Bản dịch phương pháp số Yujin Liu Phần 3

Các quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị Với các biến dạng nhỏ và chuyển động quay nhỏ, ta có: Trong dạng ma trận: Từ quan hệ này, ta biết rằng các biến dạng và theo đó là cácứng suất là

Bài giảng: Giới thiệu phương pháp phần tử hữu hạn Chương 3 Các bài toán 2

chiều

75

o

Chương 3 Các bài toán 2 chiều

I Nhắc lại lý thuyết cơ bản

Nói chung, các ứng suất và biến dạng trong một kết cấugồm có 6 thành phần:

© 1997-2002 Yijun Liu, Đại học Cincinnati

Các quan hệ Ứng suất-Biến dạng-Nhiệt độ (Chủ yếu)

Với các vật liệu đàn hồi và đẳng hướng, ta có:

Hoặc:

Trong đó ε0 là biến dạng ban đầu, E là mođun đàn hồi, ν là

hệ số Poát xông và G là mođun chống cắt Chú ý rằng:

Điều này nghĩa là chỉ có 2 dữ kiện độc lập không đổi cho

các vật liệu đồng nhất và đẳng hướng.

Ta cũng có thể biểu diễn các ứng suất trong quan hệ với cácbiến dạng bằng cách giải phương trình trên:

Hoặc:

Trong đó σ 0 = −Eε0 là ứng suất ban đầu

© 1997-2002 Yijun Liu, Đại học Cincinnati

Các quan hệ bên trên là đúng với trường hợp ứng suất

phẳng Với trường hợp biến dạng phẳng, ta cần thay thế các hằng

số trong các phương trình trên theo dạng dưới đây:

Ví dụ, ứng suất quan hệ với biến dạng theo:

Trong trường hợp biến dạng phẳng.

Các biến dạng ban đầu phụ thuộc vào sự biến đổi nhiệt độ

(tải trọng do nhiệt độ) được cho bởi:

Trong đó α là hệ số giãn nở nhiệt, ∆T là biến đổi nhiệt độ Chú ý

rằng nếu kết cấu biến dạng tự do dưới tác động của tải trọng donhiệt độ, sẽ không có các ứng suất (đàn hồi) trong kết cấu

© 1997-2002 Yijun Liu, Đại học Cincinnati

Các quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị

Với các biến dạng nhỏ và chuyển động quay nhỏ, ta có:

Trong dạng ma trận:

Từ quan hệ này, ta biết rằng các biến dạng (và theo đó là cácứng suất) là đơn thức có bậc thấp hơn các chuyển vị, nếu như cácchuyển vị được biểu diễn bằng các đa thức

Các phương trình cân bằng

Theo lý thuyết đàn hồi, ứng suất trong kết cấu phải thỏamãn các phương trình cân bằng dưới đây:

Trong đó f x và f y là các lực khối (ví dụ như các trọng lực) trên đơn

vị thể tích Trong FEM, các điều kiện cân bằng này được thỏamãn theo ý hiểu gần đúng

© 1997-2002 Yijun Liu, Đại học Cincinnati

Hoặc

© 1997-2002 Yijun Liu, Đại học Cincinnati 80

Đường giới hạn S của vật thể có thể được chia thành 2

thành phần, S u và S t Các điều kiện biên (BC) được mô tả:

Trong đó t x và t y là các lực kéo (các ứng suất ở đường biên) và số

lượng các đường kẻ là các giá trị đã biết

Trong FEM, tất cả các dạng tải trọng (các tải trọng phânphối bề mặt, các lực khối, các lực tập trung và momen, vv )được quy đổi về các lực tác động tại các nút

Phương pháp giải chính xác bài toán đàn hồi

Phương pháp giải chính xác (các chuyển vị, biến dạng vàứng suất) của 1 bài toán đã cho phải thỏa mãn các phương trìnhcân bằng (9), và các điều kiện biên được cho (10) và các điềukiện phù hợp (các kết cấu biến dạng theo tác động liên tục, khôngnứt hoặc chồng lấn nhau trong trường chuyển vị đã thu được)

S t

Các phương pháp giải chính xác (hoặc phân tích) cho các

bài toán đơn giản là đếm số lượng (Mục đích ở đây là 1 lỗ hổng

trong bản mỏng!) Đó là vì sao ta cần FEM!

y

p

x

II Các phần tử hữu hạn cho bài toán 2-D

1 công thức tổng quát cho ma trận độ cứng

Các chuyển vị (u, v) trong phần tử phẳng được nội suy từ các chuyển vị nút (u i , v i ) sử dụng các hàm dạng N i như sau:

Trong đó N là ma trận hàm dạng, u là véctơ chuyển vị và d là

véctơ chuyển vị nút Ở đây ta đã giả định rằng u phụ thuộc duy nhất vào các giá trị của nút u, và v phụ thuộc duy nhất vào các giá trị của nút v.

