Quan hệ trên các tập hợp

-Sơ đồ Hasse gồm các đỉnh là các phần tử của và các cạnh biểu thị các cặp phần tử kề nhau.. -Sơ đồ Hasse gồm các đỉnh là các phần tử của và các cạnh biểu thị các cặp phần tử kề nhau.. -S

Trang 1

Trang 3

Bài 1 a

Cho là quan hệ trên tập Hãy xét có những tính chất nào?

1 Phản xạ:

Tính chất phản xạ được phát biểu như sau

Nói đơn giản thì phản xạ là tính chất mỗi phần tử đều tự quan hệ với chính nó Nếu đúng: Lấy từng phần tử trong S và chỉ ra là nó có quan hệ với chính nó

Nếu sai: Chỉ ra một phần tử trong S không có quan hệ với chính nó

Trang 5

Bài 1 a

2 Đối xứng

Tính chất đối xứng được phát biểu như sau

Nói đơn giản thì đối xứng là tính chất mỗi cặp phần tử hoặc là không quan hệ hoặc là quan hệ theo cả 2

chiều

Nếu đúng: Lấy từng quan hệ trong tập và chỉ ra là những quan hệ đó cũng có quan hệ theo chiều ngược lại

Nếu sai: Chỉ ra một quan hệ chỉ một chiều trong

Trang 6

Ta xét lần lượt các cặp (2,2) và (2,3) thì đều có cặp ngược lại Nhưng (2,4)

thì không có cặp (4,2) tương ứng vậy nên không có tính đối xứng

Trang 7

Bài 1 a

3 Phản xứng

Tính chất phản xứng được phát biểu như sau

Nói đơn giản thì phản xứng là tính chất mỗi cặp phần tử “phân biệt” hoặc là không quan

hệ hoặc là quan hệ theo đúng 1 chiều.

Nếu đúng: Chỉ ra toàn bộ các bộ thỏa điều kiện và sau đó cho thấy

Nếu sai: Chỉ ra một cặp mà và nhưng

Trang 8

Bỏ cặp (2,2) vì là quan hệ với chính nó thì cặp tiếp theo (2,3) có cặp (3,2)

tương ứng vậy nên không có tính phản xứng

Trang 9

Bài 1 a

4 Truyền (bắc cầu)

Tính chất truyền được phát biểu như sau

Nói đơn giản thì truyền là tính chất mà nếu phần quan hệ với và quan hệ với thì quan hệ với

Nếu đúng: Liệt kê toàn bộ thỏa điều kiện và từ đó cho thấy

Nếu sai: Chỉ ra một bộ thỏa điều kiện và nhưng

Trang 10

Bài 1 a

4 Truyền (bắc cầu)

Sau khi kiểm tra nháp thì ta có thể thấy có tính chất truyền.

Tiếp theo ta sẽ trình bày.

Trang 11

Bước 1: liệt kê tất cả các bộ có tính chất và

Trang 14

có tính phản xạ Để chỉ ra điều đó, ta chỉ cần liệt kê các phần tử

của và các cặp quan hệ tương ứng

Trang 15

có tính đối xứng Để chỉ ra điều đó, ta chỉ cần liệt kê các quan hệ

và các quan hệ đối xứng tương ứng

Trang 18

Bài 2

Kiểm chứng là quan hệ thứ tự trên Hỏi là thứ tự toàn phần hay bán phần? Tại sao? Vẽ sơ đồ Hasse cho và tìm, min, max và các phần tử tối tiểu và tối đại (nếu có):

Trang 21

Theo giả thiết chẵn, ta có:

Khi đó cũng chẵn Vậy nên

Trường hợp 2: lẻ

Theo giả thiết lẻ, ta có:

Khi đó cũng chẵn Vậy nên

Vậy , Vậy có tính phản xứng

thiết

Trang 22

Trường hợp 1: lẻ

Theo giả thiết lẻ, ta có:

Vậy nên

Bài 2 Kiểm chứng là quan hệ thứ tự trên Hỏi là thứ tự toàn phần hay bán phần? Tại sao?

Vẽ sơ đồ Hasse cho và tìm, min, max và các phần tử tối tiểu và tối đại (nếu có):

thiết

Trang 23

Trang 24

Trang 25

Sơ đồ Hasse và giá trị min, max

Vẽ sơ đồ Hasse như thế nào?

-Sơ đồ Hasse gồm các đỉnh là các phần tử của và các cạnh biểu thị các cặp phần tử kề nhau Chiều của cạnh đi từ phần tử nhỏ hơn đến phần tử lớn hơn Thể nào là 2 phần tử kề nhau?

-Giả sử ta có và không tồn tại ( và ) sao cho thì khi đó đươc gọi là kề nhau

Và nếu kề thì cũng kề

Ví dụ với và là quan hệ.

