đương hệ thống gốc(ban đầu) Đầu ra của mô hình tuyến

tính là lượng gia của biến số tương ứng u(0)

Cuối cùng, gọi lại Ax() = x#)—x Ước lượng t=0 kết quả:

Ax(0)=x(0)—x= —1

và lấy vi phân ta được: Ax(/) = xŒ)~x= x)= Ax(0) = x(0) =1

Sau đây, mô hình tuyến tính được diễn tả bởi:

Ax+ Ax+2Ax =0,Ax(0) = —l;Ax(0) =1

Chúng ta có thể sử dụng x thay thế Ax trong mô hình tuyến tính thì được viết lại:

x+x+2x=0;z(0) =—1;z(0) =l

GVHD:TS.Nguyén Tién Dũng Trang21

CHƯƠNG II: CÁC HỆ THỐNG CƠ KHÍ

I1) Lời giới thiêu:

Cơ bản của động lực học và mô hình toán học của hệ thống cơ khí thì được

giải thích trong chương này Hệ thống cơ khí thì được nhấn mạnh trong chuyển

động tịnh tiến và chuyển động quay hoặc cả hai loại chuyển động

Các yếu tố của hệ thống cơ khí bao gồm: Khối lượng, lò xo, bộ giảm chấn, tịnh tiến và quay tròn Khái niệm về sự tương đương, bậc tự do, dao động cưỡng bức thì được giải thích sau Hai vấn để quan trọng trong dao động cưỡng bức là kích

động lực và kích động động lực Định luật 2 Newton sẽ giải quyết chuyển động tịnh tiến, phương trình mômen thì giải quyết chuyển động quay Trong chương này

chúng ta sẽ giải quyết 2 hệ thống cơ khí đó là tịnh tiến và quay tròn

IL2) Yếu tố cơ khí

Đến với các mô hình toán học hệ thống cơ khí thứ nhất chúng ta cần phải hiểu các yếu tố của hệ thống cơ khí Đó là 3 loại yếu tố: khối lượng; Lồ xo; giảm

chấn

H.2.1) Yếu tố khối lượng:

1I.2.1a) Khối lượng tịnh tiến:

Cho một vật tịnh tiến với vận tốc v chuyển động chịu tác dụng của lực bên

ngoài là f, và chịu một lực đẩy là P

Trong định luật NewTon, lực đẩy được chobổi: P=m.v (2.2a)

Trong đó m là khối lượng vật Ở mức độ nào đó thì học thuyết tương quan về lực

đẩy được nói rõ:

my

P=—m"_— (2.2b)

1~(v/e}Ÿ

M: khối lượng vật V: vận tốc

C: tốc độ ánh sáng 3x10” m/s

Ap dụng Định luật 2 NewTon ta được kết quả:

[TRUONG BAO -K TON

Chú ý: Véctơ gia tốc là tuyệt đối THY VEE

*

o Ũ xi ctco Aa $ TC

SVTH: Phan Chiến Thắng

Giải thích đơn giản cho sự bắt nguồn về gia tốc a,ta có: a=y=z (2.4b)

IL.2.1b) Khối lượng quay tròn:

Trong đó T là mômen xoắn tác động bên ngoài: T=] a

Chú ý: góc ma sát ơ là giá trị tuyệt đối Góc ma sát œ được định nghĩa bởi:

IL2.2a) Lò xo tịnh tiến:

Độ cứng k của lò xo được cho bới (hình 2.4) Trong đó f, là lực tác động bên ngoài

K:là hằng số; áp dụng định luật 2 NewTon với khối lượng bằng 0

GVHD:TS.Nguyễn Tiến Dũng Trang23

Là xo cỨng

fk Lò xo tuyến tính

Hìmh 4.4 Xl

f,: Lực lò xo; k :độ cứng Thừa nhận: x¡>x;>0

Xie: Thay thé tugng quan

Ô;„¡: góc thay thế tương quan

=>” Mang chat loug “—

M: khối lượng trên mặt phẳng trượt

F;: lực tác động bên ngoài

Fạ lực chống lại lực chuyển động và được sinh ra giữa 2 bể mặt

Fg=b.vra

| | fa

fa YE ¥ fa

F,: luc tac động bên ngoài

Fy luce ma sat

F¿: động lực ma sát F,: ma sát tĩnh

(F,)„„„: ma sát tĩnh lớn nhất

N: phản lực

Fu=u N nếu v,a>0 Trong đó Hy<H;

