BaiTapGT3 nhom2

Ta kéo vật thể đó xuống thêm 3 cm nữa và thả ra để nó dao động tự do và không tắt dần: a Xác định hằng số tỷ lệ k của lò xo trong định luật Hook.. à kéo dài lò xo thêm đoạn 10cm đầu là 3

Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2018

BÀI TẬP GIẢI TÍCH III (Phương trình vi phân và chuỗi)

Nhóm học 2: Mã MI1132 Kiểm tra giữa kỳ : Tự luận Thi cuối kỳ : Tự luận

I CHUỖI

1) Xét sự hội tụ và tính tổng (nếu có) của các chuỗi sau

1 2 3 2 3 4 3 4 5  

9 225  (2n 1) (2n 1) 

d)

1









2) Các chuỗi sau hội tụ hay phân kỳ? tại sao?

a)

1

1

n

n

n

n







 

  b)  

1

3 5

1 n n

n







3) Sử dụng các tiêu chuẩn: So sánh; D’Alembert; Cauchy; Tích phân, xét sự hội

tụ của các chuỗi sau

110 1

n

n

n



n

n



2 2 2

1 1

n

n n









1

n

n





1

n

n







2

1 ln







g)

2

ln

n

n

n





2

ln 1

n

n n n









1

ln

n

n









1

(3 1)!

8n

n

n

n







2

1 3 5 (2 1)

2 (n 1)!

n

n n







4) Xét sự hội tụ của các chuỗi số

a)

2

1

1

5

n n





  

2

1

3 ( !) (2 )!

n

n

n n





2

1

5

2n n

n







 d)

( 1)

1

1

1

n n

n

n

n









  

2 2 1

7 ( !)n n n

n n





2

n

n

n n n







1

1

ln

n

n

n





3

1

ln (ln ln )





1

!

n n n

e n n









5) Xét sự hội tụ của các chuỗi số

a)

2 1

1

1

n

n

n e







1

n







c)

1

arcsin( n)

n

e







3

1

n

n

a

a n





e)

1

1 3 5 (2 1)

3n !

n

n n







3

1

(ln )



g)

2

2

1

2

( 1)

n

n

n

n









1

(1 )n n

na

a





| 1



6) Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm số sau

a)

1

1



 

11

n n n

x x



 

1

1

x n

n xn









d)

1

cos( )

2nx

n

nx





1 2 1

( 1) 1

n











5 1

( 2) ( 1)

n n

n x n











g)

1

, ( 1)

n

n







1

1 2

n

n n n

x

x







7) Dùng tiêu chuẩn Weierstrass, chứng minh các chuỗi sau hội tụ đều trên các tập tương ứng

1(1 )

n

n n

x

x



 

1

n n

n

x x











 

  trên [-1,1]

1

1

2n 1





2 2

2 1

n x

n

e n







 trên 

8) Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm số sau

a)  (x2)2 b)

n n  1

1 2( 1)

n n x n c) 









5 2

4

) 3 (

n

n n x

1

n n

n

x















1

2

2

)

1

2

(

n n

n n

x





) 1 (

n

n n

x

d)

2 1

1

( 5)

2 4

n n n

x

n























2 1

) 2 3 (

) 1 ( ) 1 2 ( ) 1 (

n n n

n

x n

i) n

n n

x n

n

) 3 (

!

1







h tổng của các chuỗ

a) 2 5 ,  3,3 

n

x

x 



 

03 (2n 1)

1 1 1

( 1) (2 1) 3

n n











 



2 2

0

,

n

x

n





1

1

2

,

1

1 ,

n n

n x











10 Khai triển thành chuỗi Maclaurin

a)

2 4 3

x  x b) f x( )sin 3x x cos3x

2

1 ( )

4

f x

x





11 a) Khai triển ( )f x  x thành chuỗi lũy thừa của x - 4

b) Khai triển ( ) sin

3

x



f x  c) Khai triển

thành chuỗi lũy thừa của x -1

2

1 ( )

f x



  thành chuỗi lũy thừa của x + 4

iển Fourier các h

thành hàm tuần hoàn với chu kỳ 2

12) a) Khai tr àm số sau

(1) f x | |, | | 1x x  , bằng cách kéo dài f

  2 , 0

f x  x x 1, bằng cách kéo dài f thành hàm chẵn trên (-1,1), tuần hoàn

kỳ 2 Nếu kéo dài f th

(2)

chu ành hàm lẻ trên (-1,1), tuần hoàn chu kỳ 2, thì dạng của khai triển Fourier sẽ như thế nào?

