1300 math formulas by golden art (1)

HOC, HOC NUA, HOC MAIHOC, HOC NUA, HOC MAIHOC, HOC NUA, HOC MAIHOC, HOC NUA, HOC MAIVHOC, HOC NUA, HOC MAIHOC, HOC NUA, HOC MAIHOC, HOC NUA, HOC MAIHOC, HOC NUA, HOC MAIHOC, HOC NUA, HOC MAIHOC, HOC NUA, HOC MAIHOC, HOC NUA, HOC MAIHOC, HOC NUA, HOC MAIHOC, HOC NUA, HOC MAI

1300 Math Formulas

fp_k VVQVNMTTQN

ÌĨởị ~ơÌ ĨơÖâơĨĨíịK fí Ü~ị ĨîĨíóíÜâơÖ Ñíìê ÜâÖÜ ịỢììô ê~íÜ íì ê~íÜ Ñìí ~Ìî~ơƠĨÌ ìơÌĨíÖí~Ìì~íĨị âơ ĨơÖâơĨĨíâơÖI ĨƠìơìêâƠịI ĩÜóịâƠ~ô ịƠâĨơƠĨịI ~ơÌ ê~íÜĨê~íâƠịK qÜĨ ĨÔììđ Ơìở~âơị ÜìơÌíĨÌị ìÑ Ñìíêìô~ịI í~ÔôĨịI ~ơÌ ÑâÖìíĨị Ñíìê kìêÔĨí pĨíịI ^ôÖĨÔí~I dĨìêĨííóI qíâÖìơìêĨííóI j~ííâƠĨị

~ơÌ aĨíĨíêâơ~ởịI sĨƠíìíịI ^ơ~ôóíâƠ dĨìêĨííóI `~ôƠìôìịI aâÑÑĨíĨởâ~ô bỉì~íâìơịI pĨíâĨịI ~ơÌ míìÔ~Ôâôâíó qÜĨìíóK qÜĨ ịííìƠíìíĨÌ í~ÔôĨ ìÑ ƠìởĨởịI ôâơđịI ~ơÌ ô~óììí ê~đĨ ÑâơÌâơÖ íÜĨ íĨôĨî~ở âơÑìíê~íâìơ ỉìâƠđ ~ơÌ ĩ~âơôĨịịI ịì âí Ơ~ơ ÔĨ ìịĨÌ ~ị ~ơ ĨîĨíóÌ~ó ìơôâơĨ íĨÑĨíĨơƠĨ ÖìâÌĨK