HI.3) Sư tương đương:

Khái niệm về sự tương đương được ứng dụng một cách rộng rãi, nhưng nó

cần phải được sử dụng một cách cẩn thận Ví dụ một hệ thống lò xo cần phải có các đại lượng đặc trưng bởi các lò xo tương đương

Trong lò xo có thể có các loại song song, chuỗi lẫn lộn nhau Ta lấy đạo hàm,

chứng minh độ cứng tương đương của hệ thống lò xo là vô cùng quan trọng Trong trường hợp nào đó thì chuỗi lò xo là tương đối phức tạp hơn

Định lý 1:Nếu có n chuỗi lò xo song song nhau, thì độ cứng tương đối Ku„ có giá trị

ngang bằng nhau với độ cứng riêng lẻ của từng lò xo Ki

GVHD:TS.Nguyễn Tiến Dũng Trang25

Đinh lý 2: Nếu có n chuỗi lò xo, thì có sự nghịch đảo lẫn nhau với độ cứng K„ và

có giá trị ngang bằng nhau với tổng độ cứng riêng lẻ của từng lò xo

Định luật 2 NewTon được viết ra một cách đơn giản, theo một cách nào đó thì nó

được chọn làm một định luật đúng đắn Trong đoạn này định luật 2 NewTon giải

thích cho ta hiểu rằng nó giúp cho ta giải quyết vấn để nhẹ nhàng

Trong hệ thống với n vật, N:lực tác động bên ngoài, Ấp dụng định luật 2 NewTon

+ 4 n

_—>, F,, = ma,, = 3 ma = May, + MiG, tae + đ„„—>

jl del

n n

+t dF, =ma,, = mau, = my +y8,+„ + Uy T+

iz 4=l

Trong hệ thống vuông góc x được sử dụng nằm ngang và hướng về bên phải và y

hướng lên và dương lên

Chú ý:Việc chọn định luật 2 NewTon | à công thức chính xác tại một điểm là trọng

tâm của khối lượng C, chứ không phải là trọng lực G Trong nhiều ứng dụng kỹ

thuật , trường trọng lực là không thể thay đổi, C=G: Mặc dù ngang bằng nhau

nhưng lại khác nhau về định nghĩa Dễ dàng nhận ra và viết thành phép so sánh Trong hệ thống 2 vật cứng:

GVHD:TS.Nguyễn Tiến Dũng Trang27

H.4.2)Mô hình hệ thống với ma sát khô:

Ấp dụng định luật 2 NewTon cho chiều dương x

Trong phân này chúng ta sẽ giới thiệu về trọng lực và đi sâu vào sự khác nhau của

các PT Nếu sự biến dạng lò xo là đo được đến trạng thái cân bằng tĩnh Xem hệ

thống vật hình dưới đây

x và y đo được đến trạng thái cân bằng tĩnh và không bị biến dạng, dù vậy X„ là

biến dạng tĩnh của lò xo Ấp dụng định luật 2 NewTon

Vị trí không biến dạng

Ả mf Trang thái cầu bằng

_YVX Y} Vị trí biến dang

-ky+mg=m y (2.30)

my +ky=mg Thay x ta được:

11.4.4) Hệ thống với đầu vào thay đổi:

Đầu vào của hệ thống này khác với các loại hệ thống cơ khí khác Cả hai loại này

GVHD:TS.Nguyễn Tiến Dũng Trang29

vào có thể là lực hoặc là thời gian và là dịch chuyển tổng quát nên có ý nghĩa là

đầu vào là vận tốc hay gia tốc, tịnh tiến hoặc quay

Theo cách đó tacé PT viphin: mx+bx+kxe=bythy (2.33)

Tần số tự do hay tỷ số giảm chấn: x+ 2Ệ),x+ 0, *x =2E0, yt @,'y

Chú ý: Ở một điểm đâu ra dịch chuyển Y() là được chọn làm lực và lực được cho

bởi: F()=k(y-x)+b(y-x)