(3) f x 10x, 5 x 15, bằng cách kéo dài f thành hàm tuần hoàn với chu kỳ 10

b) Cho f x  x2trên [ , ] Hãy khai triển Fourier của hàm f x , sau đó tính  

tổng các chuỗi số 2

1

1 ) 1 (

n

n

n





1

1

n

n





II PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

1 Phương trình phân li

2

' 1

y x



2

 d) y'acosy b b a   0

e) y'y23y  04 f) y' 2 x y  1

g) y' sin y x  1

2

x y y

x y

 



  i) x y2 35dxy35y dy2 , y 0  1 k) xydx 1 y2 1x2dy0, y( 8) 1

2 Phương trình vi phân đẳng cấp cấp một

a) 'y y x 1

c) x y2 'y2xy x 2 0 d) (x2y dx xdy)   0

xydy y dx x y e dx  f) x2y3dy2x y 1dx 0

g) xy' yln ,y y 1

x

3 Phương tình vi phân tuyến tính cấp một

x

c) x1x2 'y  y arctan( )x d) y x y'  2 y

e) 2xy3dy y dx 2  0 f) 1 y dx2 arctany x dy 

g) y’ycosxsin cos ,x x y 0 0 h) y' 1x2  y arcsin ,x y(0) 0

4 Phương trình Bernoulli

a) y’  xy2 x y y' y x2 4

x

 

c) y' 2 tan y x y 2sin2x0 d) ydx x x y2 2 dy 0

2

dy  y y xdx y  

 

  f) y22y x y2 ' 2 x0, y(1) 0

5 Phương trình vi phân toàn phần

b)

a) (x2y dx)  (x 2 )y dy 0

0

c)

0

ìm thừa số tích phân

0 ) cos (

) sin

(e xy y dx e y xx y dy

d) e dx y (xe y 2 )y dy0, y(1)

6) T ( )y để phương trình sau là phương trình vi phân toàn phần và giải phương trình đó v ới  tìm được

2xy23y3dxy3xy dy 02  7) Tìm thừa số tích phân ( ) x để phương trình sau là phương trình vi phân toàn phần và giải phương trình đó v ới  tìm được

1

(x y dx)

8) Giải các phương trình sau

a) 'y  4x2y 1 b) (y23 )x dy2 2xydx 0, y(0)1

c)

2

1

1

y

y

x



4

x

y y e y y )

9) Chứng minh rằng a) 2 là nghiệm của phương trình 2

1

x t

b)

2 ( 1)

n

n

x

y x

n n





 



 là nghiệm của phương trình 1x dy   1 x y dx

10) Giải các ph ương trình sa u

a)y" 3 ' 10 y y xe 2x b)y" y 4 sinx x c) "y  y xe x 3ex

d)y'' 4 ' 8 y y e 2xsin 2x e)y" y 2cos cx os 2x f) '' 2 'y  y  y sinxsinhx

11 ) Giải các phương trình sau

a)

x x

"

1

e

x

e

 

 b) "y  y' tan c) " 2 '

x

e

x

12) Giải phương trình (2x22)y''2 2 biết nó có hai nghiệm riêng

và

2 ' ) 1 (x y y

1

y  x y2  1

13) Giải phương trình (x2 1) '' 2 ' 24 22 2 với phép biến đổi tan

14) Giải các phương trình sau

a) y'' 2 my m y' 2 (x1)e mx 2sin ,x m 

x

x

15) Một vật thể với trọng lượng 2 N, được treo vào lò xo làm lò xo dãn ra thêm 6cm ở vị trí

bằng Ta kéo vật thể đó xuống thêm 3 cm nữa và thả ra để nó dao động tự do và không tắt

dần: a) Xác định hằng số tỷ lệ k của lò xo trong định luật Hook

à kéo dài lò xo thêm đoạn 10cm đầu là 3cm/sec và bắt đầu di chuyển từ

ực cản nhớt là 2N mỗi khi vận tốc vật thể

án giá trị ban đầu đó

t Viết phương trình mô tả dao

ị của tần số ω để biên độ giao động là lớn

có vận tốc ban đầu Giả sử rằng không có sự tắt dần và có ngoại lực là 2 cos 3t (N)

(a) Xây dựng bài toán giá trị ban đầu mô tả chuyển động của vật thể

cân

b) Xác định vị trí u của vật thể ở bất kỳ thời gian t nào

c) Tìm tần số, chu kỳ, và biên độ của dao động

16) Một vật thể với trọng lượng 2 N được treo vào một lò xo v

đến vị trí cân bằng Vật thể được truyền một vận tốc ban

vị trí cân bằng trong một môi trường chịu ảnh hưởng l

là 4cm/sec

a) Hãy lập bài toán giá trị ban đầu mô tả chuyển động của vật thể

b) Giải bài to

c) Giả sử có một ngoại lực f tác động vào vật thể với f(t) = 2 cos ω

động với ngoại lực và giải phương trình này Tìm giá tr

nhất

17) Một một vật thể với trọng lượng 4 N kéo dài một lò xo 1,5 cm về vị trí cân bằng Vật thể