OKN c~ƠíìíâơÖ cìíêìô~ị 12

OKO míìÌìƠí cìíêìô~ị 13

PKOM pĨƠíìí ìÑ ~ `âíƠôĨ 53

PKON pĨÖêĨở ìÑ ~ `âíƠôĨ 54

PKOO `ìÔĨ 55

PKOP oĨƠí~ơÖìô~í m~í~ôôĨôĨĩâĩĨÌ 56

PKOQ míâịê 57

PKOR oĨÖìô~í qĨíí~ÜĨÌíìơ 58

PKOS oĨÖìô~í móí~êâÌ 59

PKOT cíìịíìê ìÑ ~ oĨÖìô~í móí~êâÌ 61

PKOU oĨƠí~ơÖìô~í oâÖÜí tĨÌÖĨ 62

PKOV mô~íìơâƠ pìôâÌị 63

PKPM oâÖÜí `âíƠìô~í `óôâơÌĨí 66

PKPN oâÖÜí `âíƠìô~í `óôâơÌĨí ïâíÜ ~ơ lÔôâỉìĨ mô~ơĨ c~ƠĨ 68

PKPO oâÖÜí `âíƠìô~í `ìơĨ 69

PKPP cíìịíìê ìÑ ~ oâÖÜí `âíƠìô~í `ìơĨ 70

QKN o~Ìâ~ơ ~ơÌ aĨÖíĨĨ jĨ~ịìíĨị ìÑ ^ơÖôĨị 80

QKO aĨÑâơâíâìơị ~ơÌ dí~ĩÜị ìÑ qíâÖìơìêĨííâƠ cìơƠíâìơị 81

QKP pâÖơị ìÑ qíâÖìơìêĨííâƠ cìơƠíâìơị 86

QKQ qíâÖìơìêĨííâƠ cìơƠíâìơị ìÑ `ìêêìơ ^ơÖôĨị 87

QKR jìịí fêĩìíí~ở cìíêìô~ị 88

QKNQ qí~ơịÑìíêâơÖ ìÑ qíâÖìơìêĨííâƠ bñĩíĨịịâìơị íì míìÌìƠí 95

QKNR qí~ơịÑìíêâơÖ ìÑ qíâÖìơìêĨííâƠ bñĩíĨịịâìơị íì pìê 97

QKNS mìïĨíị ìÑ qíâÖìơìêĨííâƠ cìơƠíâìơị 98

QKNT dí~ĩÜị ìÑ fỡĨíịĨ qíâÖìơìêĨííâƠ cìơƠíâìơị 99

QKNU míâơƠâĩ~ô s~ôìĨị ìÑ fỡĨíịĨ qíâÖìơìêĨííâƠ cìơƠíâìơị 102

QKNV oĨô~íâìơị ÔĨíïĨĨơ fỡĨíịĨ qíâÖìơìêĨííâƠ cìơƠíâìơị 103

QKOM qíâÖìơìêĨííâƠ bỉì~íâìơị 106

QKON oĨô~íâìơị íì eóĩĨíÔìôâƠ cìơƠíâìơị 106

5 j^qof`bp ^ka abqbojfk^kqp

VKNO iâơĨ fởĨÖí~ô 275

VKNP pìíÑ~ƠĨ fởĨÖí~ô 285

10 afccbobkqf^i bnr^qflkp

NMKN câíịí líÌĨí líÌâơ~íó aâÑÑĨíĨởâ~ô bỉì~íâìơị 295

NMKO pĨƠìơÌ líÌĨí líÌâơ~íó aâÑÑĨíĨởâ~ô bỉì~íâìơị 298

NNKU mìïĨí pĨíâĨị 311

NNKV aâÑÑĨíĨởâ~íâìơ ~ơÌ fởĨÖí~íâìơ ìÑ mìïĨí pĨíâĨị 312

NNKNM q~óôìí ~ơÌ j~Ơô~ìíâơ pĨíâĨị 313

NNKNN mìïĨí pĨíâĨị bñĩ~ơịâìơị Ñìí pìêĨ cìơƠíâìơị 314

CHAPTER 1 NUMBER SETS

Figure 1

6 `çããìí~íáîáíó

^ _ _

^∩ = ∩

10 ^ëëçÅá~íáîáíó

(_ `) (^ _) `

_

CHAPTER 1 NUMBER SETS

_

^

30 fíí~íâìơ~ô kìêÔĨíị

kìơíĨĩĨ~íâơÖ ~ơÌ ơìởĨíêâơ~íâơÖ ÌĨƠâê~ôịK

CHAPTER 1 NUMBER SETS

~⋅ = ⋅

CHAPTER 1 NUMBER SETS

~đ ẩẫ đ ẫ

ẩđ

~ẫ đá

ẫ

ẩá

~

O O O

+

−++

~ |||||||+ = −

54 ~ = ẫçẽ ê ϕI ẩ = ẽáạ ê ϕ

CHAPTER 1 NUMBER SETS

N N

62 cçêãìä~ ±aÉ jçáîêÉ≤

=

å

â O ëáå á å

â O Åçë ê ëáå

á Åçë ê

ïÜÉêÉ

N å I I O I

É áñ = +

tÜìôĨ ờêÔĨíịW ơI đ

Ô

~Ô O

~ Ô

Ô

~Ô O

~ Ô

Ô

~Ô P Ô

~ P

~ Ô

Ô

~Ô P Ô

~ P

~ Ô

Ô

~Ô Q Ô

~ S Ô

~ Q

~ Ô

Ô

~Ô Q Ô

~ S Ô

~ Q

~ Ô

79 _âơìêâ~ô cìíêìô~

(~ Ô) ` ~ ` ~ Ô ` ~ Ô ` ~Ô ` Ô ơ I

ơ ơ N ơ N ơ ơ O

O ơ O ơ N ơ N ơ ơ M ơ

Ô

~ î ì Ơ

~ Ä

~ = I Ä ≠ M

å ã

~ Ä

~

~ Ä

N

~ áÑ M

äçÖ ~

108 äçÖ ~( )ñó =äçÖ ~ ñ+äçÖ ~ ó

ó äçÖ ñ äçÖ ñ

113

~ äçÖ

N Å

äçÖ NM =

ñ äå ñ

äçÖ É = I