I.4.5) Hàm truyền đạt và không gian -trang thái của hệ thống SDOE

Ham truyén dat(TF) có liên quan đến đâu vào - ra của biến đổi Laplace

daura(s)

Két qua: G(s) =

1 &) dauvao(s)

Đâu ra(s)=L{ đầu ra()}

Đầu vào(s)=L{đầu vào(Ð}

Ví du: cho hệ thống và PT vi phân:

a)Xác định hàm truyén dat X(s)/F(s) va V(s)/F(s)

b)Xác định không gian - trạng thái, cho rằng đầu ra dịch chuyển một đoạn x và

điều kiện thay đổi:

V

6,(s)- to -— F (s) mỹ +cs+k

b)Không gian — trạng thái thì dễ dàng thu được kết quả từ PT vi phân

Điều kiện thay đổi x¡ và xạ, đầu vào x, đầu ra y đã được định nghĩa

a) Vẽ biểu để phân bố lực và Viết PT vi phân

b) Xác định PT trạng thái và PT đâu ra với đầu ra làđộ dịch chuyển xị

Điều kiện đầu

Giải: Cho rằng x¡>xa>0(ồ xo chịu nén)

Điều kiện gợi ý: x, >x; >0

GVHD:TS.Nguyễn Tiến Dũng Trang31

Ap dung định luật 2 NewTon cho vật mị và mạ

x “kim kim -cÍm cim ||: lm 0

3 kim kim, clm, =cim |\xạ 0 1/m,

Xs

SVTH: Phan Chién Thing

hủ

y=[l 0 0 of,” (PT dau ra)

Xs

%

14.8) Hệ thống nối liên không khối lương

Một hệ thống mối liển không khối lượng là hệ thống lò xo và bộ giảm chấn không khối lượng thông thường thì cho khối lượng bằng 0 và được nối liền nhau

Xét hệ thống nối liền không khối lượng

H.5) Hỗn hợp hê thống tịnh tiến và quay tròn

Hỗn hợp hệ thống tịnh tiến và quay tròn không phụ thuộc vào bất cứ công thức

nào Mặc dù vậy không nhiều các phương pháp khác có thể sử dụng hệ thống các

mô hình toán học đó, thu được các mô hình toán học có hiệu quả Thay cho mỗi

GVHD:TS.Nguyễn Tiến Dũng Trang33

Lực tĩnh học lò xo: kổ=mg

Ấp dụng PT momen và định luật 2 NewTon trong chuyển động quay:

ym = Loa

r.t— r.kØ+)=1,ø +) F=ma, ++

-T+mg= x

Thay thế các PT:

-T + mg = mrØ -rkØ+ ổ)— rmg = (L+mr?) ở mg=kở

PT vi phân được viết lại: (I+mr? 2+kr?Ø=0

11.6) Phuong trinh Lagrange’s

Phương trinh Lagrange’s 14 PT chính trong chương này:

SVTH: Phan Chiến Thắng

T=T(4¡+4,,1)=T(Qi,da n; 4 ›: wor Gy it) (4.102)

Thế năng V, được phổ biến trong tổng số thế năng đàn hồi V, và lực hút thế năng

Ve

V=V.etV, (4.103) Trong sự tương phản động năng, thế năng được phát biểu là hàm của toa độ suy rộng q¡ và thời gian t, không là hàm vận tốc 4,

V=V(q,Ð=V(q¡qs„ q„Ð) (4.104) Tiêu chuẩn gốc của PT Lagrange’s được cho bởi:

A) Ob | eh —o i=12, n (4105)

dt aq 04;

Ở đây hàm Lagrange’s dugc dinh nghia bdi: L=T-V (4.106)

Có thể thay thế bởi PT(4.106) thành (4.101), suy ra được phương trình

IL6.1) Dong nang:

Động năng của một vật được cho bởi: 7 = sm (4.108)

Một vật có kích cỡ không đáng kể, dù không đặc biệt thích hợp cho việc đặt giữa

khối tâm và bất cứ một điểm nào đó của một mẫu bất kỳ