được được kéo thêm 2 cm theo hướng dương kể từ vị trí cân bằng của nó và được thả ra mà

không

(b) Giải bài toán giá trị ban đầu ở trên

(c) Nếu ngoại lực được thay bằng một lực 4 sin ωt, tìm giá trị của tần số ω để cộng hưởng xả

18) Giải các hệ phương trình sau

y ra

a)

dy

y z

dx

dz

x y z



dx



b)

dx

dt dy

dt







c)

7

1 cos

dx

dt

dy

x







d)







III Phép biến đổi Laplace:

1 Sử dụng định nghĩa, tìm trực tiếp biến đổi Laplace của các hàm số sau

3 1t

a) ( )f t  b) ( )t f t e c)  f t( ) sinh( ) kt d) f t( ) sin 2t

2 Sử dụng bảng phép biến đổi Laplace, tìm phép biến đổi Laplace của

sau

hàm số

a) ( )f t  t 3t b) ( )f t t2e3t c) ( )f t  1 cosh(5t)

d) f t( ) cos (2 ) 2 t e) f t( ) (1 t)3 f) f t( )te t

3 Sử dụng bảng phép biến đổi Laplace, tìm phép biến đổi Laplace ngược của

số sau

hàm

s

3

s s

( )

4

s

d) F s( ) 523

9

s

( ) 25

s

F s

s







4 Tìm phép biến đổi Laplace nghịch đảo của các hàm sau

)

số

) 3 (

1

)

(





s

s

s

) 4 (

1 )





s s s

) 1 (

1 )





s s s F

a

d)

) 1 (

1 )

(s 

) 2 )(

1 (

1 )

(s 

F

2

2 s 

5 Chứng minh rằng

!

n at

n

n

s a 



{ n at} n

t e

s a



 L{t e }

1

n at b) L a) L

sk





6 Áp dụng Định lí phép tịnh tiến để tìm phép biến đổi Laplace của hàm số sau

4

( )t t et b) f t( )e 2tsin3t

f

a)

7 Áp dụng định lí phép tịnh tiến để tìm phép biến đổi Laplace ngược của các hàm số sau

3

( )

a)

2s4

F s 

s



8 Sử dụng các phân thức đơn giản để tìm phép biến đổi Laplace ngược của các

số sau

)

F s

hàm

a ( ) 21

4

s 

s



d)

F s 

4

1 ( )

F s

s



16

2 2

s  s

( )

F s



9 Dùng các định lí vi, tích phân của phép biến đổi Laplace để tìm phép biến đổi lace của các hàm sau

)

Lap

a f(t) ts ni 3t b) f (t)te2tcos3t

c) f( ) sint

t

t

Áp dụng định lí tích chập để tìm biến ược của các hàm sau

1 ( )

F s

s s



1 ( )

F s

s



 a)

c)

2

s

( )

F s

s



F s

11 Sử dụng phép biến đổi Laplace để giải bài toán giá trị ban đầu

b) a) " 4x  x 0, x(0) 5, x'(0) 0 x" x' 2x0, x(0) 0, x'(0) 2

c) "x  x sin 2 ,t x(0) 0, x'(0) 0 d) x" x cos3 ,t x(0) 1, x'(0) 0

e) " 4 ' 3x  x x1, x(0) 0 x'(0) f) x" 3 ' 2 x x t, x(0) 0, x'(0) 2

g) " 4 ' 13x  x x te t, x(0) 0, x'(0) 2 h '' 6 ' 18) x  x xcos 2 ,t x(0) 1, x'(0) -1

12 Sử dụng phép biến đổi Laplace để giả ệ phương trình vi phân tuyến tính sau i h

c)

0 d)

" ' ' 4 2 0, '(0) '(0)





" 2 4 0, (0) (0)







13 Giải phương trình vi phân cấp cao với điều kiện ban đầu

a) x" 6 ' 25 x x0, x(0) 2, x'(0) 3 b) " 4x  x3 ,t x(0)x'(0) 0

c)

14 Giải bài toán với giá trị ban đầu

(3) " 6 ' 0, (0) 0, '(0) "(0) 1

(4) 0, (0) 0, '(0) "(0) 0, (3)(0) 1

d)

(4) 8 " 16 0, (0) '(0) "(0) 0, (3)(0) 1

e)

mx cx kx  f t x x 

0,

t



 







t





 



 b)

t

 



 c)