ïÜÉêÉ O K TNUOUNUOUK

â

N N äáã É

N ñ

É äçÖ

N ñ

~ñ O+ + = I

~ O

~Å Q Ä Ä ñ

O O

I N

è ñ

ñ

é ñ

ñ

O

N

O N

ó P+ + = I

N I ~ I ~ I I ~

~

Ç I Å I Ä I

M ñ Ö ñ Ñ

M ñ Ö ñ Ñ

kìêÔĨí ìÑ íâêĨị ƠìêĩììơÌĨÌ ĩĨí óĨ~íW ơ

ở

ơ

í N

`É

^ = K

o~Ìâìị ìÑ ƠâíƠìêịƠíâÔĨÌ ƠâíƠôĨW o

o~Ìâìị ìÑ âơịƠíâÔĨÌ ƠâíƠôĨW í

^íĨ~W p

Figure 8

156 α+β=VM°

159 Åçí

Ä í~å

~

Ä Åçí

Ä

Å ëÉÅ

~

Å ÉÅ

Åçë

O O

O O O

Q

Ô

~ ê

O O O

~

~Ô O

Ơ Ô

~

í

++

=

−+

=

170 ~Ô = Ợ

O O

o~Ìâìị ìÑ ƠâíƠìêịƠíâÔĨÌ ƠâíƠôĨW o

o~Ìâìị ìÑ âơịƠíâÔĨÌ ƠâíƠôĨW í

180

Q

P

~ O

~

ĩ= + +

^ơÖôĨị ìÑ ~ ííâ~ơÖôĨW α I Iβ γ

^ôíâíìÌĨị íì íÜĨ ịâÌĨị ~I ÔI ƠW Ü ~ I Ü Ô I Ü Ơ jĨÌâ~ơị íì íÜĨ ịâÌĨị ~I ÔI ƠW ê ~ I ê Ô I ê Ơ _âịĨƠíìíị ìÑ íÜĨ ~ơÖôĨị α I Iβ γW í ~ I í Ô I í Ơ o~Ìâìị ìÑ ƠâíƠìêịƠíâÔĨÌ ƠâíƠôĨW o

o~Ìâìị ìÑ âơịƠíâÔĨÌ ƠâíƠôĨW í

^íĨ~W p

Ä+ > I

Ä Å

~+ > K

183 ~−Ä <Å I

~ Å

Ä− < I

Ä Å

o O ëáå ëáå

γ

=β

O

~Ä Ü

O

~Å Ü O

ÄÅ ëáå

O

Å ëáå

O

Ä ëáå

O

~ o

Å Ä

=β

=α

=

é

Å é Ä é

~ é

I

Å Ä

N Ü

N Ü

é

Å é Ä é O

O

(é ~)(é Ä)(é Å)

é Å

O

CHAPTER 3 GEOMETRY

191 Ü ~=Ä ëáåγ=Å ëáåβI

α

=γ

=~ ëáå Å ëáå

α

=β

Å Ä

ã

O O O O

Q

Ä O

Å

~

ã

O O O O

Q

Å O

Ä

~

ã

O O O O

~ é ÄÅé

=O o ịâơ ịâơ ịâơ

O

í~ơ O

í~ơ O í~ơ

o~Ìâìị ìÑ ƠâíƠìêịƠíâÔĨÌ ƠâíƠôĨW o

o~Ìâìị ìÑ âơịƠíâÔĨÌ ƠâíƠôĨW í

mĨíâêĨíĨíW i

^íĨ~W p

Figure 16

Ç Ç O

−++

o~Ìâìị ìÑ âơịƠíâÔĨÌ ƠâíƠôĨW o

o~Ìâìị ìÑ ƠâíƠìêịƠíâÔĨÌ ƠâíƠôĨW í

228 i=O(~+Ô)=Q Ơ

O

ií Ợ ỉÜ O

~Ô Ô

~ Ü O

o~Ìâìị ìÑ âơịƠíâÔĨÌ ƠâíƠôĨW í

o~Ìâìị ìÑ ƠâíƠìêịƠíâÔĨÌ ƠâíƠôĨW o

mĨíâêĨíĨíW i

^íĨ~W p

~Ç ÄÇ

~Å Q

é = K

é Ä

~ Ä

~ Ç Ç

ê

O O

O O

é = K

CHAPTER 3 GEOMETRY

O

N éê

pâÌĨW ~

fởĨíơ~ô ~ơÖôĨW α

pô~ở ÜĨâÖÜíW ê

o~Ìâìị ìÑ âơịƠíâÔĨÌ ƠâíƠôĨW í

o~Ìâìị ìÑ ƠâíƠìêịƠíâÔĨÌ ƠâíƠôĨW o

í= =

~ ĩí

o~Ìâìị ìÑ âơịƠíâÔĨÌ ƠâíƠôĨW í

o~Ìâìị ìÑ ƠâíƠìêịƠíâÔĨÌ ƠâíƠôĨW o

mĨíâêĨíĨíW i

pĨêâĩĨíâêĨíĨíW ĩ

^íĨ~W p

Figure 29

O

O å

O

O å

256

å ëáå

~ ã

ê

O

O−

=π

O

Figure 30

Figure 31

262 ÉÉ = N ÑÑ N

Figure 32

263 Ö = O ÑÑ N

Ç o

đ o O

oë

p

O O

`Ĩởí~ô ~ơÖôĨ Eâơ í~Ìâ~ơịFW ñ

`Ĩởí~ô ~ơÖôĨ Eâơ ÌĨÖíĨĨịFW α

Ü= − − I Ü < o

273 i=ị+~

3.22 Cube

bÌÖĨW ~

aâ~Öìơ~ôW Ì

o~Ìâìị ìÑ âơịƠíâÔĨÌ ịĩÜĨíĨW í

o~Ìâìị ìÑ ƠâíƠìêịƠíâÔĨÌ ịĩÜĨíĨW í

CHAPTER 3 GEOMETRY

286 s=p _ Ü

287 `~î~ôâĨíâDị míâơƠâĩôĨ

dâîĨơ íïì ịìôâÌị âơƠôìÌĨÌ ÔĨíïĨĨơ ĩ~í~ôôĨô ĩô~ơĨịK fÑ ĨîĨíó ĩô~ơĨ Ơíìịị ịĨƠíâìơ ĩ~í~ôôĨô íì íÜĨ ÖâîĨơ ĩô~ơĨị Ü~ị íÜĨ ị~êĨ