Từ quan hệ biến dạng-chuyển vị (pt.(8)), véctơ biến dạng là:

Trong đó B = DN là Ma trận biến dạng-chuyển vị.

Xét công biến dạng được dự trữ trong 1 phần tử:

Từ đây, ta thu được công thức tổng quát của ma trận độ cứng các

phần tử:

Chú ý rằng không như trường hợp 1-D, E ở đây là một ma trận

được xác định dựa vào quan hệ ứng suất-biến dạng (pt.(5) choứng suất phẳng)

Ma trận độ cứng k xác định bởi (13) là đối xứng từ đó E là

đối xứng Cũng chú ý rằng xác định các dữ kiện đặc trưng, ứng

xử của k chỉ phụ thuộc vào ma trận B, nó được lấy trong các hàm

dạng Vì vậy, tính chính xác của các phần tử hữu hạn trong biểudiễn ứng xử của 1 kết cấu là hoàn toàn xác định được bằng cáchchọn các hàm dạng

Phần lớn các phần tử 2-D hay dùng là tuyến tính hoặc cáctam giác vuông và các tứ giác

Tam giác biến dạng không đổi (CST hoặc T3)

Đây là phần tử 2-D đơn giản nhất, nó cũng được gọi là:

Phần tử tam giác bậc nhất.

v 3

u 2

x Phần tử tam giác bậc nhất

Với phần tử này, ta có 3 nút ở các đỉnh của tam giác, nóđược đánh số thứ tự vòng quanh phần tử theo chiều ngược chiềukim đồng hồ Mỗi phần tử có 2 bậc tự do (có thể dịch chuyển

theo phương x và y) Các chuyển vị u và v được giả định là các

hàm tuyến tính trong phần tử, vậy là:

Trong đó b i (i = 1, 2, , 6) là các hằng số Từ đó, các biến dạng

tìm được là:

Nó là hằng số suốt phần tử Vì thế, ta có cái tên “tam giác biếndạng không đổi” (CST)

Các chuyển vị đã cho bởi (14) sẽ thỏa mãn 6 phương trìnhsau:

Giải các phương trình này, ta có thể tìm các hệ số b 1 , b 2 , , và b 6

trong quan hệ với các chuyển vị nút và các hệ tọa độ

Thay thế các hệ số vào (14) và sắp xếp lại các điều kiện, ta được:

Trong đó các hàm dạng (hàm tuyến tính theo x và y) là:

Và:

Là diện tích của tam giác (Đúng vậy!).

Sử dụng quan hệ biến dạng-chuyển vị (8), các kết quả (16)

và (17), ta có:

Trong đó x ij = x i - x j và y ij = y i - y j (i, j = 1, 2, 3) Lần nữa, ta thấy

biến dạng không đổi suốt phần tử Từ quan hệ ứng suất-biến dạng(pt.(5), là ví dụ), ta thấy các ứng suất tìm được nhờ sử dụng cácphần tử CST cũng là hằng số

Áp dụng công thức (13), ta tìm được ma trận độ cứng chophần tử CST:

Trong đó t là độ cứng của phần tử Chú ý rằng k cho CST là một

ma trận vuông 6x6 Phép nhân ma trận ở (20) có thể được tiến

hành bởi 1 chương trình máy tính

Cả các biểu thức ở các hàm dạng trong (17) và việc tìm rachúng rất dài dòng và đưa ra quan điểm nhỏ trong ứng xử của cácphần tử.

Các tọa độ tự nhiên

Ta giới thiệu các tọa độ tự nhiên (ξ,η) trong tam giác,

rồi các hàm dạng có thể được biểu diễn đơn giản bởi:

Chú ý rằng:

Điều này đảm bảo rằng chuyển động tịnh tiến của vật rắn đượcbiểu diễn bằng cách chọn các hàm dạng Cũng như trong trườnghợp 1-D:

Và các biến đổi tuyến tính trong phần tử Sơ đồ cho hàm dạng N1

được chỉ ra như hình dưới đây N2 và N3 cũng tương tự vậy

Ở nút i

Ở các nút khác

Các tọa độ tự nhiên

Ta có 2 hệ tọa độ cho phần tử: tọa độ tổng thể (x, y) và tọa

độ tự nhiên (ξ,η) Quan hệ giữa chúng xác định bởi:

Sử dụng các kết quả trong (28) và (29), và các quan hệ

ε = Du = DNd = Bd , ta thu được ma trận biến dạng-chuyển vị:

Nó giống như ta đã tìm thấy trước đó ở (19)

© 1997-2002 Yijun Liu, Đại học Cincinnati 90

Các ứng dụng của phần tử CST:

• Sử dụng trong các diện tích mà građien biến dạng nhỏ

• Sử dụng trong chia các vùng biến đổi (lưới mịn thành lướithưa)

• Tránh sử dụng CST trong ứng suất tập trung hoặc các vùngchủ yếu của kết cấu, như là các cạnh của lỗ và các góc

• Khuyến nghị cho phân tích nhanh và sơ bộ FE của các bàitoán 2-D

Phân tích vật liệu tổng hợp (CST là KHÔNG thích hợp!)

© 1997-2002 Yijun Liu, Đại học Cincinnati 91

Tam giác biến dạng tuyến tính (LST hoặc T6)

Phần tử này cũng gọi là phần tử tam giác toàn phương.

Phần tử tam giác toàn phương

Có 6 nút trên phần tử này: 3 nút ở góc và 3 nút ở trung điểmcác cạnh Mỗi nút có 2 bậc tự do (DOF) như đã biết Các chuyển

vị (u, v) được giả định là các hàm bậc 2 của (x, y):

Trong đó b i (i = 1, 2, , 12) là các hằng số Từ đó, các biến dạng

tìm được là:

Đó là các hàm tuyến tính Vì vậy, ta có “tam giác biến dạng tuyếntính” (LST), nó cho ta các kết quả tốt hơn CST

© 1997-2002 Yijun Liu, Đại học Cincinnati 92

Trong hệ tọa độ tự nhiên ta đã định nghĩa trước đó, 6 hàmdạng cho phần tử LST là:

Trong đó: ζ = 1−ξ −η Mỗi phương trình của 6 hàm dạng biểudiễn 1 dạng toàn phương trên phần tử được chỉ ra như hình dưới:

k =∫B EBdV , nhưng ở đây BT EB là toàn phương theo x và y Nói

chung, tích phân phải tính toán số học

Phần tử tứ giác toàn phương (Q8)

Đây là phần tử được sử dụng nhiều nhất cho các bài toán 2-Dbởi vì độ chính xác cao của nó trong phân tích và tính linh độngtrong mô hình hóa

η = 1

y

η

Phần tử tứ giác toàn phương

Có 8 nút cho mỗi phần tử, 4 nút góc và 4 nút tại trung điểmcác cạnh Trong hệ tọa độ tự nhiên (ξ,η), 8 hàm dạng là:

3

6 8

= −1

1

Lặp lại, ta có 8

1

1

i i

N

=

=

∑ tại bất kì nút nào trong phần tử

Các trường chuyển vị được xác định bởi:

Đó là một hàm bậc 2 trên phần tử Các biến dạng và ứng suấttrên một phần tử tứ giác toàn phương là các hàm tuyến tính, nó

là phép biểu diễn tốt hơn

Ví dụ 3.2

1 bản mỏng vuông với 1 lỗ tại tâm và chịu áp lực theo 1 phương.

Kích thước của bản là 10 in x 10 in, độ dày là: 0.1 in và bán

kính của lỗ là 1 in Giả sử E = 10x106 psi, v = 0.3 và p = 100 psi.

Tìm ứng suất lớn nhất trong bản

Phân tích FE:

Từ các kiến thức của ứng suất tập trung, ta sẽ đoán được

các ứng suất lớn nhất xảy ra ở các điểm A và B trên các đường cong của lỗ Giá trị của ứng suất này sẽ khoảng 3p (= 300 psi)

đây là phương pháp giải chính xác cho bản vô tận có 1 lỗ

y

p

x B

A

Ta sử dụng phần mềm ANSYS FEA để mô hình hóa (chia)

và phân tích, sử dụng các phần tử tam giác toàn phương (T6hoặc LST), tứ giác tuyến tính (Q4) và tứ giác toàn phương (Q8)

Các tam giác bậc nhất (CST hoặc T3) thì KHÔNG có sẵn trong

• Kiểm tra hình dạng biến dạng của bản

• Kiểm tra độ hội tụ (sử dụng lưới chia mịn, nếu có thể)

• Ít phần tử hơn (~ 100) sẽ không đủ để đạt được độ chínhxác giống như với lưới chia đẹp hoặc “mau” hơn