Trang 26

-Sơ đồ Hasse gồm các đỉnh là các phần tử của và các cạnh biểu thị các cặp phần tử kề nhau Chiều của cạnh đi từ phần tử nhỏ hơn đến phần tử lớn hơn

Nếu với là số nguyên tố thì chắc chắn kề Còn lại thì ta không có kết luận gì

Trang 27

-Sơ đồ Hasse gồm các đỉnh là các phần tử của và các cạnh biểu thị các cặp phần tử kề nhau Chiều

của cạnh đi từ phần tử nhỏ hơn đến phần tử lớn hơn

Thể nào là 2 phần tử kề nhau?

-Giả sử ta có và không tồn tại ( và ) sao cho thì khi đó đươc gọi là kề nhau Và nếu kề thì cũng kề

Ví dụ với và là quan hệ

Có nhiều cách để vẽ sơ đồ Hasse Nhưng mà mình thường dùng cách Tìm các phần tử tối tiểu và vẽ

chúng (tìm phần tử mà không có phần tử nào đứng trước) Như ở ví dụ này thì là phần tử tối tiểu do 1 là ước của tất cả các số (không có số nào là ước của 1 (ngoại

trừ chính nó)

1

Trang 28

-Sơ đồ Hasse gồm các đỉnh là các phần tử của và các cạnh biểu thị các cặp phần tử kề nhau Chiều

của cạnh đi từ phần tử nhỏ hơn đến phần tử lớn hơn

-Giả sử ta có và không tồn tại ( và ) sao cho thì khi đó đươc gọi là kề nhau Và nếu kề thì cũng kề

Sau đó 2, 5 sẽ là các phần tử tối tiểu (4 chia hết cho 2, 12 chia hết cho 4, 15 và 20 chia hết cho 5) Khi đó

mình sẽ thêm, 2 và 5 vào sơ đồ cũng như thêm cạnh nối với các đỉnh đã được thêm

1

25

Trang 29

4

15

Trang 30

Trang 31

Trang 32

-Sơ đồ Hasse gồm các đỉnh là các phần tử của và các

cạnh biểu thị các cặp phần tử kề nhau Chiều của cạnh

đi từ phần tử nhỏ hơn đến phần tử lớn hơn

-Giả sử ta có và không tồn tại ( và ) sao cho thì khi đó

đươc gọi là kề nhau Và nếu kề thì cũng kề

Hoặc sắp theo dạng lập phương (thường dùng cho sơ đồ Hasse của quan hệ hoặc của các số có tối đa 3

ước nguyên tố) Ở đây thì tất cả các số đều chỉ có các ước nguyên tố 2,3,5

Trang 33

Giá trị min, max, tối đại, tối tiểu?

Định nghĩa

-Cực tiểu: ta nói khi và Hay nói đơn giản là là cực tiểu khi mọi giá trị trong đều lớn hơn

-Tương tự với cực đại: ta nói khi và Hay nói đơn giản là là cực đại khi mọi giá trị trong đều bé

hơn

- Lưu ý: giá trị min, max có thể không tồn tại hoặc tồn tại duy nhất

- Nhìn vào sơ đồ Hasse ta cũng có thể tìm được giá trị min và max

- Điểm chứa giá trị min là điểm bắt đầu của mọi nhánh

- Điểm chứa giá trị max là điểm kết thúc của mọi nhánh

Trang 34

Định nghĩa

-Cực tiểu: ta nói khi và Hay nói đơn giản là là cực tiểu khi mọi giá trị trong đều lớn hơn

-Tương tự với cực đại: ta nói khi và Hay nói đơn giản là là cực đại khi mọi giá trị trong đều bé

hơn

- Lưu ý: giá trị min, max có thể không tồn tại hoặc tồn tại duy nhất

- Nhìn vào sơ đồ Hasse ta cũng có thể tìm được giá trị min và max

- Điểm chứa giá trị min là điểm bắt đầu của mọi nhánh

- Điểm chứa giá trị max là điểm kết thúc của mọi nhánh

1 là min

Nhưng lại không có giá trị max (các nhánh kết thúc ở nhiều nới khác nhau)

Ví dụ như 20 thì ta có nên không thể là max

Trang 35

Định nghĩa

-Tối tiểu: ta nói là phần tử tối tiểu khi và Hay nói đơn giản là là tối tiểu khi không có giá trị nào

trong khác k và bé hơn

-Tương tự với tối đại: ta nói là phần tử tối đại khi và Hay nói đơn giản là là tối đại khi không có giá

trị nào trong khác k và lớn hơn

- Lưu ý: khác với max, min, tối tiểu và tối đại có thể không tồn tại, tồn tại một hoặc nhiều giá trị.