~íĨ~ âơ ÔìíÜ ịìôâÌịI íÜĨơ íÜĨ îìôìêĨị ìÑ íÜĨ ịìôâÌị ~íĨ Ĩỉì~ôK

O S P

~ å ëáå Ä Q

Ü

O O O

P

N

s= _ =

P O

O

N

o~Ìâìị ìÑ âơịƠíâÔĨÌ ƠâíƠôĨW í

o~Ìâìị ìÑ ƠâíƠìêịƠíâÔĨÌ ƠâíƠôĨW o

pìíÑ~ƠĨ ~íĨ~W p

sìôìêĨW s

CHAPTER 3 GEOMETRY

308 câîĨ mô~íìơâƠ pìôâÌị

qÜĨ ĩô~íìơâƠ ịìôâÌị ~íĨ ƠìỡĨñ ĩìôóÜĨÌí~ ïâíÜ Ĩỉìâî~ôĨở Ñ~ƠĨị ƠìêĩìịĨÌ ìÑ ƠìơÖíìĨở ƠìỡĨñ íĨÖìô~í ĩìôóÖìơịK

=+

=

O

Ç e Ç o e o O p p

_ =π

=

CHAPTER 3 GEOMETRY

3.31 Right Circular Cylinder with

an Oblique Plane Face

_

O

Ü Ü o o o

+π

=

3.32 Right Circular Cone

=+

=

O

Ç ã Ç O

N o ã o p p

P

N e p

o ê

o N P

=

N e o P

Figure 52

342

Ü O

Ü ê

=

~ L ÔĨ

~

ÔĨ

~íƠịâơÜ

~ Ô Ô

Picture 57

360 p=QπO oê

361 s=OπO oê O

Figure 58

367

ê

ó ëáå =α

368

ê

ñ Åçë =α

369

ñ

ó í~å =α

370

ó ñ Åçí =α

CHAPTER 4 TRIGONOMETRY

371

ñ

í ịĨƠ =α

372

ó

í ƠìịĨƠ =α

373 pâơĨ cìơƠíâìơ

ñ ịâơ

ó = I −N≤ịâơ ñ≤N K

Figure 59

374 `ìịâơĨ cìơƠíâìơ

ñ Ơìị

ó = I −N≤Ơìị ñ≤N K

Figure 60

ñ í~å

O N â

ñ≠ + π

I −∞≤í~å ñ≤∞K

Figure 61

CHAPTER 4 TRIGONOMETRY

ñ Ơìí

ó = I ñ ≠ đπI −∞≤Ơìí ñ≤∞K

Figure 62

377 pĨƠ~ở cìơƠíâìơ

ñ ịĨƠ

O N đ

ñ≠ + π

K

Figure 63

ñ ÉÅ Åçë

ó = I ñ ≠ âπK

Figure 64

NM +

R

R O

R −

R O

R O NM

+

−

R O NM

N R

−+

NM −

R O NM

N R

−

+

N R

R O NM

R O

390

α

=α

ëáå

N ÅçëÉÅ

4.6 Reduction Formulas

α

− − ëáåα + Åçëα − í~åα − Åçíαα

−

°

α+

+

°

NUM − ëáåα − Åçëα + í~åα + Åçíαα

−

°

OTM − Åçëα − ëáåα + Åçíα + í~åαα

+

°

OTM − Åçëα + ëáåα − Åçíα − í~åαα

−

°

PSM − ëáåα + Åçëα − í~åα − Åçíαα

+

°

PSM + ëáåα + Åçëα + í~åα + Åçíα

CHAPTER 4 TRIGONOMETRY

4.7 Periodicity of Trigonometric Functions

392 ëáå(α±Oπå)=ëáåαI éÉêáçÇ π O çê PSM°K

393 Åçë(α±Oπå)=ÅçëαI éÉêáçÇ π O çê PSM°K

394 í~å(α±πå)=í~åαI éÉêáçÇ π çê NUM°K

395 Åçí(α±πå)=ÅçíαI éÉêáçÇ π çê NUM°K

4.8 Relations between Trigonometric Functions

Q O Åçë O O Åçë N O

N Åçë

−

±

=α

O í~å O

O α+

α

=

O Åçë O O Åçë N O

N ëáå

N Åçëα=± − Oα =± + α = O α −

O í~å N

O í~å N

O

O

α+

O í~å O

O í~å N O Åçë N

O Åçë N

−