• Ta sẽ thực hiện lại ví dụ này trong chương sắp tới sửdụng các điều kiện đối xứng

Lưới chia FEA (Q8, 493 phần tử)

Biểu đồ ứng suất FEA(Q8, 493 phần tử)

Phép biến đổi của các tải trọng

Tải trọng tập trung (các tải trọng nút), lực tác dụng bề mặt(lực nén) và lực khối (trọng lượng) là những dạng chính của cáctải trọng được đặt vào kết cấu Cả lực tác dụng bề mặt và lựckhối cần quy đổi thành các tải trọng tại nút trong FEA, từ đóchúng không thể áp dụng trực tiếp để mô hình hóa phần tử hữuhạn Phép quy đổi các tải trọng này dựa trên ý tưởng tương tự(khái niệm công tương đương) như ta đã từng sử dụng cho phần

Giả sử, ví dụ ta có một lực kéo thay đổi q trên cạnh của 1

phần tử Q4, chỉ ra như trên hình Lực kéo theo phương pháp

tuyến của biên Sử dụng trục địa phương (tiếp tuyến) s, ta có thể viết công thực hiện bởi lực kéo q là:

Trong đó t là độ dày, L là chiều dài cạnh và u n là thành phần

chuyển vị pháp tuyến của cạnh AB.

Cho phần tử Q4 (trường chuyển vị tuyến tính), ta có:

© 1997-2002 Yijun Liu, Đại học Cincinnati 100

Lực kéo q(s), cũng tuyến tính, được xác định theo cách tương tự:

© 1997-2002 Yijun Liu, Đại học Cincinnati 101

Tính toán ứng suất

Ứng suất của phần tử được xác định bằng quan hệ dướiđây:

Trong đó B ma trận biến dạng-chuyển vị của nút và d là véctơ

chuyển vị của nút đã biết cho mỗi phần tử mà trước kia phươngtrình phần tử hữu hạn đã được giải

Các ứng suất có thể được biểu thị ở bất kì điểm nào trongphần tử (như tại tâm) hoặc tại các nút Các biểu đồ của đườngviền thường được sử dụng trong các gói phần mềm FEA (trongtiền xử lý) cho những người sử dụng để quan sát khi kiểm tracác kết quả ứng suất

Ứng suất von Mises:

von Mises là ứng suất thực hoặc tương đương cho phân

tích ứng suất 2-D và 3-D Cho 1 vật liệu dễ uốn, mức ứng suấtđược xét là an toàn nếu:

σ e ≤ σY

Trong đó σ e là ứng suất von Mises và σY là trường ứng suất củavật liệu Đây là sự suy rộng kết quả của bài toán 1-D (theo thựcnghiệm) thành các bài toán 2-D và 3-D

© 1997-2002 Yijun Liu, Đại học Cincinnati 102

Ứng suất von Mises được xác định bởi:

Trong đó σ1, σ 2 và σ3 là 3 ứng suất cơ bản tại điểm được xéttrong kết cấu.

Cho các bài toán 2-D, 2 ứng suất phẳng cơ bản xác địnhbởi:

Vì vậy, ta cũng có thể trình bày ứng suất von Mises trong

quan hệ với các ứng suất thành phần trong hệ tọa độ xy Với các

điều kiện của ứng suất phẳng ta có:

Trung bình các ứng suất:

Các ứng suất thường được lấy trung bình tại các nút trongcác gói phần mềm FEA để cung cấp các giá trị ứng suất chínhxác hơn Tùy chọn này có thể được tắt tại các nút giữa 2 vật liệuhoặc các hình có các vị trí gián đoạn khác nơi mà sự gián đoạncủa ứng suất tồn tại

Thảo luận:

1) Biết ứng xử của các dạng phần tử:

T3 và Q4: chuyển vị tuyến tính, biến dạng và ứng suất không đổi T6 và Q8: chuyển vị toàn phương, biến dạng và ứng suất tuyến tính.

2) Chọn dạng phần tử đúng cho bài toán được giao:

Khi có nghi ngờ, sử dụng các phần tử bậc cao hơn hoặc 1 lướichia mau hơn

3) Tránh các phần tử với các tỉ lệ phương diện lớn và các góc đỉnh:

Tỉ lệ phương diện = L max / L min

Trong đó L max và L min là độ dài đặc trưng lớn nhất và nhỏ nhất của

phần tử tương ứng

Các phần tử với các hình dạng xấu

Các phần tử với các hình dạng đẹp

Bài giảng: Giới thiệu phương pháp phần tử hữu hạn Chương 3 Các bài toán 2 chiều