Nhìn vào sơ đồ Hasse ta cũng có thể tìm được giá trị tối tiểu và tối đại

- Điểm chứa giá trị tối tiểu là điểm bắt đầu của một nhánh

- Điểm chứa giá trị tối đại là điểm kết thúc của một nhánh

- Những điểm cô lập vừa là tối tiểu vừa là tối đại

Có duy nhất một giá trị tối tiểu là 1

Các giá trị tối đại

là 12, 15, 20

Quay lại bài 2

Trang 36

Giá trị tối tiểu:

Giá trị tối đại:

Trang 38

Bài 3 Kiểm chứng là quan hệ tương đương trên rồi viết các lớp tương đương và tập thương tương ứng

Trang 39

2 Đối xứng

Ta có:

Vậy đối xứng

Tính đối xứng

Trang 40

3 Truyền

Với , và

Tính truyền

Vậy truyền

Trang 41

Do thỏa 3 tính chất trên nên là một quan hệ tương đương trên , phân

hoạch thành các lớp tương đương:

Một lớp tương đương của phần tử được định nghĩa là tập hợp:

Hai lớp tương đương thuộc cùng quan hệ: một là rời nhau hai là trùng nhau

hoặc

Từ định nghĩa lớp tương đương, ta có thể phân thành các lớp tương

đương rời nhau từng đôi một

Trang 42

lớp tương đương rời nhau từng đôi một Ta có:

Tập hợp thương xác định bởi quan

hệ trên là:

Khi phân hoạch thành các lớp tương đương cũng như liệt kê phần tử tập thương thì với các tập trùng nhau ta chỉ cần chọn 1 tập đại diện tùy ý

Trang 43

Quan hệ đồng dư trên

Tập hợp là tập hợp của các “tập hợp” các số có cùng số dư khi chia cho

Hay nói cách khác là tập thương của với quan hệ tương đương là quan hệ đồng dư (2 số có cùng số

dư chia cho thì tương đương nhau)

Ví dụ khi đó tức là tập các số chia 6 dư 1

Một vài phép tính trên ,

Thế còn phép chia? Đáng tiếc, thì phép chia không thể định nghĩa đơn giản như vậy Trước hết ta phải định nghĩa là nghịch đảo của khi

Nhưng ta gặp vấn đề có các phần tử không có nghịch đảo Do đó ta định nghĩa tập là tập các phần tử

có duy nhất một nghịch đảo (hay còn gọi là phần tử khả nghịch) Và người ta chứng minh được rằng:

Có nghĩa là một phần tử khả nghịch trong khi và chỉ khi (nghĩa là nguyên tố cùng nhau)

Trang 44

Quan hệ đồng dư trên

Để tìm một phần tử nghịch đảo của thì ta có thể dùng chia euclide với để tìm ra cặp số sao cho Khi đó có nghĩa là là nghịch đảo cần tìm

Trang 45

Giải phương trình bậc nhất trên

Bước 1: Đưa về dạng

Bước 2: Xem nằm ở trường hợp nào.

Trường hợp 1: Nếu: , có nghĩa là

Nhân 2 vế cho (nghịch đảo của )

Khi đó

Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm

Trường hợp 2: , khi đó

Trường hợp 2.1: không là ước của

Khi đó ta nhân 2 vế cho Khi đó với

Vậy ta kết luận phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2.2: là ước của

Ta sẽ có một phương trình tương ứng trong :

Khi đó nên ta giải phương trình mới này theo trường hợp 1

Giả sử thu được được nghiệm Thì khi đó có

đúng nghiệm

Trang 46

Trang 47

Trang 48

Ví dụ 2: ()

Trang 49

Trang 50

Trang 51

Ví dụ 2: ()

Vì do

Khi đó không là ước của và

Vì vậy ta sẽ nhân 2 vế cho

Vậy phương trình vô nghiệm

Nhân cả 2 vế cho

Ở đây không được dùng do không có phần tử nghịch

đảo Nên ta không có chiều ngược lại.

Trang 52

Trang 53

Trang 54

Trang 55

Ví dụ 3: ()

Vì do

Mà lại là ước của nên ta sẽ giải phương trình tương ứng trong

Phương trình cho nghiệm trong

Giải phương trình theo trường hợp 1

Trang 56

Ví dụ 3: ()

Vì do

Mà lại là ước của nên ta sẽ giải phương trình tương ứng trong

Phương trình cho nghiệm trong

Nên phương trình sẽ có đúng 15 nghiệm có dạng

với

Suy ra nghiệm của phương trình

Trang 57

Hết dòi =)

Định dạng
Số trang	57
Dung lượng	2,74 MB