α+

±

=

400

O í~å N

O í~å N í~å N Åçë

N ëÉÅ

O

O O

α

−

α+

=α+

±

=α

=

α

401

O í~å O O í~å N Åçí N ëáå

N ÅëÅ

O O

α

α+

=α+

±

=α

CHAPTER 4 TRIGONOMETRY

βα

−

β+α

=β+

α

í~å í~å N

í~å í~å

í~å

βα+

β

−α

=β

−

α

í~å í~å N

í~å í~å

í~å

β+α

βα

−

=β+

α

í~å í~å

í~å í~å N Åçí

β

−α

βα+

=β

−

α

í~å í~å

í~å í~å N Åçí

4.10 Double Angle Formulas

=α

−

α

=α

í~å Åçí

O í~å

N

í~å O O

413

O

í~å Åçí

Åçí O

N Åçí O

Åçí

α

−α

=α

í~å P N

í~å í~å

P P

í~å

421

α+α

−

α

−α

=

í~å í~å

S N

í~å Q í~å Q Q

í~å

422

α+

α

−

α+

α

−α

=

í~å R í~å NM N

í~å R í~å NM í~å

R

í~å

423

N Åçí P

Åçí P Åçí P

P

−α

α

−α

=α

424

α

−α

α+α

−

=

í~å Q í~å Q

í~å í~å

S N Q

Åçí

CHAPTER 4 TRIGONOMETRY

425

α+

α

−α

α+

α

−

=α

í~å R í~å NM í~å

í~å R í~å NM N R

Q O

4.12 Half Angle Formulas

426

O

Åçë N O

ëáåα =± − α

427

O

Åçë N O

α

=α+

ëáå

Åçë N Åçë N

ëáå Åçë

N

Åçë N O

í~å

α

α+

=α

−

α

=α

−

α+

±

=

α

Åçí ÅëÅ

ëáå

Åçë N Åçë N

ëáå Åçë

N

Åçë N O

Åçí

4.13 Half Angle Tangent Identities

430

O í~å N O í~å O ëáå

Oα+

α

=

α

O í~å

N− Oα

433

O í~å O O í~å N Åçí

434

O

Åçë O ëáå O ëáå ëáåα+ β= α+β α−β

435

O

ëáå O Åçë O ëáå ëáåα− β= α+β α−β

436

O

Åçë O Åçë O Åçë Åçëα+ β= α+β α−β

437

O

ëáå O ëáå O Åçë Åçëα− β=− α+β α−β

CHAPTER 4 TRIGONOMETRY

β

⋅α

β+α

=β+

α

Åçë Åçë

ëáå í~å

í~å

β

⋅α

β

−α

=β

−

α

Åçë Åçë

ëáå í~å

í~å

β

⋅α

α+β

=β+

α

ëáå ëáå

ëáå Åçí

Åçí

β

⋅α

α

−β

=β

−

α

ëáå ëáå

ëáå Åçí

α

Q ëáå O Q

Åçë O ëáå

−

α

Q Åçë O Q

ëáå O ëáå

Åçë

β

⋅α

β

−α

=β+

α

ëáå Åçë

Åçë Åçí

í~å

β

⋅α

β+α

−

=β

−

α

ëáå Åçë

Åçë Åçí

í~å

446

O Åçë O Åçë

N+ α= Oα

447

O ëáå O Åçë

N− α= Oα

4.15 Transforming of Trigonometric Expressions to Sum

O

Åçë Åçë

Åçë

ëáåα⋅ β= α−β + α+β

453

β+α

β+α

=β

⋅

α

Åçí Åçí

í~å í~å

í~å

í~å

454

β+α

β+α

=β

⋅

α

í~å í~å

Åçí Åçí

Åçí

Åçí

455

β+α

β+α

=β

⋅

α

í~å Åçí

Åçí í~å

Åçí

í~å

P ëáå Pα= α− α

458

U

P O Åçë Q Q Åçë

Åçë S O Åçë NR NM

462

Q

P Åçë Åçë

464

NS

R Åçë P

ëáå R Åçë NM

Åçë S O Åçë NR NM

~íƠí~ơ O

Figure 69

470 fỡĨíịĨ pĨƠ~ở cìơƠíâìơ

O O I M ñ ịĨƠ

~íƠ I I N N I ñ

I ñ

CHAPTER 4 TRIGONOMETRY

471 fỡĨíịĨ `ìịĨƠ~ở cìơƠíâìơ

O I M M I O ñ ƠịƠ

~íƠ I I N N I ñ

I ñ

4.19 Relations between Inverse Trigonometric Functions

474 ~íƠịâơ( )−ñ =−~íƠịâơ ñ

O ñ

ñ

~íƠí~ơ ñ

~íƠ ñ

~íƠ ñ

~íƠịâơ

O

I −N≤ñ<M K

481 ~íƠƠìị( )−ñ =π−~íƠƠìị ñ

CHAPTER 4 TRIGONOMETRY

O ñ

~íƠí~ơ ñ

~íƠí~ơ ñ

~íƠƠìị

O

−+

ñ Ơìí

~íƠ ñ

~íƠí~ơ =π−

490

O

ñ N

ñ

~íƠịâơ ñ

N

~íƠƠìị ñ

N

~íƠƠìị ñ

~íƠí~ơ

+

−

495

ñ Ơìí

~íƠ ñ

~íƠí~ơ = I ñ > K M

ñ

N Ơìí

~íƠ ñ

~íƠí~ơ I ñ < K M

497 ~íƠ Ơìí( )−ñ =π−~íƠ Ơìí ñ

O ñ Ơìí

~íƠ =π−

499

O

ñ N

N

~íƠịâơ ñ

N

~íƠịâơ ñ

Ơìí

~íƠ

+

−π

501

O

ñ N

ñ

~íƠƠìị ñ

Ơìí

~íƠ =π+ I ñ < K M

N N

Ä

~ Ä

~ Ä

CHAPTER 5 MATRICES AND DETERMINANTS

−+

+

=

PP PO PN

OP OO ON

NP NO NN

O ơ N ơ

âơ âă

O â N â

ơ O ă

O OO

ON

ơ N ă

N NO

KKKKKK

KK

KKKKKK

KK

KK

=

qÜĨ êâơìí j ~ịịìƠâ~íĨÌ ïâíÜ íÜĨ ĨôĨêĨở âă ~ ìÑ ơ-íÜ ìíÌĨí âă ê~ííâñ ^ âị íÜĨ (ơ − -íÜ ìíÌĨí ÌĨíĨíêâơ~ở ÌĨíâîĨÌ Ñíìê N)

íÜĨ ê~ííâñ ^ Ôó ÌĨôĨíâìơ ìÑ âíị â-íÜ íìï ~ơÌ ă-íÜ ƠìôìêơK

N N O N

O O O

CHAPTER 5 MATRICES AND DETERMINANTS

523 fÑ íÜĨ ĨôĨêĨởị ìÑ ~ơó íìï Eìí ƠìôìêơF ~íĨ êìôíâĩôâĨÌ Ôó

~ Ơìêêìơ Ñ~ƠíìíI íÜĨ ÌĨíĨíêâơ~ở âị êìôíâĩôâĨÌ Ôó íÜ~í Ñ~ƠíìíK

O O

N N O

O

N N

Ô

~

Ô

~ đ Ô

N N O O O

N N N

Ô

~

Ô

~ Ô đÔ

~

Ô đÔ

~

=+

ê N ê

ơ O OO

ON

ơ N NO

M

KK

526 pỉì~íĨ ê~ííâñ âị ~ ê~ííâñ ìÑ ìíÌĨí ơ× K ơ

527 ^ ịỉì~íĨ ê~ííâñ [ ]~ âă âị ịóêêĨííâƠ âÑ ~ = âă ~ ăâ I âKĨK âí âị ịóêêĨííâƠ ~Ôììí íÜĨ ôĨ~ÌâơÖ Ìâ~Öìơ~ôK

528 ^ ịỉì~íĨ ê~ííâñ [ ]~ âă âị ịđĨï-ịóêêĨííâƠ âÑ ~ âă=−~ ăâ K

531 ^ ờôô ê~ííâñ âị ìơĨ ïÜìịĨ ĨôĨêĨởị ~íĨ ~ôô òĨíìK

5.4 Operations with Matrices

532 qïì ê~ííâƠĨị ^ ~ơÌ _ ~íĨ Ĩỉì~ô âÑI ~ơÌ ìơôó âÑI íÜĨó ~íĨ ÔìíÜ

ìÑ íÜĨ ị~êĨ ịÜ~ĩĨ ê × ơ ~ơÌ ƠìííĨịĩìơÌâơÖ ĨôĨêĨởị ~íĨ Ĩỉì~ôK

533 qïì ê~ííâƠĨị ^ ~ơÌ _ Ơ~ơ ÔĨ ~ÌÌĨÌ Eìí ịìÔíí~ƠíĨÌF ìÑI ~ơÌ ìơôó âÑI íÜĨó Ü~îĨ íÜĨ ị~êĨ ịÜ~ĩĨ ê × K fÑ ơ

ê N ê

ơ O OO

ON

ơ N NO

ê N ê

ơ O OO

ON

ơ N NO

NN

âă

Ô Ô

Ô

Ô Ô

Ô

Ô Ô

Ô Ô

_

K

MM

M

KK

I

CHAPTER 5 MATRICES AND DETERMINANTS

+

++

+

++

+

=

+

ãå ãå O

ã O ã N ã N ã

å O å O OO

OO ON ON

å N å N NO

NO NN NN

Ä

~ Ä

~ Ä

~

Ä

~ Ä

~ Ä

~

Ä

~ Ä

~ Ä

~ _

^

K

MM

ã N ã

å O OO

ON

å N NO

ã N ã

å O OO

ON

å N NO

å N å

â OO

ON

â NO

NN

áà

Ä Ä

Ä

Ä Ä

Ä

Ä Ä

Ä Ä

_

K

MM

M

KK

I

= λ λ

=+

++

=

N à á åà

áå à

O O á à N N

NP NO NN áà

N á

Ä Ä

Ä Ä

P NP O NO N NN

P O N

OP OO ON

NP NO NN

Ä

~ Ä

~ Ä

~

Ä

~ Ä

~ Ä

~ Ä Ä

CHAPTER 5 MATRICES AND DETERMINANTS

539 ^Ìăìâở ìÑ j~ííâñ

fÑ ^ âị ~ ịỉì~íĨ ơ× ê~ííâñI âíị ơ ~Ìăìâở I ÌĨơìíĨÌ Ôó ~Ìă I ^

âị íÜĨ íí~ơịĩìịĨ ìÑ íÜĨ ê~ííâñ ìÑ ƠìÑ~Ơíìíị ` ìÑ ^W âă

[ ]q âă

^−λ = K

5.5 Systems of Linear Equations

s~íâ~ÔôĨịW ñI óI òI ñ I N ñ O IK

N O O N O O

N N

Ä

~ Ä

~ Ä

N N

Ä Ç

Ä Ç

N O O N O O

N N

fÑ a=a ñ =a ó =M I íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã Ü~ë áåÑáåáíÉäó ã~åó ëçäìíáçåëK

=++

=++

P P P P

O O O O

N N N N

Ç ò Å ó Ä ñ

~

Ç ò Å ó Ä ñ

~

Ç ò Å ó Ä ñ

ò= ò E`ê~ãÉê∞ë êìäÉFI

CHAPTER 5 MATRICES AND DETERMINANTS

ïÜÉêÉ

P P P

O O O

N N N

Å Ä

~

Å Ä

~

Å Ä

~

P P P

O O O

N N N ñ

Å Ä Ç

Å Ä Ç

Å Ä Ç

P P P

O O O

N N N

ó

Å Ç

~

Å Ç

~

Å Ç

~

P P P

O O O

N N N ò

Ç Ä

~

Ç Ä

~

Ç Ä

fÑ a=a ñ =a ó =a ò =M I íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã Ü~ë áåÑáåáíÉäó ã~åó ëçäìíáçåëK

548 j~íêáñ cçêã çÑ ~ póëíÉã çÑ å iáåÉ~ê bèì~íáçåë áå

++

=+

++

=+

++

å å åå O

O å N

N

å

O å å O O

OO N

ON

N å å N O

NO N

NN

Ä ñ

~ ñ

~ ñ

~

Ä ñ

~ ñ

~ ñ

~

Ä ñ

~ ñ

~ ñ

~

K

KKKKKKKKKK

K

K

KK

Å~å ÄÉ ïêáííÉå áå ã~íêáñ Ñçêã

å

O N

åå O

å N

å

å O OO

ON

å N NO

NN

Ä

Ä Ä

ñ

ñ ñ

K

MM

C h a p t e r 6

Vectors

sĨƠíìíịW ìr I îr I ïr I ír I →

^_ I £ sĨƠíìí ôĨơÖíÜW ìr I îr I £

−+

−

=

= →

Figure 73

M N

O M N

O M

557 ï ì N ì O ì P ìrå

Krrr

Figure 78

ì î î

ìr+r=r+r

559 ^ëëçÅá~íáîÉ i~ï

(ìr+îr)+ïr =ìr+(îr+ïr)

560 ìr + rî=(u N+u O I v N+v O I w N+w O)

O O

O O

O N

O N

O N

O N O N O N

w v u w v u

w w v v u u Åçë

+++

+

++

=

ì î

584 fÑ ì =r (u N I v N I w N)I íÜĨơ

O N

O N

O N O

• ïr ⊥ìr ~ơÌ ïr ⊥îrX

• sĨƠíìíị ìr I îr I ïr Ñìíê ~ íâÖÜí-Ü~ơÌĨÌ ịƠíĨïK

CHAPTER 6 VECTORS

Figure 83

588

O O O

N N N

w v u

w v u

đ ă â î ì

ï

rrrrr

r = × =

O O

N N O O

N N O O

N N

v u

v u I w u

w u I w v

w v î ì

ïr r r

590 p= ìr×îr = ìr ⋅îr ⋅ịâơθ EcâÖKUPF

591 ^ơÖôĨ _ĨíïĨĨơ qïì sĨƠíìíị EcâÖKUPF

î ì

î ì ịâơ r r

rr

O O O

N N N

w v u

w v u

w v u ï

=

N

ñ ñ

O N

CHAPTER 7 ANALYTIC GEOMETRY

611 aâîâÌâơÖ ~ iâơĨ pĨÖêĨở âơ íÜĨ o~íâì λ

λ+

λ+

=

N

ñ ñ

λ+

λ+

=

N

ó ó

Figure 90

612 jâÌĩìâở ìÑ ~ iâơĨ pĨÖêĨở

O

ñ ñ

M

++

P

ó ó ó

M

++

ïÜĨíĨ ^(ñ N I ó N)I _(ñ O I ó O)I ~ơÌ `(ñ P I ó P) ~íĨ îĨííâƠĨị ìÑ íÜĨ ííâ~ơÖôĨ ^_` K

CHAPTER 7 ANALYTIC GEOMETRY

Figure 91

614 fơƠĨởĨí EfởĨíịĨƠíâìơ ìÑ ^ơÖôĨ _âịĨƠíìíịF ìÑ ~ qíâ~ơÖôĨ

Ơ Ô

~

Ơñ Ôñ

~ñ

++

Ơ Ô

~

Ơó Ôó

~ó

++

ïÜĨíĨ ~ = _` I Ô = `^ I Ơ = ^_ K

N ó ñ

N ó ñ O

P P

O O

N ó ñ

N ó ñ O

P P

O O

Figure 93

CHAPTER 7 ANALYTIC GEOMETRY

616 lííÜìƠĨởĨí EfởĨíịĨƠíâìơ ìÑ ^ôíâíìÌĨịF ìÑ ~ qíâ~ơÖôĨ

N ó ñ

N ó ñ

N ó ñ

N ó ñ ñ ó

N ó ñ ñ ó

N ó ñ ñ ó

ñ

P P

O O

N N

O P O N P

O O N P O

O N P O N

M

+++

N ó ñ

N ó ñ

N ó ñ

N ñ ó ó ñ

N ñ ó ó ñ

N ñ ó ó ñ

ó

P P

O O

N N

P O N

O P

O N P

O O

N P O

O N

M

+++

N O N O

P P

O O

N N

ó ó ñ ñ

ó ó ñ ñ O

N N ó ñ

N ó ñ

N ó ñ O

O O

O

N ê O ê ê Åçë ê

^_

CHAPTER 7 ANALYTIC GEOMETRY

ó= + K

CHAPTER 7 ANALYTIC GEOMETRY

qÜĨ Öí~ÌâĨở ìÑ íÜĨ ôâơĨ âị đ = í~ơαK

Figure 99

625 dí~ÌâĨở ìÑ ~ iâơĨ

N O

N O

ñ ñ

ó ó í~ơ

đ

−

−

=α

=

Figure 101

627 bỉì~íâìơ ìÑ ~ iâơĨ qÜ~í m~ịịĨị qÜíììÖÜ qïì mìâởị

N O

N N

O

N

ñ ñ

ñ ñ ó

ñ

N ó

ñ

N ó

CHAPTER 7 ANALYTIC GEOMETRY

Figure 102

N Ä

ó

~

ñ+ =

Figure 103

Figure 104

630 mìâở aâíĨƠíâìơ cìíê

v

ó ó u

ìơ íÜĨ ôâơĨK

CHAPTER 7 ANALYTIC GEOMETRY

N N

( )ñ I ó ~íĨ íÜĨ ƠììíÌâơ~íĨị ìÑ ~ơó ìơđơìïơ ĩìâở ìơ íÜĨ ôâơĨI

(~ N I ~ O)~íĨ íÜĨ ƠììíÌâơ~íĨị ìÑ ~ đơìïơ ĩìâở ìơ íÜĨ ôâơĨI

(Ô N I Ô O)~íĨ íÜĨ ƠììíÌâơ~íĨị ìÑ ~ îĨƠíìí ĩ~í~ôôĨô íì íÜĨ ôâơĨI

í âị ~ ĩ~í~êĨíĨíK

CHAPTER 7 ANALYTIC GEOMETRY

^~

Ç

+

++

Figure 109

637 mĨíĩĨơÌâƠìô~í iâơĨị

qïì ôâơĨị ó=đ N ñ+Ô N ~ơÌ ó=đ O ñ+Ô O ~íĨ ĩĨíĩĨơÌâƠìô~í âÑ

N O

đ

N

đ =− ìíI Ĩỉìâî~ôĨởôóI đ N đ O =−N K

qïì ôâơĨị ^ N ñ+_ N ó+` N=M ~ơÌ ^ O ñ+_ O ó+` O=M ~íĨ ĩĨíĩĨơÌâƠìô~í âÑ

M _ _

^

^ N O+ N O = K

CHAPTER 7 ANALYTIC GEOMETRY

Figure 110

O N

N O

â â N

â â í~å

O O

O N

O N

O N O N

_

^ _

^

_ _

^

^ Åçë

+

⋅+

+

=

Figure 111

639 fởĨíịĨƠíâìơ ìÑ qïì iâơĨị

fÑ íïì ôâơĨị ^ N ñ+_ N ó+` N=M ~ơÌ ^ O ñ+_ O ó+` O=M ịĨƠíI íÜĨ âởĨíịĨƠíâìơ ĩìâở Ü~ị ƠììíÌâơ~íĨị

âởĨí-N O O N

N O O N M

_

^ _

^

_

` _

N O O N M

_

^ _

CHAPTER 7 ANALYTIC GEOMETRY

640 bỉì~íâìơ ìÑ ~ `âíƠôĨ `ĨởĨíĨÌ ~í íÜĨ líâÖâơ Epí~ơÌ~íÌ cìíêF

O O

~

ó

í Ơìị

^ó

^ñ O+ O+ + + = E^ ơìơòĨíìI a O+b O >Q ^c FK qÜĨ ƠĨởĨí ìÑ íÜĨ ƠâíƠôĨ Ü~ị ƠììíÌâơ~íĨị( )~ I Ô I ïÜĨíĨ

b

Ô −= K qÜĨ í~Ìâìị ìÑ íÜĨ ƠâíƠôĨ âị